Бороздчатый рельеф пластически подрастающего эллиптического отверстия Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.74375

Бороздчатый рельеф пластически подрастающего эллиптического отверстия

М.Е. Кожевникова

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия

Рассматривается толстая пластина с эллиптическим отверстием, растягиваемая на бесконечности однородными усилиями. При пластическом подрастании эллиптическое отверстие на микроскопическом уровне имеет характерный бороздчатый рельеф, формирующийся по механизму периодического расслоения — разрыва. В результате расслоения вдоль ножевых границ упорядоченных структурных фрагментов в зоне пластичности образуются параллельно расположенные микроэллипсы расслоения. Для определения критического значения внешних усилий, при превышении которого произойдет разрыв перемычки между фронтом эллиптического отверстия и микроэллипсом расслоения, используется модифицированная модель Леонова-Панасюка-Дагдейла. Построен достаточный критерий прочности, состоящий из деформационного критерия и силового критерия Нейбера-Новожилова. При реализации критерия Нейбера-Новожилова учтен процесс исчерпания пластичности при плоскодеформированном состоянии на линии продолжения большой оси эллиптического отверстия. Из условия конечности напряжений в вершине ближайшего к эллиптическому отверстию микроэллипса расслоения определена глубина бороздок.

Ключевые слова: бороздки, достаточный критерий прочности, деформационный критерий прочности, критерий Нейбера-Новожилова, критические параметры разрушения, макроэллипс, микроэллипс

Striated relief of a plastically growing elliptical hole

M.E. Kozhevnikova

Lavrentiev Institute of Hydrodynamics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia

The object under study is a thick plate with an elliptical hole in uniform tension at infinity. On the microscale, the plastically growing elliptical hole reveals a characteristic striated relief formed through periodic delamination — rupture. The delamination gives rise to parallel delamination microellipses along the knife-edge boundaries of ordered structural fragments in the plasticity zone. The critical external forces above which the bonding between the elliptical hole front and the delamination microellipse is ruptured is determined using a modified Leonov-Panasyuk-Dugdale model. A sufficient strength criterion comprising the strain criterion and Neuber-Novozhilov force criterion is derived. In realization of the Neuber-Novozhilov criterion, account is taken of plasticity exhaustion in the plane strain state on the continuation line of the major axis of the elliptical hole. The striation depth is estimated from the finite stress condition at the vertex of the delamination microellipse nearest to the elliptical hole.

Keywords: striations, sufficient strength criterion, strain strength criterion, Neuber-Novozhilov criterion, critical fracture parameters, macroellipse, microellipse

1. Введение

В физике прочности и пластичности учет структурных уровней деформации позволяет рассматривать металлический образец как систему, содержащую различные подсистемы, которые непрерывно флуктуируют. В некоторый момент, названный особой точкой или бифуркацией, флуктуации могут усилиться настолько, что станет возможен переход системы на более высокий уровень упорядоченности. Такие упорядоченные структуры формируются в процессе пластической деформа-

ции, например, в условиях циклических или других видов нагружения и не зависят от химического состава материала и его структуры.

На микроскопическом уровне пластически подрастающая трещина в условиях одноосного растяжения имеет характерный бороздчатый рельеф, аналогичный рельефу на поверхности усталостной трещины, формирующийся по механизму периодического расслоения — разрыва [1, 2]. Расслоение пластически деформируемого материала возникает вследствие множественного

© Кожевникова М.Е., 2012

образования хрупких микротрещин, ориентированных параллельно оси растяжения. Согласно экспериментальным данным, относящимся к молибдену, в чистом, не содержащем инородных включений материале, микротрещины располагаются не произвольно, а только в стыках упорядоченных структурных фрагментов и распространяются вдоль их границ. В большинстве своем в состав стыка входит ножевая граница деформационного происхождения. Микротрещины даже в очень пластичных металлах (А1, Ag) возникают взрывоподобно — хрупко.

Центрами образования микротрещин в пластически деформированном материале становятся микропоры. Доказательство того, что всякая пластическая деформация должна сопровождаться остаточным монотонным увеличением объема, которое физически можно истолковать как образование в теле микропор, т.е. как пластическое разрыхление, приводится в работе [3].

