Быстро убывающие ультрадифференцируемые функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2018. № 3

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2018. No. 3

УДК 517.982 DOI 10.23683/0321-3005-2018-3-34-38

БЫСТРО УБЫВАЮЩИЕ УЛЬТРАДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ

© 2018 г. Д.А. Полякова1'2

1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия, 2Владикавказский научный центр РАН, Владикавказ, Россия

RAPIDLY DECREASING ULTRADIFFERENTIABLE FUNCTIONS

D.A. Polyakova1'2

1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia, 2Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Vladikavkaz, Russia

Полякова Дарья Александровна - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математического анализа, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, Россия; старший научный сотрудник, отдел математического анализа, Владикавказский научный центр РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, РСО-Алания, 362027, Россия, e-mail: [email protected]

Daria A. Polyakova - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of Mathematical Analysis, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchako-va St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia; Senior Researcher, Department of Mathematical Analysis, Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Marcusa St., 22, Vladikavkaz, Republic of North Ossetia - Alania, 362027, Russia, e-mail: forsites1@mail. ru

Рассматриваются пространства ультрадифференцируемых функций в N-мерном пространстве, задаваемые с помощью некоторой весовой функции. Предлагается новый подход для определения пространства быстро убывающих ультрадифференцируемых функций. Основное отличие от более ранних подходов заключается в том, что весовые ограничения накладываются лишь на саму функцию и ее производные. До этого указанные ограничения накладывались еще и на преобразование Фурье рассматриваемой функции с его производными. В работе проверяются классические свойства, которыми должно обладать пространство быстро убывающих функций. Показано, что преобразование Фурье является автоморфизмом введенного пространства. Установлено, что данное пространство инвариантно относительно операции дифференцирования. Проверены стандартные непрерывные вложения между пространством пробных ультрадифференцируемых функций, пространством всех ультрадифференцируемых функций и исследуемым пространством быстро убывающих функций. Доказана плотность пространства пробных ультрадифференцируемых функций в рассматриваемом пространстве.

Ключевые слова: ультрадифференцируемые функции, пространство быстро убывающих функций, пробные функции, преобразование Фурье.

We consider spaces of ultradifferentiable functions on N-dimensional space determined by some weight function. We establish a new approach to introduce the space of rapidly decreasing ultradifferentiable functions. In this approach, weighted estimates are imposed on the function and its derivatives. In eariler approch such estimates were also imposed on the Fourier transform of the considering function and its derivatives. This is the main distinction of our work.

In the paper, we check the classical properties of spaces of rapidly decreasing functions. We prove that the Fourier transform is an automorphism of the introduced space. Then we obtain that this space is invariant under differentiation.

We also establish the standard embeddings for the space of tested ultradifferentiable functions, the space of all ultradifferentiable functions and the investigated space of rapidly decreasing functions. The density of the space of tested ultradifferen-tiable functions in the considered space is proved.

Keywords: ultradifferentiable functions, space of rapidly decreasing functions, test function, Fourier transform.

Как известно [1-3], пространство Шварца быстро убывающих функций играет важную роль в

SwN 1= \f е сх(rnу 6n ||f|| = гармоническом анализе. Здесь, как обычно,

= sup sup (l +||x||Y

|a|< PxeRN

f (a)(x)

Rn ) - пространство всех бесконечно диффе-

C X\RN

< да

ренцируемых комплекснозначных функций в RN .

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 3

х = тах | хк | - норма элемента х = (х1,...,Хх) в

1<к <ы

Ям ; а = (а1;...,аы) е^

, , /■(а) ^ / |а|=а1 + ... + а^ - его длина; /( ) =—-—

Х1 ...сХ^

Пространство £) наделяется

пологией, задаваемой набором норм (II-II ) , и

Х1П1Р'реЫ

является в ней пространством Фреше.

Напомним коротко основные свойства про-

странства S RN). Прежде всего, хорошо

что преобразование Фурье

Обычно для удобства предполагают, что ю(1) = 0. Отметим, что при наложенных ограниче-мультииндекс; ниях ю(Г) = о (Г) при ( ^ да .

Известно [8], что без ограничения общности условие (а) можно заменить более жестким требованием:

(а') для каждого р > 1 найдется С > 0 такое, что ю(х + у) < р(ю(х) + ю(у))+ С при всех х, у > 0.

Данное условие называется условием почти полуаддитивности сверху веса ю и было, по-видимому, впервые введено в работах [9, 10].

