CC BY
112
деление. 3. Контекст рациональных рассуждений позволяет распознать смысл скрытой логической информации, и понять, в каком русле следует поводить рассуждения, чтобы видеть логическую цель задания. 4. Основным отличием формализованных рассуждений является наличие логической или математической основы, закрепленной в определении или правилах (но никто не запрещает внутри этим рассуждениям быть рациональными). 5. Рациональные рассуждения не имеют четко выраженной логической, математической, рациональной основы, но они имеют основу здравого смысла, прикладную основу, внутри такого рассуждения или контекста может быть (а может и не быть) какое-то формализованное рассуждение (это отличает и контексты). 6. Типология контекста рациональных рассуждений представлена по двум основаниям: а) по модальности результата. «Модальность - оценка высказывания, данная с той или иной точки зрения. Модальная оценка выражается с помощью понятий «необходимо», «возможно», «доказуемо», «опровержимо», «обязательно», «разрешимо»» [2, 110]; б) по применению результата рассуждения.
Таким образом, типология контекста рациональных рассуждений может быть условно представлена по основанию: модальность результата рассуждения - 1) контекст правдоподобных рассуждений (контекст индукции, контекст рассуждения по аналогии, контекст эксперимента) контекст рассуждения по введению и/или исключению эвристических допущений (контекст действия с учетом заданного эвристического допущения - разгадка, ребус; контекст создания эвристического допущения - поиск закономерности; контекст установления или исключения эвристического допущения - осуществление классификации или отбора содержания)) и 2) контекст свернутых неподробно формализованных рассуждений (контекст математического основания (правило, определение, утверждение) и контекст логического основания (правило, определение, утверждение) и по применению результата рассуждения - контекст внутрипредметного применения, прикладной контекст (физический, вероятностный, комбинаторный и др.), контекст дальнейшего поведения.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Блехман, И.И. Прикладная математика: предмет, логика, особенность подходов / И.И. Блехман, А.Д. Мышкис, Я.Г. Пановко. - Киев: Науково Думка, 1976.
2. Горский, Д.П. Краткий словарь по логике / Д.П. Горский, А.А. Ивин, А.Л. Никифоров; под ред. Д.П. Горского. - М.: Просвещение, 1991.
3. Демидова, Т.Е. Математика: учебник для 1-го класса: в 3 ч. / Т.Е. Демидова, С.А. Козлова, А.П. Тонких. -3-е изд., испр. - М.: Баласс: Школьный дом, 2011. - Ч. 1. - 80 с. - (Образовательная система «Школа 2100).
4. Демидова, Т.Е. Математика: учебник для 1-го класса: в 3 ч. / Т.Е. Демидова, С.А. Козлова, А.П. Тонких. -3-е изд., испр. - М.: Баласс: Школьный дом, 2011. - Ч. 2.- 80 с. - (Образовательная система «Школа 2100).
5. Демидова, Т.Е. Математика: учебник для 2-го класса: в 3 ч. / Т.Е. Демидова, С.А. Козлова, А.П. Тонких. -3-е изд., испр. - М.: Баласс: Школьный дом, 2011. - Ч. 1. - 80 с. - (Образовательная система «Школа 2100»).
6. Демидова, Т.Е. Математика: учебник для 2-го класса: в 3 ч. / Т.Е. Демидова, С.А. Козлова, А.П. Тонких. -3-е изд., испр. - М.: Баласс: Школьный дом, 2011. - Ч. 2. - 80 с. - (Образовательная система «Школа 2100»).
7. Кондаков, Н.И. Логический словарь-справочник / Н.И. Кондаков; под ред. Д.П. Горского. - 2-е изд., испр. и доп. - М.
8. Корикова, Т.М. Справочные материалы по общей методике преподавания математики: учеб. пособие / Т.М. Корикова, А.В. Ястебов; ред. А.Н. Верещагина. - Ярославль: Изд-во Ярослав. гос. пед. ун-та, 2009. -60 с.
9. Макарченко М.Г., Пасечникова Н.В. Логический контекст в текстах учебников по математике для обучающихся в начальной школе.// Языковая личность. Речевые жанры. Текст: материалы Всероссийской молодежной конференции/ отв. ред. И.В. Голубева. - Таганрог, 2014. - 296с.