Процесс формирования бороздчатого рельефа на поверхности пластически подрастающей трещины происходит в два этапа: хрупкое первичное разрушение и пластичное вторичное разрушение [2]. При хрупком первичном разрушении перед фронтом трещины формируется регулярная фрагментированная структура с ножевыми границами, параллельными оси растяжения и отстоящими одна от другой на расстоянии X (рис. 1, а). Для субзеренного молибдена X = 3-5 мкм. В результате расслоения вдоль ножевых границ образуются параллельные трещины расслоения (микротрещины) (рис. 1, б). Микротрещины имеют линзовидную эллипсоидальную форму и раскрываются вдоль линий, параллельных оси растяжения [2]. Средний размер микротрещин для субзеренного молибдена — 1 мкм. При пластичном вторичном разрушении происходит разрыв между расслоением и фронтом трещины. В результате чего образуется Т-образная вершина трещины (рис. 1, в), что приводит к резкому уменьшению напряжений, действующих по нормали к трещине. Скачкообразность роста трещины связана с исчерпанием пластичности в некоторой малой окрестности вершины тре-

Рис. 1. Этапы формирования бороздчатого рельефа пластически подрастающей трещины: формирование фрагментированной структуры (а), расслоение вдоль ножевых границ (б), разрыв перемычки между расслоением и фронтом трещины (в)

щины. Таким образом, микрорельеф излома будет состоять из чередующихся зон первичного и вторичного разрушения — впадин и вершин бороздок.

Наиболее вероятный сценарий, описывающий процесс исчерпания пластичности у вершины трещины при плоскодеформированном состоянии, заключается в следующем. В начальные моменты нагружения в непосредственной близости к вершине трещины возникают большие напряжения, способствующие образованию пластических деформаций. С их ростом коэффициент Пуассона V также растет и приближается к величине 1/2. С этого момента на линии продолжения трещины реализуется состояние трехосного растяжения [1, 4]. Согласно представлениям физической мезомеханики, в областях гидростатического растяжения происходит неупругое деформирование за счет структурных превращений и возникает область образования несплошностей разного масштаба, микропор трещин [5].

Изменение коэффициента Пуассона с ростом пластических деформаций подтверждают многочисленные опыты на простое растяжение. В работе [6] испытали на растяжение отожженные образцы из низкоуглеродистой стали и получили рост коэффициента Пуассона до значения 0.43-0.44. Путем измерения плотности деформированных и недеформированных образцов из стали марок 40 и 45 [7] показано, что коэффициент Пуассона достигает величины 0.47. При растяжении сплошных цилиндрических образцов из стали марок 40 и 45 и алюминия [4] коэффициент Пуассона при пластическом деформировании отличался от 0.5 менее чем на 10 %.

Экспериментальные данные подтверждает и анализ пластической зоны у вершины трещины нормального отрыва. Оценить приближенно форму и размеры пластической зоны для трещины можно, воспользовавшись критерием текучести Мизеса, который для плоской деформации в полярной системе координат (г, 0) записывается в виде:

гр(0) =

К 2

4ла„

—sin 0+ (1 - 2v) (1 + cos 0)

(1)

где гр(0) определяет размер зоны пластичности; К1 = о^п10 — коэффициент интенсивности напряжений; сту — предел текучести материала. При 0 = 0, V = 0.5 из формулы (1) следует гр(0) = 0. Таким образом, при плоской деформации на линии продолжения трещины при определенных условиях нагружения может реализоваться напряженное состояние трехосного растяжения, когда пластическая зона практически не может быть образована. На основе этого утверждения в дальнейшем будет построен силовой критерий Нейбе-ра-Новожилова.

Отметим, что плоская деформация в смысле исчерпания пластичности, особенно в локальных областях, трудно реализуема. Идеальность подхода оправдана от-

носительно более простыми расчетами по сравнению с вычислениями, которые имели бы место для пространственной деформации.

В рамках линейной упругости двумерные задачи о взаимодействии отверстий рассмотрены в ряде работ. В работе [8] отмечено, что в реальных материалах поры имеют существенно нелинейную форму и все расчеты выполнялись с использованием моделирования дефектов эллиптическими отверстиями в рамках линейной теории упругости. Двумерные задачи о концентрации напряжений около отверстия, которое образуется (раскрывается) в теле с большими начальными деформациями и принимает эллиптическую форму в конечном состоянии, были решены в [9] с использованием теории многократного наложения больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах.

При решении упругопластической задачи о растяжении тонкой пластины с трещиной в работе [10] использовалась модифицированная модель Леонова-Панасю-ка-Дагдейла, когда зона предразрушения занимает прямоугольник, а напряжения в окрестности вершины трещины определяются коэффициентом интенсивности напряжений. В работе [11] для упругопластической задачи

о чистом растяжении тонкой пластины с эллиптическим отверстием выполнена модификация модели Леонова-Панасюка-Дагдейла для эллипса без учета пластического разрыхления.

В настоящей статье рассматривается плоская упругопластическая задача о растяжении толстой пластины с эллиптическим отверстием и упорядоченной системой микропор в пластически деформированном материале в постановке, аналогичной постановке Леонова-Пана-сюка-Дагдейла. Учитывая процесс исчерпания пластичности в узкой зоне вдоль линии продолжения большой оси эллиптического отверстия, критерий Нейбера-Новожилова реализован на интервале осреднения, непосредственно примыкающем к вершине эллиптического отверстия.

