Бесконечнозначная логика Лукасевича и критерии наличия фактор-семантики у многозначных логик Текст научной статьи по специальности «Математика»

Бесконечнозначная логика Лукасевича и критерии наличия фактор-семантики у многозначных логик

Н. Н. ПРЕЛОВСКИй

abstract. The article deals with a special kind of bivalent semantics for multi-valued logics, called factor-semantics. A concept of local factor-semantics is introduced while constructing matrices K and K', isomorphic to the standard rational-valued matrix for infinite-valued logic of Lukasiewicz.

Keywords: logics of Lukasiewicz, factor-semantics, logical matrices, isomorphism, local factor-semantics

А.С. Карпенко (см. [1, с. 311-315]) описывает построение особого впервые рассмотренного им в [3] типа бивалентных семантик для различных многозначных логических систем, включающих конечнозначные логики Лукасевича Ln и конечнозначные логики Клини Kn. Данный тип бивалентных семантик получил название «фактор-семантик».

Суть фактор-семантики в первом приближении сводится к отказу от интерпретации пропозициональных логических формул неклассическими логическими значениями, рассматриваемыми в качестве не имеющих внутренней структуры элементов соответствующей алгебры, и переходу к интерпретации формул на множестве классов, образованных конечными или бесконечными последовательностями классических истинностных значений T и F (в дальнейшем — TF-последовательностями).

Несмотря на внесение столь радикальных изменений в определения семантических понятий, А.С. Карпенко доказал, что

получающиеся в результате всех преобразований структуры изоморфны исходным логическим матрицам, являющимся характеристическими для соответствующих логик. Образующие фактор-семантики логические матрицы в дальнейшем часто будут называться фактор-матрицами, в отличие от исходных характеристических матриц.

Изоморфизм двух объектов является очень сильным свойством, и во многих контекстах может означать математическую неразличимость практически «всех» свойств этих объектов. В случае конечнозначных логических матриц, например, изоморфизм матриц и М2 (символически будем обозначать этот факт выражением = М2) гарантирует совпадение классов тавтологий Е(М1) и Е(М2) в этих матрицах, а также совпадение соответствующих этим матрицам логических систем, полученных добавлением к обеим матрицам того или иного определения логического следования. Между множествами-носителями Ы\ и М2 этих матриц может быть установлено взаимнооднозначное соответствие ф : М\ ^ М2, гарантирующее выполнение равенства \Ы\| = \М2\, а также совпадение табличных определений соответствующих связок с точностью до переименования элементов множеств-носителей. Таким образом, отвлечение от способов задания изоморфных объектов (в данном случае придется отвлечься от внутренней структуры элементов матриц, соответствующих фактор-семантикам) ведет к невозможности их практического различения.

Но такая обусловленная изоморфизмом неразличимость сохраняется лишь при рассмотрении фактор-семантик в узком контексте логик, для которых фактор-семантики уже построены и наличие отношения изоморфизма (что эквивалентно наличию сохраняющего связки взаимнооднозначного отображения ф) между соответствующими матрицами уже доказано.

Возникает вопрос о том, какие многозначные логики могут иметь фактор-семантики, а какие — нет. Всегда ли возможно построение фактор-семантики, изоморфной исходной логической матрице, или же в некоторых случаях изоморфизм является слишком большой «роскошью», и тогда свойства соответствующей фактор-семантике матрицы (в некотором смысле, такая

матрица, конечно, уже не может считаться точной семантикои для заданной исходной матрицей логики) могут совпадать лишь с некоторыми из свойств исходной матрицы, а с другими ее свойствами могут и не совпадать? Или же в некоторых случаях возможно добиться изоморфизма с исходными матрицами, но за счет сохранения лишь отдельных черт фактор-семантики и одновременной утраты других ее черт?