10. Пасечникова, Н.В. Разнообразная представленность логического контекста в текстах учебников по математике для обучающихся в начальной школе // Отечественная наука в эпоху изменений: постулаты прошлого и теории нового времени: мат-лы II Международ. конф. / отв. ред. Т.А. Филесин. - Екатеринбург, 2014. - 166 с.
11. Пойа, Дж. Математика и правдоподобные рассуждения: пер. с англ. И.А. Вайнштейна / Дж. Пойа; под ред. С.А. Яновского. - 2-е изд., испр. - М.: Наука, 1975. - 464 с.
УДК 621.793 ББК 22.31
В.Н.Сёмин, С.А. Донских
БОРАТНЫЕ СТЕКЛА КАК АКТИВАТОР СПЕКАНИЯ ПОРОШКОВЫХ СИСТЕМ
Аннотация. Рассмотрен процесс активизации процесса спекания порошковых систем бо-ратными стеклами. Показана возможность применения для описания кинетики спекания гидродинамической модели.
Ключевые слова: боратное стекло, активация спекания, кинетика усадки.
15
V.N. Semin, S.A. Donskikh
BORATE GLASS AS A SINTERING ACTIVATOR POWDER SYSTEMS
Abstract. The process of activation of sintering process of powder systems borate glasses. The possibility of application to describe the kinetics of sintering of the hydrodynamic model.
Key words, borate glass, activated sintering, kinetics of shrinkage.
Получение объектов для исследования. Для синтеза стекол использовали PbO; CdO -квалификации ЧДА; В2О3 получали путем обезвоживания метаборной кислоты марки ХЧ. Полученный полутораоксид бора расплавляли и выдерживали при температуре 1273 °С до удаления газовых включений, после чего расплав выливали на металлическую подложку и хранили в обезвоженной атмосфере. Стекла варили в количестве от 10 до 50 г в платиновых тиглях при температурах до 1100 °С в течение 20-60 мин. Для ускорения провара и гомогенизации расплав перемешивали платиновой мешалкой. Осветвленный расплав выливали на подложку из нержавеющей стали. Отсутствие признаков кристаллизации в стеклах при их выработке определяли наблюдением их под микроскопом в проходящем и отраженном свете и рентгенофазовым анализом. Предварительно проведенные перед варкой стекол дериватографические исследования показали, что потери массы при нагревании шихты и варке стекол за счет улетучивания оксида свинца, обладающего высокой упругостью пара, составляют не более 0,70 мол.%. В основном улетучивание наблюдается при нагревании шихты до 600-650 °С и составляет 0,60-0,65 мол.%. После прохождения твердофазных реакций и химического связывания оксида свинца, которое происходит в диапазоне температур от 600 °С до 750 °С, при нагревании расплава до 900 °С потери массы мало -существенны. В первом приближении улетучивание пропорционально молярному содержанию оксида свинца. Потери оксида свинца при варке стекол учитывались при расчетах состава шихты.
Синтезированные стекла измельчали в агатовой ступке, после чего просеивали через сито с 5600 отв / см2.
Для получения керамики использовали монокристаллы Na0 33V2 O5 (ОВБ) [1]. Монокристаллы с добавками предварительно измельченного стекла перетирали в агатовой ступке с добавлением этилового спирта. Шихту измельчали до прохождения через сито № 0047 (56 мкм), после чего из нее брикетировали цилиндры диаметром 10 мм, высотой 10 мм, величина прессования 78 Па.
Прессовка после предварительной просушки помещалась в установку, в которой происходило спекание керамики с одновременным снятием параметров процесса усадки.
После установленного времени обжига проводили охлаждение с последующим определением объемной плотности керамических образцов путем измерения массы и объема.
Методы исследования. Рентгенографические исследования проводились с целью подтверждения обнаруженных в системе новых фаз и интерпретации характера химического взаимодействия в солидусе. Дифрактограммы исследуемых образцов снимали на установке «Дрон-2» с использованием CuKa -излучения с никелевым фильтром. Образцы готовили, в зависимости от поставленной задачи, спеканием или сплавлением соответствующих смесей компонентов, в некоторых случаях с последующим отжигом.
Спектральный анализ является одним из прямых и точных методов изучения структуры вещества. Метод ИК-спектроскопии позволяет наблюдать за динамикой процессов, происходящих в керамике, например, за ходом реакции в твердом теле.