В рамках данной теории определены пространства

естественнои то-

известно,

F: f ^ f (y):= 1 f (x) e

-'(x y)

dx

8(ffl) RN )=f 6 C~(rn): V/ > 0 Vp en |f|

ю,/, p

является

автоморфизмом S(rnj, т.е. изоморфизмом из S(Rn I на себя. Здесь, как обычно, = suP suP N х ' , о -NN И<

(х, у) = S хкУк . Далее, пространство S(й j инва-

dw (rn j=

f (а)(x)

exp рФ(0

I а |

< да

к=1

риантно относительно дифференцирования, т.е. /(а) е £) для любой функции / е £) и любого мультииндекса а е Nх . Наконец, имеются следующие непрерывные вложения пространств:

= \f e Со (rN): Vp en |f|ra, р := 1

f (t)

,pn(t)

dt < да I

d(Rn )c S (Rn )CS(Rn ),

где d(rn ) - пространство всех пробных функций в

Здесь и далее фю - функция, сопряженная с фю по Юнгу.

Пространство б(ю) (к^) называется простран-, т.е. всех бесконечно дифференцируемых в ством Берлинга ультрадифференцируемых функ-функций, имеющих компактные носители; ций, £>(ю) (^) - соответствующее ему пространство пробных ультрадифференцируемых функций.

(ям )=). Пространства в(ям) и ) рассматриваются со своими классическими топологи- В определении £>(ю)(^) символом С0(ям), как

ями. Кроме того, как известно, пространство г г

обычно, обозначается

d(rn ) плотно в S (RN

(rn )•

пространство всех непре-

рывных в Rn функциИ с компактными носителя-Начиная с 60-х г. ХХ в. активно развивается [4- ми, а под ro(t) для t е RN понимается ю||[). Про-

7] теория ультрадифференцируемых функциИ и ультрараспределении, для построения котороИ ис- странства S(ro)

RN ) и D(M) RN )

наделяются своими

пользуются весовые функции. Напомним, что в естественными топологиями. Первое - топологией

соответствии с [5] под весовой функцией понимается непрерывная неубывающая функция ю : [0, да) ^ [0, да), удовлетворяющая следующим условиям:

пространства Фреше, задаваемой набором пред-норм , второе - топологией внутрен-

него индуктивного предела, взятого по всем ком-

существует К > 1 такое, что пактам К в RN, пространств Фреше D(ra) (К j

(а)

з(х + у) < К(ю(х) + ю(у) + lj при всех х,у > 0;

(В) Т^' <»;

1 t2

(у) ln t = o (ra(t)j при t ^ да ; (8) фю (x) := ю(ех) выпукла на [0, да) .

функций из D(

(ю)

(ю) (

(rn) с носителями в K с тополо-

гией, задаваемой набором преднорм (| • |ю р)

I®, p'pеN

Заметим, что пространство 0(т)(Ех) может быть еще записано в следующем виде:

N

R

*

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 3

D(„)\rN)={f-d\rN):VpeN \f\p := f(a)(x)

= sup sup

aeN NxeRN

exp РФ*

I a |

< да

Выпишем нужные свойства весовых функций

*

ю, фю и фю. Во-первых, известно [6], что при некотором Ь > 1

Ф* (y) > y + £ф*[ У |-L, y > 0.

(1)

Во -вторых, условие (у) на вес ю обеспечивает

Если взять в качестве ю(0 функцию 1п(1 + ?), то для любого Р >1 сУществование С > 0 та^го, что пространство б(ю) (й" ) совпадет с классическим пространством е(й").

Ранее аналог £(ю) (й") пространства Шварца

* f у +1 | * РФю1 |<Ф«,(у) + с, У > 0.

(2)

Далее на основании условия ю(?) = о (?) при ? ^ да доказывается, что для каждого р > 0 имеет-£(й") для ультрадифференцируемых функций ся С > 0, при котором

вводился с помощью оценок, накладываемых одновременно на функции и их преобразования Фурье [4, 6]. Именно полагали

£(ю) (й" )={/ е С да(й"): Ур еК

j!< сexp РФю[р |, j eN0.

(3)

f (a)( x)

f(a)(x)

II-7 "ю, p рю( x)

Наконец, снова используя условие (у) и равен**

ство фю = Фю, можно показать, что для всех д > р > 0 найдется С > 0 такое, что

<даХ

= max sup

I а|< pxeRN

Ясно, что при таком подходе практически невозможно проверить, входит ли данная функция f

(

РФю(t) < sup

seN,

st- дфю

isW

v q//

+ C, t > 0.

(4)

Доказательство теоремы 1 состоит из трех

в £(ю)(й") или нет, так как для проверки нужно пунктов.

1. Покажем, что преобразование Фурье Е корректно определено на £(ю) (й"). Действительно, из В настоящей работе предлагается более есте- условия (у) на вес ю вытекает, что для любого

р > 0 существует константа А > 0 такая, что

вычислить ее преобразование Фурье, что является отдельной задачей.

