Бошланғич синфлар математика дарсларида матнли масалаларни моделлаштиришдан фойдаланиб ечиш Текст научной статьи по специальности «Языкознание и литературоведение»

Хошимова Феруза Баходировна,

Андижон давлат университети х,узуридаги Халк таълими ходимларини кайта тайёрлаш ва уларнинг малакасини ошириш худудий маркази «Мактабгача, бошланFич ва махсус таълим методикаси» кафедраси укитувчиси; Бахритдинов Баходир, Андижон давлат университети математика кафедраси катта укитувчиси

БОШЛАНГИЧ СИНФЛАР МАТЕМАТИКА ДАРСЛАРИДА МАТНЛИ МАСАЛАЛАРНИ МОДЕЛЛАШТИРИШДАН ФОЙДАЛАНИБ ЕЧИШ

ХОШИМОВА Ф.Б., БАХРИТДИНОВ Б. БОШЛАНГИЧ СИНФЛАР МАТЕМАТИКА ДАРСЛАРИДА МАТНЛИ МАСАЛАЛАРНИ МОДЕЛЛАШТИРИШДАН ФОЙДАЛАНИБЕЧИШ

Маколада бошла^ич синф укувчиларида матнли масала ечиш куникма ва малакаларини шакллантириш ва ривожлантиришда моделлаштиришнинг тутган роли ва урни, турлари ва матнли масалаларни ечишда улардан фойдаланиш усуллари баён этилган.

Таянч суз ва тушунчалар: матнли масала, содда масала, мураккаб масала, математик модел-лаштириш, график моделлаштириш.

ХОШИМОВА Ф.Б., БАХРИТДИНОВ Б. РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛИРОВАНИЯ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ

В статье рассмотрены роль и место моделирования в решении текстовых задач в формировании, развитии умений и навыков учащихся начальных классов. Описываются виды моделирования и приёмы их использования в решении текстовых задач.

Ключевые слова и понятия: текстовая задача, простая задача, сложная задача, моделирование, графическое моделирование.

XOSHIMOVA F.B., BAXRITDINOV B. SOLVING TEXTUAL TASKS IMPLEMENTING MODELING IN MATEMATICS LESSONS AT PRIMARU SCHOOLS

In the article role and place of modeling in solving text tasks in formation and development of competence and skills of primary school pupils, their types and approaches of these implementing in text tasks solving are discussed.

Keywords: text task, simple task, sophisticated task, modeling, graphic modeling.

Матнли масалалар назарий билимларни мустацкамлашда муцим урин тутади. Уларни ечиш натижасида уцувчиларнинг мантилий фикрлаш цобилияти ва математик тафаккури ривожланади, шунингдек бошца фанлар ва ишлаб чицариш-нинг турли соцаларига доир билимлари шаклланади.

БошланFич мактаб математика курсининг катта кисми матнли масалалар ва уларни ечиш билан боFликдир.

Суз билан кандайдир жараён, вокеа, х,оди-санинг микдорий жих,атлари ифодаланган ва бирор микдорнинг номаълум кийматини матнда берилган маълумотлар ва муносабат-лар асосида топиш талаб этилган масала матнли масала деб аталади. Хар бир матнли масала маълум бир объектлар орасидаги муносабатларни ифодаловчи шарт ва талаб-дан ташкил топади1. Ушбу объект, шарт ва талаблар бир ёки бир нечта булиши мумкин. Масалан, 3-синф математика дарслигидаги2 куйидаги масалани курайлик.

391-масала. Болалар боFчасига 24 та пакетда совFа келтирилди. Хар бир пакетда 4 тадан конфет, 3 тадан печенье ва 2 тадан олма бор. Келтирилган пакетларда жами нечта конфет, нечта печенье ва нечта олма бор?

Бу ерда масала объектлари пакет, конфет, печенье ва олмадан иборат.

Масала шартлари:

1. 24 та пакетда совFа келтирилган.

2. Хар бир пакетда 4 та конфет бор.

3. Хар бир пакетда 3 та печенье бор.

4. Хар бир пакетда 2 та олма бор.

Масала талаблари:

1. Пакетларда жами нечта конфет келтирилган?

2. Пакетларда жами нечта печенье келтирилган?

3. Пакетларда жами нечта олма келтирилган?

