Безусловная разрешимость краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением времени Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.4

БЕЗУСЛОВНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ

М. С, Туласынов

В области ф = (—<х>, <х) х (0,Т) рассматривается параболическое уравнение с меняющимся направлением времени:

щ ■^ГкХ = ихх- (1)

Решение уравнения (1) в первой части будем искать из пространства (ф) П С(ф), во второй части — из более широкого пространства Щг'[2(ф) П С(ф) [1], 0 < 7 < 1, удовлетворяющее начальным условиям

и(х,0) = ^(х), х > 0, и(х,Т) = ф2(х), х < 0, (2)

и условиям склеивания

( и(—0 \ _ {а и а11

и

где а^

их(—0) а22

заданные постоянные.

и(+0,г)

их(+<М)

Предполагается, что матрица А =

аа

аа

деппои, т. е.

|А| = — Ф 0.

о <г<т,

(3)

является невырож-

(4)

В противном случае поставленная задача распадется на две незави-

А

чет существование связи между и(—0и их(—0и тогда в области ф- = (—<х>,0) х (0,Т) возникает независимая подзадача.

© 2008 Туласынов М. С.

Аналогичная краевая задача для единичной матрицы А рассмотрена в монографии С. А. Терсенова [1]. Отметим также работы [2-4], в которых получены достаточные условия единственности решения краевой задачи (1)—(3) при выполнении следующих условий:

«11^22 + «12^21 >0, «11021 ^ 0, а12«22 ^ 0. (5)

Вместо уравнения (1) будем рассматривать систему уравнений

| и\г = и\хт^ ^

\ —П2 г = п хх

в области = (0, с) х (0,Т). Тогда поставленная краевая задача (1)-(3) для системы (6) эквивалентно переформулируется следующим образом: найти ограниченные решения щ (х, £) н щ (х, ¿) системы (6) в первой части из пространства

нХ+^+1)/2 п С * \ о < 7 < 1,

во второй части — из более широкого пространства

Нх'Т П С1 &+), о<7<1/2, удовлетворяющие начальным условиям

и(х,0) = ^1(х), П2(х,Т) = у2 (—х) (7)

и условиям склеивания

( и{—Оа12\ ( и(+0^) \ п<+<Т

\пх( —0 Ъ2)\их(+Ъ,t)), U<г<1, ^

1. Будем считать, что функции уДх) принадлежат пространству Н+7(0, с) (г = 1,2). Без ограничения общности считаем, что функции х) продолжены на значения х < 0 с сохранением принадлежности пространству Н1+7(—с, с) [1,5].

(9)

ии

г

1 Г _1

и1(х,г) =--7= / е ^-^(г-т) 21у(т) ¿т +

V п 7

о

т

1 Г _1

и-?(х,{) =--= / е (г — ¿) 2/х(т) <1т + ги-?(х, ¿),

V п 7

г

сю

1 Г (х-о2 (х, ¿) = J е « ^ (£) ^

— с

сс

— с

Согласно [1,5] нужно найти функции ^^ и в формуле (9) из пространства Н7/2 (0,Т), которые удовлетворяют условию согласова-

Ко) = мТ). (10)

Удовлетворив условиям склеивания (8), получим систему уравне-

г т

г

г

ИЯ

(П)

М*) = "«22^) + / ^ ^ + Ф1(*)

(¿-Т)1/2

О

где

ф0(г) = —ац^о^) — ^2^ х(о ,г) + ш2(о,г),

= —1^2х(0 — а21^1(0,г) — х(о

Предположим, что функции и ¡л(1) принадлежат пространству Н1/2{0, Т). Тогда в силу (10) из системы (11) приходим к системе урав-

нении

а!2^(Т) —

т

«и [ у{Т)

(т-т) 1/2

О

т

Нт)

¿т = Ф0(Т),

(12)

в следу]

КТ) =

которую перепишем в следующем виде:

ацФ1(Т) — а21Ф0(Т)

Кт)

о

Т—т

Ат =---

(13)

