Боковая качка понтонов в зумпфах угольных разрезов Текст научной статьи по специальности «Физика»

ГЕОМЕХАНИКА

УДК 622.272: 516.02

С.В. Черданцев, Н.В. Черданцев БОКОВАЯ КАЧКА ПОНТОНОВ В ЗУМПФАХ УГОЛЬНЫХ РАЗРЕЗОВ

Для предотвращения затопления забоев угольных разрезов в процессе отработки угля открытым способом сооружают зумпфы, представляющие собой углубления в почве забоев, куда стекают грунтовые и подземные воды, которые, по мере заполнения зумпфов, откачивают с помощью водоотливного оборудования (ВО), установленного на плавучие средства (ПС) в виде понто-

рии, ни рекомендации по проектированию, изготовлению и эксплуатации плавучих водоотливных установок на угольных разрезах. А в основе проектирования понтонов лежит расчет только их плавучести. Однако, на наш взгляд, для обеспечения безопасной эксплуатации понтонов на угольных разрезах необходимы детальные исследования их статической и динамической остойчивости.

1 - металлические трубы-поплавки; 2 - палубный настил; 3 - бак-запасник воды ограждения; 6 -

стойки ограждения; 7 - поручни

нов, помещенных непосредственно в зумпфы. В дальнейшем понтон и находящееся на нем водоотливное оборудование будем называть плавучей водоотливной установкой (ПВУ).

ПВУ проектируются и изготовляются инженерно-техническими службами угольных разрезов. Конструктивно они состоят из металлических труб-поплавков, расположенных параллельно друг другу и герметически заваренных с торцов заглушками (рис. 1, 2). Используют только нечетное количество поплавков, которых, в зависимости от производительности водоотливного оборудования, может быть три или пять (реже семь). На поплавки настилают палубу, на которой закрепляют насосное оборудование с электроприводом, а для безопасного перемещения по понтону устанавливают боковые ограждения и поручни.

К настоящему времени пока еще нет ни тео-

Статическая остойчивость понтонов при малых углах крена и дифферента уже обсуждалась в работе [1], где в качестве критерия остойчивости использовались поперечная и продольная мета-центрические высоты. В частности, в этой работе выявлено, что остойчивость понтона при малых углах дифферента существенно выше его остойчивости при малых углах крена.

Вместе с тем заметим, что в процессе эксплуатации понтона неизбежны внешние возмущения (например, перемещение обслуживающего персонала по понтону), нарушающие его равновесие, что нарушает также равновесие жидкости в окрестности понтона и приводит ее в движение. Движущаяся жидкость, в свою очередь, создает на понтон силы и, тем самым, инициирует его движение, которое при определенных условиях может быть неустойчивым.

1

- металлические трубы-поплавки; 3 - бак-запасник воды; 4 - электродвигатель; 5

ки ограждения; 7 - поручни

насос; 6 - стой-

По описанной схеме произошел несчастный случай в марте 2001 г. на разрезе «Междуречен-ский» ОАО «Междуречье» при эксплуатации плавучей водоотливной установки. В ходе расследования несчастного случая, было установлено, что при попытке ликвидировать ледяную пробку в патрубке заборного шланга путем его опускания-поднятия, возникло периодическое движение понтона с нарастающей амплитудой, которое завершилась опрокидыванием понтона и гибелью одного из рабочих [2].

С целью выявления опасных режимов эксплуатации понтонов, в рамках взаимного влияния жидкости и понтона в работе [3] сформулирована задача о движении понтона в зумпфе угольного разреза. В ходе ее решения установлено, что понтон совершает периодические движения, представляющие собой вертикальную, боковую и килевую качки, происходящие независимо друг от друга.

Все три вида качки создают дискомфортные условия для рабочих, обслуживающих водоотливное оборудование. Но сами по себе они не являются катастрофическими. Однако чрезмерно большие углы крена и дифферента, возникающие в процессе качки при определенных условиях, могут привести к опрокидыванию понтона, а знакопеременные динамические нагрузки - к его разрушению.

Сопоставляя вертикальную, боковую и килевую качки, мы можем сказать. Во-первых, если коэффициент запаса плавучести выбран в соответствие с указаниями Государственного Регистра, то вертикальная качка, как правило, не приводит к затоплению плавучего средства [4,5], в силу чего этот вид качки мы здесь обсуждать не будем. Во-вторых, рассматриваемая конструкция ПВУ, условия эксплуатации ВО и внешние возмущения в большей степени инициируют боковую качку, нежели килевую или вертикальную. В-третьих, опрокидывание понтона на разрезе «Междуречен-ский» ОАО «Междуречье» произошло в результате именно боковой качки с нарастающей амплиту-

дой.