2. Постановка задачи

Рассмотрим неограниченную толстую пластину с эллиптическим отверстием, в дальнейшем именуемым макроэллипсом. Длина большой оси макроэллипса 2/0, р — радиус кривизны в вершине макроэллипса А (рис. 2). Пластину на бесконечности растягивают однородными симметричными относительно срединной плоскости усилиями интенсивностью . В результате процессов нелинейного деформирования перед вершиной макроэллипса вследствие расслоения вдоль ножевых границ образуются параллельные микроэллипсы с радиусами закругления р(г) << р (;' = 1, ..., п) в вершинах А{. Количество микроэллипсов п = [Д/А,], где Д — длина зоны предразрушения перед вершиной макроэллипса; А — расстояние между центрами микроэллипсов.

Центры макроэллипса, і-го микроэллипса совпадают с началами декартовых систем координат Оху, 0(* )х(і)у(г) соответственно. Макроэллипс, і-й микроэллипс ориентированы вдоль осей Оу, 0(г ) х(г) соответственно. Большая ось макроэллипса длины 2/0 перпендикулярна растягивающей нагрузке. Большая ось г-го микроэллипса длины 2/0* ) параллельна растягивающей нагрузке (рис. 2). Предполагается, что длина малой оси і-го микроэллипса, равная 2Ь, соответствует диаметру поры и одна и та же для любого і. Длины больших осей микроэллипсов уменьшаются по мере удаления микроэллипсов от вершины макроэллипса. Напряжения, вызванные наличием в пластине макроэллипса, быстро убывают при удалении от его вершин, что соответствует закону затухания. Этим объясняется разная длина больших осей микроэллипсов. При разрыве первой перемычки длины А между вершиной макроэллипса и первым микроэллипсом происходит перераспределение напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины макроэллипса. В результате чего длины микроэллипсов изменяются следующим образом: /02) = /0\

/0*+1) = /0*^ •••, /0й+1) = /0Я) (появляется новый микроэллипс длины /0”+1) за счет смещения пластической зоны). Таким образом, бороздчатый рельеф пластически подрастающего макроэллипса будет характеризоваться бороздками одинаковой глубины.

Определим критическое значение внешних усилий, при превышении которого произойдет разрыв первой перемычки.

Для решения поставленной задачи воспользуемся модифицированной моделью Леонова-Панасюка-Даг-дейла для эллипса [11].

В модифицированной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла реальный макроэллипс со свободными от напряжений поверхностями подменяется фиктивным макроэллипсом. Длины больших осей реального и фиктивного макроэллипсов 2/0 и 2/ = 2(/0 + Д) соответственно (Д — заранее неизвестная длина зоны предразруше-

'' х 1«--------------------------------------------------*1

II І І II 14 І І І І І І І І II І І II І I

Рис. 2. Схематическое представление модифицированной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла

ния). Концевые области фиктивного макроэллипса в модели Леонова-Панасюка-Дагдейла при /0 < | у | < / заполнены пластически деформированным материалом, скрепляющее действие которого может быть эквивалентно заменено стягивающим напряжением, действующим на поверхности контура макроэллипса при /0 < | у| < /, равным пределу текучести материала сту (рис. 2). Поскольку в нашем случае внутри концевых зон фиктивного макроэллипса располагается ряд микроэллипсов, модель Леонова-Панасюка-Дагдейла несколько видоизменяется. На границах микроэллипсов при | у(г)| < Ь будут действовать стягивающие напряжения сту, препятствующие росту микроэллипсов.

Таким образом, решение упругопластической задачи для тела с группой эллиптических отверстий сводится к граничной задаче теории упругости.

Неизвестными параметрами, характеризующими процесс деформирования, являются: критическое значение внешних напряжений ст2, критическая длина зоны предразрушения Д*, длины больших осей микроэллипсов 2/0*) (нас интересует только полудлина /0^, поскольку именно она определяет глубину бороздки).

Критические параметры ст2, Д* определим из системы уравнений, соответствующей достаточному критерию прочности для макроэллипса. Достаточный критерий прочности включает в себя силовой критерий Ней-бера-Новожилова

1

/0 +А —Ъ

А — Ъ

}стх (°, у)ду = сту

(2)

и деформационный критерий

2£(х*, /0) = К. (3)

Длину /01) найдем из условия конечности напряжений в вершине первого микроэллипса

стх (/0 + А, /01)) + ст® (/0 + А, /01)) = . (4)

В критерии Нейбера-Новожилова (2) нормальные напряжения на линии продолжения реального макроэллипса стх (0, у) находятся из условия отсутствия участка зоны пластичности на интервале осреднения А, что соответствует процессу исчерпания пластичности у вершины макроэллипса. Отсутствие пластической компоненты напряжений приводит к резкому изменению напряжений в непосредственной близости от вершины макроэллипса. Но, согласно закону затухания, размер этой зоны невелик. Силовой критерий Нейбера-Новожилова (2) позволяет получить среднее значение напряжений на интервале осреднения в случае, когда радиус кривизны в вершине фиктивного макроэллипса мал настолько, что значение нормального напряжения в вершине реального макроэллипса выше «теоретической прочности» материала. Под «теоретической прочностью» понимаются однородные напряжения сцепления, равные пределу текучести материала ст у.