Запись ИК-спектров осуществлялась на приборе UR-20 в области 400-1700 см 1 .
Образцы готовили запрессовкой в таблетки с бромистый калием (2 мг вещества на 300 мг КВг). Точность в определении волновых чисел составляла 2-5 в длинноволновой и 5-10 см 1 в коротковолновой части спектра.
Кинетику спекания Na0 33 V2 O5 исследовали путем измерения размера образцов в процессе
изотермического обжига. Установка состоит из кольцевой печи и расположенной в ней кварцевой трубки, запаянной с одной стороны, в которую помещается измеряемый образец; линейные изменения образца передаются кварцевому стержню и, смещая последний, фиксируются посредством индикатора часового типа. Точность измерения линейных размеров 0,005 мм. Статирование температуры, с точностью ± 0,5 °С, осуществлялось с помощью высокоточного регулятора температуры ВРТ-3. Достоинство способа заключается в том, что проводится непосредственное наблюдение за состоянием образца, когда последний находится в печи.
Информация, полученная в результате комплексного изучения указанными методами стекол свинцово-кадмиево-боратной системы и материалов, полученных на их основе, достаточна для вынесения суждения об их структуре и свойствах.
На кривых усадки отчетливо прослеживаются все три этапа процесса спекания: перегруппировка, растворение-осаждение, твердофазное спекание, характерные при спекании металлических порошков с участием жидкой фазы [2]. Это сходство позволяет предположить возможность аналогии модельных представлений процессов спекания металлических порошков [3, 4] и Na0 33У205, модифицированной стеклом и применить для описания кинетики спекания гидродинамическую модель.
В работе [5] принимается, что вязкое течение в пористом веществе в окрестности каждой поры подчиняется уравнениям гидродинамики вязкой сжимаемой жидкости.
р— = -У Р + ~ЛV + (С~ + + рр
Л 3 (1)
где V - скорость потока вещества; Р - давление в потоке; / - внешняя сила, действующая на
единицу объема пористой среда; С ,Л - коэффициенты объемной и сдвиговой вязкости среды. Предполагается, что среда однородна, и в условиях спекания процессы вязкого течения протекают достаточно медленно, а потому
^ А р— = 0
Л (2) При спекании вещество, окружающее пору, будет сжиматься к ее центру V ~ г , при этом Г01х = 0 . Так как
ЛV = -го^о^ + У, (3)
то уравнение (1) с учетом (2) и (3) принимает для окрестности выделенной поры вид:
4 ~ ~
— (л + С = -ЛР + Л(рщ)
(4)
3
здесь
ЛР = Р2 - Р- и Л р ) = - р¥ (К). . 2<
В случае заполненной газом поры ЛР =--+ Ргш, с - коэффициент поверхностного на-
К
тяжения для пористой среда, окружающей выделенную пору; Р - давление газа в поре.
дР ~
Коэффициент поверхностного натяжения определяется < =- , здесь Р - свободная
дS
энергия пористой среды, которую представляют как Р = (1 - П)Рт . Рт - свободная энергия монолитной среды, примыкающей к выделенной поре. Учитывая уравнение непрерывности потока пористого вещества
— + div(рV) = 0 , дt
обозначая через Пп число пор, приходящихся на единицу объема, твердого вещества,
4, рэ ч П
— (лК пп) =-,
3 п 1 - П
полагая ~ = Т]т (1 - П )2 при Ргаз = 0 получаем закон уплотнения
-= лпп<тП2(1 - П)1
Л 23 Лт . (5)
Отметим, что зависимость ~ = Т]т (1 - П)2 трактуется произвольно (при таком соотношении выполняется уравнение Маккензи-Шатлворса), однако, в работе [6] предлагаются и другого типа зависимости сдвиговой вязкости от пористости:
5
~ = Лт (1 - П),~ = Лт (1 - П )2 Установим влияние зависимости сдвиговой вязкости от пористости на вид уравнения, описывающего процесс уплотнения среды. Для этого будем полагать л = Л т (1 - П) т . В результате получаем уравнение
dП 3 4 1 а 2 «+1
-^ = ±(1Жпп)ъ^тПъ(\ - П) 3;
¿и 2 3 Г1П П 1
где п=2 - т. После замены Z = (-——)3 уравнение принимает вид
(1 + 73)п-1 й2 = , где К = 3(4ттп )3
3 2^3 ^ цш
Таким образом, уравнение Маккензи-Шатлворса
1 ^
= — КИ
(7)
1 + 73 3
является частным случаем полученного нами уравнения при п - 2. В отличие от спекания металлических порошков, когда количество жидкой фазы в начальный момент времени установить достаточно словно, в случае спекания ОВБ с легкоплавким боратным стеклом объемная доля последнего заранее известна. Это позволяет объемную долю более активной подсистемы (в нашем случае стекла) представить в виде
/ = /0е, / = 1 - /е, (8)
где /0 - объемная доля стекла в начальный момент спекания.