В связи со сказанным, здесь мы будем рассматривать только боковую качку, описываемую дифференциальным уравнением [3,6]

('^х] ^ М44 )в + РН(]0 = 0, (1)

где Jxl - момент инерции массы ПВУ относительно оси Ох1, лежащей в плоскости ватерлинии; М44

- присоединенная масса жидкости, характеризующая увеличение момента инерции ПВУ в процессе ее боковой качки; в - угол крена относительно оси Ох1 (рис. 1); точками здесь и далее обозначены производные по времени; Р - вес ПВУ, равный архимедовой силе; Ио - поперечная метацентрическая высота понтона [1]

Ь0 = в~ Ы - 2О > (2)

где метацентрический радиус г в вычисляется по формуле [1]

га = 2

:1С (2 -С) |

Я х

1 +

2С(2 -С)

1-2

і -1

2

(3)

3уг-

а координаты положения центра масс ПВУ и центра величины іС находятся по формулам [1]

1 п =—ЕЕ

м Е

Щ ■ 2, 2С =

= - 2 Я 3

13/2

Ж-

[сс -оТ С) - (1 -си С(2-С) ]

(4)

В формулах (3) и (4) приняты следующие обозначения: Я - радиус труб-поплавков понтона; С = 1о/Я- относительная максимальная высота надводной части поплавков (рис. 3), зависящая от величины коэффициента запаса плавучести кр;

х

О

(1)

ватерлиния

(1)

О

'V-

О

Я

(УХ//\ і

С//л г 1 і г1 г >

1

►

Рис. 3. Основные параметры поперечного сечения трубы-поплавка

ё = ё / Я, d - расстояние между центрами тяжести крайних поплавков понтона; ] - количество поплавков, составляющих понтон; xi, у^ zi - координаты масс mi, составляющих ПВУ, а величина M - масса всей ПВУ. При этом величина С находится из решения уравнения [1]

агссоя(1-С) - (1 -%/С(2-С) =------------------р

кр +1

(5)

поэтому вначале задается значение kp, а затем из уравнения (5) находится величина С Например, если kp = 0.3, то из уравнения (5) величина С =

0.5627, а если kp = 0.5, то С= 0.7351 и т.д.

Разделив уравнение (1) на коэффициент при второй производной, получим

0 + О)20 = 0 , (6)

где О является собственной частотой боковой качки понтона и определяется как

О =

Р ■ Ио

^Х] + м44

(7)

Добавив к уравнению (6) начальные условия

в=0 =в0’ °\{=0 = О0, (8)

мы получаем задачу Коши, решение которой [7,8] в = С 8іп( О + р) (9)

показывает, что боковая качка понтона носит характер гармонических колебаний.

В (9) величина C - амплитуда боковой качки, а р - ее начальной фаза, определяемые как

С =

в02 +

°0

О

2

Св, О0

(10)

Сформулированная задача Коши для описания качки рассматриваемого понтона является задачей

достаточно простой. Но вычислить собственную частоту боковой качки понтона, амплитуду C и

начальную фазу р мы не можем, поскольку формулы (7), (10) содержат неизвестные момент инерции ПВУ и присоединенную массу жидкости Ы44, которую для рассматриваемого типа понтонов еще никто не вычислял. Поэтому процедуру вычисленияЫ^44 мы здесь рассмотрим подробно.

В работе [3] было установлено, что д04

м44 = Р \ Ф4

Я]

дп

-ёЯ,

(11)

где п - внешняя нормаль к поверхности Sl понтона, находящейся под водой; Ф4 - функция, представляющая собой потенциал скоростей возмущенного движения жидкости, вызванного равномерным вращением понтона вокруг оси Ox1 с единичной угловой скоростью.

