Бутстреп-процедуры определения точностных характеристик Текст научной статьи по специальности «Математика»

2005

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Авионика и электротехника

№89(7)

УДК 629.735

БУТСТРЕП-ПРОЦЕДУРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТОЧНОСТНЫХ

ХАРАКТЕРИСТИК

В.В. ГЛУХОВ, Д.В. АНУФРИЕВ

Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым С. В.

Данная статья посвящена оценке точностных характеристик комплекса стандартного цифрового пилотажнонавигационного оборудования (КСЦПНО) в автоматизированном режиме “Заход на посадку” и “Посадка” по результатам летных и эксплуатационных испытаний.

Создание современных воздушных судов требует больших финансовых затрат, трудовых и материальных ресурсов. В этих условиях естественным является стремление снизить техникоэкономический риск, связанный с выбором неверных направлений принятия необоснованных решений, с поздним выявлением результатов допущенных ошибок. Важное место в процессе создания авиационной техники занимают летные испытания опытных образцов ЛА. В процессе этих испытаний выполняется окончательная доводка функциональных систем и ЛА в целом, определяются характеристики и степень их соответствия нормам летной годности (НЛГ) и другим нормативно-техническим документам. Данная статья посвящена оценке точностных характеристик системы “самолет-автопилот”, т.е. комплекса стандартного цифрового пилотажно-навигационного оборудования КСЦПНО в автоматизированном режиме “Заход на посадку” по результатам летных испытаний. Анализ технических заданий на разработку систем КСЦПНО показал, что задача оценки точностных характеристик при сертификации ЛА является одной из основных, так как решение этой задачи обеспечивает эффективный контроль выполнения задач самолетовождения на всех этапах полета [2].

Решение данной задачи может быть достигнуто в результате повышения эффективности проведения летных и эксплуатационных испытаний, а также повышения эффективности методов расчета точностных характеристик. Одним из таких методов и является бутстреп, предложенный Б. Эфроном в 1977 году [1,3].

Необходимо констатировать, что подход Б. Эфрона возник под сильным влиянием идей Р. Фишера [6] - в основном, концепции максимального правдоподобия, сформулированной им в 1912 г. Из нее следует, что наблюдаемые результаты опыта в эксперименте - это как раз то, что должно было произойти. Поэтому все неизвестные оценки, которые надлежит извлечь из эксперимента, надо находить таким образом, чтобы они как можно лучше согласовывались с имеющимися данными. Тогда оценки неизвестных и будут “наиболее правдоподобными” в свете имеющихся данных.

Есть три обстоятельства, мешающих в полной мере использовать преимущества подхода, основанного на принципе максимального правдоподобия. Это - возможное смещение на конечных выборках, потребность в априорной информации (знании вида закона распределения исследуемых случайных величин) и вычислительные трудности. В настоящее время, последние не имеют принципиального характера, зато с первыми двумя приходится считаться. Бутстреп-метод первоначально возник как средство преодоления выборочного смещения или, во всяком случае, как средство его существенного уменьшения. Второе обстоятельство обусловило развитие таких подходов, как непараметрические и робастные методы.

В работах Б. Эфрона [1,4] упор делается на случай единственной выборки, быть может и не слишком большого объема. Это наиболее сложная и принципиальная ситуация. Бутстреп-процедура рассматривается как способ управления выборкой в ходе обработки данных с целью устранения изложенных недостатков, т. е. смещения оценки. Новизна заключается в переносе идей планирования экспериментов на процедуры вычислений при обработке данных.

Еще 15 лет назад из-за большого объема вычислений процедуры типа бутстрепа были немыслимы. Это методы, существенно зависящие от развития вычислительной техники.

ЭВМ позволяют осуществить процедуру, связанную с большими объемами вычислений, но значительно снижающую выборочное смещение. Такую процедуру, являющуюся предшественником бутстрепа, предложил М. Кенуй. Идея заключалась в том, чтобы последовательно исключать из рассмотрения по одному наблюдению х{, обрабатывать всю оставшуюся информацию и предсказывать результат в исключенной точке. Совокупность полученных таким образом по всем точкам расхождений несет в себе информацию о смещении, которую можно учесть при оценке того или иного параметра при обработке статистических данных. Дж. Тьюки, принимавший активное участие в совершенствовании этого метода, назвал его методом складного ножа.

Удаление точки х{ из совокупности данных приводит к иному эмпирическому распределению

В 1

Р(Г : масса ----- в т точкахх1,х2,...,хг-1,хм,...,хп

п -1

и к соответствующему пересчитанному значению статистики

0(0 = в(Р{г) ) = ^(х1 , Х2 ,..., Х-1 , Х+1 ,..., хп ) .

Пусть

1 п

е,. = - &т.

