Большие деформации упругих безмоментных оболочек вращения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

БОЛЬШИЕ ДЕФОРМАЦИИ УПРУГИХ БЕЗМОМЕНТНЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ

© 2004 г. Л. М. Зубов, А. М. Колесников

Large deformations of the shell of revolution under the action of uniformly distributed pressure are investigated. The momentless elastic shell is considered as material surface with special properties. Equilibrium equations and the variational principle of Lagrang are obtained for the two-demensional material continuum. The resolving system for the shell of revolution is derived from the variational principle. The results for the torus ring are included.

1. Основные положения безмоментной теории упругих оболочек

Упругую безмоментную оболочку можно рассматривать как двумерный материальный континуум, т. е. как материальную поверхность, наделенную определенными свойствами. Пусть о и О - поверхности, соответствующие отсчетной и деформированной (текущей) конфигурации этого континуума. Положение точки на о определяется радиус-вектором г(д\д2), где да (а = 1, 2) - гауссовы координаты на о. Единичный вектор нормали к поверхности о обозначим п, а основной и взаимный базисы на о обозначим га и Г дг

dqa

r • r6 = дб , ra

• n = rß • n = 0 .

(І)

Здесь и ниже греческие индексы принимают значение 1,2, а дб означает символ Кронекера. Коэффициенты первой квадратичной формы £ар и первый фундаментальный тензор g поверхности о вводятся соотношениями

= r„ • r

ß

aß т?

g = Saßr r = E - nn :

(2)

где Е - единичный тензор в трехмерном евклидовом пространстве. Считая параметры да лагранжевыми координатами материальной поверхности, будем задавать положение точки поверхности О радиус-вектором И(д1,д2), который представляет собой положение в деформированной конфигурации той материальной точки поверхности, которая в отсчетной конфигурации имела положение г(д\д2). Нормаль к поверхности О обозначим К, а основной и взаимный базисы на О - И и К0. Имеют место формулы, аналогичные (1)

дК "Р. и = дв к . К = к в.

R

dqa

Rß

Ra N = R

• N = 0. (3)

стях o и O

V 0Ц = ra

VЦ = Ra

дда дда

Следуя общему принципу локальности [1], предположим, что удельная потенциальная энергия деформации оболочки W в данной материальной части-

це поверхности определяется заданием положения И этой частицы в текущей конфигурации и градиента деформации УоЯ:

W = W(R, V 0 И). (5)

Используя требование инвариантности энергии относительно поступательного движения, получим, что W не зависит от первого аргумента в (5), так что W=W(V0R). Последнюю функцию остается подчинить ограничениям, вытекающим из инвариантности энергии относительно произвольных поворотов оболочки как абсолютного твердого тела. Это условие инвариантности имеет вид

W(V о И • О) = W(V о И), (6)

где О - любой ортогональный тензор в трехмерном евклидовом пространстве. Для решения функционального уравнения (6) введем в рассмотрение неособый тензор дисторсии деформирующейся поверхности, используя (3), (4) и [2]

С0 = V0И + пК = гаИа + пК .

Запишем его полярное разложение С о = (и о + пп) • А о, и о + пп = (Со • С^)12,

'0 - VU 0 Co • CT = Gx+ nn,

Uo = Gx1/2.

С х= (V о Я) • (V о Я)т = ОарТаг в,

(7)

Здесь А0 - собственно ортогональный тензор поворота двумерного континуума, Сх - мера деформации Коши материальной поверхности [2]. Из (7) вытекают соотношения

V 0 R = U 0 • A 0 !

N = n • A 0

(S)

Коэффициенты первой квадратичной формы и первый фундаментальный тензор на О обозначается по аналогии с (2) прописными буквами

Оар= Иа И в, о = ОарКаК в = Е - NN . (4)

В дальнейшем будут использоваться двумерные операторы градиента (набла-операторы) на поверхно-

дЦ „тт таа дЦ

Положив в (6) О = А0 и учтя (8), получим

о Я) = W(U о). (9)

Легко видеть, что представление (9) не только необходимо, но и достаточно для инвариантности удельной энергии W относительно жестких движений. Кроме того, из взаимно однозначной зависимости между тензорами и0 и Сх следует представление удельной потенциальной энергии оболочки, эквивалентное (9), но более удобное в приложениях

W = W(GX). (10)

Соотношение (10), выведенное из (5), соответствует безмоментной упругой оболочке, которая не сопротивляется изгибам (т.е. изменениям кривизны) поверхности о. Для учета моментности напряженного состояния предположение (5) следует дополнить за-

висимостью удельной энергии также и от второго градиента деформации W = W(V 0R, V 0V0 R).