Известно, что [3]

дФ4

дп

= усо&(п,г) - г со$ (п,у) , (12)

в силу чего, формула (11) приводится к виду

М44 = р| Ф4у соб(п, г)ёЯ -

.(13)

Преобразуя интегралы в (13) по формуле Остроградского - Гаусса [7]

>д(ФаУ) л/ .Гд(Ф42)

м44 = р\дфУ) ёу -р{

р\У

дФЛ

дп дг

дг

у1

■—ёУ-р[ г

ду

-ёУ =

дФ„ дп 4 ■—ёУ

дп ду

и затем, еще раз используя (12), мы получим

1

I

о

Я

Я

М 44 =

р\ уу со$<п-г)-г со5(я,у) ёУ

собГп, г)

У1

р/ г\усо$(п,г) - гсо8<п,у))]

1

У]

С08(п,у )

= р{ уёУ -р/у, со^(п-У> ёУ -

Р\ ^У"

У С08(п, у)

Замечаем, что, ввиду симметрии понтона относительно плоскости xOz, второй и третий интегралы в формуле (14) равны нулю [9,10] и поэтому присоединенная масса жидкости вычисляется с помощью только двух интегралов

М44 = р \ у2ёУ + р \ 22ёУ. (15)

VI У1

Поскольку длина понтона превосходит его ширину, а трубы вдоль своей длины не образуют клиновидности, обводов и закруглений, так как параллельны друг дугу, то будем полагать, что обтекание труб жидкостью является плоским [4,5,11].

Поэтому, область Vl мы можем представить

как

У, = ] ■ А(,)1.

соб(п,г) соб(п, г)

ёУ + р/ г 2ёУ

У

1 = І ■ А1 Ь, (16)

где L - длина понтона, А/1 - часть площади поперечного сечения одной трубы, находящаяся под водой (см. рис. 3), определяемая как [1]

2

ж- агссо,ї(1 -С) + (1 -С )у] С(2-С) ] Поэтому интегралы в формуле (15) заменяем ин-

А(1) = Я

тегралами по области j■A

(1)

(

М44 = рЬ

\

1 А(1

1-А{1)

(17)

V 1 " 1 У

где dA - малый элемент области А/1, а входящие сюда интегралы являются моментами инерции области j■Al(1 относительно осей г1 и у1, расположенных в плоскости ватерлинии.

Присоединенную массу М44 в соответствие с формулой (17) будем вычислять поэтапно. На

т (с.)

первом этапе находим моменты инерции 12у ,

(с)

1у1 для центрального поплавка, которые назовем собственными моментами инерции.

В этом случае интегралы в (17) приводим к виду (см. рис. 3)

1(1> = / у2ёА = 2 і 1 А(1) 3 -(Я+И)

А1

2

0

4Я2 - (г + И)2

3

1(с) = Г г2ёА = 2

VI Г

У1

/V Я2 - (г + И)2

г2 ёг

А

-ёУ =

(1)

1

-(Я + И)

и заменяя в них переменную г подстановкой z + к = Я8тп, и е [- ж/2;агс8т( 1 - С)], находим оба интеграла в замкнутом виде, сумма которых выражается посредством формулы

I (с) = I (с)

+¡ус'=

+

= 1 + 2(1 - С)2]\2агсіп(1 - С) + ж] +

11 + 3(1 -с )2 }1 -с д/1 - (С-1)2

-1(1 -С )т/1 - (С-1)2

6

1 - 2(С -1)2

+

+ 4(1 -С Ж - (С-1)

1 - (С-1)2

(18)

В формуле (18) интегралы отнесены к величине Я4.

На втором этапе мы находим момент инерции всей подводной площади понтона путем суммирования собственных моментов инерции всех поплавков понтона, и учитываем теорему о параллельном переносе осей [9,10]. Полученное значение момента инерции подводной части понтона подставляем в формулу (17) и находим присоединенную массу в виде следующего выражения

М44=¡¡с+12а<1)з2<і

2

Е

і=1

1 - 2

і -1

2

где М44 = М44

г( с)

І -1 (19)

4 . ~А(1) — А(1) /Я2

рЬ-Я4 ; А(1) = А

находится по формуле (18).

а величина I(

Х1

При вычислении момента инерции массы ПВУ относительно оси х1 мы будем учитывать ее составные элементы, показанные на рис. 1, 2 и приведенные в таблице, значения масс в которой даны в килограммах, а размеры - в метрах. В ходе вычисления мы будем использовать формулы моментов инерции простейших тел (цилиндрическая тонкостенная труба, круговой цилиндр, тонкий стержень) и теорему Гюйгенса о вычислении моментов инерции относительно параллельных осей [9,10].

Так, например, центральный поплавок представляет собой тонкостенную трубу, а заглушка является круглой пластинкой.