В деформационном критерии (3) 2£(х*, /0) — раскрытие фиктивного макроэллипса в вершине реального макроэллипса, определяемое в рамках модели Леонова-Панасюка-Дагдейла; к0 = h (ер — ее) — критическое раскрытие в вершине реального макроэллипса, h — поперечный размер зоны пластичности в вершине реального макроэллипса; ее = сту/Е и ер — упругая и пластическая деформации соответственно. Величина 2£(х*, /0) соответствует расстоянию, на которое расходятся поверхности реального макроэллипса в его вершине в результате пластической деформации. Задача о структуре конца трещины в плоскодеформированном состоянии с условием пластичности Мизеса была изуче-в работе [12]. Для численного расчета применялся метод конечных элементов. Согласно полученным расчетам, поперечный размер зоны пластичности в вершине реального макроэллипса 2 ст2

к = 0.085п 2/0^. (5)

стУ

Поскольку р(г) << р, /0г) << /0, в соответствии с законом затухания в критериях (2), (3) не учитывается влияние микроэллипсов на напряженно-деформированное состояние в окрестности вершины макроэллипса.

В условии (4) стх (/0 +А, /((1)) — нормальные напряжения в вершине первого микроэллипса в пластине с одним только макроэллипсом, определяемые в рамках модели Леонова-Панасюка-Дагдейла; стХ^(/0 + А, /01)) — нормальные напряжения в вершине первого микроэллипса в пластине с первым микроэллипсом, но при отсутствии макроэллипса и других (п -1) микроэллипсов. Влиянием (п -1) микроэллипсов на напряженно-деформированное состояние в окрестности вершины первого микроэллипса, согласно закону затухания, пренебрегаем. В условии (4) напряжения в вершине первого микроэллипса, вызванные наличием в пластине отверстий, компенсируют друг друга.

Обозначим последовательность действий:

1. Найдем компоненты напряжений и перемещений в произвольной точке пластины с фиктивным макроэллипсом, г-м микроэллипсом.

2. Построим достаточный критерий прочности (2), (3). Из достаточного критерия прочности определим критические безразмерные параметры р* = сту/ст2, Д* = Д*//0 при заданных значениях ее, ер, А, Ь, р//0.

3. Из (4) найдем значение /01), соответствующее критическим параметрам р*, Д*.

В дальнейшем первый микроэллипс будем называть просто микроэллипсом.

3. Определение напряжений и перемещений в произвольной точке пластины с макроэллипсом (реальным, фиктивным), микроэллипсом

Напряжения и перемещения в произвольной точке пластины с эллиптическим отверстием выражаются че-

рез функцию напряжений Эри. Функции напряжений Эри для реального, фиктивного макроэллипсов имеют вид: F = F*, F = F* + F** соответственно. Функция напряжений Эри для микроэллипса имеет вид:

F(1) = F(1)* + F(1)**.

Функции напряжений F*, F(1)* отвечают за распределения напряжений, при которых контуры макроэллипса, микроэллипса свободны от внешних напряжений. Функции напряжений F*, F(1) определяются элементарным напряженным состоянием, возникающим в пластине без отверстий, и добавочным напряженным состоянием, которое создается при наличии отверстий, когда контуры отверстий нагружены растягивающими напряжениями .

Функции напряжений Эри F**, F(1)** моделируют сопротивление пластически деформированного материала внешнему растяжению и описывают распределения напряжений, при которых концевые участки контура фиктивного макроэллипса при l0 < | y | < l и контур микроэллипса при l0 +А,- b < | y| < l0 +A + b нагружены сжимающими напряжениями -сту.

Граничные условия для функций напряжений F *, F**, F(1)*, F(1)** выводятся из условий на контурах соответствующих отверстий.

3.1. Компоненты напряжений и перемещений в произвольной точке пластины с реальным, фиктивным макроэллипсами

Воспользуемся эллиптическими координатами

x1 = (cf/10) sh u cos v,

У1 = (cflI0) ch u sin v, где x1 = x/l0 , y1 = y/l0, 2cf — межфокусное расстояние фиктивного макроэллипса, такое что

(

1 -

Pf 1

/0 1 + Д1

где р£//0 = (1 + Д1)-1 р//0, Д1 = Д//0, Р^ Р — радиусы кривизны в вершине фиктивного, реального макроэллипсов соответственно. При Д1 = 0 в формулах (6) с"21/0 заменяется на с2//^ = 1 -р//0 — межфокусное расстояние реального макроэллипса. Линии и = и0 являются эллипсами с центром в начале системы координат Ох1 у1.

