(c,1)-суммирование рядов Фурье по переставленной системе Виленкина Текст научной статьи по специальности «Математика»

благодаря вспомогательному умножению обеих частей на cos ^ ф 0. На самом деле легко вычисляется разница между интегралом и аппроксимационной суммой и при k ^ m:

I(x*k) - S(x*k) = ^ £ Ctlm-

1^Щк/т

В данном случае (одинаковые) веса и узлы выражаются простыми формулами (5), при этом не требуется рассматривать отдельные случаи. Сами же нормированные полиномы узлов называются полиномами Чебышева 1-го рода.

3) р(х) = 1, а = 1. В этом случае рп = 1/(2п + 1) и полиномы узлов (с точностью до нормировки — полиномы Лежандра) имеют вид

та! йп{х2-1)п (2 та)! '

Соответственно при к = 2 получаем

/35 — л/280 /35 + л/280 322 + 13\/70 322 - 13\/70 128 -63-' Х2-\-63-' -900-' -900-' а° ~ 225'

при к = 3 уравнение для узлов имеет вид 35 — 315у + 639у2 — 429у3 = 0, при этом узлы и веса таковы:

х\ = 0, 4058451513773965, Х2 = 0, 741531185599394, хз = 0, 949107912342758,

ао = 0, 0794161895996775, аг = 0, 3818300505051187,

а2 = 0,133350981823048378, аз = 0, 405402778072155431.

Эти формулы при вычислении интеграла /^соэ (1х = ^ дают следующие ошибки:

Но - 0, 72676, Кг и 8, 842 • 10-4, Е2 - 7, 021 • 10-8, Ез < 10-12.

Последние оценки в принципе позволяют на компьютере (а также, как и ранее, в программируемых калькуляторах) использовать формулы интегрирования 10-го или 14-го порядка точности для последних двух случаев.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 08-01-00231-а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Никольский С.М. Квадратурные формулы. М.: Физматгиз, 1958.

2. Крылов А.Н. Лекции о приближенных вычислениях. М., 1950.

3. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Мир, 1962.

4. Никифиров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1976.

Поступила в редакцию 18.12.2006 После доработки 22.09.2009

УДК 517.5

(C, 1)-СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ ПО ПЕРЕСТАВЛЕННОЙ

СИСТЕМЕ ВИЛЕНКИНА

И. В. Поляков1

В работе рассматриваются чезаровские средние частных сумм по системам Виленкина-Качмажа. Показывается, что такие средние от суммируемой функции сходятся к этой функции почти всюду.

1 Поляков Игорь Викторович — студ. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:

[email protected].

Ключевые слова: ряды Фурье, система Виленкина, система Качмажа, (C, ^-суммирование, шипповские перестановки, сходимость почти всюду.

The Cesaro means of a function f with respect to the Vilenkin system in Kaczmarz rearrangement are considered. We prove that these means of a summable function converge to it almost everywhere.

Key words: Fourier series, Vilenkin system, Kaczmarz system, convergence almost everywhere, Shipp's rearrangements of Walsh system, (C, 1)-summability.

Ортонормированная система, построенная Уолшем в 1923 г., обычно рассматривается в нумерациях Пэли, Качмажа и Уолша. Наиболее известна первая из них. Шипп в [1] рассматривал некоторые классы перестановок, с помощью которых из нумерации Пэли можно получить нумерации Качмажа и Уолша. Обобщением системы Уолша служат мультипликативные ортонормированные системы функций, введенные Н. Я. Виленкиным в [2]. Их перестановки, изученные в [3], являются аналогом нумерации Качмажа для этих систем.

Для системы Уолша в нумерациях Пэли [4] и Качмажа [5], а также для частного случая систем Виленкина [6] установлено, что (^^-средние от частных сумм ряда Фурье суммируемой функции сходятся к этой функции почти всюду. В данной работе этот результат обобщается на случай систем Виленки-на, построенных по произвольной, ограниченной в совокупности последовательности простых чисел. При этом используется схема рассуждений работы [6].

