CC BY
30
Наука к Образование
МГТУ им. Н.Э. Баумана
Сетевое научное издание
ISSN 1994-0408
Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2014. № 12. С. 350-371.
Б01: 10.7463/1214.0751785
Представлена в редакцию: 05.12.2014 © МГТУ им. Н.Э. Баумана
УДК 514.853
Бертрановские системы и их фазовое пространство
Загрядский О. А.1'2'* *[email protected]
1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия 2МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, Россия
Для систем Бертрана на поверхностях вращения с римановыми и псевдоримановыми метриками посчитан период движения по замкнутым траекториям. Также посчитано время движения по неограниченным траекториям, с помощью чего установлена полнота соответствующих потоков в фазовом пространстве. Для указанных гамильтоновых систем построены бифуркационные диаграммы отображения момента, описано слоение Лиувилля, показано, что слоем может быть окружность, тор, цилиндр и пара цилиндров. Данная система является примером, богатым особенностями, такими как резонансность и совпадения числа вращения всех торов Лиувилля, наличия перестроек слоев Лиувилля не через критические множества, что позволит в дальнейшим описать все виды некомпактных перестроек для систем вращения.
Ключевые слова: система Бертрана; замкнутая орбита; поверхность вращения; бифуркационная диаграмма; теорема Лиувилля — Арнольда
Введение
Еще задолго до открытия Ньютоном закона всемирного тяготения было установлено, что планеты движутся вокруг Солнца по замкнутым орбитам, притом орбиты являются эллипсами, в одном из фокусов которых находится само Солнце. Во второй половине XIX века Бертраном был поставлен и решен естественный вопрос: зная формы траекторий, что мы можем сказать о законе притяжения. Ему удалось доказать следующую теорему.
Теорема 1 (Бертран). Пусть на плоскости М2 задан центральный гладкий потенциал V(г), где (г, ф) — полярные координаты. Тогда из того, что орбиты при движении в центральном поле этого потенциала будут замкнуты, если только начальная скорость меньше некоторого предела, следует, что потенциал V (г) может быть либо пропорционален Г, либо
пропорционален г2 (с точностью до аддитивной константы).
А
Замечание 1. Потенциал VI (г) = —+ В (А < 0, В е М) является законом всемирного
г
тяготения и в этом случае замкнутые орбиты будут эллипсами, в одном из фокусов которых находится притягивающий центр (Солнце), потенциал У2(г) = Аг2 + В (А > 0, В е М) является пружинным законом Гука и в этом случае замкнутые орбиты будут эллипсами, в
центре которых находится Солнце. В теореме 1 предполагается неявно существование хотя бы одной замкнутой некруговой орбиты.
Таким образом, теорема 1 устанавливает, что только для двух законов притяжения ограниченные орбиты будут замкнуты. В дальнейшем этот результат многократно обобщался: менялись требования к форме орбит (алгебраические кривые, конические сечения), к пространству (исходное пространство — сфера, плоскость Лобачевского, поверхность вращения). Все эти результаты были получены в разные годы в период с 1873 г по 2008 г. Ж. Бертраном, Г. Дарбу Г. Либманом, Г. Кенигсом, X Депейру, П. Аппелем, П. Хиггсом, Я.'Славяновским, М. Икедой, Н. Катаямой, В. Козловым, А. Хариным, В. Перликом, М. Сан-тепретом, А. Баллестросом и др. Один из недавно полученных результатов представляет теорему 2.
Рассмотрим поверхность вращения S ~ (a,b) х S1 с коодинатами (u, * mod 2п) и метрикой
G = | a1i(u) 0 V о «22 («)
где a11(u), a22(u) — гладкие, положительные функции. А также поверхность вращения S ~ (a, b) х S1 с коодинатами (u, * mod 2п) и псевдоримановой метрикой
G = | a1i(u) 0
0 -a22(u)
На S действует некий центральный гладкий потенциал V(u). Под действием потенциала по S и S движется точка по законам (уравнения Эйлера — Лагранжа для стандартного лагранжиана как разности кинетической и потенциальной энергий)
a^u + ana^u2 — ia22a'22*2 + V' = 0,
^(«22*0 = 0, (1)
где i = 1 в римановом случае и i = — 1 в псевдоримановом. Записанные уравнения имеют два первых интеграла: интгралы энергии и кинетического момента
E = ^(u^ + ^u)*2 + V (u), (2)
к = a22*.
Определен!^^ 1. Пару г (t) = (u(t), *(t)) назовем траекторией движения, а образ отображения r(t) — орбитой, которая в дальнейшем будет задаваться зависимостью u(*). Траектория (соответствующая ей орбита):
- круговая, если u(t) = const;
- особая, если *(t) = const;
- ограниченная, если a' < u(t) < b' для некоторых a' и b', a < a' < b' < b.
Отметим, что орбита:
- круговая тогда и только тогда, когда она лежит на одной из параллелей;
- особая тогда и только тогда, когда она лежит на каком-либо меридиане;
- ограниченная, если лежит в некотором компактном поясе [а', b'] х S1. Определение 2. Центральный (не зависящий от потенциал V(u) (V(u)) назовем
замыкающим, если:
1) существует неособая ограниченная некруговая орбита в S (S);
2) всякая неособая ограниченная орбита в S (S) замкнута.