Выразим напряжения и перемещения, действующие в направлении оси Ох1, вычисляемые в точке (х1, у1), в криволинейных координатах и запишем их для плоско-деформированного состояния в виде:

з2 ^ д А 317 д2 ^

+

+ A

(dB, дF „ д2 F дЛ dF , д2 F Л 1 — + B, —т- + —-------------+ A,

ди ди 1 ди2 ди dv 1 dudv

(дв дF „ д2 F дА дF А д2 F Л —1----------+ B------+ —1---------+ А-----

дv ди 1 дuдv дv дv

дv 2

(7)

и,,

S = -¡y(1 +1 V)

E

А дF В< дF Ф

------------+ —1------------+ а—

а.. ди а.. дv а.

(8)

В формулах (7), (8) а = 2(1 -1/V),

, 1 lo и

A = —-------ch и cos v,

hÍ -f

—sh и sin v,

5 = 1 h

1 hÍ -f 2 2 2

h = sh и + cos v — коэффициент искажения,

дА1 _ cos v sh и l0 ди hi cf

дА1 = sin v ch и l0 дv hi Cf

1-

2ch2u

1-

2cos2 v

дВ1 sin v ch и l0

ди hi Cf

дВ^ cos v sh и l0

дv hi, Cf

1-

1+

2sh2u

2 sin2 v

Определим функцию напряжений F = F* + F**. Функция напряжений F *, ее частные производные, а также функция Ф* определены в [13] и имеют вид:

ст С2

F = —22—^(1 + ch (2м) + 2А и +

8 /п

+ 2C*e и sh и + ((-ch (2и) -1 +

+ 2B*e~lu + 2CV“sh u)cos (2v)),

ди

3F_

дv

аи Cf l0

,, (sh (2u) + A* + CV2u + 4 lo2

+ (-sh (2u) - 2B V2u + C*e~2u)cos (2v)),

—f(-ch (2u) -1 + 2B*e-2u + 4 /Г

+ 2C e ushu)sin(2v),

д 2 F * дuдv

a— -f

(9)

= -—f (-sh (2u) - 2B V2u +

2 lo2

+ С e-2u )sin(2v),

д2 F* a -2 2

—Ft = — --(ch (2u) - C e + (-ch (2u) + ди 2 l0

+ 2B*e-2u - C*e-2u) cos(2v)),

д 2 F * дv 2

= -—f (-ch(2u) -1 + 2B*e

2 l2 2 lo

+ 2C*e~ushu) cos (2v),

-2 и

Ф* = ————(shи + C*e u)cosv, 2 l0

+

где

е 2“0(2сШ и0 - сШ м0біп v1 + cos(2v1) +1)

Л* = -1 - сИ(2м0),

= 1/2 е 0 + 34 - 1/4 е

4м0

(10)

с * = 1 + е2 и0

Если в формулах (9) верхний индекс * заменить индексом **, внешнее растягивающее напряжение ст2 — сжимающим напряжением — сту, действующим на концевом участке контура фиктивного макроэллипса при и = м0 и ,и1 < V < и2 (1 <у1< 1 +Д1), получим формулы, определяющие функцию напряжений F**, ее частные производные, функцию Ф**. Величины

1 1

sin V, =-

гА)^ 1+ Д,

!0 1+ Д1

=1.

сг//0 ch М0

Константы А**, В**, С** для функции напряжений F* определяются в [11] и имеют вид:

Л** =■

Ь1 С с1 d1

ал

а

где

в** = а2d 1-У 2 - а2а0 - С**(с2а1 - а2с1) а1Ь 2 -а2Ь1 ’

С** = [(азd 1-а3а0 - а^3)(аЬ2 - а2Ь1) -

- (а^ 1-а2а0 - а2)(а1Ь3 - а3Ь\)] X X [(а1сз -а3с1)(а1Ь2 - а2Ь1) -

- Цс 2-а2С1)(а1Ьз - а3^)Г\

= sh м0(П2 -v1),

= sh м0 sin v1 1

4(sh2u0 + cos2 v1) 4sh и0

-2и0

Ь =--

sh u0sin v1 cos

22 sh и0 + cos v1

+ ch и0 cos v1 sin (2v1) + 1

sh2м0 + cos2 v1

sh иа

2 * —иі\ л

cos Vl sin Vl е 0sh и0 , -и0 т , Л

——2-----------1—^-°(е 0 -2chи0),

2(sh и0 + cos v1)

d1 =

2sh u0sin v1sh(2м0) 02 1 2 0 4(sh и0 + cos v1)

| ch u0cos v1 sin(2v1)(ch(2u0) +1) и

+---------------2---------2------------ сИ и0 >

4(sh и0 + cos v1)

а2 = ch м0 cos v1,

Ь2 = 2е _2и° (sh и 0 sin v1 sin (2v1) -

- Л м0 cos v1 cos (2 v1)),

с2 = 2е соб v1(2sh2u 0 sin2 v1 + Л и 0 cos2 v1 е~и0), d2 = 0, а3 = cth и0(1 - sin v1)|4,

Ьз =

с3 = е Uoshu0cos2v1/2,

d3 = Л2и0 — chu0sin V х(а 0+chu0) +

+ (1 + Л(2и0)) sin2 V ^4 — (ch(2u0) +1)/4.