Введем необходимые определения и обозначения. Функции Виленкина определяются на так называемой P-ичной группе Gp = Zp0 х Zpi х ..., где P = (po,p\,...) — некоторая последовательность простых чисел. Мы будем предполагать, что последовательность P ограничена. Всякий элемент x Е Gp может быть представлен как последовательность элементов из Zpi, x = (xo,X\,Х2,...), Xi Е Zpi. Групповая операция в G — покомпонентное сложение по модулю pi. Группа G может быть отображена на отрезок [0,1] с помощью отображения F : (хо,Х\,...) i—► Х^о тН+1' гДе mi = PoPi'' 'Vi-h то = 1- Как известно, это отображение будет биективным, если из группы Gp выбросить те элементы x, для которых начиная с некоторого io выполнено Xi = pi — 1.

Пусть X Е Gp, тогда положим

Д = {у Е Gp : Vi = Xi, 0 < i < к — 1}, Д = Gp,

где элемент х = (хо, Х\,...) фиксирован.

Заметим, что ДЩ является подгруппой группы Ср, а множества ДП являются смежными классами группы Ср по этой подгруппе. Мы будем называть их Р-ичными отрезками ранга п. Образ любого множества Д™ при отображении Р — это отрезок вида ], где к Е [0, тп — 1].

Определим максимальный оператор Харди:

л/(Ж) = [ \m\dt.

д х

Оператор А : М(Ср) ^ М(Ср) имеет (сильный) тип (д,д), если для любой функции / из Ьд(Ср) выполнено неравенство \\А/\\д ^ Сд\\/ \\д с некоторой константой Сд; М(Ср) обозначает множество измеримых функций на Ср.

Оператор А : М(Ср) ^ М(Ср) имеет слабый тип (1,1), если существует константа С, такая, что для любой функции / из Ь1(Ср) и для любого у > 0 выполнено неравенство /л{х : \А/(х)\ > у} ^ —

Оператор Л имеет слабый тип (1,1) с константой С = 1, что доказывается аналогично случаю двоичной группы Уолша, разобранному в [4].

Докажем также

Утверждение 1. Оператор Л имеет сильный тип (ж, ж) с константой С = 1: \\Л/^

Доказательство. Выполняется оценка

1 f 1 k ^/|/1«^11/ЫД| = ||/11с

l\x J, LA-

¿\k

-*x

из которой и следует утверждение. □

x

x

Из указанных свойств оператора Л и из теоремы Марцинкевича (см. [4]) вытекает Утверждение 2. Для каждого р £ (1, то) оператор Л имеет сильный тип (р,р). Используя определенную выше последовательность чисел {тпредставим каждое неотрицательное целое число в виде

п = п0т0 + п1т1 + ... + п\п\т\п\, п^ ^ р^ — 1, (1)

здесь и всюду в дальнейшем п\п\ = 0, за исключением случая п = 0.

С помощью функций Радемахера Гк(х) = е Рк на группе Ор определим функции Виленкина в нумерации, аналогичной нумерации Пэли функций Уолша (такие функции мы будем называть функциями Виленкина-Пэли):

Фп(х) = С(х) •••тПШ1(х). (2)

Рассмотрим последовательность, полученную из последовательности Р перестановкой первых п членов : Рп = (рп-1,... ,ро,рп,...). Пусть Орп — Р-ичная группа, построенная по ней, и фЩ — т-я функция Виленкина-Пэли на этой группе, которую будем обозначать фт, так как по виду аргумента всегда можно будет определить, на какой группе она задана.