Масала шартида объектлар орасидаги мик-дор ёки сифат муносабатлари берилади. Талаблар эса купинча савол шаклида ифодаланади. Шарт ва талаб узаро узвий боFлик булади.

1 Математика. Сборник задач: учеб. пособие для студ. учреждений высш. проф. образования. / Л.П.Стойлова, Е.А.Конобеева, Т.А.Конобеева, И.В.Шадрина. - М.: «Академия», 2012.

2 Burxonov Sattor. Mаtemаtika: исЬшп darslik. / S.Burxonov, O'.Xudoyorov, Q.Norqulova. - Т.:

2016. -72-Ь.

Масалаларни унда баён этилган жараён билан боFлик х,олда куйидаги турларга ажра-тиш мумкин:

1. Турли объектларнинг сон цийматлари орасидаги муносабатларга доир масалалар. Бу каби масалаларга юкорида келтирилган 391-масала мисол була олади.

2. Геометрик мазмундаги масалалар. Бу каби масалаларда кесмаларнинг узунликлари, учбурчак, туFри туртбурчак ва турли геометрик фигуралар элементлари орасидаги муносабат-лар берилади ва уларга боFлик булган бошка микдорларни аниклаш талаб этилади. Мисол сифатида 4-синф математика дарслигидаги3 128-масалани келтириш мумкин.

128-масала. Биринчи кесманинг узунлиги 15 см, иккинчи кесманинг узунлиги 5 см. Биринчи кесма иккинчи кесмадан неча сантиметр узун? Иккинчи кесма биринчи кесмадан неча марта киска?

3. Узунлик, юза, огирлик, вацт каби мицдорларнинг улчов бирликлари орасидаги муносабатларга доир масалалар. Бу масалалар укувчиларда миллиметр (мм), сантиметр (см), детциметр (дм), метр (м), километр (км) каби узунлик; квадрат миллиметр (мм2), квадрат сантиметр (см2), квадрат детциметр (дм2), квадрат метр (м2), гектар (га) каби юза; грамм (гр), килограмм (кг), пуд, центнер (цн), тонна (т) каби оFирлик; секунд (сек), минут (мин), соат (с), сутка, ой, йил, аср каби вакт улчов бирликлари х,акидаги билимларни шакл-лантириш ва ривожлантиришни кузда тутади. Улар ёрдамида укувчилар бир турдаги улчов бирликлари орасидаги муносабатларни узлаш-тирадилар ва уларни куллаш куникма ва мала-каларини эгаллайдилар. 3-синф математика дарслигидан4 мисол келтирамиз.

3 Bikbayeva ^и. Matematika: ититну о'И:а ta'lim maktablarining 4-sinfi uchun darslik. / N.U.Bikbayeva, E.Yangabayeva, K.M.Girfanova. Qayta ishlangan va rilgan 4-nashri. - Т.: «О^^сЫ», 2017. -31-Ь.

4 Burxonov Sattor. Mаtemаtika: uchun darslik. / S.Burxonov, O'.Xudoyorov, Q.Norqulova. - Т.: <^1ла^», 2016. -108-Ь.

ЗАМОНАВИЙ ТАЪЛИМ / СОВРЕМЕННОЕ ОБРАЗОВАНИЕ 2018, 6

573-масала. Мактабда х,ар бир дарс 45 минутдан давом этади. Биринчи ва иккинчи дарсдан кейин 5 минут танаффус, учинчи дарс-дан кейин эса 15 минут танаффус булади. Биринчи дарс бошлангандан туртинчи дарс тугагунча канча вак,т утади?

4. Улушларга доир масалалар. Агар матнли масалада кандайдир микдор берилиб, унинг бирор кисмини топиш талаб этилса ёки микдорнинг кисми берилиб, унга кура бутун микдорни топиш талаб этилса, бундай масала улушларга доир масала булади. Уларни ечиш давомида укувчилар касрларга доир мавзу-ларни укитишга тайёрлаб борилади. 4-синф математика дарслигидан1 мисол келтирамиз.

21-масала. Бола узида бор пулнинг учдан бири - 120 сумга дафтар сотиб олди. Болада аввал неча сум булган?

