CC BY
35С.А. Павлов
БИРЕШЕТКИ ДЛЯ ЛОГИКИ БЕЛНАПА И ЕЕ ОБОГАЩЕНИЯ*
Abstract. Distributive bilattice used to interpretation of Kleene 's strong 3-valued logic, Lukasiewich's 3-valued logic, Belnap's four-valued logic, falsehood logic FL4.
Целью этой работы является применение отношений порядка истины и порядка знания для интерпретации трехзначных логик Клини и Лукасевича и бирешеток для интерпретации четырехзначных логик: логики Белнапа и логики ложности FL4.
1. Отношения порядка истины и порядка знания и обобщение логики Клини
Для интерпретации трехзначной логики Клини и четырехзначной логики Белнапа Фиттинг использовал два отношения частичного порядка на множестве истинностных значений: отношение порядка истины <T и отношение порядка знания <K.
Клини строит трехзначную логику KS3 с помощью регулярных таблиц для связок , &, v, вводимых в сильном смысле [3].
Клини использует три истинностных значения: t («истина»), f («ложь»), u («не определено»), или в другом их толковании «известна истинность», «известна ложность», «неизвестно, истинно или ложно» (также означает отсутствие информации, заключающейся в том, что некоторая формула принимает значение t или f).
Для логики Клини имеются соответствующие ей алгебра Клини с операциями л, v, ~ и дистрибутивная решетка [2].
Элементы множества истинностных значений {t, f, u}, которые далее для единообразия обозначим {T, F, N}, упорядочены следующим образом:
T
N
F
* Работа выполнена при поддержке РГНФ, грант № 04-03-00266.
Отношению частичного порядка < для логики Клини Кй3 отвечает порядок истины <т. Тогда на множестве истинностных значений логики Клини порядок истины <т образует полную решетку, а пересечение л и объединение V в точности соответствуют конъюнкции и дизъюнкции логики Клини.
Обратим внимание на истинностное значение и. Его смысл состоит том, что о высказываниях, оцениваемых им, мы не знаем достаточно, чтобы оценить их как истинные или ложные, в отличие от высказываний, оцениваемых значениями 1 или £, о которых мы знаем достаточно, чтобы их соответственно оценить. Поэтому имеет смысл ввести шкалу и порядок знания <К. Тогда предыдущую диаграмму следует видоизменить следующим образом:
T А
N
T
F
K
Осям абсцисс и ординат соответствуют порядок знания и порядок истины.
Отметим, что порядок знания <K в данном случае не задает полную решетку, а только полурешетку.
Ситуация меняется при добавлении четвертого истинностного значения B, являющегося верхней гранью (maximum) для порядка знания <K.
В этом случае получаем две решетки, которые Белнап называет логической L4 и аппроксимационной A4, и применяет их для анализа построенной им четырехзначной логики, предназначенной для компьютерных рассуждений. Приведем диаграмму для L4.
T
T
N
B
K
F
По мнению Фиттинга [7], такое обобщение логики Клини является естественным и логика Клини является сублогикой логики Белнапа. Подобное сопоставление алгебры Клини и решеток Ь4 и А4 провел Мускенс в [9].
Вышеуказанные решетки образуют одну систему, которая является бирешеткой. Понятие дистрибутивной бирешетки ввел Гинсберг [8].
Бирешетка <В, <К, <т> определяется как непустое множество истинностных значений В с двумя частичными порядками: <К и <т, - каждый из которых образует на этом множестве полную решетку.
Фиттинг [7] использует бирешетки с двумя порядками: порядком знания <К и порядком истины <т.
Обычным образом задаются бинарные операции пересечения л и объединения V для решетки с порядком истины <т, а для решетки с порядком знания операции ® и © определяются аналогично.
2. Обогащение логик Клини и Белнапа
Как известно, логика Клини характеризуется тем, что в ней отсутствуют аксиомы и теоремы. Поэтому имеет смысл перейти к трехзначной логике Лукасевича в такой формулировке, которая может рассматриваться как логика Клини, обогащенная операторами возможности М и необходимости Ь или, в немодальном истолковании этих операторов, операторами неложности — и истинности | языка логики ложности БЬЗК [5].
Лукасевич вводит третье значение истинности 1/2, исходя из утверждений «... существуют высказывания, которые не являются ни истинными, ни ложными, а лишь только безразличными», «Безразличные высказывания, которым онтологически соответствует возможность, имеют третье значение» [4]. В других его статьях смысл этого значения передается терминами неопределенность или indetermine.
Лукасевич конструирует логику Ь3, в которой исходными связками являются и отрицание
Другая сигнатура {V, Ь} предложена Е. Слупецким, Г. Бры-лем и Т. Пруцналем в [10] для аксиоматизации трехзначной логики Лукасевича.
Оператор возможности Мр определяется через исходный оператор необходимости Ьр обычным образом:
Мр = ~Ь~р.