Соответственно на этой группе есть также ядра Дирихле и Фейера по системе Виленкина-Уолша, обозначаемые ^^, К^, так как опять по виду аргумента понятно, к какой группе они относятся. Определим отображение тп : Ор ^ Орп равенством тп(х) = (хп-1,..., хо,хп,...). Тогда п-я функция Виленкина в нумерации Качмажа имеет вид

\n

1 2тггп^ | 2ттгп|п|:с|п|

El та | — х ^ " -^г I г= 0 ы Г

Хп(х) = Г^п {х)фп-пыш\п\ (т|п|(х)) = е 1 * Р|п| = Фп' (х),

Ein! — 1 ///-./ \

i=0 nimi, m0 = 1, mi = p\n\—1 ■■■p\n\—i — разложение вида (1), но уже на новой

группе. Заметим, что П Е [n|n|m|n|, (n|n| + 1)m|n|). Таким образом, это просто перенумерация системы Виленкина-Уолша. Видно, что эта перенумерация происходит внутри P-ичных пачек, а это означает, что Dmi(х) = Dmi (х), где Dl

— ядро Дирихле для системы {х}- Аналогично через KN при а = х,а = ф будем обозначать ядра Фейера по соответствующей системе. Напомним известное свойство ядер Дирихле (см. [4]):

Dm (х) = {mх Е f0; (3)

тД \0, х ЕД0.

Теперь найдем более удобное представление для ядра Фейера по системе Виленкина-Качмажа. Лемма 1. Справедливо равенство

l Pk-i—i n Pk-i—i i—i

пкХ(х) = 1^^ Y^ mu—iri—i^t-, (гк—г(х))^ mk—iDik_i (х) Y Z/k—1(хН k=1 l=i k=i l=i i=0

П|п| —1

+ Y ^Ы^шкт|n| (т|п|(х)) + гп (х)(п - ^nmi^t—n^mn (т|п|(х)) +

l=1

n|n|—1 n|n|—1 l-1

+(n-n|n|m|n|) Y An^^m^W + mn Z (х).

l=0 l =1 i=0

Доказательство. Легко видеть, что

пКп(х) = mn Km l(x) + Y(Em +. (х) - Dm (х)) + ... + V(D* n + . (х) - DX u (х)) +

nV y ^ mn^ J Z-^Iv +JV y ^n^ >> (n|n| — 1)m|n| +JV ^ (n|n| — 1)m|n| v >>

j=1 j=1

n—n\n\m\n\ пщ —1

+ Л (Di n | m | n | +j (х) - DX n | m | n |(х)) + (п - n|n|m|n|)Dn n | m | n | (х)+ E ^n^L | щ |(х).

j=1 l=1

2пгх

k

Изучим К"^(з+1) (х). Напомним, что Д0 = {х € С : х = (0,..., 0,хг,...)}. Положим =

Т2Л 1 ' -1~177Х§ 5 Т77/,д ^^^^^

(0,...,0,1, 0,...,0,...).

КЮ х С ¿^ Х Л^1 Если П ^ с ^ + ^ Ш то | Ь"^

0 ^ I < в ^ |п| , то

Лемма 3. Пусть х € Д0 \ Д0+ . Если 0 ^ в ^ £ ^ |п|, то |К?^(3+1)+1т т (х)| ^ твтг2 виргрг; если же

в

КФ ( ) = ) 0, х - хьвь € До;

т _ 4 '

Доказательство. Пусть 0 ^ в ^ £ ^ |п|. Тогда из (3) получаем Отк (х) = 0 при к ^ £ + 1 и х € До \Д0+1. Для всех г ^ 0 верно неравенство |Df (х)| ^ Т^3=0 тз йиРгРг ^ 2тг виргрг, которое выводится из равенства (7) и неравенств тг ^ 2т—1 ^ 4т- .... Отсюда следует первое утверждение леммы. Пусть теперь П ^ в > í ^ 0 и ] = ^^=0 тк. Тогда в силу (7) и того факта, что Dmi (х) = 0 только при х € Д0, имеем

/ г Рк-1 \

^('+1)+1шв +3 (х) = Фп(°+1)+1тв +3 (х) ( ^ к (х) (хМ =

\ к=0 г=Рк -зк /

/ - Р4-1 \

= ^п(«+1)+гт,+3(х) тк^к + I] ^(х) .