Поэтому

'„2 . о/Г . 7„2>

I(1) = I + т И1

Х1 тр тр

ёг =

+ 2( I,

(

+ т

ха% а

И ) =

= ттрЯ

+ ттрИ

+ 2

тга8Я

Л

+ таИ

Таблица составляющих элементов ПВУ

№ Кол-во Масса, кг

1 шт. общая

1 Труба-поплавок понтона Я = 0.35, 1 = 5.1, ¿тр = 0.008 3 683.75 2051

Заглушка трубы-поплавка понтона Язаг = 0.34 6 23 138

2 Палубный настил ё = 1.8 1 1 179

3 Бак-запасник воды в сборе на подставке Я3 = 0.26, И3 = 0.76, ¿3 = 0.25 1 158 158

4 Электродвигатель Я4 = 0.3; ¿4 = 0.17 1 890 890

5 Насос Я4 = 0.2 1 485 485

6 Стойки ограждения И6= 1.0 10 7.6 76

7 Поручни 17 = 5.0 4 12.25 49

= m R2

mmpR

1 +

2 ^

2

+ mzagR

1 + 2

2 ^

2

,(20)

где ттр - масса трубы поплавка, т2^ - масса заглушки. Учитывая, что И/Я = 1 - С, перепишем формулу (20) в виде

їЦ = 1 + (1-Ç)2 +

x1 m

m

zag

1 + 2(1 -С)

(21)

mp

m R2

где 1(1) = 1(1)

X] X]

Момент инерции всех труб-поплавков и заглушек найдем по формуле

JX^ = j + (і-С)2 +mag

1 1 m

mp

1( j-1)/2^

[і + 2(1 -С)2 ]

+

m

1 + 2 mZag

m

mp J

z

i=1

1 - 2

V

i -1 j -1

J

в которой мы учли теорему о моментах инерции при параллельном переносе осей.

Опуская процедуру получения формул для вычисления моментов инерции других элементов ПВУ, приведем лишь окончательный вид этих формул

j(2) _ m2 d2 x1 m, 12

mp

1+i§

2

J (3) = m3

1 m_

1(4) _ m4

Г R.

R

1 Г h

+ -6

3

+

С +

2S3 + h 2R

J,4y = xl m,

mp

2 V R J

R

J(5) = m5 1 mmp

r(6) _ n6m6

J(6) = xl m,

mp

j(7) = 2m7 x1

Rl

1Г hè_

12 V R

+ ІС +

S4 + R5

R

(23)

+ ІС +

h6

2R

V2 d2

+ -

4

m,

mp

42

ч2

2R

R

d

2

2

С + І +ІС + —1 + —

в которых моменты инерции также отнесены к величине mmpR .

Момент инерции ПДУ представляет собой

7(1) Т(2) 7(7)

сумму моментов инерции J J J , т.е.

Jx = J)1] + J(? +... + J)7) .(24)

X1 X. X1 X1 V '

Анализируя формулы (21) - (23), мы видим, что они содержат массу трубы-поплавка, которую, более удобно выразить через плотность материала трубы и ее геометрические параметры

mmp = Vmppmp = SmpLpmp = 2^R^mpLpmp , где Vmp - объем трубы-поплавка; ômp - ее толщина; pmp - плотность материала трубы-поплавка.

Подставляя значения M44 и Jxi, найденные соответственно по формулам (19) и (24), в формулу (7), получаем

О =

где

g _ j • AiV • h0 R 2Ж • Smp ' Pmp 'JX1 +M44

(25)

h0 h0/R ; Smp Sn

R :

'тр '■'тр

ртр = ртр ^ р.

На рис. 4 представлены графики зависимости собственной частоты СО боковой качки понтона от величины радиуса Я трубы-поплавка при различных значениях ё.

Анализируя графики, мы видим, что на доста-

2

2

2

2

2

2

точно узком интервале Яе [0.3м;0.35м] происходит резкое увеличение собственных частот боковой качки. Однако при Я > 0.35м кривые выпола-живаются, приобретают экстремальные значения и далее медленно снижаются, оставаясь практически эквидистантными и всюду выпуклыми.

Описанное различие в поведении зависимостей о(Я) на различных участках изменения Я состоит в следующем. С ростом Я практически линейно увеличивается и коэффициент запаса плавучести кр (рис. 5), что ведет к росту величины С (см. формулу (5)) и, как следствие, к росту мета-центрической высоты ко, момента инерции Jx1 ПВУ и присоединенной массы М44, но рост величины ко существенно превосходит рост в совокупности величин Jx1 и М44.