Ответ на первый из этих вопросов требует выявления логических матриц, для которых не могут быть построены фактор-семантики, и такие матрицы существуют. В частности, в [1] отмечается, что циклическое отрицание логик Поста Рп не может быть выражено через покомпонентные булевы операции. С другой стороны, для любой конечнозначной логики процесс построения соответствующей фактор-семантики, если она существует, может быть алгоритмизирован. Для этого необходимо и достаточно рассмотреть множество всех отношений Я(а, в) между особым образом заданными ТЕ—последовательностями а и в из всевозможных классов эквивалентности [а] и [в] (это возможно с учетом конечности множеств всех бинарных отношений и всех отношений эквивалентности, заданных на конечном множестве). В случае бесконечнозначной логики, ситуация изменяется, рассмотрению некоторых предварительных результатов в этом направлении и посвящена данная статья.

Приведем формальное определение фактор-семантик на примере п-значных логик Лукасевича Ьп.

С булевой алгеброй

Ав =< В3, -+, Э+>

ассоциируется логическая матрица

М =< В3, Э+, {Т3} > .

Эта логическая матрица представляет собой 8-кратное прямое произведение двузначной характеристической для классической логики матрицы

М =< {Т,Е}, э, {Т} >

на саму себя (то есть декартову з-ю степень данной матрицы).

Таким образом, любой элемент а € В8 есть последовательность компонентов Т и Г, состоящая из в вхождений этих компонентов, то есть а есть < а1,..., а8 >, где Уг < в(аг € {Т, Г}).

Через п(а) обозначается число компонентов а, равных Т. Определим на элементах В8 следующее отношение эквивалентности. Так, для всяких а, в в В8 будем говорить, что а = в, если П(а) = п(в). Рассмотрим фактор-множество В8/ = множества В8 по отношению =. Очевидно, что

\В8/ = \ = в + 1.

Если а € В8, обозначим, соответствующий а класс эквивалентности через [а]. На множестве В8/ = определим операции 8+1

и 8+1:

—Ь 8+1 [а] = [—+а],

[а] 8+1 [в] = [а' в'],

где а, в € В8/ =, а' € [а], в' € [в] и К(а', в'), причем отношение К определяется следующим образом:

К(< а1, ...,а8 >, < Ь\, •••, Ь8 >)

имеет место, если и только если выполняется одно из следующих условий:

1. Уг < ,в((ц = Т ^ ^ = Т), если п(а) < п(в);

2. Уг < ,в(Ьг = Т ^ (ц = Т), если п(а) > п(в). Таким образом, получена матрица

=< В8/ =, 8+1, 8+1, {[Т8]} > .

Данная матрица, согласно теореме 3 (см. [1, с. 312]), изоморфна характеристической для п-значной логики Лукасевича Ьп матрице:

М^=<Уп, ^, {1} >

при п = в + 1, где Уп = {0, П, ■■■, п-т, 1}, а для всех €

Уп выполняется ~ V = 1 — V, и ы ^ V2 = 1, если ы < V2; в противном случае: VI ^ V2 = 1 — VI + V2.

Возникает вопрос, можно ли построить аналогичным образом

фактор-семантику для бесконечнозначной логики Лукасевича Ь

Отметим, что определение матрицы , являющейся характеристической для бесконечнозначной логики Лукасевича, отличается от определения матрицы лишь тем, что множество Уп заменяется на множество всех рациональных или действительных чисел в интервале [0; 1], а определения соответствующих функций остаются неизменными с поправкой на новое множество значений. Выбор рациональнозначного или действительнозначного интервала во многих контекстах оказывается несущественным, поскольку класс тавтологий Ьявляется инвариантным относительно данного выбора.При переходе к рассмотрению фактор-семантики бесконечнозначной логики Лукасеви-ча это различение приобретает значимый характер.

А.С. Карпенко была построена фактор-матрица, являющаяся характеристической для бесконечнозначной логики Ь^ (см. [2, с. 269-272] и [1, с. 315-318], множество тавтологий которой представляет собой расширение множества тавтологий логики ЬНиже будет осуществлено построение матриц, одна из которых совпадает с Ьпо классу тавтологий, а две других — изоморфны счетной характеристической матрице Ьто есть матрице , множество-носитель которой представляет собой множество всех рациональных чисел из интервала [0; 1].