Следующая теорема [5, 7] описывает все поверхности (без экваторов) с потенциалами, приводящими к замкнутым орбитам, т.е. все пары (S, V), где S — поверхность вращения, а V — замыкающий потенциал на ней. Назовем такие пары бертрановскими.
Теорема 2 (Загрядский O.A., Кудрявцева Е.А., Федосеев Д.А.). Пусть на поверхности S (S) нет экваторов, т.е. a'22(u) = 0 при u Е (а, b). Тогда:
1) на поверхностях S (S), метрика (псевдориманова метрика) которых заменой u = u($) приводится к виду
G = (1 ) (3)
l 0 ß2^2 + c) )
+ с)
для некоторых констант с) € О>0 х К1, существует в точности два вида замыкающих потенциалов с точностью до аддитивной и положительной мультипликативной констант VI(0) = А|0| + В (А < 0, В € К), Уг(0) = $ + В (А > 0, В € К);
2) на поверхностях 5 ($), метрика (псевдориманова метрика) которых заменой и = и(0) приводится к виду
с = ( (V2 + с - М-2)2 1 ^ (4)
V 0 + с - М-2) У
для некоторых констант (^,с, £) € О>0 х К2, причем £ = 0, существует ровно один вид замыкающего потенциала с точностью до аддитивной и положительной мультипликативной констант V(0) = + В (А(04 + £) > 0, В € К);
3) на остальных поверхностях вращения замыкающего потенциала не существует. Замечание 2. Бертрановских поверхностей не так уж и много, они представляют
собой трехпараметрическое (^,с, £) множество. В противоположность этому поверхности с экваторами и замкнутыми геодезическими (что соответствует нулевому потенциалу), так называемые поверхности Таннери, представляют собой множество, параметризованное функциональным параметром. Замыкающих потенциалов существует не более двух видов. В случае римановой метрики значению параметров (^,с, £) = (1,1, 0) соответствует полусфера, а значению с, £) = (1, -1, 0) соответствует плоскость Лобачевского.
Замечание 3. По условию а'22(§) = 0, а22(§) > 0, что накладывает ограничения на возможные значения координаты §. При значении параметров с, таких, что £ = 0, с > 0, переменная § может принимать значения (0, то) в римановом случае, и в псевдоримановом поверности Бертрана с такими значениями параметров с, ^ не существует. Естественно, если у поверхности (0, то) х 51 с метрикой (3) рассмотреть подповерность (а', 6') х 51, то она тоже будет бертрановской. Поверхность Бертрана, которая не является подповерностью никакой другой поверхности Бертрана назовем максимальной.
В табл. 1 приведены значения, которые может принимать § на максимальных поверхностях Бертрана, эти значения не зависят от Без ограничения общности считаем, что § > 0. В таблице фигурируют две константы
Л = , -c , Л = , /-l^H.
Таблица 1
Возможные положительные значения $
Значение (c, t) Допустимые значения $ в римановом случае Допустимые значения $ в псевдоримановом случае
c > 0, t = 0 (0, те) 0
c < 0, t = 0 те) (0,
t > 0 ($2, ТО) (0, $2)
t < 0, c < 0, c2 + 4t > 0 (0, $1) и ($2, те) ($1, U ($2)
t < 0, c > 0, c2 + 4t > 0 (0, U (те) 0
c2 + 4t < 0 (0, U (те) 0
1. Гамильтоновость
Система Бертрана является гамильтоновой системой. Для ее исследования удобно воспользоваться гамильтоновым формализмом.
Пусть задана поверхность S (S) с координатами (Л, ^ mod 2п) и метрикой (псевдори-мановой метрикой) (4), где Л меняется в пределах некоторого интервала (a, b), являющегося подмножеством допустимова множества значений (см. табл. 1). Пусть на S (S) действует центральный потенциал V(Л).
Используя стандартный Лагранжиан
оШ^ гоШ£ - V (Л), 2 2 1
введем импульсы:
W = = аП(Л)Л' PV = ^ =
где г =1 для риманова случая и г = — 1 для псевдориманова. Гамильтониан представляется формулой
Н = р__Ь г——__Ь V(0)
Н 2а?1(0)+ ' 2а22(0) + ^ (0)
Тогда данная динамическая система описывается уравнениями Гамильтона:
( • дН дН
. др# д0
( дН дН (5)
■ ^ = Р^ = я
Соответственно описанные во введении интегралы энергии и кинетического момента примут вид:
Е = 2аш +г + (0) (6)
К = р^. (7)
Система уравнений (5) является однородной. Качественную картину системы Бертрана отражает устройство фазового пространства М4 « (а, Ь) х 51 х К1 х К1 (кокасательное расслоение к 5) с координатами (0, ). С математической точки зрения М4 представляет из себя симплектическое многообразие с некой симплектической структурой
и = ¿ри Л а!и + ф^ Л (8)
Симплектическая структура тесно связана с вектором косого градиента от скалярной функции Б на М4 и скобкой Пуассона [10].
Определение 3. Координаты вектора ^(х1 , х2, х3,х4) определяются из соотношения и(^, Б§гаё ^) = ), которое должно быть выполнено для произвольного векторного поля V. В локальных координатах
(ввгаё ^ )* = и* ^, (9)
где (х1, х2, х3, х4) — переобозначение для (0, ), а и* — матрица, обратная к матрице
и* формы (8). Для функций ^ (х1, х2, х3, х4) и С(ж1, х2, х3, х4) скобка Пуассона определяется следующим образом:
д ^ дС
{^ С} = и(ввгаё ^ ввгаё С) = и*.