При выполнении условий (13) из системы (11) имеем

г т

ап , [ и(т) [ Кт)

I }

\0

1

¿т —

о

Т — т /

¿т

(г-г) 1/2

г

йт=Ь0{1) Фо Т, (14)

Ж) = -а22 (1у(г) - 1У(Т)) +

«21 I I Нт) ура \ I {ь-т

¿т —

Кт)

Т — т /

¿т

+ Ф^) — Ф1 (Т). Исключив из системы уравнений (14) функцию имеем

где

и(г,т) = <

г м{г,т)у{т) а!2Щ) + J <1т = щг),

ац I ац т

/Ч ^ у^(Т-т)1/2 тт(Т-т)1/2

0 < т <

022 , ац(т-^)1/2 _ 2а21(т-г)1/2(Т-г)1/2 /Ч + /^(Т-т)1/2 тг(Т-Т)!/2

(15)

Щг) = Ф0(г) - фо(Т) + (т -г)1'2

г

причем щг) € Н~'/2, Ф,(г) € Н1+О, Т), ¿=1,2. Далее будем рассматривать два случая.

а

аца22 > О, аца21 ^ О.

Тогда после применения известных формул обращения оператора Абеля [6] уравнение (15) представим в виде

, Ч ац Т (Т — т V/2 Кт) , о

+ ш)

~ ^ (г -4)1/2 ^

где

т

т = Д(т) - [ Щ, т)щ(т)(1т, Щ, т) =

* |г — т 1

При г = Т уравнение (16) примет вид

т

«11 [ /гт11/{Т\1/9Пг=^ЩТ). (17)

Т— т о 4 '

При выполнении (17) уравнение (16) перепишем следующим образом:

Т 1 /*)

а22^)= (18)

о

где

ч 1 Т $ (т) — $ (Т) ,

= \r-ty» Г1Т-

Тогда уравнение (18) будем рассматривать относительно функции = (Т — ¿)^/2:

т

аюМ*) ~ ~ ! — ^ = - *Г1/2- (19)

т — Ь

о

В классе решений ограниченньж при Ь = Т (имеющих особенность порядка меньше единицы) и неограниченных при Ь = О, сингулярное уравнение (19) однозначно и безусловно разрешимо [6,7] и решение дается формулой а

v

W = „2 Г„2 Mt)

П1

о

Из формулы (20) при t = T имеем т

[ R (т) dr

(T - т)в+1/2Т1-в

= 0. (21)

о

При выполнении (21) формула (20) примет вид «22

v

W = „2 Г„2 Ro(t)

т

«il (т ,че+1/2.1-е [_R0(t) dr_

о^ + а^ J (T-r)e+V2Ti-e(T_i)- ^

о

Полученное решение (22) при заданной функции R(t) из пространства Hy/2(0,T) будет, очевидно, удовлетворять условиям Гёльдера с показателем 7/2 во всех точках контура (0, T), отличных от концов [7,

a

a

с. 58]. Рассмотрим его поведение на концах. Согласно формуле поведения интеграла Коши на концах контура интегрирования [7, с. 76] легко видеть, что

(23)

Для дальнейшего исследования воспользуемся следующим утверждением.

Лемма [1,7]. Пусть функция ^{Ь) удовлетворяет условию Гёльде-ра с показателем X вблизи точки С, включая С (С обозначает 0 или Т), 0 < 7 < 1. Тогда для точек контура (О, Т) интеграл типа Коши

о

СС

тел ем тш{Х, 7} при X ф 7 н условию Гёльдера с показателем X — е при X = 7, где е является сколь угодно малой положительной постоянной.

Воспользовавшись вышеуказанной леммой, получим, что на концах удовлетворяет условию Гёльдера с показателем 7/2, так как 7/2<1шп{0+|,1-0}.

Таким образом, при выполнении условий (13) и (21) мы получили функцию ^(Ь) из искомого класса

Н 0,Т), которая удовлетворяет

условиям (23).