Унарным операторам необходимости Ь и возможности М, а также операторам неложности — и истинности | соответствуют истинностные таблицы:
Л ЬЛ МЛ Л | Л —Л
0 0 0 Б Б Б
:/2 0 1 N Б Б
1 1 1 т т т
Логики с множествами связок и {V, л, —, М} эквива-
лентны. В последней сигнатуре формулируется трехэлементная алгебра Лукасевича
Lз = <{1, :/2, 0}, V, л, -, М, 1>.
Можно также показать, что трехвалентные логики с множествами связок ~} и {V, л, —, Ь} эквивалентны. Тогда сформулируем алгебру Лукасевича как
Lз = <{1, 1/2, 0}, V, л, -, Ь, 1>.
Для логик Ь3 и Кй3 имеется известное соотношение:
Трехзначная логика Лукасевича Ь3 функционально эквивалентна трехзначной логике Клини с сильными связками К83, обогащенной связкой полной эквивалентности.
Тогда возможно получить соотношение алгебр Лукасевича и Клини, такое, что Ь3 есть алгебра Клини, снабженная операцией Ь, для которой имеют место следующие равенства.
1. х V -Ьх = 1,
2. х л -х = х л -Ьх,
3. ЬЬх = Ьх,
4. Ь(х л у) = Ьх л Ьу.
5. Ь(х V у) = Ьх V Ьу.
Имеется также соотношение функциональной эквивалентности для логик Ь3 и БЬ3К [5]. Отметим, что трехзначная логика является сублогикой логики ложности БЬ4.
Подобно тому, как логика Лукасевича получается посредством обогащения логики Клини Кй3 оператором необходимости, обогащение логики Белнапа оператором истинности | ведет к логике ложности БЬ4.
Соответственно алгебра ложности БЛ4 есть логическая решетка Ь4 снабженная операцией |, для которой имеют место следующие равенства.
1. | | х = | х,
2. ( | х V - | х) = 1,
3. ( | х л - | х) = 0,
4. | (х л у) = | х л | у,
5. | (х V у) = | х V | у.
Н. Белнап отмечает необходимость отличать знак «говорит только Истину» от знака «по меньшей мере говорит Истину», но не предлагает формального выражения их различения. В языке логики БЬ4 это отличие в оценках предложений выражается употреблением двух различных операторов: оператора строгой истинности Г и оператора истинности |.
Подобно различению истинности и неложности от истинности можно различить отношение порядка истины <т, отвечающее логической решетке Ь4, и отношение порядка истинности < г, соответствующее сравнению истинностных значений формул, префик-сированных оператором истинности. Тогда порядку истины <т отвечает ось т, а порядку истинности < г отвечает ось 1.
Это позволяет элиминировать эпистемическую компоненту из характеристик формул языка логики, оставив только логическое содержание.
т
т
г
Отметим, что логикой, в которой таблица для импликации может быть сопоставлена порядку истинности < г, может быть логика, предложенная В.М. Поповым в [6].
Приведем таблицы для импликации ^ и отрицания —I в четырехзначной паранормальной логике АУР [6] и соответствующие им таблицы для импликации истинности сопоставляемой порядку истинности < г, и отрицания ~ в логике ложности БЬ4 [5].
1 0 f t A -A
1 1 0 0 1 1 0
0 1 1 1 1 0 1
f 1 1 1 1 f f
t 1 0 0 1 t t
^ T F N B A ~A
T T F F T T F
F T T T T F T
N T T T T N N
B T F F T B B
В заключение отметим, что порядок истинности < t не образует решетки, следовательно, полученная система слабее бирешетки, тем не менее в ней можно выразить все логически значимые утверждения логики Белнапа и логики ложности FL4.
ЛИТЕРАТУРА
1. Белнап Н. Как нужно рассуждать компьютеру // Белнап Н., Стил Т. Логика вопросов и ответов. М., 1981.
2. Карпенко А. С. Многозначные логики // Логика и компьютер. Вып. 4. М., 1997.
3. Клини С.К. Введение в метаматематику. М., 1957.
4. Лукасевич Я. О детерминизме // Логические исследования. Вып. 2. М., 1993. С. 190-205.
5. Павлов С.А. Логика с операторами истинности и ложности. М., 2004.
6. Попов В.М. Об одной четырехзначной паранормальной логике // Логика и В.Е.К. М., 2003. С. 192-195.
7. FittingM.C. Kleene's logic, generalized // Journal of Logic and Computation. 1992. Vol. 1. P. 797-810.
8. Ginsberg M.L. Multivalued logics: a uniform approach to reasoning in artificial intelligence // Computational Intelligence. 1988. Vol. 4. P. 265-316.
9. Muskens R.A. Meaning and partiality. Amsterdam, 1989.
10. Siupecki J., Bryll G., Prucnal T. Some Remarks on Three-valued Logic of J. Lukasiewicz // Studia Logica. 1967. Vol. XXI. P. 45-70.