Уравнения равновесия безмоментной упругой оболочки выводятся из вариационного принципа Лагранжа

дП = 0, П = JJ W(V 0 R • V 0 R T)do - Э . (11)

О

Здесь Э - потенциал внешних сил; 5 - символ вариации. В дальнейшем предполагается, что допустимые функции на всей границе оболочки удовлетворяют кинематическим краевым условиям (R0 - заданная функция)

R

д0

R o

(12)

а вариация потенциала внешних сил имеет вид дЭ = Я q(r, И, V о И) • дИёо . (13)

о

Варьирование функционала П, согласно (7), (11)—(13) приводит к уравнениям равновесия

дW

V

o •D+q = 0,

D = 2-

дGx

•Vo R.

(14)

Введение тензора усилий Коши L = JÏ(VoR)T • D = 2JG4VoR)T

дGx

G = GnG22 - G122,

g = g11g 22 g12

(15)

J =л/(МЛ . (17)

Здесь W' - удельная потенциальная энергия деформации трехмерной среды; Т - тензор напряжений Коши; С - трехмерный градиент деформации, а символ п означает полное умножение (свертывание) тензоров. Для рассматриваемой деформации имеем

С = гаИа+ ЛпК , J = ^7^8, л = Н/И ,

Здесь И и Н - толщина слоя до и после деформации. Поскольку №Т-К=о, на основании (17), (18) получаем

1 Н

2\д И

Умножим последнее равенство на толщину И не-деформированного слоя и, учитывая, что при однородном напряженном состоянии Ь=НТ, будем иметь

«W' = тЛ— ~r(rß Rß • T • R“ а )пдоx.

дW =1 /G(CT • L • Co)n,nGx

2 V g

W = hW'.

(19)

Из (19) вытекает выражение (15) тензора L, которое было выведено на основе представления о безмо-ментной оболочке как двумерном материальном континууме. При построении функции энергии оболочки W(G) для материала с заданной функцией W'^) поперечную деформацию Л при помощи условия N-T-N = 0 следует выразить как функцию тензора Gx.

Соотношение (15) остается справедливым и для оболочки из несжимаемого материала. В этом случае поперечная деформация Л исключается из условия несжимаемости J=1, которое на основании (1S) дает соотношение

позволяет записать уравнения равновесия (14) в геометрии деформированной конфигурации оболочки

Vо • Ь ^j^Gq = о. (16)

Уравнения (16) можно получить также путем осреднения по толщине оболочки трехмерных уравнений равновесия [2].

Из (15) вытекает, что тензор усилий Коши оболочки принадлежит поверхности О, т. е. удовлетворяет условию = Ь-К = о.

Если известны свойства материала оболочки как трехмерной упругой среды, то функция удельной потенциальной энергии W и определяющие соотношения безмоментной (мембранной) теории оболочек можно получить, рассматривая задачу о плоском напряженном состоянии упругого листа при однородной деформации. Отождествляя поверхность о со срединной поверхностью слоя, в случае сжимаемого материала исходим из определяющих соотношений трехмерного упругого тела [3], согласно которым справедливо равенство

дW'= -^(С-1 • Т • С-1 )п дЛ, Л = С • Ст,

Л = Gx+ Л2nn , C-1 = R+ Л-1Ш .

(1S)

Л = д/^0. (2о)

С учетом (2о) функция удельной энергии оболочки W из несжимаемого материала выражается через функцию удельной энергии трехмерной среды W' по

формуле W(GX) = ИW'(Gх + (8/в)пп).

Толщина оболочки в отсчетной конфигурации к может быть переменной: к = к (д1, д2). Толщина деформированной оболочки Н (д1, д2) определяется из (18), (20).

2. Оболочка вращения

Введем цилиндрические координаты г, ф, ъ так, чтобы ось ъ совпадала с осью симметрии оболочки, гауссова координата д2 — с цилиндрической координатой ф. За гауссову координату д1 примем некоторый параметр, отсчитываемый вдоль меридиана оболочки. Базисные векторы цилиндрических координат выражаются через базис декартовой системы координат следующим образом:

e г = ^соз^ + i ^т^, ер=-118Ш(^ +12со8^, e г = i 3.

В выбранной системе координат положение точки срединной поверхности оболочки вращения до деформации представится в виде

г = г(д1) = г(д')е г + ъ(д')е 2.

Под действием осесимметричной нагрузки оболочка сохранит симметрию. Срединная поверхность после деформации будет задаваться с помощью неизвестных функций Щд1) и Ъ(с1) уравнениями И = И(д') = К(д1)г, + г^.