В конечном итоге уравнение (7), описывающее процесс спекания порошковой системы, принимает вид
(ТГРг =- !(К,/' + к 2 ^ (9)
После интегрирования получаем уравнение вида
ЬР = А (К - К2)(1 - е) + К^,.....................(10)
X
решение которого позволяет найти кинетические константы.
В таблице 1 приводятся К, К2, X, рассчитанные с помощью экспериментальных кривых изотермической усадки керамики при спекании.
Таблица 1
№ Состав стекла мол.% Состав вес.% К1 -1 мин К2 мин -1 Е ак к Дж/ м оль
CdO В2О3 РЬО С текло О ВБ 645 525о 625о 575о 645 575 525 625
1 10 33 57 2 9 8 6,07 1,03 4,54 2,27 0,24 0,16 0,07 0,20 8 7,2
2 9 55 36 2 9 8 3,49 0,32 2,53 1,03 0,11 0,08 0,04 0,09 1 24,0
3 27 33 40 2 9 8 5,05 0,66 3,86 1,88 0,21 0,18 0,05 0,1 1 05,6
4 75 25 2 9 8 3,66 0,32 2,86 0,63 0,17 0,04 0,04 0,07 1 70,5
Установлена линейная зависимость 1п K1 от —, что позволяет описать температурную зависимость константы скорости спекания на первом этапе уплотнения уравнением Аррениуса и
рассчитать энергию активации спекания Eак. Пример графической зависимости 1п Kl = / (—)
приводятся на рис.3. Значения Eaк приводятся в таблице 1. Как следует из данных таблицы наибольшие значения Kl, K2 и наименьшие значения Еак приходятся на область состава стекла 10,0 СdO+ 57,0 РЬ0 + 33,0 В203. Изменение содержания в стекле оксидов свинца и кадмия по отношению к указанному составу приводит к увеличению Еак и уменьшению значений К1 и К2. Таким образом, показана зависимость процесса спекания от состава жидкой фазы.
1_пК I
О 1,1 1 1,13 1,15 1,17 1,19 1,21 1,23 1,25 Г'-'Ю3,^"1
Рис. 1. Зависимость lnK¡ = f (—) керамики Na0,.33V2O5 от состава модифицирующего стекла (мол.%):
10,0 CdO +57,0 РЬО + 33,В2О3.
Пример графической зависимости ln K1 = f (—) приводятся на рис. 1. Значения EaK приводятся в таблице 1. Как следует из данных таблицы, наибольшие значения Ki, K2 и наименьшие значения Еак приходятся на область состава стекла 10,0 CdO+ 57,0 Pb0 + 33,0 B2O3. Изменение содержания в стекле оксидов свинца и кадмия по отношению к указанному составу приводит к увеличению Еак и уменьшению значений К1и К2. Таким образом, показана зависимость процесса спекания от состава жидкой фазы.
Для объяснения полученных закономерностей проанализируем зависимость вязкости свин-цово-кадмиево-боратных стекол от их состава. Как следует из работы [7], вязкость стекол системы РЬО-В2О3 по мере роста концентрации PbO мол.% претерпевает значительные изменения своей величины, так при температуре 475 °С, вязкость стекол составов 33 мол.% PbO и 67 мол.% PbO принимает соответственно значения; ln r¡ « 11; ln r¡ « 2 то есть, значения вязкости стекол системы в зависимости от состава меняются на 9 порядков, при этом минимальные значения вязкости приходятся на область состава 65-70мол.%РЬ0.