Подставляя найденное решение в первое уравнение (13), получим

т

/ мг)

о

«22 ац С^ пв

(Т — т) V2 (Т — т) 9

(1— а. Т — т

Л —1,1,1 — 0; ——— ] ] <1т

п, (24)

т1-9(Т — т)^/Чтпв V ' ' ' Т

ацФгТ — а21Ф0(Т)

так как

т

1 г тр— (Т — т4!а-1

- / -i--dr = tp-1(T -ty-1 Ctg(<77T)

^ J т -t

F(a, b, c; d) — гипергеометрическая функция [8]. Итак, имеет место

Теорема 1.1. Пусть функции yi(x) и щ(—x) принадлежат пространству H1+7(0, то) (7 € (0,1)) п выполнены условия

ai2 = 0, аца22 > 0, аца21 ^ 0.

Тогда при выполнении условий (21) и (24) существует единственное решение краевой задачи (1)-(3) из пространства (Q)ПС^ (Q).

a

аца22 + ai2a2i > 0, auai ^ 0, ^ 0.

Представим уравнение (15) в следующем в виде:

т

ai2v{t) + J K(t, t)v(t) dT = R(t), (26)

о

где

Kit г) ~ M{t>T) ( ' \T-t\W

Как и в работах [2-4], уравнение (26) имеет единственное решение v(t) из пространства H0,Т) в силу альтернативы теоремы Фред-гольма. Удовлетворив условиям щ = 0 и (13) относительно решения уравнения (26), получим два условия разрешимости поставленной краевой задачи.

На основании теоремы 1.1 и вышеуказанных заключений имеет место

Теорема 1.2. Пусть

1) функции и^2 (—х) принадлежат пространству Н1+7(0 , + то) О < 7 < 1;

2) выполнены условия

«11«22 + «12«21 >0, ^ о, а12«22 ^ 0.

Тогда при выполнении двух условий

■М ^1,^2) = О, Ъ= 1,2, существует единственное решение краевой задачи (1)-(3) из простран-

¿тваЫ^Г1"2(д) п СД (д).

2. Теперь решения щ и щ системы (6) в области д+ = (0, то) х (О, Т), удовлетворяющие начальным условиям (7) и условиям склеивания (8), будем искать из более широкого пространства Щ(д+) П

С д (д+).

Пусть х) € С[0, + то)П, +ТО) 4 = 2/(2 — 7). Будем считать, что х) продолжены четно на значения х < 0 и ^(х) € С—то, +то) П Ш —то,+ то).

Решения щ и щ для системы (6) ищем в виде (9). Тогда, как показано в [1], нужно найти из пространства Ьр(0,Т), р =

2/(1 — 7),{) <7 < 1/2.

Удовлетворив условиям склеивания (8), как и выше, получим систему уравнений (11).

Исключая теперь функцию ¡{Ь) в системе (11), имеем уравнение относительно ^(Ь):

+ = т (27)

о

о <т <

М(Ь,т) ^ ,-,1/2 + \ 1 /2 ч

т

т

t

a

an>0, an^i ^ 0.

Тогда после применения известных формул обращения оператора Абеля [6] уравнение (26) представим в виде

T 1 /9

v/(^l) = ^ (28)

о

где

т т

m = -У / dr, Ф(£) = F(r) - J k(t, rHT) dr,

t о

_ M(t, r) — M(t, t) k(t'T)- |t-r|1/2 ' t

m = ^ (-j^b+/ jBbdT ~ ^(ф1(т)"2ф1 (t))

i d

\piг dt

т т

/ (т -1)1/2 J ZMz)dz t 0

Заметим, что

$o(t) € С(0,Т) П W^O,T), $i(t) € Lp{0,T).

q

В самом деле, из оценок [5]

СС Ш)\<—\Шьч + ——^№\\ьч t^ (T-t

\^т<^ы\\ьР + ^ с, ми,

и из ограниченности вложения пространства в пространство Ьр следует, что

кгк <С, Р!г\\Ьр < с.