Основной и взаимный базисы, связанные с срединной поверхностью до и после деформации, примут вид

г1 = г'(д1)ег+ъ'(д1)е2, г2 = г(д1)e®,

r1 =

-Єг + -

/2 /2 r ' ,2 ,2 z ?

r'2 + z'2 r'2 + z'2

r2 = 1e r =— e r

*

R1

Ri = R '(q1 )er + Z'(q1 )e z, R 2 = R(q1)ep R R

этого умножим первое уравнение на Ъ' , второе - на Я' и найдем их разность. Полученную систему можно преобразовать к виду

R2 = — e*.

R *

(21)

- hf

R R +Z Z

Я' 2 + Г 2 Я' 2 + Г 2

Вектор нормали к срединной деформированной поверхности определяется соотношением

К = Я 'е ъ + 2'е г

л/Я'2+Й'2

Для оболочки вращения компоненты первого фундаментального тензора срединной поверхности до и после деформации выражаются по формулам

= г' 2 + ъ' 2, ^12 = ^ g 22 = г2,

Ои = Я ' 2 + г' 2, оп = о, 022 = Я2. (22)

Из (2о) и (22) получим выражение для поперечной деформации

г2 (г' 2 + ъ' 2)

22 r ' 2 + z ' 2

-(h'f + hf ' »

,\R ' 2 + Z' 2

Ґ 2 + z ' 2

R hf2

r' 2 + z' 2

= 0.

Z''R' - Z 'R'

hf

Z

R ' 2 + pR(R ' 2 + Z' 2) + hf2—'R ' = 0. (24)

R 2

Введем новые функции R '2 + Z ' 2

R

u 2(ql) =■

R

V(q1) = — , ^(q1) = R

R

22 r 2 +z 2

r

для которых система уравнений (24) приводится к виду

\ h' + Г \ 2f 2 2 ,F + f2 (V'r +vГ')

— I----\— lu í — 2u vv F2 + "

hr

i2 . í2 r + z

Л2 =

У =

u(f + 2 u 2F1)

f2у - hvu2r(r' 2 + z' 2) h

R2(R ' 2 + Z' 2)

f(v ' r + V r ')

Инварианты трехмерной меры деформации Коши Л, согласно (18), (21) и (22), примут вид

Я2 (Я' 2 + г' 2) г2 (г' 2 + ъ ' 2)

Т = |г Л =______+ -_________— +_____-_________—

1 г2 (г'2 + ъ'2) я2 (Я'2 + г'2),

, _ s u (r' + z' ) v r'

v 4 1 + y2 r '

В (25) использованы обозначения

(25)

F, =

2r

12 = ~(1х2 Л - 1т Л) =

= Я2(Я'2 + г'2) + (г'2 + ъ'2) + _г^

г2(г'2 + ъ'2) + (Я'2 + г'2) + я2.

В случае гидростатического давления интенсивности р вариация потенциала внешних сил (13) выражается соотношением [2]

2 ■

(23)

F2 =

l~í 2r

r'2 + z'2

-2Qi-+(i —L_

2 б 24

v u v vu

Vr' 2 + z' 2

20l+íi - 1

44 V u

Qi =

SW

д Ii

- + V

3W д I

Q2 =

2

2 4 V u

s^w

д i,2

1 -

2 Л Q2

4Г lQ3 + d Т vu ) д І

+ 2v

dW Л^ 2 ))

2 d2W 4 d2W

2 + И~

д І,д І2

д I

дЭ = -pJJN • —do .

_ д2W , 2 2, д2W

Q3 = „ 2 + (v +u )'

д I

Из вариационного принципа (11), учитывая (23), получим два нелинейных обыкновенных дифферен-

д І,д I

2 2 д2W

+V u

2

д I2

Вместо функцииy(ql) в качестве неизвестной в ря-

циальных уравнения вщюго ііорядка относительно де случаев целесообразно использовать функцию ' 1 _1 7(q1)=R'/Z'.

неизвестных функций R(q'), Z(ql)

pRZ' — hfR" — h'fR' — hf'R' + hf2 _ 0, —pRR' — hfZ" — h'fZ' — hf ' Z ' _ 0 .

Здесь введены обозначения:

f=

2r

VT

f, = 2a/t

22 2 + z' 2

1 —

R2

í '2 i2 Л

r + z

R ' 2 + Z' 2

2Л

/

ídW R2 dW Л + r2 • dI2

d I,

/

22 2 + z' 2

4 /2 . t2 Л í

r r' + z'

1-----------7 •

R4 R' 2 + Z' 2

dW R' 2 + Z' 2 dW

d I,

+

r' 2 + z' 2 d I2

Полученные соотношения представляют собой систему разрешающих уравнений относительно неизвестных функций Я(д'), г(д'). Сложность уравнений не позволяет найти решение аналитически, а также обусловливает трудности при численном анализе.