С этой целью рассмотрим логические матрицы:

М =<М!,/!,...,/п,^1 > и М2 =<Ы2,дъ..,дп,В2 >.

В дальнейшем будем считать, что соответствующие матрицы имеют одинаковую сигнатуру.

Произведением матриц и М2 будем называть логическую матрицу

М1 ® М =< М1 х М2,Е1,...,Еп,^1 х Б2 >,

где «х» означает декартово произведение соответствующих множеств, а Гг,..., Гп - следующим образом определенные функции:

Уш1,...,шг € М\,к\,..., кг € Ы2,з € {!,...,п} Гз (< ш\,к\ >,...,< Шг,кг >) =< ¡3 (шг,..., шг), дз (кг ,...,кг) > .

Хорошо известен результат, согласно которому множество тавтологий бесконечнозначной логики Лукасевича является пересечением множеств тавтологий конечнозначных логик Лука-севича, то есть:

го

Я(М,) = р| Е (т}++1).

1

Операция произведения матриц является в логическом инструментарии аналогом теоретико-множественного пересечения множеств тавтологий, поскольку, как показал Н. Решер в [4]:

Е(Мг ® М2) = Е(Мг) П Е(М2).

Так как операция произведения матриц и результат Н. Реше-ра тривиально обобщаются на случай счетного множества матриц, можно сделать следующее заключение:

го

Е(МГО) = Е(® N^+1). г

Значит, произведение всех фактор-матриц для конечнознач-ных логик Лукасевича в силу их изоморфизма с исходными матрицами соответствующих логик даст матрицу, совпадающую по классу тавтологий с бесконечнозначной логикой Лукасевича.

Эта матрица имеет следующий вид:

го

(8)#+1 = 1

({< [ах], [«2],... >: Ы € Б'/ Щ, , ^, {< [Т], [ТТ], [ТТТ],... >}) ,

где -L(< [ai], [a2],... >) =< -L 2 ([ai]), -L 3 ([a2]),-- >, а

< [ai], [a2],...>^L< [A], [&],...>=

< [ai] 2 [pi], [a2] 3 [в2],... > .

Однако данная матрица, по всей видимости, в силу приводимых ниже причин не может использоваться в построении искомой фактор-семантики для бесконечнозначной логики Лукасевича.

Рассмотрим отношение эквивалентности между элементами < [ai], [a2],... > и < [ei], [в2],... >, принадлежащими множеству-носителю данной матрицы: < [ai], [a2],... >=< [Д], [в2],-.

Vi е N(n(ai) = ri(Pi)).

Это отношение представляется наиболее интуитивно приемлемым кандидатом на роль отношения эквивалентности, порождающего соответствующее разбиение множества элементов матрицы.

Эквивалентными в этом случае являются, например, элементы < [T], [TF], [TFT],... > и < [T], [FT], [FTT],... >, если положить, что каждая, начиная со второй, из бесконечного числа TF-последовательностей в соответствующем компоненте каждого из элементов содержит в точности по одному вхождению F. То есть элементы рассматриваемой матрицы эквивалентны, если и только если они содержат в точности одни и те же классы эквивалентности на каждой из кортежных позиций. Полученное таким образом разбиение на классы является тривиальным, поскольку каждый элемент эквивалентен лишь самому себе с точностью до выбора представителя для обозначения «внутреннего» класса эквивалентности на соответствующей кортежной позиции. А именно, выполняется:

те те

®NL+i/ = = ® N+i. i i

Таким образом, можно заключить, что операция произведения фактор-матриц не сохраняет свойство «быть фактор-матрицей».

Однако компоненты элементов соответствующих матриц не обязательно должны представлять собой классы эквивалентности. Рассмотрим множество

Бго = Б х Б2 х Б3 х ...