. к=0 г=Рг-3г

Тогда

та-1/ г-1 \ та -1 ( Рг-1 \

К%(-+1)+1тв,тв (х)= Фп(°+1)+1тв (х) ^ (х^ тк3к + ^ [тгФп(^+1)+1шв+3(х) ^2 ^ ) =

3=0 \ к=0 / 3=0 \ г=Рг-3г )

Для 3 = £в=:01 ]гтг обозначим = ^т0 + ¿т +... + 3-1 т-1 + ^+№1+1 +... + Эв-№в-1 = j -зтг. Покажем, что = 0. Учитывая, что ф>3(г)(х) = 3(х) • • • (х)г3+1 (х) • • • гв-— (х), имеем

т3-1 ! г-1 \ / Рг-1 \ / г-1 \

^2 ( 3 (х)г3 (х) ^ тк= I ^ 3 (х) ) ( (х) ^ тк31к\ = °

3=0 V к=0 ) V 3г=0 ) 3о,-,3г-1,3г+1,-,3а-1\ к=0 )

так как для всех х из Д0 \ Д0+1 выполнено равенство 3 (х) = 0.

Изучим ^2:

та-1 / Рг-1 \ тв-1 / 3г-1 ^

£2 = [тгФп(+) +1тв+3(х) Г*(хМ = т^п(+) +1тв (х)^ [3)(х) ^ гКх)

3=0 \ г=рг-3г / 3=0 \ г=0 /

^30,—,3ь-1,3ь+1,—,3з-1 / \ 3г=0

Ш

1 -

/ ^ \{ Р-^ 3 (х) - 1 = пцфп(в+1)+1тд(х) [ 22 ) 1 ¿2 Ьп{х) - 1

^щгтфп(в+1)+1та(х) ^ фт{х),

Ерг-1 (х) п _ л г+1

^=0 = 0 при ж е Д0 \ До .

Имеем

I] (х) =

3(

3о,---,3г—1,3г+1>--->3в—1

' Р0 1

'Рг-1-1

'Рг+1-1

'Ра-1—1

Е г00 (х)

о

V jо=о следовательно,

Е (хж Е г+ (х) ••• Е (х)

-1=0 / \jt+l=о /

_ Г0,х — хгвг £ Д0;

- \ )+1тя К 1-п(х) '

* \ Л ¿+1

^а -1=0

0, х — хгвг £ Д0;

е До,

х — хгег £ Д0,

откуда вытекает утверждение леммы.

Следствие. Пусть Л,Ь £ N, Л> х £ Д0 \ Д0+1, тогда

КтА (х) =

0, х — хьеь £ До ;

, ' х ~ е До

А

□

(8)

Доказательство. Имеем тоКтА (х) = К$>тА (х) + БтА (х) = К^(А+1) _ (х) + ^А (х), откуда следует

тА , тА

нужное равенство.

Лемма 4. Оператор

□

Ь/(у) = вир

¡,Аем

/(х + уУа(х)К^А (тА(х№(х)

О

имеет тип (д, д) для д £ (1, то) и слабый тип (1,1). Доказательство. Очевидно,

Ь/(у) ^ вир

¡,Аем

/ (х+у)гА (х)кт А (тА(х))л^(х)

ДА

+

+ вир

¡,А£М

/ (х+у)гА (х)кт А (та (х)уых)

Ор\ДА

= Е1 + Е2.

Легко видеть, что

Оценим К2:

Е1 ^ вир то \/(х + у)|^х ^ Л/(у).

Аем 7

0А

А-1

Е2 ^ вир Е Юем ¿=0

< Е йир

¿=0 А>г,1ем

ДО \ Д0+1

/ (х+уУа шт а (та(х))ф(х)

/ (х + у)гА (х)к1а (тА(х))л^(х)

до \д 0+1

Рг 1

<

<

<

Е йир Е

¿=0 А>Мем j=l

/(х + у)гА(х)кта (тА(х))й^(х)

ДА

так как если х £ Д0 \Д0+1, Ь < Л и х — х^ £ Д, то та(х) имеет среди первых А координат две координаты, отличные от нуля, и, значит, К^гА (та(х)) = 0. Согласно равенству (8), примененному к ядру Фейера на группе СрА, и в силу того, что 1_ГА {11(ТА(х)) ^ Р1 Для х ^ Д^е(> полУчим