Функции ^ и С находятся в инволюции или коммутируют, если С} = 0.
Рассмотрим в качестве примера первые интегралы Е и К, которые являются функциями на М4.
Утверждение 1. Интегралы (6) и (7) коммутируют и векторное поле Б§гаё К полно, т.е. естественный параметр £ на его интегральных траекториях определен на всей числовой прямой.
Доказательство. Вычислим градиенты функций Е и К:
(-аш *+аш +^' (§) ^
1 п 1 I
0 I . „ I 0
I I
а^) I
Вгаё Е = ; |, вгаё К = | 0 |. (10)
Р<Р
V)
4-А0)
Соотношения (9) позволяет по градиентам вычислить косые градиенты Б§гаё Е, Б§гаё К:
(ЕР» | (01
1 Е' 1 ' 2 1
Бегаё Е = 1 Р 1, Бегаё К = 1 1.
I -Е^ I I 0 I
I 0 ; V 0;
Отсюда сразу следут, что С} = ^гаё Е)т^гаё К) = 0. Полнота Б§гаё К следует из того, что его интегральные линии — это окружности вида {*}х Б1 х{0}х{*}. Утверждение доказано.
Системы Бертрана похожи на интегрируемые по Лиувиллю гамильтоновы системы [10]. Согласно классическим результатам, у таких систем (в нашем случае систем с четырехмерным фазовым пространством) существует дополнительный к гамильтониану Н первый интеграл С, такой, что Н и С функционально независимы, находятся в инволюции, а их потоки Б§гаё Н, Б§гаё К полны. Фазовое пространство у интегрируемых по Лиувиллю га-мильтоновых систем слоится на совместные поверхности уровня таких первых интегралов
Тр=^0,с=с0 = {(§,^,р^€ М4: ^(§, ) = , С(§, ) = Со} .
Регулярный компактный слой всегда будет тором (а некомпактный — цилиндром); более того, в подходящих координатах (действие-угол) интегральный поток Б§гаё Н на торах спрямляется.
Таким образом, интегрирование лиувиллевой системы редуцируется с четырехмерного пространства на двумерный тор, причем интегральные кривые на торе представляют собой прямолинейные обмотки.
Однако, как показывает последнее утверждение, в системе Бертрана поток Б§гаё Е не всегда полон. Тем не менее совместная регулярная поверхность уровня интегралов Е и К будет тором либо цилиндром. Для более детального анализа структуры фазового пространства необходимо оценить период ограниченной траектории и время, необходимое неограниченной траекории для достижения границы поверхности. Заметим, что в силу периодичности ограниченных орбит соответствующий поток полон, т.е. время продолжается до бесконечности.
Период движения по ограниченным орбитам. Период движения по орбите в случае плоскости, а также в случае сферы для замыкающих потенциалов известен. Для всех
таких поверхностей и произвольных центральных потенциалов на них согласно теореме Гордона [1] период движения по замкнутой траектории зависит только от интеграла Е и не зависит от К. В случае с плоскостью Лобачевского явный вид такой зависимости получен В.В. Козловым [3]. Сформулируем соответствующее утверждение.
Утверждение 2 (Козлов). Пусть на поверхности Сь с координатами (0, и метрикой (3), где с = — 1, ^ = 1, действует аналог ньютоновского потенциала У1 или аналог Гуков-ского V. Тогда период движения Т точки по замкнутой орбите (т.е. период траектории) вычисляется по следующим формулам: в случае V
Т = УА ^ А V А2 ;
£ — 1
в случае V
Т 2п
л/Л — 2Е'
Для поверхностей Бертрана, соответствующих значениям параметров (^,с, £): с2+4£ > 0, также получен явный вид зависимости периода движения по замкнутой траектории от Е. Докажем соответствующее утверждение.
Утверждение 3. Пусть задана система Бертрана (5, V) с поверхностью Бертрана
Б, соответствующей области значения параметров {(с, ^ = р/д): с2 + 4£ > 0, £ = 0)}, А
V = — аналог гуковского потенциала. Тогда период Т движения по замкнутой траектории г(Ь) не зависит от интеграла кинетического момента К и вычисляется по формуле
Т = пд / УА + с + ^А —
V ^Е(УА + с) + 2Л ^Е(с — УА) + 2Л, где А = с2 + 4£.
Замечание 4. Данное утверждение, как и его доказательство дословно переносятся и на случай поверхности с псевдоримановой метрикой.
Доказательство. Согласно [5] орбита с энергией Е и кинетическим моментом К представляет из себя кривую, которая подобно синусоиде колеблется между двумя параллелями 0 = 01 (перицентр) и 0 = 02 (апоцентр):
02
Е — В с, 1 Е — В с\2 2Л . 2(р + Ы
— й + £--81П-. (11)
К2 2 + \ ^2К2 2) + ^2К
2 ^
При этом зар оборотов вокруг поверхности, орбита совершит д колебаний. Период движения по орбите Т в д раз больше периода одного колебания Т. Обозначим
Е-В с I Е-В с\2 2Л
а = 2т^2 — о , в
К2 2, в \| ^2К2 2у +£ ^2К2'
Тогда §1 = а — в, §2 = а + в, а уравнение (11) примет вид
§ = а + р вт2-.