5. ^аракатга доир масалалар. Жисм х,ара-кати турли мазмундаги, шу жумладан, улушларга оид масалаларнинг х,ам асосий объекти булиши мумкин. Бирок х,аракатга доир алох,ида масалалар турини ажратиш мумкин. Бундай масалалар босиб утилган йул - s, х,аракат тез-лиги - v, х,аракатланиш вакти - t лар орасидаги муносабатга асосан ечилади. Бунда х,аракат текис туFри чизикли деб каралади.

Харакатга доир масалаларда битта ёки иккита жисм х,аракати х,акида суз бориши мумкин. Агар масалада иккита жисм х,аракати х,акида суз борса, жисмлар х,аракатининг йуналишига кура масалани куйидагича тур-ларга ажратиш мумкин:

- х,аракатланаётган жисмларнинг учраши-шига доир масалалар;

- иккита жисмнинг бир йуналишда х,ара-катланишига доир масалалар;

- иккита жисмнинг карама-карши йуналишда х,аракатланишига доир масалалар.

Мисол сифатида охирги турга кирувчи масалани келтирамиз.

• Иккита «Нексия» автомобили бир киш-локдан бир вактда карама-карши йуналишда йулга чикди. Биринчиси 1 соатда 90 км, иккин-чиси эса 1 соатда 80 км йул босади. Автомо-биллар шу тарзда юрса, 2 соатдан кейин улар орасидаги масофа неча километр булади?

1 Bikbayeva N.U. Matematika: Umumiy o'rta ta'lim maktablarining 4-sinfi uchun darslik. / N.U.Bikbayeva, E.Yangabayeva, K.M.Girfanova. Qayta ishlangan va to'ldirilgan 4-nashri. - T.: «O'qituvchi», 2017. -184-b.

Баъзи матнли масалаларда дарёда х,аракат-ланаётган жисмлар х,ак,ида гапирилади. Бундай масалаларни дарё окими буйича ва окимга карши х,аракатланаётган жисмлар х,акидаги масалалар каби турларга ажратиш мумкин.

5. Бажарилган иш, савдо-сотиц ва бошца жараёнларга доир масалалар. Юкорида айтилганидек, х,аракатга доир масалалар босиб утилган йул, х,аракат тезлиги ва х,аракатланиш вакти орасидаги муносабатга асосан ечилар эди. Баъзи масалаларда эса бажарилган иш, савдо-сотик каби жараёнлар х,акида суз юри-тиладики, бу жараёнлар х,ам узаро узвий алокада булган учта микдор билан характерла-нади. Масалан, бажарилган иш мех,нат унум-дорлиги, иш вакти ва бажарилган иш х,ажми каби микдорлар орасидаги боFланишни, савдо-сотик эса битта мах,сулот нархи, мах,сулотлар сони ва туланган жами сум каби микдорлар орсидаги боFланишни ифодалайди. Шу сабабли бу каби масалаларни ечиш усули х,аракатга доир масалаларни ечиш усулидан фарк килмайди2.

6. Мантикий топшириклар, кизикарли масалалар ва бошкотирмалар. БошланFич синфлар математика дарсликларида куйидаги мазмундаги масалалар бошкотирма сифатида берил-ган.

• Лифт 1-каватдан 3-каватга кутарилганда 8 м масофани босиб утади. 1-каватдан 9-каватга кутарилганда лифт неча метр масофани босиб утади?

• Бир сутка давомида соатнинг минут мили соат мили билан неча марта устма-уст тушади? Неча марта узаро туFри бурчак х,осил килади?

Матнли масалаларнинг бу тури укувчилар-нинг математик тафаккури ва мантикий фикр-лаш кобилиятини ривожлантиришда мух,им роль уйнайди. Шу сабабли бундай масалаларни бошланFич синфлар математика дарслари ва синфдан ташкари машFулотларда мунтазам ечиб бориш максадга мувофик.

Укувчиларни х,ар бир турга тегишли булган масалаларни ечишга ургатиш маълум бир методик усулни куллаш ва алох,ида ёндашишни талаб этади. Биз куйида барча турлар учун уму-мий булган матнли масалаларни ечишда моделлаштиришдан фойдаланиш, моделлаш-

2 Стойлова Л.П. Математика: учебник для студен. учреждений высш. образования. 4-е изд., стер. - М.: «Академия», 2014. -С. 205-212.

ЗАМОНАВИЙ ТАЪЛИМ / СОВРЕМЕННОЕ ОБРАЗОВАНИЕ 2018, 6

1-схема. Масалани моделлаштириш жараёни.

