CC BY
73
МЕХАНИКА
УДК 621.867.3
А. В. Синельщиков Астраханский государственный технический университет
БОЛЬШИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ГРУЗОПОДЪЕМНЫХ КРАНОВ
Современное развитие вычислительной техники позволяет решать все более сложные и комплексные задачи расчетного анализа и моделирования грузоподъемных кранов. Повышение сложности технических систем кранов и использование компьютерного моделирования в каждой стадии проектирования предъявляют повышенные требования к инструментальным средствам моделирования, которые должны представлять техническую систему крана с учетом различных уровней физической реальности, чтобы удовлетворить требованиям различных этапов проектирования в части вычислительной эффективности и точности.
В настоящее время при моделировании технических систем грузоподъемных кранов необходимо их рассматривать не только как систему жестких тел (эффективные вычислительные методы существуют уже достаточно давно), но и учитывать упругое поведение элементов конструкции крана. Это имеет большое значение для моделирования адекватного поведения конструкции, сохраняя вычислительную эффективность и принцип системности. При этом решение многих задач моделирования динамики грузоподъемных кранов с необходимой точностью возможно только при учете упругих свойств их отдельных подсистем. Анализ сложных систем кранов становится невозможным без использования эффективных численных методов, адаптированных к возможностям современной вычислительной техники.
На заре развития этой области вычислительной механики использовались различные методы представления упругих тел набором твёрдотельных элементов [1, 2]. Инерционные и упругие свойства деформируемого тела распределялись между элементами-телами и введенными между ними шарнирами с упругодиссипативными связями. Данный подход позволяет использовать широкий спектр имеющихся методов и алгоритмов моделирования систем абсолютно твёрдых тел с целью исследования динамики деформируемых систем.
Развитие моделирования динамики систем деформируемых тел в середине XX в. было вызвано развитием вычислительной техники и началось с задач с малыми деформациями при отсутствии больших перемещений тел как единого целого.
В последние десятилетия усилия многих исследователей направлены на решение задач, совмещающих произвольное пространственное движение упругих конструкций и их большие относительные деформации, а также соединение абсолютно твёрдых и упругих тел в единые расчётные схемы [1, 3].
Одним из первых методов, позволивших проводить анализ пространственного поведения конструкций с учетом больших пространственных перемещений, стал метод конечных сегментов или твердотельных элементов.
В соответствии с методом твердотельных элементов упругие компоненты конструкции представляются набором твердых тел, соединенных упругодиссипативными связями [4]. Основными проблемами метода являются выбор числа твердых тел, их расположения, а также подбор характеристик упругодиссипативных связей, характеристики которых определяются методом конечных элементов (МКЭ). Другой проблемой указанного метода является необходимость интегрировать жесткие уравнения движения систем, включающих в себя сотни тел.
Следующим шагом по пути развития методов динамического анализа упругих тел с учетом больших перемещений стала попытка совместить подходы метода твердотельных элементов и МКЭ в рамках линейной теории динамики упругих тел [3]. Согласно линейной теории динамики упругих тел движение упругой конструкции представляется суммой большого движения как абсолютно твердого тела и малых упругих перемещений за счет деформаций, причем эти составляющие рассматриваются независимо.
Предполагается, что упругие перемещения за счет деформаций не имеют значительного влияния на движение тела как абсолютно твердого. Моделирование проводится в два этапа. На первом этапе вся конструкция представляется твердотельной моделью, с использованием которой вычисляются значения сил инерции и сил реакций связей. Эти значения служат исходными данными для второго этапа - решения уравнения для упругих компонентов:
где [М], [С], [£] - матрицы масс, демпфирования и жесткости соответственно; {/} - вектор нагрузок; {/} - вектор инерционных сил, в том числе силы Кориолиса и центробежных сил;
{/г} - вектор сил реакций; {/} - вектор активных сил; {&&(г)},{К(0},{К(0} - векторы ускорений, скоростей и перемещений соответственно.
