CC BY
16
(Z) a XHHtfoasHodu хннлоеь єи ннєігяєііооо (u‘-‘z‘i = fV (z)r’v ншнеийиффєом
‘0 = uii- (z)uuv + "■+ lii ■ (z)luv + Vf ■ (z)wv
‘0 = uii • (zfz+,uv + ••• + г/С • (z)z'z+u,n + Vf ■ (z/z+u,v ‘о =UÆ-(Z)U‘1+U,v + -+ 4-(z)z‘l+u,v+ Vf.(z/I+"»
(Є) ‘“Vf = u6.(z)umo+-+ 4-(z)zma + 4-(z)V“v ’
‘^ = ■ (z)ulv+ "'+ lÆ ■ (z)zzd+ Vf ■ (z)lzn
‘ JÆ = uii- (z)uln + ■"+ zii • (z)ud+ Vf • (z)uv
:эВие HoiAHdsaeEd a (2) иинэнавсМ хічнаїгвийнесЗеффий' Лиэшоио иэшипее
и‘'"‘і + ш‘\ + ш= f і
% м
(г) ‘0= ^--тгтттт----------З
(О 0 O) /Ь(2 «
' ^----------—т = —
:їїия лээии ииненаесІЛ хнняьгеиПнэйэффий' хнниениіг єілієіоио иєннеріЛігои etfiioi • оняігєііиріошоія e^tfndou ojoadeu otf eHHtfoasnodu эинлобь ялоэьЛ и q = ^ имріОіЬ илоон -tioed^ío я edoLfHSi tfnd инннэШдодо я Яііижоїгє^ '/h и ии'гтанЛф оъмийохдоэн одоіє иігЦ *нинежиігді^и одоя -dSU HHHSHHedA XHHЯIГЄИl^HЭdэффИЙ, ХННИЭНИ1Г ИОІЛЮІОИО ЭЭ ЯИНеіДІЄЄ '(Т) HHH0HHedÁ Лрмэлоио iAieAsndeeHHif
• 2 HibBHHïïdooM ионягтой1
-odu оняігєіиооніо гачнжияй'оиэн иоієиігяи (і) нілієіоио (и‘"'<'£‘і = і) 0 = !Á eHHsmed 'оняігелєяой'еіго 'яігАн я Hotiaetnedgo оннэялоэй'жол (и,ш£, +Ш‘\, +Ш = Í !ш‘"'ЪХ = 0 4) И ии'гтанЛф (u‘'"‘Z‘V = 0 0 = 'Á ИС^П
* [6] ИИНЭР10О XHHhedeUOU ІАІОЇЇОіЬеіАІ ХНІАІ
-eniretfeduo 'ии'гтанЛф єи енннеігяєлооо ' z HibBHHïïdooM иoняIгoй,odu ии'гтанЛф эннлоэяеиэн - (z)!Á = !Á stfii
lU‘---‘Z+LU‘i + LU= f ‘LU‘-‘Z‘Y = !
