CC BY
24
Раздел I. Алгебра и геометрия
О. Н. Бабенко
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ AG - ДЕФОРМАЦИИ КУСКА ТОРА КЛИФФОРДА В Е4
В настоящей работе рассматриваются бесконечно малые AG - деформации поверхности с сохранением элемента площади и поточечно Грассманова образа поверхности в четырехмерном евклидовом пространстве. На примере тора Клиффорда показывается, что в отношении рассматриваемых бесконечно малых деформаций кусок тора Клиффорда является нежестким. Однако, если поле деформаций равно нулю вдоль любой кривой положительной линейной меры, то кусок тора Клиффорда является жестким.
§ 1. Общее решение уравнений бесконечно малых AG - деформаций куска тора Клиффорда в Е 4
Т 2
Будем полагать, что кусок тора Клиффорда 1 l в Е4 задан уравнением
г = -{í cos и1 , A sin и1 , В cos и2 , В sin и2 ; (1)
(и1 , и2 )eD , D е |0 , 2 л ~х |0 , 2 л A > 0 , B > 0 ; A = const, B = const.
T2 ^ ^ _ _ Посчитаем для поверхности 1 l касательные векторы r j , r 2 , а также орты n 3 , n 4
в нормальной плоскости. Имеем
г j = \А sin и1 , A cos и1 , 0,0 ;
г 2 = у , 0 , - В sin и , В cos и
A ! A ! B 2 B 2
cos u , , sm u , , cos u , , sin u
V A 2 + B 2 ' V A 2 + B 2 ' V A 2 + B 2 ' V A 2 + B 2
B j -B j A 2 A 2
cos u , , sin u , , cos u , , sin u'
4 [ V А 2 + В 2 ' А 2 + В 2 ' V А 2 + В 2 ' -[а^ГВ
Т 2
Для тора Клиффорда Т ^ первая и вторая основные квадратичные формы имеют вид
d S2 = A 2 ( d u1) 2 + B 2 ( d u 2) 2;
, A2 (du1)2 +B2(du2)2 II (n 3 J = - v y v y
Ja^B 2
Ja^B
со 34 = 0:
3
Посчитаем коэффициенты нормальной связности и среднюю кривизну тора Клиффорда:
г 3 = г 3 = о-
1 14 2 4 >
н = -
; я4 =
В2 - А
т] А2+ В2 2 А В 4 А2 + В
Т
2
Запишем для поверхности Т I систему уравнений бесконечно малых АО - деформаций. Согласно исследованиям, проведенным в работе [1], векторное уравнение бесконечно малых А О -
деформаций поверхности Р2 : Г = Г \И ' , И 2 ,{и', и2) & Б ,ъЕ4 записывается в виде сис-
темы линейных однородных уравнений
8 '3 ^ г , г} = 0 ,
з , г 0
4 ' ^ г 0 >
(2)
где 2 = 2 (и1 , и2) - поле смещений бесконечно малых АО - деформаций поверхности Е'
г -—,2 .¿.У =1,2.
1 ~ Э 1 2 ~ Я 2
ом 5м
Полагая
г1=а]г1+сап
запишем систему уравнений (2) в виде
ди1
ди'
'-2<Я3с3+Я4с4^/7 = 0,
(3)
V, с ст + ак +Г° с 1 =О
I I К I X -
(4)
тде8=8и822-8212,Н(7 = На ,Н(Т= ^ шН*71}.
1 2
д сс
V . с а =-+ Га ст ,1 = 1,2, <7 =3,4.
1 ~ 1 г т '
о и
Подставляя в уравнения (3), (4) значения коэффициентов первой основной формы, а также значения коэффициентов нормальной связности и средней кривизны, получим
2 А В д/ А 2 + В
б ! с 3 + а 1 Ъ 3 = О,
д 2 с 3 + а 2 Ь 322 = 0,
(5)
1
д ! с4 + а 1 6 4 = О,
8 2 с 4 + а 2 Ъ 42 = О.