Функция напряжений Эри F = F * + F ** для фиктивного макроэллипса определена. Напряжения и нормальные перемещения в произвольной точке пластины с деформированным фиктивным макроэллипсом вычисляются по формулам (7), (8).

Напряжения и нормальные перемещения в произвольной точке пластины с реальным макроэллипсом определяются формулами (7), (8) при Д1 = 0, когда F = F *.

з.2. Напряжения и перемещения в произвольной точке пластины с микроэллипсом

Для удобства микроэллипс будем рассматривать в системе координат О(1)х®у® (х(1) = х(1)//01), у® = = у(1)//01}, /01) — длина большой оси микроэллипса).

Определим функцию напряжений Эри F(1) = F(1)* + + F(1)**. Граничные условия для функции напряжений F(1)** выводятся из условий на контуре микроэллипса, нагруженного сжимающими напряжениями — ст у при | у(1)| < Ъ. Следовательно,

F(1) = (1 — ст у/ст2 )F(1)*.

Функция напряжений F(1)*, ее частные производные, а также функция Ф1(1)* определяются формулами (9), (10) при условии, что в этих формулах переменные

и, V, с{//0, постоянные А*, В*, С*, и0 заменены переменными и <■>, V <'> с "’/с («'»/С ч 1—Ъ V о по-

стоянными

а(1)*, в(1 )*, с(1)*

соответственно.

Для того чтобы перевести все результирующие формулы, полученные в системе координат О(1)х®у® для микроэллипса, в формулы, записанные в системе координат Ох1 У1, воспользуемся преобразованием координат

х (1) = х / Ь (1) х1 _ х1 ‘0/ ‘0 ,

У1(1) = (у - / (1)/ /0) /<>//^ (11)

(/(1) = /0 +А-Ь),

где

х® = с(1)//^ бИи(1) соб v(1), у® = с(1)//^ сИи(1) біп v(1). (12)

Подставляя в (11) эллиптические координаты (6), (12),

получим

бИ и(1) =■

1(2 - (1 , 1((2 - (1)2

+ I

2,

Л) с /0С\и біпv -/()//0

біп v(1) = т/-------------------т 0

с (1У /0сИм (1)

+

где

í1 = (-(1)//0)2 - (-/l0ch и sin v -1 (1Vl0)2,

t2 = (-/l0)2sh2u cos2 v.

Таким образом, напряжения в произвольной точке пластины с г-м микроэллипсом сначала определяются в системе координат O(i) х{г) у{г). Затем проводится замена переменных (13).

Перейдем к построению достаточного критерия прочности для макроэллипса (2), (3).

4. Критерий Нейбера-Новожилова для макроэллипса

Нормальные напряжения на линии продолжения большой оси реального макроэллипса при х, = 0, у, ^ 1 вычисляются по формуле (7) и имеют упрощенный вид:

(

ах (0, Уі) = B1

2 с7 А

дB1 дF + д 2 F ди ди 1 ди2

= Т1 + Т 2, (14)

поскольку A-1 = 0, дA1/ ди = 0. В формуле (14)

F F* Т = B двl дF Т = B 2 д 2f

F = F ’ 11 = B1 3 з-, 1 2 = B1 ТТ.

ди ди ди 2

Поскольку

shu =—^(х12 + y2 - -2/10 + cv 2

+ V(х12 + У2 - - Vl02 )2 + 4х12 - Vl02 )1/2,

при х1 = 0 имеем

sin v = 1, shu =y¡y2 іЦ- 2 -1, chu = yLl0/-,

sh(2u) = 2У1 іЦ-2yjУ12 - c2/102,

ch(2u) = 2 У12 іЦ - 2 -1, hi = /07 - 2 sh2u,

e 2u = 2У12 l02/-2 -1 - 2У1102/-2y¡У12 --71<

Тогда

^Bl = У1(1 - 2-V l02)

ди

Учитывая (15), запишем дF * a— -

ди 4 l,2

= a—

Уl^[y[--Щ(1 - B<) +

„2 ( Л* V

+ B * y12 +

2l 2 2l0

a_

2

д2 F* -2

—— = a— -r[ch(2u) - B e

ди2 l02

/-i 2u -i

2B*Уі>/У12 --2/102 +

+ 2yi2(1 - B*) + -r(B* -1) l0

(15)

