Булевы оценки и пучки некоторых классов решеточно упорядоченных групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

УДК 517.11+517.98

doi: 10.18101/2304-5728-2016-2-3-10

О В. И. Антонов

Булевы оценки и пучки некоторых классов решеточно упорядоченных групп

В работе изучаются семантические оценивания, соответствующие каноническим пучкам, связанных с исходными алгебраическими системами. На этой основе изучаются хорновы теории разных классов /-групп.

Ключевые слова: булевозначный анализ, оценки, пучки, предпучки, решеточно упорядоченные группы, ортополные В-группы, ортополные проективные /-группы, хорновы теории.

О V. I. Antonov

Boolean evaluation and sheaves of some classes of lattice-ordered groups

The article considers semantic evaluation, corresponding canonical sheaves associated with the initial algebraic systems. Based on this study Horn theory of various classes /-groups.

Keywords: Boolean valued analysis, evaluations, sheaves, pre-sheaves, lattice-ordered groups, orthocomplete B-group, orthocomplete projective /-group, Horn theory.

Введение

Гейтинговозначный анализ и, в частности, булевозначный анализ алгебраических структур представляет собой один из путей приложения методов теории моделей в алгебре, в том числе, в теории колец и групп.

Конструкция булевозначного универсума первоначально разрабатывалась для решения сложных теоретико-множественных проблем, в частности, для доказательства независимости от аксиом теории множеств некоторых гипотез теории множеств, например, континуум-гипотезы.

Примеры таких результатов можно найти в работах П. Вопенка, Д. Скотта, Р. Соловея, Г. Такеути, В. А. Любецкого и Е. И. Гордона. Однако в дальнейшем выяснилось, что гейтинговозначный и булевозначный анализы могут применяться и для решения чисто алгебраических проблем, например, в фундаментальных работах С. С. Кутателадзе и А. Г. Кусраева [4, 5]. Для алгебраических структур метод гейтинговозначного анализа эффективен, если удаётся построить такой содержательный пучок F(») на полной гейтинговой (или булевой) алгебре Q, что К = /< (1) (пучок /■ (•) называется представляющим систему К). В этой связи важен вопрос о наличии такого пучка /'(•). Примеры таких пучков можно най-

ти в работах Р. Пирса, К. Каймела, Ж. Даунса, К. Гофмана, Ф. Борсо, X. Сименса, Ван Де Боша; однако все эти пучки заданы на полных гей-тинговых алгебрах-топологиях т некоторых топологических пространств, связанных с исходной системой К. Такому пучку /'(•) соответствует следующая оценка [•] , определённая на множестве всех формул (р(к].....кп) с параметрами кг,..., кп е К . А именно,

= ^ йир |м е О | р" (к) = р1 (О} и аналогично для других атомарных формул; и л 1//] ^ и^ [)//]}, [Зх<р] ^ зир{[<р(£)] | к е К} и аналогично для других связок, где смысл

знака ^ «равно по определению» или «эквивалентно». Эта оценка замкнута относительно только интуиционистской выводимости (это означает: если [ <р = 1 и ц/ интуиционистски выводима из <р. то [ у/ = 1. Поэтому особый интерес представляют пучки /'(•), определённые на полных булевых алгебрах В. В этом случае мы имеем: если [ <р |г = 1 и ц/ выводима из (р, то | УН|/; = ' • т е- соответствующая пучку оценка замкнута относительно классической выводимости. Оценка [•], определённая в связи с алгебраической системой К называется ещё семантическим оцениванием в алгебраической системе К. В работе изучаются семантические оценивания, соответствующие каноническим пучкам, связанных с исходными алгебраическими системами. На этой основе изучаются хорновы теории разных классов I -групп.

Булевы оценки решеточно упорядоченных групп

Пусть С - ортополная В -группа и В (О) - полная булева алгебра ее дополняемых /-идеалов, /■ (•) - соответствующий канонический пучок, представляющий О [7]. В этом пучке атомарная оценка равенства двух глобальных элементов / -группы О имеет вид:

Н = <72 ] = V е В(С) I Щд,) = Щд2)}, где д, ,д2 е О .

Вычислим оценку

1д1<д2} = 1д^д2=д2} = ^{МеВ(0)\Щд^ Щд2) = Щд2)} = = v{NeB(G) | Щд,) V Щд2) = Щд2)}.

Значит, {д, < д2] = V{М е В(в) \ Щд1) < Щд2)} .

Для вычисления оценок [/, < /21 и [/, = /21. где /,. /2 - термы в языке /групп, нужно заменить ^, /2 на их значения, вычисленные в /-группе О .