Бго представляет собой множество всех бесконечных последовательностей, состоящих из всевозможных конечных ТГ-последовательностей. Мощность множества Бго есть континуум, и в связи с этим оно является «слишком большим», чтобы определить на нем счетную фактор-матрицу для беско-нечнозначной логики Лукасевича. Будем считать, что каждая конечная ТГ-последовательность внутри элементов множества Бго сопоставлена весу Ш этой последовательности, определенному для всякого в и для всякой последовательности < аг,..., а3 >€ Бя следующим образом:

^ П(<аг,...,а3 >) Ш(< аг, ...,а3 >) =-в-.

Рассмотрим все такие суммы ^ГОШ(< аг,...,аг >), где 1 < г < ш, а < аг, ...,аг > — г-е ТГ-последовательности в некотором а € Бго. С их помощью определим множество Б ГО С Бго такое, что: Уа € Бго выполняется а € БГО, если ^ГОШ(< аг,...,аг >) находится в интервале [0; 1] и является неотрицательным рациональным числом, то есть может быть выражено дробью вида т, где ш — неотрицательное целое число, п — натуральное число, а < аг,..., аг >€ а для всякого г € {1, 2,...}.

Установим на множестве БГО отношение эквивалентности таким образом, что для всяких а и в из БГО выполняется, что а = в, если и только если

^ГОШ(< аг,..., аг >) = (< Ьг,..., Ьз >),

где г и ] пробегают по всем конечным ТГ-последовательностям в а и в, соответственно.

Определим матрицу

К = (бго/ =, {[<< Т>,<ГГ>,< ГГГ >,... >]}^ ,

где В^ / = есть результат разбиения множества В^ по отношению эквивалентности =, [<< Т >,< ЕЕ >,< ЕЕЕ >,... >] есть класс элементов множества В^ (то есть элемент множества В^/ =), эквивалентных последовательности << Т >,< ЕЕ >, < ЕЕЕ >,... >, в которой первое вхождение Т является единственным, то есть класс всех таких последовательностей а =<< ац >,< 0,21,0,22 >,< 031,032,033 >,... > из В~, что (<0ц,...,0и >) = 1.

Связки и определяются следующим образом:

&! —I '

*([<< flii >, < a2i ,a22 >, < 03i,a32, 033 >, ... >]) =

[<< aii >,< a/2i,a/22 >,..., -+ < a'ii,...,a'ii >,... >],

где правая часть равенства представляет собой класс последовательностей, эквивалентных последовательности, все компоненты которой, кроме -+ < aii, ...,a'ii >, состоят только из вхождений F (в частности, если i = 2, то < 021,022 >=< FF >), а < aii, ...,a'ii > есть такой компонент, что:

W(< aii,..., a'u >) =

W(< aii >) + W(< a21,a22 >) + W(< a3i, a32, a33 >) + ... =

П(< a'ii,...,aii >) i

[<< aii >, < a21,a22 >, < a3i,a32, a33 >,... >] [<< bii >, < b21,b22 >, < b31,b32, b33 >, ... >] =

[<< aii >,< a2i,a'22 >,..., < ^ aii >D+< bil, .. bii >,... >],

где правая часть равенства представляет класс последовательностей, эквивалентных последовательности, все компоненты

< all >, < a2l, a22 >,

< а'(г-1),1, ..., а'(г-1),(г-1) >, < а'(г+1),1, ..., а'(г+1),(г+1) >, ".

которой состоят лишь из вхождений Г, а < а'п,..., а'гг >0>+< Ь'гг, ...,Ь'гг > есть такой компонент, что:

Ш(< а'п,...,а'ц >) =

Ш(< ап >) + Ш(< а2г,а22 >) + Ш(< азг, аз2, азз >) + ... =

п(< аг1,...,агг >) ; ■ ;

г

и

Ш(< Ь'гг,..,Ьы >) = Ш(< Ьц >) + Ш(< Ь21,Ь22 >) + Ш(< Ьзг,Ьз2, Ьзз >) + ... =

П(<Ь'г1,...,Ь'гг >) ;

• ; г

и в соответствующей конечнозначной фактор-матрице имеет место:

К(< агг,а'гг >, < ^гъ Ь'гг >).