ц
Уравнение (1) имеет своим интегралом кинетический момент К = а22(и)ф, в случае поверхности Бертрана он будет иметь вид
К =_^_
ц2(§2 + с — £§-2),
откуда
к<й - ^
+ с — М-2 )■
Проинтегрируем по дуге орбиты от перицентра до апоцентра:
Ф/2+2-^0 ~
2 Т
J а4(§ ◦ ф) ^ = К -,
о-2-^о
где Ф — период одного колебания по углу, а Т — период по времени. Из интеграла с учетом
лч 2ф п
Ф = цп, ф =--— получаем:
Ф/2+2-¥>0
Т = 1 / аф
К У ц2(§2 + с — £§-2) О §(ф) 0-2-¥0
Ф/2+ 2-¥0
2 / аф
- Кц2 0-^ а + в*п(* — 2) + с — —7^7 "
^ а + в яш---
V ^ 2/
1 2 Л ^ ^ _ 1 Г (а + в в1п ф)#
цК_4 а + вв1пф + с__-_ ЦК_4 (а + вй1пф)2 + с(а + вй1пф) — г
2 а + в эшф 2
Замена т = аф = 2^Т 2 приводит от тригонометрических функций к дробно-рацио-
2 1 ~~+ Т
нальным:
1 ^ , 2вт ^ 2^г
Т_ 1 г vа + тг^; тгг
ЦК- (а + т¥Т,)2 + Ка + т+,1 — ^
11 2(а + ат2 + 2вт
ЦК У (а + ат2 + 2вт)2 + (са — г)(1 + т2)2 + 2^сг(1 + т2)
1 1 2(а+ат2+2вт)^т
цКУ т4(а2+са—г)+т3(4^а+2вс)+г2(4в2+2а2+2са — 2£)+т(4а^+2^с)+а2+са—г
Знаменатель представляет из себя возвратный многочлен четвертой степени, это позволяет легко разложить его на множители:
1 2а (V2 + 2в т + 1
Т 1 I \ а
"К--. (а- + ас — т2 + в2а2+ с^*т + Л (т2 + в2" + с + ^т + Л
V а2 + са — £ / \ а2 + са — £ )
В дальнейшем будем использовать сокращения
„ _ .2а + с + УД 2а + с — УД
в+ = в ^ V, в- = в ^ V. а2 + са — £ а2 + са — £
Запишем интеграл С учетом введенных сокращений:
™ _ 1 ( [ (аУА — ас + 2£)^т 1 (аУА + ас — 2£)^т
а2 + са — £) Ц т2 + в+т + 1 +У т2 + в- т +1
--- ((аУА — ас + 2£)Д + (аУА + ас — 2£)/Л.
^Ку А(а2 + са — £) V /
С помощью формулы (в случае 4ас — Ь2 > 0)
г 2 2ах + Ь I _—_аг^_
./ ах2 + Ьх + с У4ас — Ь2 У4ас — Ь2
находим:
I1
/• ^т 2 2т + в+
11 = т2 + в+т +1 = Т/Т^Г
--1 т2 + в+т + 1 |-1
х — У .
Последнее упрощается с помощью тождества агС^ х — агС^ у = агС§
1 + ху'
_ 2 п
п
4 —
Аналогичное выражение получается для 12:
11 ^ "^1 + 2 У4ТД2
Г п
4
Таким образом, период равен:
T _ п / а"А + ac - 2t а"А - ас + 2t
_ цК"А(а2 + са - t) \ - в2+ ^4 - в-
_ п i а"А + ас-2t а"А - ac+2t 1_
_ ^ i (а2 + са -^4 - в2 J _
п I >/А + с "А - с \
_ ""^ i/KW-в2 + fr )2 - в2
2t 2t
В последнем переходе первая дробь сократилась на а--=-, а вторая на а +—=-.
V Д + c VA - c
Вспоминая теперь связь T _ qT и определение величин а и в, получаем окончательно искомое утверждение. Теорема доказана.
Время движения по неограниченным орбитам. Если траектория неограниченная, то, согласно определению 1, орбита выходит на край поверхности, однако частица, движущаяся по этой орбите, может достигнуть границы как за конечное время, так и за бесконечное.
Утверждение 4. Пусть (S, V) — пара Бертрана, где S — поверхность вращения с координатами (§, ф mod 2п) и римановой метрикой (4), V(§) — замыкающий потенциал на S. Тогда:
1) если максимальная поверхность параметризована t _ 0, с _ 0, то в случае потенциала Vi($) _ A§ (A < 0) граница § _ 0 достигается за бесконечное время, граница § _ то не достигается, а в случае потенциала V2(§) _ A (A(§4 + t) > 0), обе границы § _ 0, § _ то не достигаются;
2) если максимальная поверхность параметризована t _ 0, с > 0, то в случае потенциала V1 (§) граница § _ 0 достигается за конечное время, граница § _ то не достигается, а в случае потенциала V2(§) обе границы § _ 0, § _ то не достигаются;
3) если максимальная поверхность параметризована t _ 0, с < 0, то в случае потенциала V1 (§) граница § _ с достигается за бесконечное время, граница § _ то не достигается, а в случае потенциала V2 (§) граница § _ \f-с достигается за бесконечное время, граница § _ то не достигается;
4) если максимальная поверхность параметризована t > 0, то в случае потенциала V2 граница § _ то не достигается, граница § _ §2 достигается за бесконечное время;
5) если (ц, с, t) е {(t < 0, с < 0, с2 + 4t > 0)}, то имеем две максимальные поверхности (0, §1) х S1 и (§2, то) х S1 c потенциалом V2, причем для первой поверхности граница § _ 0 достигается за конечное время, граница § _ §1 достигается за бесконечное время, а для второй поверхности граница § _ §2 достигается за бесконечное время, граница § _ то не достигается;
6) если (^,с, £) € {с2 + 4£ < 0} и {с > 0,£ < 0,с2 + 4£ > 0}, то имеем две максимальные поверхности (0, У—£) х 51 и (у—£, то) х 51 с потенциалом V2, причем для первой поверхности граница 0 = 0 достигается за конечное время, граница 0 = у—£ достигается за конечное время, а для второй поверхности граница 0 = у—£ достигается за конечное время, граница 0 = то не достигается.