Подставим в систему уравнений (5) значения коэффициентов второй основной формы поверхности Т 2, тогда (5) запишется в виде
, 2 0 (-2 А В )с3 - ( А2 - В2) сА а1 + а 2 - 2 ---—, =—--=0
2 А В д/ А 2 + В
д 1 с 3 + а 1
д/ А2 +В
= 0,
д 2 с + а
В
д ! с4 + а
д 2 с 4 - а 2
4 А2 +В2
АВ V А2 + В2
АВ
= 0,
= 0,
= 0.
(6)
Аналогично рассуждениям, проведенным в работе [1], найдем общее решение системы уравнений (6).
а1 =
1 (- С1 81П и1 + С2 С08 и1) .
А V а 2 + В2
а2 =
В ^ А 2 + В:
(— С3 81П и2 + С4 С08 и2)
С3 = 1 (А (с1 008 и1 + С2 81П и1 + СоЛ) + А 2 + В2
+ В (С3 С08 и2 + С4 81П и2 - С0В)),
С 4 =
1 (— В (С1 С08 и1 + С2 81П и1 + С0Л) + А 2 + В2
+ А (С3 С08 и2 + С4 81П и2 - С0В)) .
где с о, с I, с 2, с 3, с 4 — произвольные постоянные.
Подставляя полученные значения а1, с в вьфажение
г ,. = а -1 г,. + с п
получим
г = 1 (- С1 81П и1 + С2 С08 и1) г 1 +
А^ А 2 +В2
2
2
1
+ _1_ (- c3 sin u2 + c4 cos u2) r 2 +
By¡ А 2 + В2
1 ^ ^ „„„Л
A + B'
(A (с} cos u1 + c2 sin u1 + CgA) +
+ B (c3 cos u2 + c4 sin u2 - cgB)) n 3 +
+ 1 (- B (c1 cos u1 + c2 sin u1 + cA) + А 2 + В2
+ A (c 3 cos u 2 + c 4 sin u 2 - c 0 B)) n 4 . Таким образом, нами установлена следующая теорема:
Теорема 1. Кусок тора Клиффорда (1) допускает бесконечно малые AG - деформации с полем смещений Z , зависящим от пяти произвольных параметров с0, с;, с2, с¡, с4, причем в базисе "^j , f 2 , Я з , Я 4 имеем
z = { _J_ (- c1 sin u1 + c2 cos u1);
А j А 2 + В2
1 (- c3 sin u2 + c4 cos u2);
В,] А 2 + В2
1 (A (c1 cos u1 + c2 sin u1 + c0 A) + А 2 + В2
+ B (c3 cos u2 + c4 sin u2 - c0B));
1 (- B (c1 cos u1 + c2 sin u1 + c0A) + А 2 + В2
+ A (c3 cos u2 + c4 sin u2 - c0B))} .
§ 2. Бесконечно малые АО - деформации куска тора Клиффорда при внешней связи
Рассмотрим на куске тора Клиффорда ТI некоторую кривую (I) , заданную уравнением
(О:
и 1 = <р (t),
(7)
и 2 =у/ {I ),
Будем рассматривать бесконечно малые АО - деформации поверхности ТI такие, что
вдоль кривой ( I ) поле смещений г равно нулю. Другими словами, считаем, что при бесконечно малых АО - деформациях кусок тора Клиффорда жестко закреплен вдоль ( I). Запишем аналитическую форму указанной внешней связи. Имеем
5| (О =0'
т.е.
+
1 (— c1 sin u1 + c2 cos u1)
Ад/ А 2 + В2
J_ (— c3 sin u2 + c4 cos u2)
Byj А 2 + В2
(l )
(l )
1 (A (c1 cos u1 + c2 sin u1 + c0A) + А 2 + В2
+ B (c3 cos u2 + c4 sin u2 — c0B))
(l)
1 (— B (c1 cos u + c2 sin u + c0A) + А 2 + В2
(8)
+ A (c3 cos u2 + c4 sin u2 — c0B))
(l)
0.