те рг — 1 1 те рг — 1 1

¿=0тА ¿=0ё2

для всех q из (1, то). Поэтому

те pt-1 i те с

mm, < Pill, + Е Е +< Е

1=0 j=1 4=0

Пусть С' = ---—, и пусть для всех ¿ = 0,1,... , ] = 1,... ,'[Н~ 1 выполнено неравенство ^

2-5С'Л. Тогда

2*

t=0 j = 1

Значит,

те pt-1 1 те

Е Е yAf(y + jet) < C'Asup^E2"1 < Л" t=0 j=1 j t=0

»•to : > A} < £ "¿'rt : ^^ > 2-te'A} < frf < C'Ml.

t=0 j=1 t=0

Поскольку R1f (y), R2f (y) имеют слабый тип (1,1), то и Lf (y) имеет слабый тип (1,1). □

Определим множества

Jf = {x е Gp : xa-1 = 0,..., XA-t = 0, XA-t-1 = 0}, J0A = {x е Gp : xa-1 = 0}.

Лемма 5. Оператор

F (f )(У) = SUP VA-1VA-2- • • Pi \f (x + y)W(x)

AeN,A>l J{x: xt=0,...,xA-1=0}

имеет тип (q, q) при q е (1, то) и слабый тип (1,1).

Доказательство. Рассмотрим д(х) = ^ ^т^ (сумма конечная, число слагаемых в ней mi).

{y:yi =0,i>l}

Тогда ВД) < \д\*(х), следовательно, ||^(/)||д < Сд\\д\\я < Cg\\f\\g, /i{y : ВД) > А} ^ 2Ml ^ ЯШ. □ Лемма 6. Оператор

n

Mf(y) = sup -

k,n,AeN,\n\<A mA

J f(x + y)rA(x)KZ(TA(x))d»(x)

Gp

имеет тип (q, q) при q е (1, то) и слабый тип (1,1). Доказательство. Ясно, что

Mf{y) ^ sup тА / \f{x + y)\dn{x)+ sup

AeN 7дА k,n,AeN,\n\<A mA

n

/ f (x + y)rA (x)K% (ta(x)№(x)

'Gp\aA

<

^ Af(y) + л 8ли?, л h Ё E £ L i/(*+уК^чш^^ +

n,AeN, n <A mA o_n ,_„ JJ,A s s

так как та(х) £ ОрА, а п имеет другое разложение по последовательности Ра: п = ^^=0 п'тк, где тк = р0 • • • Рк-1 и тк = тк при к ^ Л, т.е. тк = Ра—1 • • • РА—к,к < Л. Значит, на этой группе верно разложение

\п\' п'а — 1

пКп (у) = ЕЕ <'(а+1)+т т (у) + °*(у).

3=0 1=0

Но ^-Сга(у) ^ 1, и для этого слагаемого верны необходимые оценки.

1

14

вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2010. №4

Продолжаем цепочку неравенств:

A-i t n's-i

MM < ll/lli + \f\*(v) + sup EE Ё ¿7 L+

n,AeN,\n\<A t=o s=o i=o mA JjtA " s

A-i A-i nS-i

n.^N. n <^ ^^ ^ i 1 7 „ mA J JA s' s

1 ' + n,AeN.\n\<A t=o s=t+i mAJjA

= \f\*(y) + Sif (y) + S2f (y) + \\f 111.

Теперь достаточно показать, что каждое из четырех слагаемых имеет соответствующие сильный и слабый типы. Для первого слагаемого это уже доказано. Для последнего очевидно ( \\f \\i ^ \\f \\g при q > 1 и

/^ill/Ill > У} ^ )• Из леммы 3 получаем

1 A-1 t nS-1

SJiy) < sup — E E E / \f{x + y)W{x)m'tm'sC < n.AeN.\n\<A mAt=0 s=0 1=0 JjA

< С sup У У ^Ул-^гплгп^ Г n.AeN. \n\ <A t1=1 sf=ti mA mA mti J JA-ti

где ti = A — t,si = A — s. Следовательно,

A

Sif(v) ^ sup С E —FtAf)-

AeN t1=i mti

Так как т'л , = ^, т'л e = то

A-ti mtl ' A-si mS1 '

oo

ti=i 2

Отсюда получаем, что сумма Sif (у) имеет тип (q,q) при q Е (1, то) и слабый тип (1,1) (рассуждая так же, как в конце доказательства леммы 4). Определим множества

JAs = {X Е Gp : XA-i =0,..., XA-t = 0, XA-t-i = 0, XA-t-2 = 0,..., XA-s = 0, XA-s-i = 0}.