Замечание 5. Предыдущее утверждение легко переформулируется и для немаксимальных поверхностей Бертрана. Для подповерхности Б' ~ (а1,Ь1) х Б1 поверхности Бертрана Б ~ (а, Ь) х Б1, где а < а1 < Ь1 < Ь, ограничением замыкающего потенциала V(0) на (а1, Ь1) также будет замыкающим. В случае подповерности Б' ее границы 0 = а1 и 0 = Ь1 достигаются, и притом за конечное время.
Доказательство. Достижимость границы связана с тем, что существуют значение энергии Е и кинетического момента К, такие, что орбита с этими значениями выходит на границу поверхности 0О. Также в окрестности границы возможно движение с такими первыми интегралами. Для этого необходимо и достаточно, чтобы
И'(0О> = Е — V(0О) — ^ > (12)
а2 ($0)$2
Согласно (2) выполнено V (0О) = 11 —-, что доказывает необходимость. Достаточность следует из теоремы существования решения задачи Коши дифференциального уравнения (2) с начальным условием 0(^О) = 0О.
Далее, время движения от параллели 0 = 011 до параллели 0 = 022 по орбите с энергией Е и моментом К, согласно 2, равно
Т_ У ап(0)й0
«¡2 (")
Рассмотрим поверхность Б ~ (0, то) х Б1, соответствующую с = £ = 0, и потенциал У1(0). Тогда время движения между параллелями 011 и 022 таково:
Т = "Г ¿0
■911
0^ 2(Е — А0) — К2 02'
Если граница 0 = то достигается, то тогда существует орбита с некоторыми Е, К и V(0)
К2ц?
в окрестности то неотрицательна. Но при 0 —> то функция V(0) = Е — А0---— 02
стремится к —то, а это означает (по критерию (12)), что данная граница не достигается.
Видно, что если взять Е > 0, то 0 — 0 функция V(0) — Е, т.е. граница достигается. Также 011 = 0 интеграл в нуле расходится. Таким образом, граница 0 = 0 достигается за бесконечное время.
Пусть Б1 ~ (0, У—£) — поверхность Бертрана из области , т.е. соответствующая значениям параметров {с2 + 4£ < 0} и {с2 + 4£ > 0,£ < 0,с > 0}. На ней действует
потенциал ^ = Ай 2 (А > 0). Тогда время движения между параллелями йп и й22 для нее
вычисляется следующим образом:
т = <»
в11 (й2 + с - (й-2)^/2(Е - £) - КУ2(й2 + С - (й-2)
/ 2А
Рассмотрим значение кинетического момента К = л —щ и значение энергии Е > К2ц2с.
При й ^ 0 функция V (й) стремится к Е - К2ц2 с > 0, значит граница й = 0 достига-ется.Соответственно интеграл при й ^ 0 сходится, значит граница й = 0 достигается за конечное время. При й стремящимся к й22 = ( и достаточно большом значении Е функция V(й) неотрицательна, интеграл сходится, значит граница й = ( достигается и за конечное время.
Аналогично разбираются остальные случаи. Теорема доказана.
Аналогичный результат справедлив и для поверхности Бертрана с псевдоримановой метрикой.
Утверждение 5. Пусть (Б, V) — пара Бертрана, где Б — поверхность вращения с координатами (й, ф mod 2п) и псевдоримановой метрикой (4), V(й) —замыкающий потенциал на Б. Тогда:
1) если Б ~ (0,«у/=С х Б1, ( = 0, V = Ай (А < 0), то граница й = 0 может достигаться за конечное время, граница й = -</-'с достигается только за бесконечное время;
2) если Б ~ (0, с) х Б1, ( = 0, V = Ай-2 (А > 0), то траектория на границу й = с может выйти только за бесконечное время, на границу й = 0 не может выйти даже за бесконечное время;
3) если Б ~ (0,й2) х Б1, ( > 0, V = Ай-2 (А > 0), то траектория на границу й = 0 может выйти за конечное время, а на границу й = й2 может выйти лишь за бесконечное время;
4) если Б ^ (й1, У-) х Б1, ( < 0, с < 0, с2 + 4( > 0, V = Ай-2 (А < 0), то граница й = ( достижима за конечное время, а граница й = й1 достижима лишь за бесконечное время;
5) если Б ^ (У-(,й2) х Б1, ( < 0, с < 0, с2 + 4( > 0, V = Ай-2 (А > 0), то граница й = ( достижима за конечное время, а граница й = й2 достижима лишь за бесконечное время.