Движение деформируемых тел представляется суммой (суперпозицией) больших твердотельных движений и малых упругих перемещений. Однако, как указано в [5], выражения для матрицы масс и сил инерции, сформированные независимо для твердотельного движения и упругих перемещений, в случае их применения для расчета множества массивных тел или высокоскоростных режимов движения не позволяют достичь приемлемой точности.
Следующим шагом стал метод последовательных приближений, который позволяет описать большие упругие перемещения при условии малых изменений узловых координат. С каждым конечным элементом связывается промежуточная система координат. Относительно нее записываются уравнения кинематики конечного элемента. Предполагается, что в процессе моделирования любые два последовательных положения элемента могут быть описаны малыми относительными углами поворотов. Для этого возможно использовать малые вращательные узловые координаты. Промежуточная система координат «накапливает» последовательность поворотов, а ее положение относительно глобальной системы координат задает положение конечного элемента. Один из вариантов численных процедур, реализующих описанный подход, представлен в [6].
Метод последовательных приближений плохо моделирует твердотельную динамику при вращении тел и не приводит к нулевым напряжениям при произвольном пространственном движении тел как абсолютно твердых. Для устранения этих недостатков используется ряд приемов, которые, как правило, сводятся к введению дополнительных систем координат [3].
Более полное совмещение больших перемещений как абсолютно твердого тела и малых упругих перемещений за счет деформаций проведено в рамках метода присоединенной системы координат. Метод учитывает инерционную связь больших движений тела как абсолютно твердого и малых упругих перемещений и позволяет учесть произвольное движение системы отсчёта, связанной с упругим телом.
Пространственное движение упругого тела представляется посредством связанной с ним системы координат 1 (локальной системы координат) (рис. 1), относительно которой строятся соотношения для упругих перемещений.
[М ] {¥(ґ)} + [С ] {V (І)} + [к ] {V (0) = {/}, {/} = {/} + {/г} + {/е},
Рис. 1. Метод присоединенной системы координат
Положение произвольной к-й точки деформируемого тела в глобальной системе координат определяется следующим соотношением:
К } = {г01} + [^({р«} + {41}}), (1)
где [ А01] - матрица направляющих косинусов размерами 3 X 3; {гк }, {г01} - радиус-векторы к-й точки твердого тела и начала отсчета присоединенной системы координат соответственно; {Рк^}, №к^} - радиус-векторы координат к-й точки твердого тела в системе координат 1.
Радиус-вектор {^р} характеризует перемещения за счет упругих деформаций тела, и соотношение (1) не налагает никаких ограничений на их величину. Деформации и соответствующие перемещения могут быть описаны любым способом.
Метод присоединенной системы координат получил широкое распространение при условии малости упругих перемещений. При этом в системе координат 1 конструкция может быть представлена линейным МКЭ. Используя любой известный способ построения уравнений движения, например уравнения Лагранжа II рода или общее уравнение динамики, уравнения движения упругого тела можно записать в виде
[М ] {V (г)} + {к} = - [С ] {V (г)} - [ К ] {V (г)} + {/} + {/}, (2)
где [М], [С], [К] - матрицы масс, демпфирования и жесткости соответственно;
{V (г)}, {V (г)}, {V (г)} - векторы ускорений, скоростей и перемещений соответственно; {к} - вектор обобщенных сил инерции; {/а } - вектор обобщенных сил от приложенных нагрузок; {/с} -вектор обобщенных сил реакций.
Метод присоединенной системы координат довольно распространён благодаря простоте реализации - он использует только дополнительные степени свободы, определяющие движение подвижной системы координат как твёрдого тела, в дополнение к узловым переменным, используемым в МКЭ. Число обобщенных координат равно 6 + N шесть координат задают положение системы координат 1 в пространстве, N узловых координат используются для описания малых упругих перемещений в системе координат 1.
Уравнения, построенные методом присоединенной системы координат, содержат нелинейные матрицу масс и вектор сил инерции как результат инерционной связи между большим твердотельным движением и малыми упругими перемещениями. Матрица жесткости не отличается от матрицы, построенной линейным МКЭ, т. к. упругие координаты определяются в системе координат тела.