ственный путь для определения £(ю) (й"), идентичный подходу Шварца. Именно положим £(ю)(й"):={/ еСда(й"):Ур еК ||/||р:=

\/(а)( х)|ерю( х)

(l x||)Р < A exp ra(x), x e RN . Отсюда

следует, что

= sup sup --L

xeRN aeNN exp рфЮ

M

P

< да

пространство S(

(ю)

(rn )

непрерывно вложено в

классическое пространство £ (й"). Значит, отображение Е корректно определено на £(ю) (й"), инъ-ективно и обладает всеми свойствами, которые у

) RN )

него имеются на S(rn ). В частности, f е Cс

Пространство £(ю) (

пространства Фреше, задаваемой набором норм для любой функции / е £(ю) (й") и

III-|| ) . Ясно, что та же самая топология может

"р;рем

быть задана набором норм Ц| • || ) , где

VII 11р, д>р,деК

f(a)( У) =

3(rn )

(5)

f ||p,q := sup sup

xeRN aeN;

f(a)(x) ep*( x)

* f | a ||

exp qФю I I

V q /

Теорема 1. Преобразование Фурье является

автоморфизмом £(ю) (й").

Приведем короткую схему доказательства теоремы 1.

= (-/)' а| |ха/(х)е-<х'У>йх, уей", аеК".

й"

Здесь ха= ха1 ...ха" , х е й". 2. Проверим, что Е действует непрерывно из £(Ю) (й") в £(ю) (й"). Возьмем произвольную

функцию / е £(ю) (й") и оценим величину

f (a)( У)

a e NN , y e RN . Зафиксируем p > 0:

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2018. № 3

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2018. No. 3

f (а)( У)

*Сз • Bn -ft,q • e-pra(y) • expp^M. (8)

а) сначала рассмотрим случай ||у|| < 1. Введем

обозначение ||х|| = max{||х||,l}, х е RN . В силу усло-

Константа C зависит от p, q и r. вия (2) для произвольного q > p найдется Ci > 0 3

такое, что

p

Объединяя оценки (6) и (8), получаем, что

*[ s + N +1 I *( s I

f

* f

J* PФЮ^J+Ci, s > о. ' p -- q

тт где С := max)BN • ep+Ci, C3 • BN }, ~:= maxjo,r}. По-

На основании неравенства г 3 '

f (а)( У)

1 ии VIIV 1 и и / \

г и ц|а|| ч| , „ скольку N не зависит от функции /е),

< ] Х /(х) "Х и последней оценки по- '

ям заключаем, что Е действует непрерывно из

лучаем, что для всех рассматриваемых у и всех £ ) в £ю).

а е N0) 3. Сюръективность отображения Е, как и в

классическом случае, вытекает из формулы обра-

ехР Рю( У) щения

Л Л <ВN - еР+С1 М А\д, (6) _ 1 . - Л г(х,у) ,

ехР Рф* I | а | I 4 /(х) =-N 1 /(У)е "У •

ехр J (2я)М я*

^Соответственно, взяв функцию g е £(ю) ) и

где ВN := | —т^-т < да; 1 -

яN ||х|г +1 рассмотрев /(х) =-— g(-х), получим, во-первых,

II 11+ (2л)

б) пусть теперь ||у|| > 1. Для определенности бу- ^ ~

' у г 11 11 г у что / = g, а во-вторых, по аналогии с пунктом 2,

дем считать, что ||у|| = Ы . Интегрируя (5) по ча- _ 0

............что / е £(ю) Я ).

стям 5 раз по переменной х1 и учитывая, что

1 Наконец, непрерывность обратного оператора

дР/(у)(х) ^ 0 при ||х|| ^ да для любых Р, у е , Е-1 следует из теоремы Банаха об открытом отоб-

имеем ражении. Теорема доказана.

1„1 „ 1 _,/г л В заключение сформулируем некоторые полез-

/(а)(У) = (-/)|а|-^-- 1 £(х)е ^ ', (7) „ ч* Р л рл Р

у5 ДN ные свойства пространства £(ю)(Я ), аналогичные

а

где S(x) := ха2...xNN Z С^ ai(ai -1)...

вложения

свойствам классического пространства S (rn ).

2 N j=o ai"iV"1 Предложение 1. Имеют место непрерывные

"■(01 - ^ +1) хГ1 ^ (х). Д(Ш) ^ £(Ш) И-(ю) (яN )•

Пусть, как в пункте а), д > р . Возьмем еще про- Непрерывность вложения ^) с £(®)^)

извольное г > 0 . В равенстве (7) воспользуемся ^гожает из оценок, устада^нгагс в [5, лемма 3.3], а

сначала полуаддитивностью снизу функции ф®, непрерывность вложения £(®) )се(ю)) оче-

затем условием (3). После этого перейдем к инфи- видна.