(16)

Перепишем критерий Нейбера-Новожилова (2) в виде:

1+X-b 1+X-b

I Tidyi + ІТ 2dyi = (X- b)ay,

где

1+X-b

I Tidy =

1

a—B I, +

1

(, 2102 v

1 - ~

v JL

+—¡2a—( a* - 2B*)12+a—(i - b*)i 4 4l0

1+X-b

IT2dyi = 2a—B I3 + 2a— (i - B )14 +

+ ~Ta— (B - L)I5, l0

yidyi

1+X-b

I1 = I

1 ,/(y.2 - - V і«2)3

(i + X - b)2 - 2-2//0 i - 2-2/1(

V1 --Vl<

1+X-b

12 = I

yidyi

V(yi2 - - VІ02)3 1

^(i+X- b)2 - -2/^

1 + X -b

I3 = I

yidyi

I4 = I

л/уі2 - -V l02

д/(і+x - b)2 - -2 ji^ -yj 1 - -2/1 L+X"b yi2dyi =

2

0,

1 У12 - - V l02

=X-b+

1+X-b

I5 = I

2l<\

-ln

dy1

(1 + X- b - ^l0)(1 + -/l0) (1 + X- b + ^l0)(1 - ^l0) 12 l0

(17)

1 =-^-x-

После необходимых преобразований, критерий Нейбе-ра-Новожилова (17) перепишется в виде:

— = #1 + #2, a—

(18)

где

#1 =

1

(

X-b

(

X

*I1 + (1 - B*)14 +

A* - 2B* c_

4 I2

#2 = т\ В % +^ (1 - В*) X-b X-b

(

„2 Л

214 - IT15 l0 0

Таким образом, критерий Нейбера-Новожилова (2) выполняется, если имеет место равенство (18).

X

Таблица 1

Материал єр єе X р* А*

Сталь Н8К18М14 2.65-2 1.65-2 3 •Ш-6 7.57 4. О 1.16 •10-6

5 • 10-6 5.97 1.4 3 1.24 •10-6

Нитевидные кристаллы нитрида алюминия 5. 4.00-2 3 -10-6 7.51 т .0 3. 1.09 •10-6

5 • 10-6 5.86 Т .0 сК 1.21-10-6

Углеродистая сталь 0.3 % С 2.4176-1 1.76-3 3 -10-6 7.49 3.0-3 1.18 •10-6

5 • 10-6 5.85 9.2-3 1.26 •10-6

Углеродистая сталь 0.1 % С 3.3124-1 1.24-3 3 -10-6 7.53 2.9-3 1.19 •10-6

5 •10-6 5.91 9.3-3 1.25 •Ю-6

Алюминиевый сплав Д16 1.84-1 4.00-3 3 •Ш-6 7.52 2.8-3 1.17 •10-6

5 -10-6 5.90 -3 .0 1.24 •10-6

5. Деформационный критерий для макроэллипса

Для реализации деформационного критерия (3) необходимо знать две величины: раскрытие фиктивного макроэллипса в вершине реального макроэллипса 2£(х*, /0) и критическое раскрытие ^ = ^єр -єе) в вершине реального макроэллипса. Перемещения точек фиктивного микроэллипса £(х1, у1) определяются в пункте 3.1. Раскрытие фиктивного макроэллипса 2£( х*,1) в вершине реального макроэллипса вычисляется по формуле (8) при х* = (1 + А1 )(1 - (1 + Д1 )-1 X х /0/р,). Критическое раскрытие ка в вершине реального макроэллипса определяется через поперечный размер зоны пластичности 2h (см. (5)) при у1 = 1 и относительное удлинение пластически деформированного материала.

Перейдем к вычислению критических параметров прочности.

6. Определение критических параметров

Критические параметры прочности р* = ау/а^, А* = А*//0 при заданных значениях єе, єр, X, Ь, р//0 найдем из достаточного критерия прочности (3), (18) методом итераций. Положим начальное значение Д1 (0) = 10-6. Подставляя в силовой критерий (18) значение А1(г) = А і (і -1) + і = 1,..., т (к1 = 0.0001 — шаг, с которым меняется А1 ), при фиксированных параметрах єе, єр, X, р//0 = 10-10 находим значениер(і). Затем для согласованного набора параметров А1 (і), р(і) вычисляем значение функции

0 085п2

/(р(і), А1(і)) = 2^(х*(і),1) -—-^(єр -єе), (19)

р(і)2

где х*(і) = (1 + А1(і))(1 - (1 + А1(і))-1 /0І р,).