тириш турлари х,акидаги фикрларимизни баён этамиз. Хар бир турга тегишли масалаларни ечишда моделлаштиришни куллаш муаммола-рини кейинги изланишларимизга колдирамиз.

Маълумки, бошланFич синфлар математика дарсликларида берилган масалалар уни ечиш жараёнида кулланиладиган амаллар сонига караб содда ёки мураккаб матнли масала булиши мумкин.

Услубий жих,атдан содда масала - «бир кадам»да, яъни битта амал куллаб ечиладиган масаладир. Агар масалани ечиш давомида икки ёки ундан ортик амални бажариш керак булса, бундай масала мураккаб масала булади.

Матнли масалани ечиш учун мазмунида баён этилган х,одиса, жараённи математика тилига утказиш, яъни масаланинг математик моделини яратиш керак.

Психологик нуктаи назардан, матнли масалани ечиш - моделлар тизими ва моделлашти-ришнинг бир даражасидан умумлашган бошка даражасига утиш кетма-кетлигини излаш, уни кайта ифодалаш жараёнидир. Кайта ифода-лашда математик фикрлаш шакли анализ килишдан иборат булиб, синтез оркали амалга оширилади, яъни каралаётган объект (х,одиса, жараён)ларнинг янги жих,атлари намоён булади.

Моделлаштиришнинг мох,ияти шундан ибо-ратки, дастлаб бирор бир объектни (биз караётган х,олда матнли масалани) тадкик килиш учун маълум жих,атлари унга ухшаш булган бошка объект танланиб, тадкик килинади ва унинг ёрдамида куйилган муаммо ечилиб, сунгра олинган натижа дастлабки объектга нисбатан татбик этилади.

Агар масала арифметик усул билан ечилаёт-ган булса, унинг математик модели сонли ифода, алгебраик усулда ечилганда эса тенг-лама (тенгламалар системаси)дан иборат булади.

Масалани моделлаштириш билан боFлик булган куйидаги учта боскични курсатиш мумкин:

- I боскич - масаланинг математик моделини к,уриш (бунда берилган ва номаълум булган микдорлар ажратилиб, улар орасидаги муносабат математик усулда ифодаланади);

- II боскич - модель устида ишлаш (сонли ифоданинг кийматини топиш, амалларни бажариш, тенгламани ечиш);

- III боскич - топилган ечимни масала тилига утказиш (масалада куйилан саволга жавоб бериш).

Бизнинг педагогик тажрибаларимиз шуни курсатмокдаки, укувчиларга матнли масала-ларни ечишни ургатишдаги асосий муаммо I боскични амалга оширишда купрок учрайди. Натижада укувчилар масалани ечиш учун керакли арифметик амални танлаш, масалани киска ёзувда ифодалаш, матнга мос математик ифодани тузиш, яъни масаланинг математик моделини тузиш каби ишларни бажаришда кийналадилар.

Уларни бартараф этиш учун расм, жадвал, чизма, схема ва шу каби ёрдамчи моделлардан фойдаланиш мумкин. Бу х,олда масалани моделлаштириш жараёнини 1-схемадагидек ифодалаш мумкин.

Ёрдамчи моделлар турли объект ва пред-метлар (тугма, гугурт кутиси, ко*оз тасмалар, расмли карточкалар ва бошкалар)дан ташкил топган булиши ёки расм, шартли расм, чизма, схематик чизма деб номланган график модел-лардан иборат булиши мумкин.

График моделлар масала шартини кургаз-мали ифодалашда мух,им роль уйнайди. Куйидаги масалани курайлик.

• Акбар 5 та, Козим эса ундан 4 та куп байрокча ясади. Козим нечта байрокча яса-ган?

Масаланинг расмли ва шартли расмли моделларини 1- ва 2-расмлардаги каби ифода-лаш мумкин.

Масалани чизма оркали моделлаштиришда эса энди бирлик кесма олиниб, унинг ёрдамида масаладаги микдорий муносабатлар ифодаланади (3-расм).

ЗАМОНАВИЙ ТАЪЛИМ / СОВРЕМЕННОЕ ОБРАЗОВАНИЕ 2018, 6

52 МАКТАБ ТАЪЛИМИ I ШКОЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

1-pacM. Macaлaнинг pacмли модели.

2-pacM. Macaлaнинг шapтли pacмли модели.