(i) 'o =(uA-4 4)f
zp
іеїїия ІЛІО^ІО SFiHIf ОЯ1/МИО Я '[8] 9 0HHH0hÁIfOU 'HHH0HHedÁ НІЛЮЛОИО ИіЬЄ ІАІ0ШИиЄ£ 'ИИНЭНЯ^А
XH>ÍO0FiHedg0Jire ХННИЭНИ1ГЭН ИОІЛЮІОИО О ОНіЬО Э1А1ЯОО HHHSHHedÁ XHHЯIГЄИl^HЭdэффИЙ, хнннэяонмндо ХННИЭНИ1ГЭН нілієіоио ŒHHemed ;н [6] иинэьэо XHHhedeuou еїїОіьеїлі аяйіоіліои о илоэяо онжоіаі J э>^и^lэндєIAIoddэф я илооннэьин -ДЄІАІЄН edOi^SH иинежияй1 IAI0HH0HHedA XHHH0HirOUOtf J ЄІГІГ0ЯО>ІЄІЛІ HHH0HaedA ХННИ0НИІГ0Н - ИІАІИИН0РіаіГ>іа ИІЛШНіїїИН -ДЄІАІ ИІАІННИ0НИІГ0Н O dAtl^AdtlO ХИ^ІО ©FiHIAIPHHtfodib^í 0ІГЄ ЬГІГҐҐ ииl^>^єdфий, Hhetfes SHHemed O ib Fi 'ОНЄЄЄМОи [8] а
иинвдэкол и нігоя иіьоончігид^іьоен вєиігвнв олоннэкоиь їґоієн ’ X
• илоониениіген аянэиэло
иомооіче о ґіиіоєріонєн хнніЬиндpi/m H^tierned xиШєжdэй,oo 'xedAti^Adtio XHHdOtieHosed и xntnAtfeaoHiroa хи^оэьии -eHHtfodti^eiTG а иинеігаи и нл^еффє en^oehndtieiAiedeu и энниэниьгэн Stieaotfeiroon оннєігоирі ииШаиігоаєои и [¿] HHlie>íd^Hg nndoei хиеїїи єн инннєаоноо 'xedAi^AdtiooHeH хнніиндєіаі а иинєдеіго^ и нігоа аялооняігидєлоен о хнннєєиао 'иинеігаи anHeaodniretfoiAi Ліаіо^оєріИієіаієієіаі ÁiAiojodio tfoxtfou Heiogedsed eioged ионней1 g
• [9] dAti^Adtio xнao^lиddэф хнньонеіги
XHHdeiAioHtfo Hirtf еПитфиц’-Лей'нец’ HMHSHaedA єєиігєнє oдoннэжиIгgиdu эаоноо єн Hinased иігнд eeHed (до) нігоа
хнаониио и (дон) хи^оєріИієіооіиндєіаі илооняігидєлоен nndo эл эи^оэьиеиф • [g] еПитфиц’-Лей'нец’ ЭIAIdoф a э>^и^lэндєIAIoddэф a илооннэьиндеиен edoi^ea иинежнай1 iAienHSHaedA о онлоэиаоо вігігеаомв^ HHHSHaedA хнниэн —И1ГЭН XHHirou эаоноо єн о^яігоі aintfoaodu оиийохдоэн MHdOibOM J aodtieiAiedeu xntnaniraeduA хиинэьене хннноиґі -e^íd^ng ndu aoiAn-racsd xHHtfoxedeu єиігєнє оіє - иинеігаи хилє HHHeaotfeiroon а иєлє иннжоіго ееігодиєн * [ р ] ibOibOBFi хеноееиеий1 iAioaotidejedei и iAioaoHiroaod>íHiAi a iAiensedgoojoHiAi іаіічнчігєіЬирісяігмои иолаєріиітло '’пилоєрі -онєн хнніЬиндpi/m хєіаієіоио а нігоа аяіооняігидєлоен о енннєєиао 'иинеігаи en^oehndtieiAiedeu и энниэниьгэн
•ŒITOU ЛіАІОНіЬИН Д PIAI >1 ХІЧНЯІГЄіЬИЯіЬОЯАРіОМООІЧЯ 'tfedo ИІАІР ЯіЬОИОЯО HHH0ITHeduA ИІГЇҐ ИіЬООНЖОІАІЄОЯ энаон tieeand^ítio ґіиіоєріОнєн xнн^lиндєIAIoddэф ^oierned оалоиоао оі0 • [£Jz] iAieirou іаінніиндєіаі іліингпена иэло -BFi ээ хічнчігзїїіьо иіги H^tiemed иэоа HHHeaHhHHjeiAiedeu ідіелЛи aieanedtioedeu онжоіаі ґіиіоєрі еігои єоніиндєіаі
'одоі 9iAiod)í • aodtieiAioHeH ОООІ ОТ 1110 sireadeiHH а иояіинєіаієи ієжоіаі иидоігонхелонєн nninased iAioHHeiAieda