Если /(р(і), А1 (і)) = 0, то деформационный критерий (3) выполнен, критические параметры прочности р(і) = р*, А1 (і) = А* найдены. Если /(р(і), А1 (і)) Ф 0, находим следующую комбинацию параметров А1 (і +1),

р(г' +1) и проверяем, имеет ли место равенство

/ (ра+1), д1(»+1))=о.

Определив критические параметры прочности р*, А*!, из условия конечности напряжений в вершине микроэллипса (4) находим длину большой оси микроэллипса 2/((1).

В таблице 1 для разных материалов приведены значения критических параметров прочности и глубин бороздок. Результаты, представленные в таблице, могли быть точнее при условии получения более точной оценки поперечного размера h пластической зоны в вершине макроэллипса, входящей в состав деформационного критерия прочности (3). Для получения уточненной оценки h в условие пластичности Мизеса следовало бы подставить не приближенные формулы для определения напряжений с участием коэффициента интенсивности напряжений К1 (см. (1)), а формулы, определяющие напряжения через функцию напряжений Эри F = F* (см. (7)). Кроме того, в модели Леонова-Панасюка-Даг-дейла не учитывается расширение пластической области, имеющей место при плоской деформации, когда рост пластической области происходит в направлении, составляющем с дефектом угол 45° [14].

7. Заключение

При плоскодеформированном состоянии на микроскопическом уровне пластически подрастающий эллиптический дефект в условиях одноосного растяжения имеет характерный бороздчатый рельеф. Образование бороздчатого рельефа связано с процессом исчерпания пластичности при плоскодеформированном состоянии в узкой зоне, расположенной на линии продолжения большой оси эллиптического отверстия. Построенный достаточный критерий прочности позволил вычислить параметры, характеризующие процесс деформирования и разрушения перемычки между фронтом эллиптического отверстия и ближайшим к нему микроэллипсом

расслоения. Из условия конечности напряжений в вершине ближайшего к эллиптическому отверстию микроэллипса расслоения определена глубина бороздок.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №№ 10-08-00220, 11-08-00191).

Литература

1. Арутюнян P.A. Проблемы деформационного старения и длительного разрушения в механике материалов. - СПб.: Изд-во СПб. ун-та, 2004. - 252 с.

2. Рыбин В.В. Большие пластические деформации и разрушение металлов. - М.: Металлургия, 1968. - 232 с.

3. Новожилов В.В. О пластическом разрыхлении // Прикладная мате-

матика и механика. - 1965. - Т. 29. - № 4. - С. 681-689.

4. Жуков А.М. О коэффициенте Пуассона в пластической области // Изв. АН СССР. Отд. техн. наук. - 1954. - № 12. - С. 86-91.

5. Панин В.Е., Егорушкин В.Е. Неравновесная термодинамика дефор-

мируемого твердого тела как многоуровневой системы. Корпускулярно-волновой дуализм пластического сдвига // Физ. мезомех. -2008. - Т. 11. - № 2. - С. 9-30.

6. Stang A.H., Greenspan M., Newman S.B. Poisson’s ratio of some structural alloys for large strains // J. Res. Nat. Bur. Stand. - 1946. - V. 37. -No. 4. - P. 211-221.

7. Давиденков H.H., Васильева Д.М. О коэффициенте поперечной де-

формации // Заводская лаборатория. - 1952. - Т. 18. - № 5. -C. 596-599.

8. Tsukrov I., Kachanov M. Stress concentrations and microfracturing patterns for interacting elliptical holes // Int. J. Solids Struct. - 1997. -V. 34. - No. 22. - P. 2887-2904.

9. Levin V.A. Repeatedly superimposed large elastic deformations // Int. J. Fract. - 1996. - V. 79. - No. 4. - P. R11-R15.

10. Корнев В.М. Обобщенный достаточный критерий прочности. Описание зоны предразрушения // ПМТФ. - 2002. - Т. 43. - №2 5.-С. 153-161.

11. Кожевникова М.Е. Трещина нормального отрыва с небольшими, относительно широкими пластическими зонами. Модель Леоно-ва-Панасюка-Дагдейла // Физ. мезомех. - 2007. - Т. 10. - № 2. -С. 43-52.

12. Levy N., Marcal P. V, Ostergren W.J., Rice J.R. Small Scale Yielding Near a Crack in Plane Strain: a Finite Element Analysis // Techn. Report NASA NGL 40-002-080/1 to the National Aeronautics and Space Administration, Nov., 1969.

13. Нейбер Г. Концентрация напряжений. - М.-Л.: Гостехиздат, 1947.- 204 с.

14. Сиратори М., Миёси Т., Мацусита X. Вычислительная механика разрушения. - М.: Мир, 1986. - 334 с.

Поступила в редакцию 29.09.2011 г., после переработки 05.04.2012 г.

Сведения об авторе

Кожевникова Марина Евгеньевна, к.т.н., не ИГиЛ СО РАН, [email protected]