Число узловых координат конечно-элементной модели для большинства конструкций грузоподъемных кранов может равняться десяткам и сотням тысяч, что совместно с наличием высокочастотных составляющих колебаний в решении делает непосредственный анализ системы уравнений (2) путем интегрирования неэффективным. Размер системы уравнений (2) можно уменьшить, используя модальный анализ [7]. Общий вид уравнений, записанных в терминах модальных координат, совпадает с (2), однако вместо N узловых координат упругие свойства системы дополняются Н новыми координатами, соответствующими формам колебаний твердого тела, при этом Н << N.
Важным является оптимальный выбор локальной системы координат. При этом никаких принципиальных ограничений, кроме запрета на твердотельные перемещения тела в системе координат 1, не налагается. Эти условия легко удовлетворяются, например, жестким закреплением одного узла. Результаты исследований [8] показывают, что удачным выбором локальной системы координат можно минимизировать инерционную связь между твердотельным движением и упругими перемещениями. Один из подходов заключается в расчете положения главных осей инерции деформируемого тела на основе анализа матрицы масс.
Метод присоединенной системы координат широко используется для моделирования динамики упругих тел с малыми относительными перемещениями. Он свободен от недостатков, упомянутых при описании метода твердотельных элементов и линейной теории динамики упругих тел, в частности правильно моделируется динамика тела при отсутствии деформаций. Однако матрица масс, обобщённые силы инерции и тяжести в этом методе получаются сильно нелинейными. Кроме того, относительные перемещения точек упругого тела по-прежнему предполагаются малыми.
Для преодоления этого недостатка для каждого конечного элемента используется собственная подвижная система координат, а вместо относительных координат используются абсолютные (конечные) углы поворота этих подвижных систем координат относительно неподвижной системы координат.
Указанные положения использует метод конечных углов поворота [1]. Вращательные координаты в узлах позволяют описывать большие повороты сечений конечного элемента. Интерполяционные функции форм строятся обычным образом - используется процедура классического МКЭ без линеаризации по углам поворота.
В [1] предложены реализации балочных и пластинчатых элементов, допускающих большие перемещения. Однако существующие реализации данного подхода при применении к тонким балкам и пластинам (т. е. без учёта сдвиговой деформации) приводят к избыточности координат и вырождениям [9]. Вследствие этого, а также по причине появления более прогрессивного метода формулировки МКЭ в абсолютных координатах представляемый подход не получил широкого распространения.
Последние достижения в области моделирования динамики упругих тел связаны с формулировкой МКЭ в терминах абсолютных координат, позволяющей описать произвольные пространственные движения упругих тел с учетом больших упругих перемещений.
Формулировка в терминах абсолютных координат - наиболее современный подход в моделировании упругих тел с учетом больших перемещений. Основополагающая статья А. А. Шабаны [9] появилась в 1996 г., и в настоящее время метод интенсивно развивается. В работах последних лет отмечена очень хорошая согласованность результатов моделирования с экспериментом.
Формулировка МКЭ в терминах абсолютных координат развивает классический МКЭ для получения возможности моделирования произвольного пространственного движения упругих тел совместно с их большими упругими перемещениями. Набор узловых координат включает в себя глобальные координаты узлов, а также наклоны, имеющие смысл касательных векторов к осевой линии стержневого конечного элемента.
Метод абсолютных узловых координат вводит большие перемещения конечного элемента относительно неподвижной системы координат без использования промежуточной. Интерполяционные функции форм, описывающие деформируемое состояние тела, вводятся в глобальной системе координат. В результате уравнения движения содержат постоянную матрицу масс и не содержат сил инерции. Единственным нелинейным членом уравнений, хотя и достаточно громоздким, является вектор обобщённых упругих сил. Данный подход позволяет применять известные идеализации реальных упругих тел: тонкие балки Эйлера - Бернулли, балки Тимошенко, теории пластин Кирхгофа и Миндлина - Райснера, а также более общие модели, основанные на механике сплошной среды.