-00 ndu ґіиіоєріонєн H^tierned ц tfonden * [Т] n^tiemed iAiotfondeu iAiHiAieniretfeduo 'ииненеідієи ідіоделглоєїді и єіїиі
-ЭHДЄIAIOddэф ИИН9ЇШЧОВН ВіЬНЄІАІОІАІ ОіІОНіЬИНіІ РІ/М e^ítffcídou ИОНИРіИІГЄЯ ИІГОН О Д ОНіЬИН Д РІАІ OJOHtfodOHtfOSH ІАІО^ИНРіОІОИ ІДІІЧНЯІГВМИНА ИОіеИІГЯИ ҐІИІОЄРіОНЄН XHH^lИHДЄIAIOddэф е^ЛЭГЛЭД * ІАІВИНИОіЬООО ХИ ЯІНІГЯІ^иЛ іеиігояєои И ІАІР ЯіЬОИОЯО хи ensedgooHsed еогпяігод tieetfndu - єінєіаіоіаі одоніиндєіаі - нйодояо инэиэло ионягтелинігоиой1 'neHHediÁHH еиріиігєн >ї'i4d0ibOBiTMOHBH єнніиндєіаі іаєїдіинєє іьоеіді xi4H4irBdibH0!n єи OHtfo аол^э^доонен edniAi g
еинеїґеед
* £0Ç££-80-Ç0 N JîHPcLr Jиин^зоїґзігоои хічнчіг&лнзи&їґнЛф іліоїґноф иихэииээо^ ^н^ж0зїґїґоп
* ИІАІЄ'ПИІОЄРіОНЄН Аїїжєіаі иин
-Hoiooed XHHFiHirsed иігїї HibOibOBFi HOHHeaodniAidoH и и;>те;яен ннігоа noHtiHHjeiAiodti^eirG netnaetfeu ічїґАіЬиігиїдів іо иіооідіиоиаєє a xe^tiernedoHPH хнніиндєіаі а (иинєдеіго^) нігоа хнаониио хнннэъмдо-онян’оиий' и хи^оєріИієіооіин -дєіаі хнняігоиий'-яігоиий' иинеїїжЛдєоя iAio^oeFiHdtieiAiedeu ndu иіооняігидєлоен иелоєїгдо echoed ojo^oehniAieHHtf -odti^eifG н^lє^lЯIгЛєэd ннеріЛігои ииґів^Афид ^эьол HHHeiretfeduo eiAitindoaire одоняігєіиігоиріНЯ аяйіоідіои о ’Бігігея -о^єи edotiedeuo ОДОНИЭНИ1ГЭН HHlie>íd^Hg ^эьол єєиігєнє эяоноо єн иіліе'пиіоеріонен иіаінніиндєіаі o xedAti^Adtio -онен ХННИЭНИ1ГЭН я иелооняігидєіоен XH^oeFiHdtieiAiedeu єєиігєнє ojoHHOHtie^d^ng є^ийолєіді eHeiogedse^
aoHosvuvMtí ojoaohd3JVd3i и ojoaoHuoaod>iMi/u XVd/UMdiOOHVH XHHIMHJVI/U а иинэиаи XM>l03hMdI3iniVdVU И ХІЯНИЗНИІЯН SMUVHV MI4HHOMtlV>ldA®M9 *Y*0 зонєяоігол 'O'tl
Исключая неизвестные Ут+\, Ут+Уп' запишем систему линейных дифференциальных уравнений (3) в матричной форме
А/ 1- Ф
ШУ = ^Г (4) а2
где у
ду
зектор-функции с компонентами, соответственно, Уі ,У2 >•••>Ут и Уі ,У'1 ,---,Ут ;
А(г) — Аи(г) Ау2(ї)А-22 мА2і() ,
здесь
АцФ —
(ацф ап(і)
агх(г) агг(г)
а1т(г)Л
а2т(і)
а л (і) а -.М ... а (м)
ті ' т2' / тт' /,
А12 (м) -
1 т+1
а
2 т+1
А21(і) —
а (м) а (м) ... а (М)
т+1 1 т+1 2 т+1 т
а (і) а (і) ... а (і)
т+2 1 т+2 2 т+2 т
ап1(М) ап2(м)
апт(і)
А22 (М) —
& а
1 т+2
() а (м) .. ( а
1 2 т+2
() а (і) .. атп(і)
1 т т+2 )
а (м) а (М . . а (м) '
т+1 т+1 т+1 т+2 т+1 п
а (м) а (М) . . а ф
т+2 т+1 т+2 т+2 т+2 п
апп(і)
ап() ап2(г)
Частные решения системы линейных дифференциальных уравнений (3) будем искать в виде
Ут = ат 'ехРЛп2 (5)
где (Х1,(Х2,...,0Ст - компоненты вектора а .