Значит (см. [9,с. 348]),

г

Сингулярное уравнение (27) будем рассматривать относительно функции = »(г)(т - г)—/2:

т

ашщ{ь) _ М [ <^11г1т = фф {Т _ ¿)-1/2 (29)

п ] т - г

о

В классе решений »\(г), ограниченньж при г = Т (имеющих особенность порядка меньше единицы) и неограниченных при г = 0, сингулярное уравнение (19) однозначно и безусловно разрешимо и решение дается формулой

"(*) = .2 Тп2 Ф(*)

"г"

(30)

а^ + а^ .] (Т - т)° 1 т ° (т - г)

о

Так как функция Ф(г) € Ьр(0, Т), то на основании теоремы Б. В. Хведе-лидзе для сингулярных операторов (см. [9; 10, с. 76]) функция »(г) принадлежит Ьр( 0, Т),р = 2/(1-7),0 <7 <тт(1-20, 20),0= Кроме того, »{г) € Ьч(0, Т), я = гшп(2/(20 + е), 2/(1 - 20 + е)), тт(1 -20,20) ^ 7 < 1, где е — сколь угодно малая положительная постоянная.

Итак, имеет место

Теорема 2.1. Пусть функции ^i(x) и щ(—x) принадлежат про-

страпству С[0, +ТО n W2(°, +ТО, Я= 2/(2 - 7), 0 < 7 < min( 1 — 20,20)

О = — arete —, п выполнены условия

п о о22 !

ai2 = 0, аца22 > 0, au^i ^ 0.

Тогда существует единственное решение краевой задачи (1)-(3) из пространства hY'7/ (Q) n qд (q).

Замечание 2.1. Приведенные выше рассуждения показывают,

что если min(l — 20, 20) ^ 7 < 1, то найденное в теореме 2.1 решение

ß ß/2

краевой задачи (1)-(3) будет принадлежать пространству Hß / (Q) П qд (Q), ß = min(1 — 20 + £,20 + е), где е — сколь угодно малая положительная постоянная.

случай 2.2. Пусть ai2 Ф 0 и выполнены условия (4), т. е.

®ii®22 + ai2^i >0, an^i ^ 0, ai2a22 ^ 0.

Тогда, как и в работах [2-4], уравнение (27) имеет единственное решение v(t) из Lp(0,T) в силу альтернативы теоремы Фредгольма, так как

$o(t) G Lp(0,T), ^(t) е Lp(0,T), F(t) e Lp(0,T).

На основании теоремы 2.1 и вышеуказанных заключений имеет место

Теорема 2.2. Пусть

1) функции щi(x) и щ(—x) принадлежат пространству С[0, + ТО П

wq(o ,+ ТО, ч = У(2 — 7),

a

ацО'22 > 0, аца21 <0, 0 < 7 < min(l — 20, 20), 0 = — arctg ——,

П 0,22

a

0ц022 + oi2^1 >0, оц^1 ^ 0, 0i2022 ^ 0.

Тогда существует единственное решение краевой задачи (1)-(3) из пространства Щ'7/2 (Q) n qд (Q).

ЛИТЕРАТУРА

1. Терсенов С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985.

2. Туласынов М. С. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени с весовыми условиями склеивания // Сб. научных трудов аспирантов ЯГУ им. М. К. Аммосова. Якутск: изд-во ЯГУ, 2004. 149-154.

3. Туласынов М. С. Краевые задачи для сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением времени с весовыми условиями склеивания // Мат. заметки ЯГУ. 2004. Т. 11, вып. 1. С. 107-115.

4. Туласынов М. С. Краевые задачи для сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением времени с весовыми условиями склеивания // Мат. заметки ЯГУ. 2006. Т. 13, вып. 1. С. 135-141.

5. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

6. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.

7. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

8. Вейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 2. Преобразование Бесселя. Интегралы специальных функций. М.: Наука, 1970.

9. Харди Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полна Г. Неравенства. М.: Изд-во иностр. лит., 1948.

10. Хведелидзе В. В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные уравнения и некоторые их приложения // Тр. Тбил. мат. ин-та АН Груз. ССР. 1956. № 23. С. 3-158.

г. Якутск

18 июня 2007 г.