муму по всем 5 еNo и применим условие (4). В Предложение 2. Пространство £>(ю) ^) плотно

результате получим, что при некотором С2, зави-

в S,

(ю)

RN )•

сящем только от р и д , справедливо неравенство

Возьмем функцию ^е £>(ю)(RN), обладающую

< С2 - BN • II /\ х

г,д следующими свойствами: 1) х) = 1, х < 1;

f (a)( У)

х ехр ||а|1п4 + гфЮ| | а | +1 ]|е" Р®( у). 2)0 <л(х) < 1, х е RN ; 3) л(х) - 0, ||х|| > 2.

Будем считать, что г достаточно велико по

сравнению с р . Тогда на основании условий (1) и Положим ^я (х) = ™ — I, Я > 0. Тогда для про-

(2) предыдущая оценка может быть продолжена , *

следующим образом: извольной функции / е £(ю) (RN) получим, что

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 3

w 6 £>(ra) ) и 4Rf - f при ||x|| < R , 4Rf - 0 при ||x|| > 2R. Проводя стандартные рассуждения, заключаем, что -Rf ^ f в S(ra) (r^) при R ^ œ.

Предложение 3. Пространство S(ra) (r^) инвариантно относительно дифференцирования.

Для доказательства достаточно воспользоваться условием (2).

Литература

1. Schwartz L. Theorie des Distributions. I, II. Actualités Sci. Ind. Paris: Hermann, 1950, 1951. 317 p.

2. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979. 320 с.

3. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. I: Теория распределений и анализ Фурье. М. : Мир, 1986. 462 с.

4. Bjorck G. Linear partial differential operators and generalized distributions // Ark. Mat. 1966. Vol. 6. P. 351-407.

5. Braun R.W., Meise R., Taylor B.A. Ultradifferenti-able functions and Fourier analysis // Result. Math. 1990. Vol. 17. P. 201-237.

6. Абанин А.В. Ультрадифференцируемые функции и ультрараспределения. М.: Наука, 2007. 222 с.

7. Абанин А.В. Q-ультрараспределения // Изв. РАН. Сер. матем. 2008. Т. 72, № 2. С. 3-38.

8. Abanin A.V., Pham Trong Tien. Almost subadditive weight functions form Braun-Meise-Taylor theory of ultradistributions // J. Math. Anal. Appl. 2010. Vol. 363. P. 296-301.

9. Abanina D.A. On Borel's theorem for spaces of ul-tradifferentiable functions of mean type // Results Math. 2003. Vol. 44. P. 195-213.

10. Абанина Д.А. О классах весов, используемых при определении пространств ультрадиференцируе-

мых функций // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2005. № 1. С. 3-7.

References

1. Schwartz L. Theorie des distributions. I, II. Actualites Sci. Ind. Paris: Hermann, 1950, 1951, 317 p.

2. Vladimirov V.S. Obobshchennye funktsii v ma-tematicheskoi fizike [Generalized functions in mathematical physics]. Moscow: Nauka, 1979, 320 p.

3. Khermander L. Analiz lineinykh differentsial'nykh operatorov s chastnymi proizvodnymi [Analysis of linear differential operators with partial derivatives]. I: Distribution theory and Fourier analysis. Moscow: Mir, 1986, 462 p.

4. Bjorck G. Linear partial differential operators and generalized distributions. Ark. Mat. 1966, vol. 6, pp. 351407.

5. Braun R.W., Meise R., Taylor B.A. Ultradifferen-tiable functions and Fourier analysis. Result. Math. 1990, vol. 17, pp. 201-237.

6. Abanin A.V. Ul'tradifferentsiruemye funktsii i ul'traraspredeleniya [Ultradifferentiable functions and ultradistributions]. Moscow: Nauka, 2007, 222 p.

7. Abanin A.V. Q-ul'traraspredeleniya ultradistribution]. Izv. RAN. Ser. matem. 2008, vol. 72, No. 2, pp. 3-38.

8. Abanin A.V., Pham Trong Tien. Almost subadditive weight functions form Braun-Meise-Taylor theory of ultradistributions. J. Math. Anal. Appl. 2010, vol. 363, pp. 296-301.

9. Abanina D.A. On Borel's theorem for spaces of ultradifferentiable functions of mean type. Results Math. 2003, vol. 44, pp. 195-213.

10. Abanina D.A. O klassakh vesov, ispol'zuemykh pri opredelenii prostranstv ul'tradiferentsiruemykh funktsii [On the classes of weights used in determining the spaces of ultra-differentiable functions]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. 2005, No. 1, pp. 3-7.

Поступила в редакцию /Received

25 июня 2018 г. / June 25, 2018