Подставляя (5) в (4), получаем матричное уравнение
А-а = Х-а, (6)
из которого следует, что X и а являются соответственно собственными числами и собственными векторами матрицы А (т.е. собственными числами и собственными векторами линеаризованного оператора Максвелла). Решая уравнение (б) численным методом (СЖ-алгоритм), находим собственные числа А, и
собственные векторы а матрицы А . Собственные числа А,т являются постоянными распространения «слабонелинейных» волн. Собственные векторы а являются численными аналогами поперечных и продольных компонентов электромагнитных полей «слабонелинейных» волн, зависящих от геометрии волноведущей структуры. Значения 1/определяют точки бифуркации ^ нелинейного оператора Максвелла.
Методика исследования параметрических нестабильностей в резонаторных электродинамических структу-
рах с нелинеиными магнитными задачи являются собственными частотами
ключениями аналогична. Собственные числа резонаторной краевой
слабонелинейных" колебаний. Значения \1(0т
„т определяют точки
бифуркации ¡Л нелинейного оператора Максвелла. Компоненты собственных векторов а являются компонентами электромагнитных полей «слабонелинейных» колебаний, зависящих от геометрии резонаторной структуры.
В отличие от известных теорий нестабильности СВ [6] электромагнитные поля в волноведущих и резо-наторных электродинамических структурах с нелинейными магнитными включениями представляются в виде разложения в ряд по «слабонелинейным» волнам ("слабонелинейным" колебаниям), которые удовлетворяют электродинамическим граничным условиям, и следовательно, образуют полную систему собственных функций рассматриваемой краевой задачи.
Согласно критерию Ляпунова [10], если действительные части комплексных собственных чисел X
мат-
рицы А отрицательны, то решения системы линейных дифференциальных уравнений (3) асимптотически устойчивы. Если действительные части (хотя бы одно) комплексных собственных чисел X матрицы А положительны, то решения системы дифференциальных уравнений (3) являются неустойчивыми. Изменение знака действительной части комплексных собственных чисел Хт происходит в окрестностях точек бифуркации. Поэтому для того, чтобы провести бифуркационный анализ параметрических нестабильностей в магнитных наноструктурах необходимо найти точки бифуркации нелинейного оператора Максвелла с помощью специального вычислительного алгоритма [11] и проследить за изменением точек бифуркации и решений при изменении параметров.
2. Анализ параметрической нестабильности в магнитных нанорешетках
С помощью вычислительного алгоритма определения точек бифуркации нелинейного оператора Максвелла [11] численно исследована нестабильность процесса параметрического возбуждения магнитных колебаний и волн в решетках магнитных наночастиц в зависимости от значения бифуркационных параметров: амплитуды
-»+
электромагнитной волны накачки ^1(1)(^#) и нормированной частоты.