Добавляя к системе уравнений (25) граничные условия, получим краевую задачу, которая решается численно методом пристрелки. Задача Коши для каждого шага пристрелки интегрируется конечноразностным методом при помощи формул Рун-ге-Кутта с контролем погрешности.

3. Тороидальная оболочка

Уравнение срединной поверхности до деформации представляется в виде (r0, rj - постоянные величины) r = r(e)er + z(e)e г, г(в) = r0 + r sin в , ъ(в) = rjcose, 0 <р< 2р , - р/2 <в< 3р/2 .

После деформации уравнение поверхности задается формулами

R = R(e)er + Z(e)e г, 0 < р < 2р , - р/2 < в < 3р/2 .

Граничные условия - условия периодичности

Воспользуемся имеющейся симметрией уравнений для упрощения системы. Умножим первое уравнение функций Я(6) Х(в) и их производных с периодом 2п.

на Я' и сложим со вторым, умноженным на Ъ ' . После Кроме оси симметрии, тороидальная оболочка облада-

r

r

+

u=

2

o

2

r

ет плоскостью симметрии ъ = 0. Это позволяет наложить дополнительные ограничения на искомые функции Я' (-п/2)=Я' (3п/2)=0, уменьшив количество подбираемых параметров в методе пристрелки. Граничными условиями задачи служат периодичность функций ы(в), у(в) с периодом 2п и требование 7(-п/2) = 7(3 п/2) = 0.

Модель несжимаемого материала задавалась потенциалом Клоснера—Сегала [4] (д, в, к - упругие постоянные)

W' = м[(1 + в)(1] - 3) + (1 - в)(12 - 3) + к(12 - 3)2 ],

который включает в себя потенциал Муни (к=о) и неогуковский (к=о, в=1).

На рис. 1 представлены зависимости безразмерных величин внешнего давления (р =р/дИ) и объема деформированной оболочки (V =У/у). Обозначения на рис. 1—3 соответствуют упругим постоянным, приведенным в таблице. Толщину оболочки считаем постоянной и равной о,оо 1. Для малых значений нагрузки (р < о,6) вид потенциала и геометрические характеристики тороидальной оболочки незначительно влияют на деформацию. При увеличении объема в два и более раз жесткостные характеристики существенно отличаются для различных потенциалов и значений упругих постоянных. Для материалов Муни и Клос-нера—Сегала изменение размеров оболочки оказывает менее существенное влияние, чем изменение величин упругих постоянных. В частности, для неогуковского потенциала зависимость от параметра го отсутствует. Зависимости «давление—объем» в рассмотренных материалах дают два типа жесткостных характеристик: возрастающие и характеристики с максимумом.

и упругие постоянные существенно влияют на деформацию оболочки.

Рис. 2. Зависимость давления от внутреннего радиуса тора Я Значения упругих постоянных

1 ^=2, ß=1, к=О, гО=2, г1=1

2 ^=2, ß=1, к=О, гО=1О, Tj=1

3 ^=3, ß=o,33, к=О, гО=2, г1=1

4 ^=3, ß=o,33, к=О, гО=1О, T1=1

5 ц=2, ß=1, к=О,25, To=2, T1=1

б ц=2, ß=1, к=О,25, ҐО=1О, г1=1

На рис. 3 представлены толщины деформированного тора отнесенные к начальной толщине (Н(в)/И). Для графиков 1,2 величина безразмерного давления р равна о,725; для 3,4 — р = о,66; для 5,6 — р =1. На характер деформации оказывает влияние отношение го/г1: чем оно больше, тем равномернее по координате д1=в происходит уменьшение толщины оболочки.

Рис. 1. Зависимость давления (р*=р/дИ) от объема оболочки ^*^/у)

Различные типы поведения демонстрирует зависимость давления от минимальной радиальной координаты тора Я*=Я(-п/2)/г(-п/2) (рис. 2). На характер кривых оказывают влияние тип потенциала, упругие постоянные и геометрические параметры оболочки. Отношение параметров г0 к г определяет характер поведения при малых нагрузках (р*<о,4). Влияние свойств материала для этого диапазона нагрузок выражено слабее. Для больших нагрузок тип потенциала

Ростовский государственный университет___________________

Рис.3. Толщина оболочки (Н(в)/И)

Литература

1. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М., 1975.

2. Зубов Л.М. Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек. Ростов н/Д, 1982.

3. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М., 198о.

4. Колпак Е.П. Устойчивость безмоментных оболочек при больших деформациях. СПб., 2ооо.

_______________________________________3 декабря 2003 г.

3б