В [1] с использованием метода абсолютных координат рассмотрен двумерный балочный конечный элемент (рис. 2).
а б в
Рис. 2. Переход от элемента балки с малыми перемещениями (а) к абсолютным узловым координатам (в)
с использованием параметризации осевой линии (б)
С использованием интерполяционных полиномов Эрмита параметрические соотношения, описывающие срединную линию стержня (рис. 2), имеют вид:
х(р) = Ь (р)Хо + ^ (Р)4 + ^3 (р)XI + Э4 (р)Х° ,
У(Р) = Ь(Р)Уо + Ь2(Р)Уо + Ьз(Р)У! + Ь4(Р)у!,
где 54 - полиномы Эрмита:
¿ї(р) = ^(1 -р) = 1 -3л2 + 2л3, ^(р) = 3л2 -2л3,
^2(р) = -^4(I -р) = I(л-V + Л3),^4(р) = I(л3 -Л2),Л = у •
Вектор узловых координат двумерного балочного элемента имеет следующий вид:
{д} = [х Уо х0 у0 хі Уі хі Уі]Т,
где х0 = dx / йр и у0 = йу / йр пропорциональны косинусам углов наклона срединной линии к осям координат и являются компонентами вектора, касательного к ней. Условия малости на значения элементов вектора {д} не налагаются. Кроме того, длина касательных векторов может отличаться от единичной, что отражает продольную деформацию балки. Важным условием, которому должны удовлетворять функции формы, является возможность корректно моделировать твердотельное движение элемента.
Пространственная формулировка метода абсолютных координат применительно к стержневым конечным элементам приведена в [10, 11]. На рис. 3 приведена система координат, используемая в пространственной формулировке метода абсолютных координат.
Рис. 3. Система координат пространственной формулировки метода абсолютных координат
В отличие от классических подходов в методе абсолютных координат используются переменные, описывающие абсолютные смещения и их производные, чтобы описать поступательное и вращательное движение стержневого конечного элемента. В соответствии с методом абсолютных координат пространственное положение стержневого конечного элемента представлено четырьмя компонентами вектора {л(х, і)} :
{Л( х, і)} = [5 (х)]{е(і)}, где [5(х)] - интерполяционные полиномы Эрмита:
"1 - 3Х2 + 2Х3 0 0 Ц£- 2Х2 +Х3) 0 0
0 1 - 3Х2 + 2Х3 0 0 ¿(£-2Х2 +Х3) 0
0 0 1 - 3Х2 + 2Х3 0 0 Ь(Х-2Х2 +Х3)
0 0
(3)
[5 (х)] =
0
3Х2 - 2Х3 0 0 0
0
0
3Х2 - 2Х3 0 0
0
0 Ц-Х2 +Х3)
0
0 0 3Х2 - 2Х3 0 Х
ц-Х2 + Х3) 0 0
0
д-Х2 + Х3) 0
где Х = x/L; L - длина стержневого конечного элемента; x - координата вдоль оси стержня. {e(t)} - вектор обобщенных координат:
{e(t)} = [{r(0, t)} J1(0, t) {r'(0, t)} {r(L, t)} J!(L, t) {r'(L, t)}f ,
где {r(0, t)}, {r(L, t)} - радиус-векторы начала и конца стержневого конечного элемента, причем {r(0, t)} = {x0 y0 z0}; J1(0, t), J1(L, t) - угол поворота стержневого конечного элемента вокруг своей оси в начале и конце соответственно; {r’(0, t)},{r'(L, t)} - векторы косинусов углов наклона срединной линии к осям координат в начале и конце соответственно.
Анализ существующих методов, описывающих динамическое поведение упругих тел, показал, что методы присоединенной системы координат и абсолютных координат являются наиболее универсальными и могут рассматриваться в качестве основы для исследования динамической реакции грузоподъемных кранов для широкого спектра задач.