Доказательство аналогично риманову случаю, и мы его не приводим. Как и в римановом случае, для немаксимальных поверхностей Бертрана (если такая поверхность компактно вкладывается в максимальную) обе границы могут достигаться, притом за конечное время.
2. Бифуркационные диаграммы
Чтобы описать топологию слоений Лиувилля фазового пространства, рассмотрим отображение момента ГЕк: М4 ^ К2, которое определяется так: ) ^ (К, Е).
Также построим бифуркационные диаграммы отображения момента для поверхностей Бертрана, т.е. на плоскости ОКЕ изобразим множество Е точек (К, Е), таких, что существует интегральная линия гамильтоновой системы, вдоль которой интегралы энергии и момента принимают значения Е и К.
Каждой точке (К, Е) соответствует слой слоения Лиувилля (совместная поверхность уровня интегралов К, Е). Случаи К > 0 и К < 0 симметричны, бифуркационная диаграмма симметрична относительно оси ОЕ, поэтому ограничимся построением в правой полуплоскости К > 0. Множество Е разбивается на несколько подмножеств:
Е2 — образ множества точек фазового пространства, в которых ранг гк = 2;
Е1 — образ множества точек фазового пространства, в которых ранг гк = 1;
Е0 — образ множества точек фазового пространства, в которых ранг гк = 0;
1В — образ множества точек, которые лежат на фазовых траекториях, соответствующих ограниченным орбитам.
Замечание 6. Канонически бифуркационной диаграммой называется образ критических точек фазового пространства, т.е. таких, в которых падает ранг отображения момента, другими словами гк < 1. Более того, в предыдущем определении обыкновенно под Е^ понимают образ множества точек фазового пространства, а которых минимальное значение ранга равно г. Однако в случае системы Бертрана Е = Е0 и Е1 и Е2. Далее, в виду того, что §гасС К = 0 в силу (10), заключаем, что Е0 = 0.
Что же касается множества Е1, то для него выполнено условие гк = 1, или
гк^гаё К, §гаё Е) = 1. что равносильно линейной зависимости векторов §гаё Е и §гаё К. С учетом (10) линейная зависимость означает, что
Г "2-#йкЛ + ФШ + Пй) = 0,
. ц2а22(й) а22(й) ^ ' 0,
^11 (й)
или
{ д'22 (й) 2 + V' (й) = 0 «22 (й)р + К(й) 0, (13)
Г
= 0.
Эти условия в точности означают, что данные значения К, Е достигаются на круговой орбите {й} х Б1, и только на ней. Поэтому прообраз ^Ек(Е1) состоит из точек фазовых траекторий, соответствующих круговым орбитам. Верно и обратное, на круговых орбитах выполняются условия (13). Таким образом, Е1 состоит только из образа точек фазовых траекторий, соответствующих круговым орбитам. Значит, Е1 П Е2 = 0.
Далее строятся диаграммы для системы на максимальной поверхн ости вращения Б с псевдоримановой метрикой (4). Для каждого случая: ( = 0, V = Ай + В; ( = 0, V = = А/й2 + В; ( > 0, V; ( < 0, V — будет своя бифуркационная диаграмма. Отметим, что константа В ни на что не влияет, поэтому далее мы ее будем опускать.
Утверждение 6. Рассмотрим поверхность Бертрана Б, отвечающую значениям параметров (с,Ь,ц): Ь = 0, с < 0, и потенциал V = Ад (А < 0). Для такой гамильтоновой системы бифуркационная диаграмма (на плоскости (К, Е)) имеет вид, представленный на рис. 1). Координаты точки А1 следующие: (^, А^—С), точка А1 не принадлежит £, множество £1 представляет собой кривую
Е\(К) = < (К, Е): Е =
сд2 К 2
А2
А
<К<
ч 2 2д2К2' у ^-с ,
Область £2 делится кривыми Е2(К), Е3(К) на четыре зоны (рис. 2): 1В, 11, 12, 13, где
Е2(К) = \(К,Е): Е = Сд2К2, 0 <К < то
2
Ез(К) = \(К,Е): Е = А^—с,
А
<К<
д2\/-с
Прообраз любой точки из £1 представляет собой окружность, прообраз любой точки из 1В — тор (см. рис. 2). Прообраз каждой точки из 11 — цилиндр, соответствующие фазовые потоки полны. Прообраз каждой точки из 12 — цилиндр с неполными фазовыми потоками, время на соответствующих траекториях не продолжается ни до +то, ни до — то. Прообраз 13 — пара цилиндров с неполными потоками; время на траекториях цилиндра, лежащего в {гр$ < 0}, не продолжается до +то, но продолжается до —то, для цилиндра > 0} наоборот.
Рис. 1. Бифуркационная диаграмма ¿1, У1
Рис. 2. Детализированная диаграмма 11, У1
Доказательство. Множество £ состоит из точек (К, Е), отвечающих тем значениям К, Е, при которых существует орбиты с соответствующими значениями интегралов энергии
§2
и момента. Согласно (2) при некотором допустимом д выполняется Е = —а211 —
к2
Перегруппируем слагаемые:
2 11 2«2
+ V.