Поверхностное натяжение стекол системы РЬО-В2О3 убывает по мере увеличения содержания РЬО мол.%. Так для составов 33 мол.% РЬО и 67 мол.% РЬО значения с различаются при 600 °С в 2 раза. Таким образом, при переходе от состава 33 мол.% РЬО к составу 67 мол.% РЬО при указанной температуре вязкость изменяется в 109 раз, поверхностное натяжение в 2 раза, К1 в 1,6 раз, К2 в 2 раза. В литературных источниках теоретического объяснения подобного рода закономерностей не встречается.
Для решения этой задачи обратимся к следствиям модели вязкого течения и уплотнения пористой среды при однородном напряженном ее состоянии, которая была положена в основу описания процесса спекания керамики ОВБ, модифицированной боратным стеклом.
Согласно (6), константа процесса спекания представляется в виде
3 4 1 о
K = -(- тп )3-^,
2 3 Гт
где п - число пор, приходящихся на единицу объема твердого вещества; а m - коэффициент поверхностного натяжения монолитной среды; ТТт - сдвиговая вязкость монолитной среды.
Учитывая положение о том, что спекаемая система в каждый момент времени спекания представляет собой раствор двух подсистем [8] различной активности К, К2 (в нашем случае боратное стекло и Na0 05), диссипативная функция раствора представлена в виде суммы диссипативных функций подсистем
¥ = УМ + ,
где / - объемная доля подсистемы 1; /2 - объемная доля подсистемы 2; ¥1- диссипативная
функция системы 1; ¥2- диссипативная функция системы 2, откуда в конечном итоге следует формула:
= /+/
(11)
Тт Тт1 Т т 2
где Т]т\ - сдвиговая вязкость монолита первой подсистемы; Лт2 - сдвиговая вязкость монолита второй подсистемы.
Формула допускает изменение величины -^в несколько раз притом, как Тт\ может ме-
Тт
няться на несколько порядков, что, собственно, и объясняет характер зависимости К1 от свойств стеклофазы.
Как было отмечено, область составов свинцово-боратных стекол, отличающихся наиболее низкими значениями вязкости, приходится на интервал 60 - 70 мол.% РЬО. В этой области свин-цово-боратные стекла имеют наименьшие значения температур размягчения. Установленная закономерность сохраняется и у стекол свинцово-кадмиево-боратной системы [8]. А, следовательно, область состава 10,0СДО + 57,0 РЬО + 33,0 В2О3 должна характеризоваться наиболее низкими значениями вязкости. Чем меньше вязкость, тем больше К1.
Зависимость К1 от температуры может быть объяснена на основании соотношения
Е
V = АеКТ.
Как следует из таблицы 1, наибольшее значение константы скорости твердофазного спекания также приходится на стекла состава 10,0 СЮ + 57,0 РЬО + 33,0 В203.
В смесях, состоящих из оксидов с кристаллической решеткой и стекла, диффузионные явления идут в основном благодаря стеклу. Это связано с тем, что коэффициенты диффузии в материалах с неупорядоченной некристаллической решеткой в общем случае на несколько порядков больше, чем у кристаллических веществ. Поэтому наиболее предпочтительными для активации процесса спекания будут стекла с наименьшими значениями Tg, поскольку
рис. 2.
D=Doexp(-E/RT).
Дифрактограммы керамик с различным содержанием стекла одного состава приводятся на
Рис. 2. Дифрактограммы керамики Na УО , модифицированной стеклом состава (мол.%): 10,0 СёО + 57,0РЬО + 33,0В2О3 в количестве (масс.%) 2(1); 5(2); 10(3); 20(4).
Изменение матрицы дифрактограмм наблюдается лишь при содержании 20 масс.% стекла. При таком же содержании стекла происходит появление дополнительных полос на ИК-спектрах (рис. 3).
Рис .3. ИК-спектры пропускания керамики Naо 33У2О5модифицированной стеклом состава (мол.%) 10,0 СйО+ 57,0РЬО + 33,0В2О3 в количестве (масс.%) 2(1); 5(2); 10(3); 20(4).