При Я > 0.35 м, наоборот, с ростом Я, приращение величин Jx1 и М44 более существенно, чем приращение высоты ко.

При дальнейшем увеличении радиуса (Я >

0.5м) зависимости 0^Я) превращаются в наклон-

ные прямые с отрицательными угловыми коэффициентами. Причем, чем меньше расстояние d между поплавками, тем ниже собственные частоты качки. Но при этом кривая 01(Я), соответствующая расстоянию d = 2.4м, имеет четко выраженный экстремум в точке Я = 0.475м, в то время как экстремум кривой О>2(Я) (й = 2.5м) выражен менее отчетливо. А у зависимости Оз(Я) (й = 2.7м) экстремум едва различим, и является точкой разделяющей кривую и прямую ее части.

Напротив, графики зависимостей О 4(й), 05(й), 0б(й) (рис. 6), соответствующие значениям Я = 0.35, 0.4 и 0.45 м, монотонно возрастают и не обнаруживают на рассматриваемом интервале d е [1.8м; 3м] локальных экстремумов собственных частот. Еще одно отличие, по сравнению с графиками на рис. 4, заключается в том, что чем больше Я, тем быстрее растут собственные частоты при увеличении Й.

Выводы.

1. На основе решения задачи Коши, описы-

вающей боковую качку понтона, выявлена форма качки в виде гармонических колебаний и получена формула для вычисления собственной частоты качки.

2. Установлено, что присоединенная масса жидкости понтона, совершающего боковую качку, представляет собой момент инерции относительно продольной оси массы жидкости в объеме, равном объему подводной части понтона.

3. Показано, что момент инерции, являющийся присоединенной массой жидкости, выражается суммой двух кратных интегралов, которые сведены к квадратурам, и в преобразованном виде

представляют собой аналитическое выражение.

4. Обнаружены следующие закономерности собственных частот боковой качки понтона:

а) на интервале Я є [0.3;0.35] происходит резкое увеличение собственных частот и плавное их уменьшение при Я > 0.5 м;

б) собственная частота достигает максимума на интервале Я є [0.35; 0.5];

в) увеличение расстояния между крайними трубами-поплавками приводит к монотонному росту собственных частот понтона.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Черданцев, С. В. Теоретические основы расчета понтонов, используемых на угольных разрезах // ФТПРПИ. - 2013, № 1. - С. 61 - 69.

I. Кучер, Н. А. Условия безопасного применения плавучих водоотливных установок / С. В. Черданцев, С. И. Протасов, С. Н. Подображин, В. В. Билибин // Безопасность труда в промышленности. - 2003,

- № 1. - С. 12 - 14.

3. Черданцев, С. В. Формы движения понтона в зумпфе угольного разреза / С. В. Черданцев, Н. В.

Черданцев // Вест. ВостНИИ. - 2013, № 1,2. - С. 45 - 54.

4. Ремез, Ю. В. Качка корабля. - Л. : Судостроение, 1983. - 328 с.

5. Благовещенский, С. Н. Справочник по статике и динамике корабля. В двух томах. Том 2. Динамика корабля / С. Н. Благовещенский, А. Н. Холодилин. - Л.: Судостроение, 1976. - 176 с.

6. Черданцев, С. В. Уравнения движения понтонов в зумпфах угольных разрезов // Вестник КузГТУ.

- 2013, - № 1. - С. 7 - 10.

7. Смирнов, В. И. Курс высшей математики, т. 2. - М.: Наука, 1974. - 656 с.

8. Степанов, В В. Курс дифференциальных уравнений.-М.: Физматгиз, 1959.-468 с.

9. Кильчевский, Н. А. Курс теоретической механики, т. 2. - М.: Наука, 1977. - 736 с.

10. Беляев, Н. М. Сопротивление материалов. - М.: Наука, 1965. - 856 с.

II. Кочин, Н. Е. Теоретическая гидромеханика, т. 1 / Н. Е. Кочин, И. А. Кибель, И. В. Розе. - М.:

Физматгиз, 1963. - 584 с.

Авторы статьи

Черданцев Сергей Васильевич, доктор техн. наук, профессор каф. математики КузГТУ E—mail: svchO 1 @vandex.ru

Черданцев Николай Васильевич , доктор техн. наук, зав. лаб. геомеханики угольных месторождений Института угля СО РАН.

E-mail: [email protected]