Оценка смещения по Кеную будет

Б1ЛБ = (п - -е),

что приводит к скорректированной относительно смещения оценке метода складного ножа для 0

0 °0-Б1ЛБ = п 0-(п-1)•0(.).

Если Еп обозначает математическое ожидание для выборки объема п,

Еп °Ерв(Х1,X2,...,Хп), то для многих статистик, включая большинство оценок максимума правдоподобия

Еп +мр>+...,

п п

где функции а (Р), а (Р) не зависят от п . Заметим, что

ЕРв{,) - Еп_і -в + ——— + 2 +.

) а 2()

п _ 1 (п _ 1)2

и, таким образом,

Ев - п • Еп _(п _1)-Е(п_1)-в—а((,'"\) + аз( р) •

п-

(п _ 1) 3 ^ п2 (п _ 1)2

+....

Видно, что смещение 0 есть величина 01/п2) в отличие от 0(1/п) для первоначальной оценки.

Рассмотрим вероятностную модель бутстреп-процесса [1]. Пусть Х1, X 2,..., Х„ -

независимые действительные случайные величины с общей функцией распределения Р(г) = Р{Хг. < г}. Предположим, что по выборке X = (Х1,X2,...,Хп) оценивается значение

0 = 0(Р). Качество оценки 0 = 0( X), основанной на выборке объема п, измеряется величиной

я(в,Р)-Е, • ф(х),Р). (1)

Здесь Ь(в,Р) - потери от принятия оценки в вместо неизвестного значения в - в(Р), отвечающего истинному распределению Р. Бутстреп позволяет оценить (1) с помощью подстановки

Я(в(х)) - я(в\Р)° Е г • _Ф(х*),Р), (2)

где Р - оценка распределения Р, а X* - независимая повторная выборка объема п из Р , т. е. случайные величины X*,X*,...,X* имеют условное совместное распределение при заданных Х1,X2,...,Xn, описываемое формулой

ПХ1 < ^ Х 2 < ^.^ Х„_1 < tn_1, Х„ < tn|X1, X2,..., Xn_1, Хп }- F(t1),..., Р (іп ) (3)

Совокупность X* - (X*,X*,...,X*) называется бутстреп-выборкой объема п из Р [5]. Стати-

2п

^2 ч ґ\ *

стика 0(Х ) = 0 - это бутстреп-реализация 0 . Условное распределение

р{0( х*,..., хп) < /|х„..., х,, }== |. м й < ^ ар (х, )...<# (х,,) = О (г) (4)

это бутстреп-оценка функции распределения

р{0(х) < г} = |. {х:0(.х)<г}.{(х1).. (хп) = (г) (5)

статистики 0 .

При этом формула (2) имеет вид

Я(в(х)) - |...|ь{в(х1, x2,..., хп_1, хп X Р)лР(х1)..Лр(хп) - |Ц¿, Р)ёС(г) (6)

Пусть Я(X,Р) - случайная величина, где X -^^ X2,..., Xn) обозначает независимую повторную выборку (X1, X2,..., Xn) согласно [1,4]. На основе имеющихся наблюдений оцениваем характеристику, относящуюся к распределению величины Я, например, ЕРЯ, т.е. математическое ожидание данной величины. Алгоритм получения бутстреп-оценок заключается в следующем:

Шаг 1. С помощью генератора случайных чисел получим на основе исходных значений X1,X2,...,Xn_1,Xn бутстреп-реализацию, которая по объему равна исходной выборке. Так как используется выборка с возвращением, то некоторые из первоначальных данных могут встречаться в бутстреп-выборке по нескольку раз, а некоторые могут вообще отсутствовать.

Шаг 2. Независимо повторить шаг 1 В раз, получив при этом соответственно В бутстреп-повторений.

Шаг 3. Вычислить на основе бутстреп-выборок соответственно В бутстреп-оценок

в2 -в1^;1,X*1,...,xn_1,X*1) в -в2(X;2 ,X222 ,...,x2_1,xn2)

0'*В-1 =0В-1( х *В-1 х *в~1 X *В_1 X *В~1)

в*в =0В (X пв, X 2пв,..., Х*1В1, Х*в )

Шаг 4. Усреднить полученные результаты для получения искомой оценки

„ 1 в ^

у'* _ 1 -у

СР = я ^ ср ’

в Ь=1

где Х*р - обозначает бутстреп-оценку математического ожидания.