E-V +
К2
2а2
д2 2 = ~а\1 > 0
22
2
Таким образом, необходимым условием того, чтобы было возможно движение с энергией Е и моментом К, является существование такого й0 из допустимого интервала (0, с), что
Е -" (йо)^2айо) -0 (14)
Это же условие является и достаточным, так как, если оно выполнено, то можно подобрать
мой сущес
1
(^2 + с)
й, чтобы выполнялось (2), а далее воспользоваться теоремой существования решения.
Далее, подставим в (14) заданную метрику а22(й) =--2/ а2 ,—^ и потенциал V(й) = Ай,
К 2д2 с К2д2^2
обозначим а (й) = Е — Ай--------. Условие (14) существования й0 € (0, \[—с)
приметвид а(й0) — 0. Для поиска максимума заметим, что производная а '(й) = —А—К2 ц2 й
обращается в нуль в точке йтах = — 0 0.
К 2^2
Если максимум функции а (т.е. нуль производной а') принадлежит интервалу (0, с), то требование существования й0, удовлетворяющей а(й0) — 0, эквивалентно тому, что функция а(й) неотрицательна хотя бы в одной точке, а это эквивалентно а(йтах) — 0. Таким образом,
^ А2 ц2К2 с А2
Е I __ £____ 0
+ ц2К2 2 2ц2К2 — 0
что соответствует тому, что при К > , —?= точки (Е, К) расположены на кривой Е1 (К)
V V-с
или выше нее.
Если функция а не имеет максимума на (0, с), то она возрастает и существование й0, удовлетворяющего условию а(й0) — 0, эквивалентно условию ас) > 0. В итоге
г—А
Е > с для точек при К < , ^_(на рис. 1 уровень Е = с обозначен пунктиром).
V с
Покажем, что Е1 задается кривой Е^К). Первый способ состоит в том, что каждая круговая орбита й = й0 имеет свою уникальную К, поэтому можно из первого уравнения системы (13) выразить й через К и, подставив в (6), получить, как связаны Е и К для круговой орбиты. Согласно (13) для а22 =---V и V = Ай имеем ц2йК2 + А = 0,
А ^ + с)
т.е. й = —тт. Далее полученную й вместе с условием = 0 подставим в (6) и получим
^2К 2
Е1 (К):
К2ц2с А2
Е
2 2ц2К2" Так как й € (0, -(/—с) (см. табл. 1), то К € (*/М-^ЕС, то).
V й V с
Второй способ состоит в том, что условия (13) определяют круговую орбиту. Обратимся
к уравнению орбиты (11), оно показывает, что в случае замкнутой орбиты, происходит
, А „ Г 2£^2 К2 ^4К4 „
флуктуация вокруг положения--с амплитудой 4 /1 +----с—, для круговой
К2 у А2 А2
орбиты амплитуда приравнивается к нулю, что дает ту же зависимость Е1 (К) между Е и К.
Множество состоит из точек (К, Е), соответствующих ограниченным орбитам. Для установления таких точек воспользуемся явным видом орбиты й(ф) и определим, при каких
условиях на (К, Е) она не выходит на границы {0} х Б1, {л/—с} х Б1 ни при каком ф:
0 < -
А
А
"2К2
"2К2
1_,1 + 2Е№!_ с"4 К 4
А2
А2
А2
А2
(16)
Эти неравенства со всеми условиями на константы А < 0, с < 0, К >
—А
—с
дают:
Е<
сК2
~1Г
Е < V—сА, Е >
К " с 2
А2
2"2К2
Прообразом каждой точки (К, Е) € 1в является компактное множество, и оно представляет собой тор Лиувилля Т2 « Е-1[(К, Е)] в случае 1в \ £ и окружностью в случае £.
На множестве 12 каждой точке (К, Е) соответствуют орбиты, ограниченные только с одной стороны (со стороны параллели {л/—с} х Б1), так как нарушается условие (15) и выполняется условие (16). По прежнему каждая такая орбита получается из другой поворотом вокруг оси вращения поверхности, т.е. орбита § = 01(ф) получается из орбиты § = §2 (ф) подстановкой (ф) = §2(ф + ф0) для некоторого ф0. Поэтому прообраз любой точки из 12 будет цилиндром. Согласно утверждению 5 траектория выходит за конечное время на границу § = 0 поверхности Б', значит, и фазовая траектория выходит на границу цилиндра за конечное время, т.е. поток на цилиндре неполон.
Аналогично орбиты, соответствующие зоне 11, ограничены со стороны параллели {0} х Б1 и не ограничены с противоположной. Прообразом каждой точки из 11 тоже будет цилиндр, но уже с полным потоком.
Для зоны 13 верно, что соответствующие орбиты будут не ограничены с двух сторон. Теперь орбиты делятся на две группы - с положительным значением (точка движется от 0 до л/—с) и отрицательным (точка движется от л/—с до 0), что означает, что прообразами
в зоне 13 будут пары цилиндров, симметричные в фазовом пространстве М4 относительно гиперплоскости р$ = 0. Теорема доказана.
Заметим, что прообраз любой точки (К, Е) € £ будет симметричен относительно гиперплоскости = 0. Аналогично доказываются следующие 3 утверждения.