-»+
С1(1)(ФИ )
Рассчитаны пороговые значения амплитуды О^^^) волны накачки, при которых начинаются нелинейные
процессы и возникает параметрическое возбуждение диполь-дипольных МСВ, а также дипольно-обменных СВ (колебаний) в решетках ферромагнитных сфер с различными размерами (микро- и наноразмерами) в зависимости от расстояния между сферами. Качественный анализ устойчивости полученного численного решения проводился в соответствии с критерием Ляпунова [10].
Результаты электродинамического расчета областей нестабильности при параметрическом возбуждении МСВ и дипольно-обменных СВ (колебаний) в решетках магнитных наносфер (радиус сфер Я=250 нм) на частоте волны сигнала ^о=9, 330 ГГц в зависимости от амплитуды Сщ)(фн ) падающей электромагнитной волны
2 / 2
накачки и нормированной частоты ю0/С0Н («о - частота волны сигнала, «и - частота волны накачки) для
различных расстояний между наночастицами приведены на рис. 1.
Для сравнения на рис. 2,3 приведены также результаты электродинамического расчета пороговых амплитуд СЩ^ (Он) параметрической неустойчивости МСВ и СВ (колебаний) в решетках ферромагнитных сфер (радиус сфер Я=0,1 мм) при уменьшении расстояния между сферами от микрон до нанометров. Эти пороговые значения амплитуды СЩ^(ю^) падающей электромагнитной волны вычислялись по точкам бифуркации
нелинейного оператора Максвелла с учетом обменного взаимодействия в уравнении Ландау-Лифшица с помощью специального алгоритма [5].
Кривые (рис. 1-3) разделяют неустойчивый режим параметрической генерации магнитных колебаний в
магнитных наночастицах от устойчивого режима. При переходе через бифуркационные значения параметра
СЩ) (ю^) в точках бифуркации происходят скачкообразные переходы исследуемой системы магнитных наночастиц в режим параметрического возбуждения магнитных колебаний (коллективных мод) . Если амплитуда СЩ) (ю^) волны накачки превышает определенное пороговое значение, то в магнитных нанорешетках возникает параметрическая возбуждение МСВ и СВ (различных коллективных мод в зависимости от расстояний между наночастицами).
Из результатов математического моделирования областей нестабильности (рис. 1-3) следует, что по-
рог нелинейности магнитных наноматериалов зависит от размеров магнитных частиц и расстояний между ними. Порог параметрической неустойчивости в магнитных нанорешетках понижается при сокращении размеров частиц (от микро- к наноразмерам), а также расстояния между частицами вплоть до длины обменного взаимодействия в условиях параметрического возбуждения "коротких" дипольно-обменных СВ (колебаний) в сравнении с возбуждением диполь-дипольных МСВ (колебаний) . Это уменьшение порога нелинейности первичных волн (амплитуды падающей электромагнитной волны накачки), участвующих в параметрическом взаимодействии, происходит вследствие уменьшения оттока из области накачки энергии вторичных волн (возбуждаемых МСВ и СВ в магнитных наночастицах).