5 та А^-

4 та ортиц

5 та

4 та ортиц

"JDDDDÏÏDDÏÏ,

3-pacм. Macaлaни чизмa oprçaли мoделлaштиpиш.

4-pacм. Macaлaни cхемaтик чизмa oprçaли мoделлaштиpиш.

Al I I I I I

Kl I I I I I I I I I

4-v-'

5 та

5-pacм. Macaлa модели.

3 та

Cxeмaтик чизмэ билэн мoдeллaштиpишдa микдopлap opacидaги мунocaбaтлap умумий x1oлдa ифoдaлaнaди (4-pacм).

Гpaфик мoдeллaштиpишдa мacaлaдa cyз юpитилaëтгaн пpeдмeт вa нapcaлapнинг xуcу-cиятлapи иккинчи плaнгa cуpилиб, фaкaтгинa улapнинг микдopий жиx1aтлapи oлдингa чикaди, нaтижaдa aбcтpaктлaштиpиш юзaгa кeлaди.

Ушбу мacaлaни кypaйлик.

• Пoeзднинг биpинчи вaгoнидaги йyлoв-чилap coни иккинчи вaгoндaги йyлoвчилapдaн 2 мapтa куп. Нaвбaтдaги бeкaтдa биpинчи вaгoндaн 3 йyлoвчи тушиб кoлди. Иккинчи вaгoнгa э^ 7 йyлoвчи yтиpди. Шундaн cyнг

6-pacм. Maшrç шapти.

вaгoнлapдaги йyлoвчилap coни тeнг булди. Дacтлaб биpинчи вaгoндa нeчтa йyлoвчи бyлгaн?

Macaлa шapтидaн куйидaгилap мaълум:

- биpинчи вaгoндaги йyлoвчилap coни иккинчи вaгoнгa кapaгaндa 2 мapтa куп;

- биpинчи вaгoндaн 3 йyлoвчи тушиб ^лди;

ЗАMOНАВИЙ TАЪЛИM I COВPEMEННOE OБPАЗOВАНИE 2018, б

7-расм. Унликдан утиб к,ушишга доир машк,лар.

8-расм. К,ушиш амали ёрдамида ечиладиган масала модели.

9-расм. Айриш амали ёрдамида ечиладиган масала модели.

- иккинчи вагонга 7 та йуловчи утирди;

- вагонлардаги йуловчилар сони тенг-лашди.

Бу маълумотлар асосида масала моделини тузамиз (5-расм).

Чизмадан масаланинг математик модели 7+3 эканини аниклаймиз. Хисоблашни бажа-риб, иккинчи вагонда дастлаб 10 та йуловчи булганини топамиз.

БошланFич мактабнинг амалдаги математика дарсликларида укувчиларга матнли маса-лаларни моделлаштириш куникмаларини шакл-лантиришга йуналтирилган куплаб машклар мавжуд. Уларда математик модель х,амда унга мос расмли, шартли расмли, чизмали, схематик чизмали моделлар берилган булиб, укувчи-лардан уларни ифодаловчи масала тузиш ва уни ечиш талаб этилади. Бу каби машкларни бажаришда укитувчи укувчилар эътиборини берилган моделларда кандай микдорлар маъ-лум, кандай микдорлар номаълум эканлиги, улар орасида кандай муносабатлар мавжудли-гини аниклаш х,амда масала шартларини тур-лича ифодалаш мумкинлигига каратиши лозим.

2-синф математика дарслигида 6-расмдаги каби машк берилган (6-расм)1.

Сонларни иккита кушилувчининг йиFиндиси шаклида ёзишнинг бу усулидан унликдан утиб кушишни ургатишга доир 7-расмдаги машкларни ечишда фойдаланилган.

Бу каби машкларни ечиш укувчиларга моделлаштиришнинг график турини ургатиш учун замин яратади. Маълумки, содда масала-ларни ечишни ургатишнинг дастлабки бос-кичида уларни ечиш учун кушиш ёки айириш амаллари кулланилади. Агар масала кушиш амали ёрдамида ечилса, унинг модели 8-расм-даги каби булади.

Айриш амали билан ечиладиган масала модели 9-расмда берилган.