Определим точностные характеристики на основе бутстреп-выборок. Источником исходных данных является информация, зарегистрированная бортовым средством объективного контроля самолёта. Возьмем выборки двух параметров автоматизированного режима полета: “отклонение от заданной скорости в точке касания”, назовем ее выборка 1, и “отклонение от глиссады на высоте 30 метров” - выборка 2, содержащие соответственно 53 и 139 фиксированных измерения. Оценим по ним математическое ожидание и СКО, т.к. эти два параметра в основном и определяют точностные характеристики системы КСЦПНО. Бутстреп-оценка математического ожидания выборки 1 равна 20.179, а математическое ожидание, рассчитанное классическим методом, равно 20.012. Для выборки два эти значения соответственно равны 4.386 и 4.241. Необходимо отметить, что бутстреп-оценки имеют существенно меньшее смещение, нежели классические оценки. В соответствии с изложенным выше алгоритмом нахождения бутстреп-оценок встает вопрос о необходимом количестве бутстреп-выборок В. Для этого построим график зависимости бутстреп-среднего от числа бутстреп-реализаций по выборке “отклонение от заданной скорости в точке касания”. Из рис. 1 следует, что для получения достоверных результатов при объеме исходной выборки N=53 рекомендуется генерировать не менее 18000 бутст-реп-реализаций.

20,26 4 20,24 20,22 20,2

20.13 20,10 -

20.14 -I--------------------------------------------------------------------------

1 1773 3555 5332 7 109 3336 1 0663 12440 14217 1 5994 1 7771 19543

Рис. 1. График зависимости бутстреп-среднего от числа бутстреп-реализаций при п=53

Покажем, что число необходимых бутстрепов напрямую зависит от размера исходной выборки. Изобразим график зависимости бутстреп-среднего от числа бутстреп-реализаций, но уже по данным выборки “отклонение от глиссады на высоте 30 метров”, имеющей 139 фиксированных измерения, что примерно в 2,6 раза больше предыдущей совокупности.

4,6 т 4,5 4,4

4,3 4,2 -]

4,1 ..

4--------------------------------------------------------------------------

1 1352 2703 4054 5405 6756 8 107 9 45 8 1 0809 1 21 60 1351 1 14862

Рис. 2. График зависимости бутстреп-среднего от числа бутстреп-реализаций при п=139

Из рис. 2 видно, что необходимое число бутстрепов уменьшилось до 11000.

Из всего вышесказанного можно сделать вывод, что при разных объемах первоначальной выборки требуется различное число бутстреп- генераций, т.е. действует правило

Если п1 < п2 < ... < п—1 < п1, то В1 < В2 < ... < Вг-1 < В1.

Вывод

На основании всего вышесказанного можно заключить, что бутстреп-методики возможно применять для задач оценки точностных характеристик системы ЛА-КС Ц11НО. Кроме того, необходимо отметить, что при использовании данного метода значительно возрастает объем обрабатываемой информации, причем чем меньше исходная выборка, тем больше необходимо генерировать бутстреп-реализаций для получения оценок требуемого качества. Таким образом, применение специализированных компьютерных программ является обязательным усло-

вием при обработке данных с помощью бутстрепов. Одним из главных достоинств бутстреп-оценок является их существенно меньшее смещение по сравнению с классическими оценками.

ЛИТЕРАТУРА

1. Эфрон Б. Нетрадиционные методы многомерного статистического анализа: Сб. статей: Пер. с англ./ Предисловие Ю. П. Адлера, Ю. А. Кошевника. - М.: Финансы и статистика, 1988.

2. Васильченко К. К., Леонов В. А., Поплавский Б. К. Летные испытания самолетов: Учебник для студентов высших технических учебных заведений. -М.: Машиностроение, 1996.

3. Диаконис П., Эфрон Б. Статистические методы с интенсивным использованием ЭВМ. -М.: В мире науки, 1983.

4. Efron B. Nonparametric estimates of standard error: the jackknife, the bootstrap and other methods. -CA: Stanford Univ., 1980.

5. Адлер Ю. П., Гадолина И. В. Влияние числа бутстреп-выборок на точность статистического оценивания в задачах контроля эксплуатационной надежности. -М.: МГДНТП, 1985.

6. Фишер Р. Статистические методы для исследователей. Пер. с англ. -М.: Госстатиздат, 1958.

BUTSTREP-PROCEDURES OF DEFINITION OF PRECISION PERFORMANCES

Gluhov V.V., Anufriev D. V.

The given article is devoted to the valuation precision of the characteristics of a complex of the standard digital pilotage-navigating equipment in a automated mode "Pass on landing" and "Landing" by results of flying and operational tests.

Сведения об авторах

Глухов Вячеслав Васильевич, 1936 г.р., окончил МВТУ им. Баумана (1959), кандидат технических наук, профессор МГТУ ГА, автор более 100 научных работ, область научных интересов - техническая диагностика и оценка параметров полетной информации.

Ануфриев Дмитрий Васильевич, 1979 г.р., окончил МГТУ ГА (2002), аспирант

МГТУ ГА, автор 4 научных работ, область научных интересов - техническая диагностика и оценка параметров полетной информации.