Матрица К изоморфна счетной матрице мГО, являющейся характеристической для бесконечнозначной логики Лукасевича ЬГо. Доказательство этого утверждения существенно опирается на изоморфизм между конечнозначными фактор-матрицами N+1 и п-значными матрицами логик Лукасевича Ьп, в которых п = в + 1. Докажем соответствующую теорему.

Теорема 1. Матрица К изоморфна матрице

МГО = ([0; 1], -, ^, {1}), где [0; 1] € Р(®).

Доказательство. Определим отображение ф : БГО/ = ^ [0; 1], что для всякого [а] в БГО/ = выполняется:

ф([а]) = ^ГОШ(<аг1,...,агг >),

где г пробегает по индексам в соответствующих конечных последовательностях из а. Данное отображение в силу определения множества БГО/ = является взаимнооднозначным. Покажем теперь, что изоморфизм имеет место, то есть:

• =~ <р([а]);

• ф([а] [в]) = Ф([а]) ^ ф(Щ).

Рассмотрим первое равенство. Допустим, что [а] есть [<< an >,< 0,21,0,22 >,< 031,032,033 >,■■■ >]. Тогда, по определению, выполняется следующее равенство:

-к([а]) = [<< 011 >,< 0;21 У22 >,■■■, -+ < alil,■■■,alii >,■■■ >], где все конечные последовательности из списка

< °11 >, < 021, 022 >, ■■■,

< 0'(i-1),1, ■■■, 0(i- 1),(i-1) >, < 0(i+1),1, ■■■, 0(i+1),(i+1) >, ■■■ содержат лишь вхождения F, а

W(< 0ц, ■■■, 0,'ц >) =

W(< 011 >) + W(< 021,022 >) + W(< 031,032, 033 >) + ■■■ =

П(< a'il,■■■,a'ii >) i

Поэтому:

ф([<< a'n >, < a;21, a;22 >, ■■■, -+ < ai1, ■■■, о'ы >, ■■■ >]) =

i - П(< a'i1 ,-,a'ii >) = 1 _ П(< ail,■■■,aii >) = ii 1 - W(< 011 >) - W(< 021,022 >) - W(< 031,032,033 >) - ■■■ =

1 - ф([<< 011 >, < 021, 022 >, < 031, 032,033 >, ■■■ >]) =~ ф([а})^

Таким образом, первое равенство доказано.

Рассмотрим теперь второе равенство. Выберем для доказательства компоненты < a'i1 > и < b'i1 ,---,b'ii > соответствующей последовательности

<< a'n >, < a'21, a'22 >, ■■■, < a'n, ■■■, a'u >D+< b'a, ■■■, Ь'ы >, ■■■ >,

удовлетворяющие условиям из определения связки в K. Такие компоненты существуют в силу определений матриц K, N+1 и того, что два любых рациональных числа могут быть представлены в виде дробей с общим знаменателем. Возможны два случая.

1. Ш(< а'г1,..., а'гг >) < Ш(< Ь'г1,..., Ь'гг >). В этом случае очевидно, что правая часть второго равенства есть 1. Далее:

[а] [в] =

[<< а'ц >, ..., < а'(г-1),1, ..., а'(г-1),(г-1) >, < >, < а'(г+1),г,..., а'(г+1),(г+1) >,... > =

г

[<< Т >,< ГГ >,< ГГГ >,... >].

Значит, ф([а] [в]) = Ш(< Т >) = 1. Что и дает требующееся доказательство первого случая.

2. Ш(< а'ц,..., а'и >) > Ш(< Ь'ц,..., Ь'и >). Тогда правая часть равенства в силу определения ф и ^ равняется 1 — Ш(<

а'г1,..., а'гг >) + Ш(< Ь'г1,..., Ь'гг >). Но, согласно определению

к +

и а также поскольку имеет место

Я(< агг,а'гг >, < ^гъ Ь'гг >),

то число вхождений Т в < а'г1 ,...,а'гг >Э+< Ь'г1, ...,Ь'гг > есть

П(< Ь'гъ Ь'гг >) + (г — П(< а'гъ а'гг >)).