0(1) (о н ), А / тт
10
10
10
2 / 2 юо/00Н
Рис. 1. Области параметрической нестабильности магнитостатических и спиновых колебаний в магнит-
ных нанорешетках при различных расстояниях И между наночастицами: кривая 1
И=3000 нм; 2
И=7 50
нм; 3 - И=650 нм; радиус наночастиц Я=250 нм; СЩ-,(ю^) - амплитуда падающей волны накачки; «о =2л£о -частота волны сигнала ^0=9, 330 ГГц ; «и - частота волны накачки;
0.15 0.25 0.35 0.15 0.25 0.35 0.15 0.25 0.35 соЦо)2к
Рис. 2. Области параметрической нестабильности магнитостатических колебаний в решетках из магнитных сфер при различных расстояниях И между сферами: _______ И=0,550 мм/ ••••••• И=0,35 мм/ _______
И=0,215 мм; радиус частиц Я=0.1 мм; Сщ)(Юн) - амплитуда падающей волны накачки; «о =2л£о - частота
волны сигнала; «и - частота волны накачки; 1 - = 9.330 ГГц; 2 - 8.125 ГГц; 3 - 9.94 6 ГГц
0
0.6
О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 ,rt2
шо
Рис. 2. Порог нестабильности: /0 = 9,330 ГГI/ ; (00 = 2я/0 ;
(C0W ) - частота накачки; СщЛ(Он ) - амплитуда падающей волны
Рис. 3. Области параметрической нестабильности магнитостатических и спиновых колебаний в решетках из магнитных сфер при уменьшении расстояния h между сферами: кривая 1- h=0,210 мм, 2- h=0,2 05 мм, 3-
h=0,2 02 мм 4- h=0, 2 0 05 мм; радиус частиц R=0.1 мм; Q"(i)(^#) - амплитуда падающей электромагнитной
волны накачки; «0 =2f0 - частота волны сигнала f0=9,330 ГГц ; Он - частота волны накачки Заключение
Разработанная методика бифуркационного анализа на основе численного анализа точек бифуркации нелинейного оператора Максвелла позволяет исследовать нелинейные и параметрические явления (трехмерная нелинейная дифракция, генерация гармоник, мультистабильность, параметрическая неустойчивость, параметрическое взаимодействие волн, бистабильность, автоколебания, солитоны, динамический хаос) в периодических структурах магнитных наночастиц и магнитных (спиновых) фотонных кристаллах. Практическую значимость имеет электродинамический расчет порога нелинейности композитных наноматериалов, так как электромагнитные свойства магнитных материалов радикально изменяются при сокращении размеров до нанообласти, в особенности характерно раннее появление нелинейных эффектов. Дальнейшее развитие методики позволит провести математическое моделирование порога нелинейности в решетках из магнитных частиц различной геометрии, включая нанопроволоки.
ЛИТЕРАТУРА
1. M. Pardavi-Horvath: "Characterization of nanostructured magnetic materials", J. Magn. Magn.
Mat. 203,1-3 pp. 57-59, 1999.
2. M. Pardavi-Horvath and G. Vertesy: "Field Dependence of the Switching Field For Non-
Ellipsoidal Single Domain Particles" .J. Applied Phys; 91, No. 10, Part 2, 15 May 2002.
3. M. Pardavi-Horvath and L. J. Swartzendruber: "Ferromagnetic Resonance Relaxation in Reaction
Milled and Annealed Fe-Zn Nanocomposites", IEEE Trans. Magn., 35, 3502, 1999.
4. M. Pardavi-Horvath: "Stability of Magnetic States in Patterned Materials" in Applications of
Ferromagnetic and Optical Materials, Storage and Magnetoelectronics, Eds: Sara A. Majetich,
John G. Xiao, Manuel Vazquez MRS proceedings, vol. 674, pp. U4.6.1-U4.6.10, 2001.
5. А.Г.Гуревич. Г.А. Мелков. Магнитные колебания и волны. М. Наука.1994.
6. A. V. Nazarov, R.E. Cox and C. Patton, "General Spin-Wave Instability Theory", IEEE Trans. Magn., 37, 2380-2382, 2001.
7. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных
уравнений. М.: Наука, 1969.
8. Макеева Г.С., Голованов О.А. Электродинамический анализ взаимодействия электромагнитных волн с нелинейными гиромагнитными включениями в волноведущих структурах. Радиотехника и электроника - 2 0 0 6. - Т.51. -N 3. - С.261-267.
9. Свешников А.Г. //Докл. АН СССР. 1969. Т.184 . №1. C. 139.
10. А.М. Ляпунов. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л., 1950.
11. Макеева Г.С., Голованов О.А. Численное исследование нестабильностей волн и колебаний в нелинейных гиромагнитных структурах по точкам бифуркации нелинейного оператора Максвелла. Радиотехника и
электроника - 2007 - Т.52. -N 1. - С. 106-113.