Подставляя в эти уравнения выражения и ' (р (I), и: у/ (I). при i е [t ¡, t2], получим
— sin q> ( t) сj + cos (p ( t) с2 = 0 ,
- sin у/ (t) С 3 + COS у/ (t) С 4 = 0 ,
(А2 -В2) с 0+ A cos q, (t) с ¡ + A sin q, (t)c2 +
(9)
+ В COS у/ (t) С 3 + В sin у/ (t) с 4 = 0 ,
2 А В с о - В cos у> (t) с i - В sin у> (t) с 2 +
+ A COS у/ (t) С 3 + A sin у/ (t) С 4 = 0.
Таким образом, для нахождения поля смещений z , подчиненного внешней связи (8), мы имеем четыре уравнения (9) с пятью неизвестными величинами c 0, c 1, c 2, c 3, c 4 . При этом, неизвестные являются постоянными, а коэффициенты уравнений - функциями параметра t,
t е [t1,t2].
Система уравнений (9) всегда имеет нулевое решение
c 0 = c 1 = c 2 = c 3 = c 4 = 0 .
Покажем, что других решений она не имеет.
Действительно, предположим обратное. Рассмотрим систему уравнений (9). Выразим из первого и второго уравнений системы (9) величины с2 , с4 :
c2 = tgip (t) С ! ,С 4=tg у/ (t)c3 .
Подставим полученные значения для с2 , с4 в третье и четвертое уравнения системы (9):
(А2 — В2) с0 + А 1 с1 + В_
1
с3 = 0,
COS (р (t )
COS цг (t )
(10)
- 2 АВс0 — В
1
с 1 + А
1
с 3 = 0.
cos <р (/) cos ц/ (О
Умножим уравнение (10) на В , уравнение (11) - на А и сложим полученные результаты:
(11)
0
0
0
- В cos if/ (t) с о + с з = 0 .
Умножим уравнение (10) на ( - А ) , уравнение (11) - на В и сложим:
A cos q> (t) с о + с i = 0.
Из последних двух уравнений получим
с, с cos ц/ ( t )=__ , cos q> ( t ) = -__ , с о Ф 0 .
Вс0 Ас0 Но cos (р (0й cos if/ (I) являются функциями параметра t. t Е [t г, t2], а отношения_
Ас о
и с 3 есть постоянные величины. Следовательно, наше предположение неверно, и система
Вс 0
уравнений (9) имеет только нулевое решение. Таким образом, нами доказана.
Теорема 2. Если кусок тора Клиффорда T L2 в Е4 закрепить вдоль кривой ( l ) длины положительной линейной меры, то рассматриваемая поверхность является жесткой относительно бесконечно малых AG - деформаций.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Фоменко В.Т. Бесконечно малые ARG - деформации тора Клиффорда в Е 4 // Вестник ТГПИ. Естественные науки. № 1. 2007. С. 21-33.
2. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1959.
А. В. Забеглов
ОБ МЯС-ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ СКЛЕЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Пусть Г2 замкнутая, поверхность положительной полной кривизны, которая в окрестности некоторой точки задается уравнением
7 = 7(и,у), и,у
Рассмотрим преобразование поверхности Г2, в Г 2 заданное уравнением
Г*(и,у) - Г (и,у) +Р(и,у), (1)
где Г -радиус вектор поверхности Г 2; Р(и, V) - векторное поле смещений точек поверхности,
которое сохраняет направление единичного вектора нормали п в каждой точке поверхности. Такие преобразования сохраняют сферический образ поверхности и называются гауссовыми или коротко в-преобразованиями. Известно, что векторное поле Р(и, V), удовлетворяет следующим условиям:
[ P^ = arx+ßry, [ Ру=угх+8гу.
X —X ■ Г- у1 (2)
а, ¡5, у, 5 - некоторые функции, выраженные через производные Г первого и второго порядков.
Рассмотрим в-преобразования поверхности, подчинив элемент площади с/ст следующему рекуррентному соотношению:
1