Значит:

Ш(< а'ц,..., а'ц >^+< Ьц,..., Ь'и >) =

п(< ^ Ь'гг >) + (г — п(< а'^а'ц >)) _

1 — П(<а'г1,...,а'гг >) + П(< Ь'г г^Л >)

То есть ф([су\ [в]) в этом случае также равняется 1 — Ш (< а'гг,..., а'ц >) + Ш (< Ь'г г,..., Ь'ц >). Что дает искомое доказательство второго случая.

□

Матрица К не является фактор-семантикой для бесконеч-нозначной логики Лукасевича, однако она имеет локальные черты фактор-семантики, поскольку при определении связки потребовалось использовать отношение Я соответствующей ко-нечнозначной фактор-матрицы Такая семантика может

быть названа локальной фактор-семантикой.

Отметим, что взятие сумм весов конечных ТЕ-последовательностей легко распространяется и на соответствующее подмножество элементов матрицы N1+1. А именно, назовем весом Ш' компонента [аз-] в элементе < [а\],..., [аз-],... > матрицы N1+! значение Ш (< а1,...,аз >) при каком-нибудь

< а1,..., аз > из [аj]. Определим теперь множество

В' С{< [а1], [а2],... >: [а*] € В1 / =},

что всякая последовательность < [а1], [а2],... > из N1+1 содержится в В', если и только если ([аз-]) есть рациональное число из интервала [0; 1].

Тогда < [а1], [а2],... >=< [Д], [в2],... >, если и только если:

(Ы) = Хгш' (в ]),

где г и ] пробегают по всем индексам компонентов

< [а1], [а2],... > и < [в1], [в2],... >, соответственно. Рассмотрим матрицу

К = (В'/ =, , , {[< [Т], [ЕЕ], [ЕЕЕ],... >]^ ,

где В'/ = есть результат разбиения множества В' по отношению эквивалентности =, а [< [Т], [ЕЕ], [ЕЕЕ],... >] есть класс последовательностей из В , эквивалентных последовательности, все компоненты которой, за исключением первого, содержат лишь вхождения Е, а первый компонент есть [Т], то есть класс таких последовательностей < [а1], [а2],... >, что Ш'([а^]) = 1. Связки и определяются следующим образом:

• ([< [а1], [а2],... >]) = [< К], [а2],..., [-+аЗ],... >], где правая часть равенства означает класс последовательностей, эквивалентных последовательности, в которой все

компоненты

КК [аl2],..., [а'j-l}, ^+1}^..

содержат лишь вхождения Г, а [аlj] таково, что Ш'([а^]) = £ГОШ'([аг]), где г пробегает по всем индексам компонентов последовательности < [аг], [а2],... >.

[< [аг], [а2],... >] [< [вг], в2],... >] =

[< [а1], [а*2],.., [а* в*], ■■■>],

где правая часть равенства означает класс последовательностей, эквивалентных последовательности, в которой все компоненты

КК [а*>],[а^-1] И+гЬ".

содержат только вхождения Г, а [а*] и [в*] таковы, что Ш'([а*]) = £ГОШ'([аг]), Ш'([в*]) = £ГОГОШ'([вг]), где г пробегает по всем индексам компонентов последовательностей < [аг], [а2],... > и < [вг], [в2],... >, соответственно; а также в фактор-матрице г соответствующей конечнозначной логики Лукасевича выполняется Я(а*,в*).

Матрица Я также изоморфна матрице мГО с рациональ-нозначным множеством-носителем. Докажем соответствующую теорему.

Теорема 2. Матрица Я' изоморфна матрице

МГО = ([0; 1], -, ^, {1}), где [0; 1] € Р(®).

Доказательство. Определим отображение ф : Б'/ = ^ [0;1], что для всякого [< [аг], [а2] >,...] в Б'/ = выполняется:

ф([< [аг], [а2],...>]) = £ГО Ш' ([аг]),

где г пробегает по всем индексам соответствующих «внутренних» классов эквивалентности из [аг], [а2],...