Оценка произвольной формулы (р определяется индукцией по длине построения этой формулы, а именно, [ф|л?'2] = [?:1|]п[?'2]'

V<р2] = [<£,]и[<р2], [-1<р] = где в правой части -, - дополнение

в булевой алгебре В(С), [ <р} ср2 | = [ <р} | —> [с/)2 ], где а->у по определению равно (пииу), [Зх<р(х)]^е0 [<?(«?)] И [Ух^х)]^^ [<?(«?)]. Справедлива следующая

Теорема 1. [2] а) Если В - полная булева алгебра и 2РС | -ср, то [ ср | = \в , где \- наибольший элемент В .

б) Если В - полная булева алгебра и (р - любая формула, выводимая в обычном, классическом исчислении предикатов с равенством Р1, то [ ср | = \в , где \- наибольший элемент В .

Предложение 1. Пусть О - ортополная В -группа и ср - любая формула в языке /-групп. Тогда выполняется соотношение [Зх<р(х)| = [<р(д)| для некоторого д е С .

Доказательство. По определению имеем [ Зхср(х) | = [</>(<?)] . Обозначим/У = [3х<р(х)] и N(¿1) = [[</)(£/) |. Как указано в [2], существуют А" е В (С/) такие, что N = vqN'lj,N'lj лМ'к =0 , где дФк. Имеем,

(ч) = <?] - т.к. Ы'9(Ы'9 (д)-д) = 0. Значит, из теоремы 16) имеем \ср(Н'ч (9))] > [ТУ; (д) = д] л {<р(д)] > М'д.

Множество деС} согласовано, т.к. Л^ - дизъюнктны. Зна-

чит, из пучковости С следует, что существует(д)е. N . А',' (д) = А^(д)

для любого £/ е (} . Это означает, что | £/ = А'('; [] А'(';. Следовательно, по теореме 16) имеем

[<?(<?)] >[д = щ (9)] л \(р{Ы'ч (9))] > ы'ч для всех д е С . Итак, имеем

^ = ^ . С другой стороны < N, т.к. N = víгeG [<?(§)]

Значит, [ </)(£/)[] = N . Итак, [ Зхср(х) | = [</>(<?)] для некоторого £/ е (}.□

Напомним, что формула А на языке / -групп первой ступени называется хорновой, если она равносильна формуле вида

(ах1)(е2х2)...(еихи1х4лЛА...лЛ) (1)

где 0/ - один из кванторов V, 3, а каждый член А^^ - это формула одного из следующих видов: а)Р0; б) (л"=1 Р{) => Р0; в) л^ (-,/>), где Р0,Р1,...,Рк - атомарные формулы языка /-групп.

Предложение 2. Пусть О - ортополная В -группа и ср - любая хор-нова формула в языке / -групп. Тогда выполняется

[р0] = 10=>(а|=р), (2)

5

где 1е - наибольший элемент булевой алгебры В((}).

Доказательство. В силу теоремы 1, достаточно рассмотреть формулу вида (1). Доказательство проведём индукцией по длине построения формулы (1). Импликация (2) в случае а) очевидна. Даже в случае а) вместо импликации (2) выполняется эквивалентность. Рассмотрим случай б).

Пусть [л*=17> =>.Р0| = 1е, С = л*=1Р{. Тогда (7 = /' для всех ¡ = 1,...,к. Знал

чит, по а) имеем [ /' | = 1,. для всех ¡ = \.....к . Следовательно, | / ,'', /'| = \а . Из [л*=1 Р,. => Р0 ] = 10 следует [л*=1 Р, ] < {Р0 ]. Отсюда имеем [Р0 ] = 10. Значит, по а) получим Ок\=Р0.

в)Пусть [л^Ы*)]^ И С^и^Р,).

Тогда С |= \А | (-1 Р{). Следовательно, [ /' ] = 1е для всех / = 1

Из [л*=1(-1/|.)| = 1е следует, что существует хотя бы одна формула Р^

такая, что Ц-ьР^ | Ф {0} . Значит, Ц-ьР^ | л | Ф {0}. Далее, для конъюк-

тивности и квантора всеобщности импликация (2) очевидна. Импликация (2) для квантора существования следует из предложения 1. □

Напомним, что / -группа О называется проективной, если С = д1 + д11" для всех д е С .