Метод абсолютных координат ориентирован на конструкции с большими упругими перемещениями и в настоящее время активно развивается. Метод присоединенной системы координат позволяет моделировать пространственные движения упругих тел с малыми упругими перемещениями. Он может использоваться, например, для решения задач динамического анализа грузоподъемных кранов в условиях изменения эксплуатационных состояний (поворот, движение по рельсовым путям и др.), а также прочности автомобильных кранов в транспортном состоянии. Метод присоединенной системы координат может использовать результаты применения линейного МКЭ, теоретические основы которого хорошо разработаны - известные типы конечных элементов позволяют исследовать тела практически любой конфигурации.
Повышение эффективности моделирования с использованием метода присоединенной системы координат связано с формированием уравнений (2) в терминах модальных координат. Такой подход предполагает применение к упругим телам методов модального анализа, что, в свою очередь, требует решения обобщенной проблемы собственных значений. Эта задача становится нетривиальной, если размер матричных уравнений составляет десятки и сотни тысяч.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дмитроченко О. Н. Эффективные методы численного моделирования динамики нелинейных систем абсолютно твёрдых и деформируемых тел: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Брянск, 2003. - 16 с.
2. Kreuzer E., Ellermann K. Multibody system dynamics in ocean engineering // Proceedings of NATO ASI on Virtual Nonlinear Multibody Systems 1. - Prague, 2002. - P. 108-129.
3. Shabana A. A. Flexible multibody dynamics: review of past and recent developments // Multibody System Dynamics. - 1997. - 1. - P. 189-222.
4. Pogorelov D. Multibody system approach in simulation of underwater cable dynamics // Abstr. of Euromech. 398 Colloq. on Fluid-Structure Interaction in Ocean Engineering. - Germany: Hamburg, 1999. - P. 40.
5. Кобищанов В. В., Антипин Д. Я., Забелин А. Л. Оценка динамической нагруженности несущих конструкций кузовов вагонов // Безопасность движения поездов: Тр. науч.-практ. конф. - М.: МИИТ, 2003. - С. 41.
6. Flanagan D. P., Taylor L. M. An accurate numerical algorithm for stress integration with finite rotation // Computer methods in applied mechanics and engineering. - 1987. - 62. - P. 305-320.
7. Shabana А. А. Computer implementation of flexible multibody equation, Computer-Aided Analysis of Rigid and flexible mechanical systems. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1994. - P. 325-349.
8. Nikravesh P. E. Model Reduction Techniques in Flexible Multibody Dynamics // NATO Science. Ser. II, Vol. 103. Virtual nonlinear multibody systems. By Ed. W. Schiehlen and M. Valasek, Kluwer Academic Publishers, 2003. - P. 83-102.
9. Shabana A. A. An absolute nodal coordinate formulation for the large rotation and large deformation analysis of flexible bodies // Techn. Rep. No MBS96-1-UIC. - Dept. of Mech. Eng., Univ. of Illinois at Chicago, March, 1996.
10. Gerstmayr J., Shabana A. A. Analysis of higher and lower order elements for the absolute nodal coordinate formulation / Proceedings of the ASME 5th Intern. Conf. on Multibody Systems, Nonlinear Dynamics, and Control, paper number DETC2005-84827. - ASME, N.-Y., 2005.
11. Dombrowski S. V. Analysis of Large Flexible Body Deformation in Multibody Systems Using Absolute Coordinates // Multibody System Dynamics. - 2002. - 8. - P. 409-432.
Получено 25.12.2006
THE DYNAMIC ANALYSIS OF CRANES IN VIEW OF THE LARGE DEFORMATION
A. V. Sinelshchikov
The questions of use of numerical methods of the dynamic analysis of cranes are observed in respect to small elastic deformations and the large space deformation as an absolute solid. Survey and comparison of numerical methods is instanced, their comparative characteristics and a scope are given. It is specified, that methods of the affiliated axes and an absolute coordinates are the most universal and can be viewed as bases for research of dynamic reaction of cranes for a wide spectrum of problems. For a method of an absolute coordinates the parametric relationships determining a median line of a beam in two-dimensional and space statement are instanced.