Матнли масалани моделлаштиришда тегишли амални туFри танлашга алох,ида ах,а-мият бериш керак. Масала матнида учрайдиган «купрок», «ортик», «учиб келди», «биргаликда» ва бошка шу каби сузлар укувчиларни кушиш амалини куллашга, «кам», «учиб кетди», «сотилди» сузлари айириш амалини куллашга ундайди. Микдорлар орасидаги муносабатлар билвосита берилган масалалар х,ам учрайди.

1 Abdurahmonova N. Маtematika: umumiy o'rta ta'lim maktablarining 2-sinfi uchun darslik / N.Abdurahmonova, L.O'rinboyeva. - T.: «Yangiyo'l Poligraf Servis», 2016. -21-b.

• Биринчи тупда 9 та дафтар бор. Бу иккинчи тупдагидан 3 та кам. Иккинчи тупда нечта дафтар бор?

• Биринчи тупда 9 та дафтар бор. Бу иккинчи тупдагидан 3 та ортик,. Иккинчи тупда нечта дафтар бор?

1-масалада «кам» сузи ишлатилгани учун укувчилар 9-3 ифодани назарда тутган х,олда 11-расмдаги каби, 2-масалада «куп» сузи ишлатилгани учун 9+3 ифодани назарда тутган х,олда 10-расмдаги каби нотуFри моделларни тузишлари мумкин:

10-расм. 11-расм.

( Л

н^ьи

V_J

Шунинг учун укитувчи бу уринда зарур тушунтиришларни олиб бориб, укувчилар томонидан йул куйилган хатоликни тузатиши ва 1-масаланинг модели 10-расмдаги каби, 2-масаланинг модели 11-расмдаги каби булишини курсатиши керак.

Хулоса килиб айтиш мумкинки, матнли масалалар бошланFич синфлар математика

курси мазмунининг салмокли кисмини ташкил этади. Уларни ечиш натижасида укувчиларнинг математик тафаккури ва мантикий фикрлаш кобилияти шаклланади х,амда ривожланади.

Матнли масалаларда бирор-бир х,одиса, вокеа, жараёнлар сузлар билан ифодаланган булиб, уларга боFлик х,олда масалаларни тур-ларга ажратиш мумкин.

Матнли масалани ечишда, аввало, унинг математик модели (сонли ифода ёки тенглама) тузиб олинади ва унга асосланган х,олда зарур х,исоблаш ишлари бажарилади. Аксарият х,олларда укувчилар масаланинг математик моделини тузишда кийинчиликка учрайдилар. Бу кийинчиликни бартараф этишда расм, шартли расм, чизма ва схематик чизма каби ёрдамчи моделларни куллаш яхши самара беради.

Укувчиларда ёрдамчи модель тузиш куникма ва малакаларини шакллантиришда куйидаги услублардан фойдаланиш максадга мувофик:

1. Хар бир масалани ечиш жараёнида унга мос келувчи ёрдамчи модель тузиш йулларини атрофлича тушунтириб бориш.

2. Тузилган моделдан фойдаланиб масала ечилгач укувчиларга тузилган моделни бошка куринишдаги моделларга утказишга доир топ-шириклар бериб бориш.

3. Хар бир график моделга мос келувчи масала тузишни ургатиш ва мустакил бажариш учун шундай топшириклар бериш.

г \

V_У

Адабиётлар руйхати:

1. Abdurahmonova N. Маtematika: umumiy o'rta ta'lim maktablarining 2-sinfi uchun darslik. / N.Abdurahmonova, L. O'rinboyeva. - T.: «Yangiyo'l Poligraf Servis», 2016.

2. Bikbayeva N.U. Matematika: umumiy o'rta ta'lim maktablarining 4-sinfi uchun darslik. / N.U. Bikbayeva, E. Yangabayeva, K. M. Girfanova. Qayta ishlangan va to'ldirilgan 4-nashri.

— T.: «O'qituvchi», 2017.

3. Burxonov S. Matematika: 3-sinf uchun darslik. / S.Burxonov, O'.Xudoyorov, Q.Norqulova;

- T.: «Sharq», 2016.

4. Математика. Сборник задач: учеб. пособие для студ. учреждений высш. проф. образования. / Л.П,Стойлова, Е.А.Конобоеева, Т.А.Конобоеева, И.В.Шадрина. - М.: «Академия», 2012.

5. Стойлова Л.П. Математика: учебник для студен. учреждений высш. образования. 4-е изд., стер. - М.: «Академия», 2014.