Продолжим доказательство леммы, используя лемму 3 и тот факт, что, поскольку sup- pj < то, выполнено неравенство < С для любого t. Поэтому

1 A-i A-i n's-i n,AeN.\n\<A mA t=0 s=t+i l=0 JjtA '.

1 A-i A-i n's-i

< sup -У У У / \f(x + y)\m'sm'tCd^(x) ^

n.AeN.\n\<A mA s=t+i = JA 1 A ti-i

^ sup ^r E E CmA-t^As! / \f(x + y)W{x) <

AeN mAti = i si = i JjA-ti,A-si

OO ti-i 1 л OO .-f ti - i

< E E C— fP ^r A \f(x + v)\dtix) < E — E FsMy + e^-г).

mti a>u msi ia mti

ti = i si = i ti A>ti si JJA-ti,A-si ti = i ti si = i

Отсюда следует, что £2/(у) имеет тип (д, д) при д £ (1, то) и слабый тип (1,1). Из оценок для Б\/(у) и £2/(у) получаем утверждение леммы (рассуждая так же, как в конце доказательства леммы 4). □ Положим а*/(х) = 8ирпеМ \&п/(х)\, где аЩ/(х) — чезаровское среднее, т.е.

1 п

п • 1

г=1

Теорема 1. Оператор а*/ имеет тип (д, д) при д £ (1, то) и слабый тип (1,1). Доказательство. Легко видеть, что

к-1 к-1

Ъ - , - ,

1=0 ■)Ср Ср

skf(t) = Е / f{x)xi{x)dxxi{t) = Е / f(x)xi{x - t)d/j,(x). l=n JGp í_n JGp

Поскольку aUx) = £Li

= I !{х)КЪ{х - = [ f(u + t)Kn{u)d|л,{u).

.¡о .¡С

Ввиду того что сопряжение не меняет модуль, а значит, и норму функции в Ьд и Ь\, достаточно проверить утверждение теоремы для оператора

sup

neN

f (t + u)K%d^(u)

G

p

Из леммы 1, учитывая, что n ^ m\n\ ^ 2m|n_i| ^ 4m|n-2|, имеем

< \\f ||i + cLf + C\f \* + CMf,

sup

neN

'cP n

откуда на основании лемм 4 и 6 получаем утверждение теоремы. □

Теорема 2. Для всякой функции / £ Р(С) средние аЩ/ ее ряда Фурье сходятся к / почти всюду. Доказательство аналогично двоичному случаю, рассмотренному в [5].

В заключение автор выражает признательность профессору В. А. Скворцову за помощь при написании этой работы.

Работа поддержана грантом РФФИ № 08-01-00-669 и программой "Ведущие научные школы", проект НШ-3252.2010.1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Schipp F. Некоторые перестановки системы Уолша // Матем. заметки. 1975. 18. 193-201.

2. Виленкин Н.Я. Об одном классе полных ортогональных систем // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1947. 11. 363-400.

3. Gosselin J.A., Young W.S. On rearrangements of Vilenkin-Fourier series which preserve almost everywhere convergence / Trans. Amer. Math. Soc. 1975. 209. 157-174.

4. Голубов Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша: теория и применения. М.: Наука, 1987.

5. Gat G. On (C,1) summability of integrable functions with respect to the Walsh-Kaczmarz system // Stud. Math. 1998. 130, N 2. 135-148.

6. Gat G. Cesaro summability of the character system of the p-series field in the Kaczmarz rearrangement // Anal. Math. 2002. 28, N 1. 1-23.

Поступила в редакцию 23.06.2008