Определение 1. / -группа С называется квазирегулярной, если С = (д} + д1 и (д)0^^=10} для любого д^С,тде (д) главный /-идеал, порожденный элементом д е С. Другими словами, любой главный /идеал (д^ является дополняемым /-идеалом и его дополнением будет с/ .□ Из определения квазирегулярной / -группы следует, что с/ является /идеалом для любого д<аС. Значит.^ = д для любогод е (7. Отсюда по свойству поляр получаем (д} = с/ . Следовательно, любая квазирегулярная / -группа является проективной / -группой.

Напомним, что / -группа О называется / -простой, если она не имеет собственных /-идеалов. □

Главный /-идеал(д), порожденный элементом д /-группы О, имеет вид

{д) = \х&С\Зп&ЫЗд1,д2,...,дп&С(\х\<^ -дг+д + дг |)|.

Теорема 2. Пусть О - ортополная В -группа. Тогда выполняется следующие:

а) С - проективная / -группа тогда и только тогда, когда [С - линейно упорядоченная группа\ = 1е .

б) О - квазирегулярная / -группа тогда и только тогда, когда

[С -линейно упорядоченная I - простая группа ] = 1е Доказательство, а) Пусть О - проективная / -группа. Тогда имеем = 0 = д11 для любого £/ е (} . Действительно, эквивалентны следующие

соотношения Ы(д) = 0, с/ е N и N = N с с/ для любых N е В(С) и д е С.

Вычислим оценку

[С - линейно упорядоченная группа] = лх уе0 ([х < и [х >

= лх,,ее ([х - >> < 0] и [х - >> > 0]) = л,е0 ([<? < 0] и у > 0]) . Пусть с) е (I. Тогда

\д < 0] и \д > 0] = \д V 0 = 0] и \д л 0 = 0] = (д V О)1 и (д л О)1. Легко показать, что (д V 0) _1_ (д л 0). Значит, д л 0 е (д V О)1. Отсюда получаем (д V 0) с (д л О)1. Следовательно, для любого <:/ е (7 имеем lg<Oj^Jlg>Oj^(gvO)±^J(gvO)1± =(gvO)± +(gvO)±± =С. Обратно, пусть О - ортополная В -группа и

[С - линейно упорядоченная группа] = . Проверим, что О - проективная / -группа. Условие «быть проективной / -группой» записывается хорновой формулой, а именно Vдх,д2 С\/к е (^(([/^ л\д2 \ = 0) л

л(|/?| л 1 = 0 => |/?21 л Щ = 0) л (дг =1\ +к2)). Обозначим эту формулу <р. Пусть у/ = Vд, И((д < /г) V (д> И)), которая выражает свойство, что / -группа есть линейно упорядоченная группа. Заметим, что любая линейно упорядоченная группа является проективной /-группой. Тогда по теореме 1 \ц/ => (р\г. = 1 и по условию [ у/1. = 1. Значит, [у] = 1. Из предложения 2 получаем С |= (р .

б) Пусть С = (д} + д1 и (д) г^д1 = {0}для любого д е С . Отсюда получим д11' =(д) для любого £/ £ (' • т.е. О - проективная / -группа. Следовательно, из предыдущего пункта следует

[С - линейно упорядоченная группа] = . Условие «быть / -простой группой» имеет вид

п

УдеС((д = 0)у\/ГеС Зп&Шд1...дп ^ G(\t\<^\-gi + д + д^)).

1=1

Вычислим оценку

\/qeG((q = 0)v\/teG Зп&Ы Зд^.^еС < + д + д,\)) =

= л<геО(к = 0]^(л<геО ^ (V

11 ,--;1п

Пусть д, teG. Проверим, что

))>[?* 0] = (?).

Действительно, по условию С = (с^ + д1 для любого £/ е (I. Поэтому существуют , 12 е (I такие, что 1/1 = 1х+12, где е (с/), 12 е д1.

Заметим, ^ л = 0. Имеем

1=1

для некоторых дх,..., дт е С . Отсюда получим

ш ш

0<И-И А(XI"?,- +1 + Ч,\) = И + ("1Ф V(XI-?.- + Я + Я,|) =0 А 1=1 1=1

т

л(И= |г2| = г2 ед1.

Следовательно, Получим

)У^д1±=(д).

>(\г\-\г\л(^\-д1+д + д1\))1>(д).

Обратно, свойство квазирегулярности записывается

\/д\/ИЗдхЗд2ЗпЗ}\,...,Зкп(^д2\л Щ = 0) л

п

л(|<?1 | < X \~кг + Н + 1) V (<? = +

1=1

где я - переменная по всем натуральным числам, и строго говоря, вместо }\,...,кп нужно написать переменную к нового сорта, пробегающую не О , а множество всех конечных последовательностей из элементов О . По условию

УдУВпЗд,,...,дп {{д = 0) V (|г | < £\-дг + д + дг |))

1=1

и О - ортополная В -группа.