Данное отображение в силу определения множества Б / = является взаимнооднозначным. Покажем теперь, что изоморфизм имеет место, то есть выполняются два равенства:

• ([< [а1 ], [а2],... >])) =~ Ф([< [а1], [а2],... >]);

• ф([< [а1], [а2],... >] [< [А], [в2],... >]) =

Ф([< [а1], [а2],...>]) ^ Ф([< [М [в2],... >]).

Рассмотрим первое из этих двух равенств. Верно следующее:

—К'([< [а1], [а2],... >]) = [< К], [а2],..., [-+аЗ],... >],

где стоящее справа выражение удовлетворяет условиям опреде-К

ления . Тогда:

Ф([< [а1], [02],..., [—+аЗ],... >]) = Ш'([—+аЗ]) = 1 - Ш'([а$]) = 1 - Х^Ш'(И) = 1 - ф([< [а1], [а2],... >]) =~ Ф([< [а1], [а2],... >]). Что и дает искомое доказательство первого равенства.

Рассмотрим второе равенство. Выберем для доказательства классы эквивалентности [а*] и [в]], удовлетворяющие условиям из определения связки в К. Такие классы существуют в силу определений матриц К, N+1 и того, что два любых рациональных числа могут быть представлены в виде дробей с общим знаменателем.

Возможны два случая.

1. Ш([а*]) < Ш([в^]). В этом случае очевидно, что правая часть второго равенства есть 1. Далее:

ф([< [а1], [а2],... >] [< [в1], [в2],... >]) =

Ш([а* в]]) = 1, что дает искомое доказательство данного случая.

2. Ш([а*]) > Ш([в**]). Тогда правая часть второго равенства в силу определения ф и ^ есть 1 — Ш([а*]) + Ш([в*]). Левая же часть второго равенства есть в этом случае:

3 — п(а*) + п(в*)

---= 1 — Ш ([а*]) + Ш ([в*]),

3

что завершает доказательство теоремы.

□

Полученная матрица Я также имеет локальные черты фактор-семантики и может рассматриваться в качестве локальной фактор-семантики для ЬГо. Более того, процедуру построения матрицы К можно рассматривать в качестве особой операции над логическими матрицами, которая может быть применена и к более широкому классу логик.

Отношение изоморфизма логических матриц обладает следующим свойством:

М = N & М = N ^ М = м

Поэтому теоремы 1 и 2 позволяют вывести следствие. Следствие 1. Матрица Я изоморфна матрице Я.

Доказательство. Доказательство непосредственно следует из теорем 1 и 2 и вышеприведенного свойства отношения изоморфизма логических матриц. □

Возвращаясь к поставленным в начале статьи вопросам, можно заключить, что бесконечнозначные логики, совпадающие по классу тавтологий с пересечением классов тавтологий некоторой бесконечной последовательности конечнозначных логик, каждая из которых имеет фактор-семантику, могут иметь «локальные фактор-семантики», построенные с использованием процедур, аналогичных рассмотренным в теоремах 1 и 2. Причем, результирующие матрицы будут изоморфны исходным бесконеч-нозначным логическим матрицам.

Литература

[1] Карпенко А.С. Развитие многозначной логики. М.: Издательство ЛКИ, 2010.

[2] Карпенко А.С. Логики Лукасевича и простые числа. М.: Наука, 2000.

[3] Karpenko A.S. Factor-Semantics for n-valued Logics // Studia Logica. 42(2/3). 1983. P. 179-185.

[4] Rescher N. Many-Valued Logic. New York: McGraw Hill, 1969. References (transliteration)

[1] Karpenko A.S. Razvitie mnogoznachnoj logiki. М.: Izdatel'stvo LKI, 2010.

[2] Karpenko A.S. Logiki Lukasevicha i prostye chisla. М.: Nauka, 2000.

[3] Karpenko A.S. Factor-Semantics for n-valued Logics // Studia Logica. 42(2/3). 1983. P. 179-185.

[4] Rescher N. Many-Valued Logic. New York: McGraw Hill, 1969.