Таким образом, между Na0 33 V2O5 и уже небольшими добавками стекла при обжиге имеет
место химическое взаимодействие, активизирующее процесс спекания. При одинаковом содержании стекла (в нашем случае 2 масс.%) наиболее высокой химической активностью обладает стекло состава 10,0 CdO+ 57,0 PbO + 33,0 В2О3. Указанные факторы определяют более высокие значения К2 при спекании керамики Na0 33V2O5 модифицированной стеклом состава 10,0 CdO + 57,0 PbO
+ 33,0 В2О3по сравнению со стеклами других составов свинцово-кадмиево-боратной системы. Выводы
Показано, что боратные стекла могут быть использованы для активации спекания оксидной ванадиевой бронзы. Процесс спекания описывается в рамках гидродинамической модели. Наиболее высокие значения энергии активации приходятся на область составов с наименьшим значением температуры размягчения.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Капусткин В.К., Волков В.Л., Фотиев А.А. А.с 491163 СССР // Б.И. - 1975. - № 41.
2. Гегузин, Я.Е. Физика спекания / Я.Е. Гегузин. - М.: Наука, 1984. - 312 с.
3. Абрамович, Т.М. Некоторые вопросы упругого и вязкого поведения пористого тела / Т.М. Абрамович и др. // Вестник Таганрог. гос. пед. ин-та. . - 2007. - № 1. Физико-математические и естественные науки - С. 34-41.
4. Abramovich T.M., Donskikh S.A., Kikhtenko S.N., Semin V.N. Gas-flamecoating theory for composite powdery materials // Internation conference on poweder metallurgy. - RoPM, 2005. - P. 271-278.
5. Дорожкин, Н.Н. Получение покрытий методом припекания / Н.Н. Дорожкин, Т.М. Абрамович, В.И. Жор-ник. - Мн..: Наука и техника, 1980. - 176 с.
6. Скороход, В.В. Реологические основы теории спекания / В.В. Скороход. - Киев: Наукова думка, 1972. -152 с.
7. Немилов, В.С. Изучение вязкости стекол в системе PbO - B2O3 в области температур размягчения и отжига / В.С. Немилов, Н.В. Романова // Изв. АН СССР. Серия: Неорган. материалы.- 1969. - Т. 5. - № 7. -С. 1060-1063.
8. Дорожкин, Н.Н. Импульсные методы нанесения порошковых покрытий / Н.Н. Дорожкин, Т.Н. Абрамович, В.К. Ярошевич. - Шнек: Наука и техника, 1985. - 267 с.
9. Семин, В.Н. Свойства стекол системы РЬ0-Сd0-В20з / В.Н. Семин, В.Т. Мальцев, А.Е. Панич // Изв. АН СССР. Серия: Неорган. матер. - 1985. - Т. 21. - № 9.
УДК 519.6 ББК 22.172+22.16
А.И. Сухинов, Н.Е. Ляхова, В.В. Сидорякина
АППРОКСИМАЦИЯ ПРОСТРАНСТВЕННО-ТРЕХМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА НА ОСНОВЕ ДВУМЕРНЫХ СХЕМ РАСЩЕПЛЕНИЯ
Аннотация. В настоящей работе рассмотрена аппроксимация начально-краевой задачи для трехмерного уравнения гиперболического типа на основе двумерных схем расщепления. Построен аналог схем переменных направлений - двумерные факторизованные схемы. При тех же оценках точности, что и для одномерных факторизованных схем, они накладывают менее жесткие условия на перестановочность разностных операторов аппроксимирующей схемы. Вместо выполнения свойства попарной перестановочности всех одномерных операторов, для двумерных факторизо-ванных схем требуется перестановочность оператора, что входит в одномерную разностную задачу с оставшимися операторами двумерной разностной задачи. Также построена аддитивная двумерно-одномерная схема, аппроксимирующая исходную задачу в области достаточно произвольной формы. Рассмотренный класс схем может быть применен для построения массово-параллельных алгоритмов решения начально-краевых задач для трехмерных уравнений гиперболического типа, имеющих меньшие временные затраты при не худшей точности в сравнении с одномерными схемами расщепления.
Ключевые слова: начально-краевые задачи, трехмерное уравнение гиперболического типа, локально-одномерные схемы расщепления, локально-двумерные схемы расщепления, параллельные вычисления.
A.I. Sukhinov, N.E. Lyakhova, V.V. Sidoryakina
THREE-DIMENSIONAL HYPERBOLIC EQUATION APPROXIMATION ON THE BASIS OF TWO-DIMENSIONAL SPLITTING SCHEMES