= Ь

Пусть q,t . Обозначим Ц = {с^,■■■,<!„} и дл. (с/) длину кортежа q . Тогда

Зп е N3q((дл. (д) = п)л ((q = 0) v (\t\ < ^\-с

I)))

= 1G-

Согласно предложения 1, существует кортеж q длины п0 из элемен-

тов G такой, что [д = 0] v Пусть [д = 0] = /V и

■•и

1=0

"о

= N1. Тогда N + N\ = С, от-

сюда имеем Ы(д) = 0 и (|ф < + д + . Из Ы + ЫХ=С имеем

¡=1

Ы1 с ^ .

па

Следовательно, + + По свойству

¡=1

/-идеала получим Л^ф)) е . Значит, Л^ф)) е (д) .

главного,

Из №(д) = 0 получим с/ е /V1. Поэтому N <^д . Отсюда имеем е д1. В силу разложения = /У(|ф + А^ф]) имеем е д1 + (д). Значит, С = д1 + ^ . Из предыдущего пункта а) имеем С = д1 + .

Отсюда следует, д11' является /-идеалом и по свойству поляр имеем

4)^4

Значит, (д) г^д1 = {0}, так как д1 п д11

= {0}-

Следствие. Хорновы теории в языке /-групп следующих пар классов /групп совпадают:

а) ортополных проективных /-групп и линейно упорядоченных групп;

б) ортополных квазирегулярных /-групп и линейно упорядоченных /простых групп.

Доказательство. Непосредственно следует из теорем 1, 2 и предложения 2.

Заключение

Все сказанное без изменений переносится на случай, если язык /-групп расширить новыми предикатными и функциональными символами.

Литература

1. Антонов В. И. Ортогональные В-группы и булевы оценки // Труды V школы молодых математиков Сибири и Дальнего Востока. — Новосибирск, 1990.— С. 3-5.

2. Любецкий В. А. Оценки и пучки. О некоторых вопросах нестандартного анализа // УМН. — 1989. — Т. 44, вып.4. — С. 99 - 153.

3. Копытов В. М. Решеточно упорядоченные группы. — М.: Наука, 1984.

4. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Булевозначный анализ. — Новосибирск: Изд-во Института математики им С. Л. Соболева, 2003. — 386 с.

5. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Нестандартные методы анализа. — Новосибирск: Наука, 1990. — 344 с.

6. Антонов В. И. Гейнтинговозначный анализ и пучковые ассоциативные кольца // Вестник Бурятского государственного университета. — 2014.— Вып. 9(1).—С. 3-7.

7. Антонов В. И. Структурный пучок и булевы оценки решеточно упорядоченных групп // Вестник Бурятского государственного университета. — 2012. — Вып. 2,— С. 75 - 82.

References

1. Antonov V. I. Ortogonal'nye V-gruppy i bulevy ocenki // Trudy V shkoly molodyh matematikov Sibiri i Dal'nego Vostoka. — Novosibirsk, 1990. — S. 3-5.

2. Ljubeckij V. A. Ocenki i puchki. O nekotoryh voprosah nestan-dartnogo analiza // UMN. — 1989. — T. 44, vyp.4. — S. 99 - 153.

3. Kopytov V. M. Reshetochno upoijadochennye gruppy. — M.: Nauka, 1984.

4. Kusraev A. G., Kutateladze S. S., Bulevoznachnyj analiz. — Novosibirsk: Izd-vo Instituta matematiki im S. L. Soboleva, 2003. — 386 s.

5. Kusraev A. G., Kutateladze S. S. Nestandartnye metody analiza. — Novosibirsk: Nauka, 1990. — 344 s.

6. Antonov V. I. Gejntingovoznachnyj analiz i puchkovye associativnye kol'ca // Vestnik Buijatskogo gosudarstvennogo universiteta. — 2014. — Vyp.9(l). — S. 3-7.

7. Antonov V. I. Strukturnyj puchok i bulevy ocenki reshetochno upoijadochennyh grupp // Vestnik Burjatskogo gosudarstvennogo universiteta. — 2012. — Vyp. 2. — S. 75 - 82.

Антонов Вячеслав Иосифович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии Бурятского государственного университета, e-mail: zhem49@gmail.com.

Antonov Vyacheslav Iosifovich, PhD in Physics and Mathematics, A/Professor, algebra and geometry department, Buryat State University.