Утверждение 7. Пусть дана поверхность Бертрана Б, отвечающая значениям параметров (с,Ь,"): Ь = 0, и потенциал V = А§-2 (А > 0/ Тогда для соответствующей гамильтоновой системы бифуркационная диаграмма имеет вид, представленный на рис. 3. Точка А1 имеет координаты (—¡С, —) и не принадлежит £, множество £1 — это кривая
Е1 (К ) = \(К,Е): Е = ^К2 + ^2Л"К,— <К < го) .
[ 2 }
Область Е2 делится кривой Е2(К) на две зоны 1В, 11 (рис. 4), где
Е2 (К) = \(К,Е): Е = —, — <К < то
—с —цс
Прообраз любой точки из Е1 — окружность, прообраз любой точки из 1В — тор (см. рис. 4). прообраз любой точки из 11 — цилиндр с полными фазовыми потоками.
Рис. 3. Бифуркационная диаграмма 11, У2
Рис. 4. Детализированная диаграмма 11, У2
Утверждение 8. Рассмотрим поверхность Бертрана Б, соответствующую значениям параметров (о,Ь,^): Ь > 0, и потенциал V = Ад~2 (А > 0). Для такой гамильтоновой системы бифуркационная диаграмма имеет вид, представленный на рис. 5). Точки А1 и А2 имеют координаты ( , щ) и (, ^) соответственно, обе они не принадлежат £.
Множество Е1 представляет собой кривую
Е1(К) = <(К,Е): Е =
с,ц2 К 2
+"2 К V
-Ь,
—А
<К<
ц2\/—с
Область Е2 делится кривыми Е2 (К), Е3 (К) на четыре зоны 1В, 11, 12, 13 (рис. 6), где
Е2(К )=<(К'ЕА<"<
Ез(К)^(К,Е): К = Ц2А - А <Е< Ц •
Прообраз любой точки из Е1 — окружность; прообраз любой точки из 1В — тор (см. рис. 6); прообраз каждой точки из 11 — цилиндр, причем соответствующие фазовые потоки полны; прообраз любой точки из 12 — цилиндр с неполными фазовыми потоками, время на соответствующих фазовых траекториях не продолжается ни до +то, ни до — то. Прообраз 13 — пара цилиндров с неполными потоками, время на траекториях цилиндра, лежащего в {рщ < 0}, не продолжается до +то, но продолжается до —то, для цилиндра {рщ > 0} наоборот.
2
Рис. 5. Бифуркационная диаграмма 01, У2
Рис. 6. Детализированная диаграмма 01, У2
Утверждение 9. Рассмотрим поверхность Бертрана Б с координатами (§, ф) и метрикой (4), соответствующую значениям параметров (с,Ь,") из области {Ь < 0, с2 + 4Ь > 0, с < 0}; без ограничения общности считаем, что координата § меняется в пределах первой компоненты (§1, ф—Г). На Б действует потенциал V = Ад~2 (А < 0). Для такой гамильтоновой системы бифуркационная диаграмма имеет вид, представленный на рис. 7. Точка А1 имеет координаты ( У2^-, 4) и не принадлежит £. Множество £1 представляет собой кривую
Е1 (К)= (К,Е): Е
си2К2 2т.2 / 2А
с^— + "2 К21
+ Ф2л т.
— Ь, —, < К < го
и2—2 ' + *
Область £2 делится кривыми Е2 (К), Е3(К) на четыре зоны 1в, 11, 12, 13 (рис. 8), где
Е2(К ) = \(К,Е): Е = —У^Г^, -У^ < К
2 + *
<К<
Ез(К) = {(К,Е): Е = + У—"2К2 +
А
У—:
0 < К <го\.
Рис. 7. Бифуркационная диаграмма 02, У2
Рис. 8. Детализированная диаграмма 02, У2
Прообраз любой точки из Ei — окружность, прообраз любой точки из IB — тор (см. nfigpic::p44). Прообраз каждой точки из I1 — цилиндр, причем соответствующие фазовые потоки полны; прообраз каждой точки из I2 — цилиндр с неполными фазовыми потоками, время на траекториях, лежащих на цилиндре не продолжается вправо до +то и не продолжается влево до — то. Прообраз I3 — пара цилиндров с неполными потоками, время на траекториях цилиндра, лежащего в {rp$ < 0}, продолжается до +то, но не продолжается до —то, для цилиндра {p$ > 0} наоборот.
Заключение
Для движения в пространствах, обладающих симметрией вращения, под действием центрального закона сил, известны все случаи, приводящие к замкнутым траекториям. Описанные системы являются гамильтоновыми, при работе с которыми очень эффективными оказываются методы гамильтоновой механики, в том числе геометрические. Для исследования фазового пространства указанных систем геометрическими методами оказывается полезным знание интервалов времени, необходимых траекториям, чтобы те замкнулись или вышли на границу. Соответствующие временные интервалы установлены в утверждениях 3, 4, 5.
Как показывают утверждения 4, 5, время вдоль интегральных траекторий не всегда продолжается до бесконечности, что влечет неполноту соответствующих фазовых потоков, а как следствие — невозможности напрямую использовать некоторые классические результаты, такие, как теорема Лиувилля [10]. Вместо этого нужно пользоваться их аналогами, например теоремой Алешкина [9]. Более того, знание точной зависимости периода T движения по замкнутой орбите от полной энергии E помогает явно построить координаты «действие-угол», в которых фазовый поток выпрямляется и многие объекты (симплектическая форма) принимают наиболее простой вид.
Для однородных механических систем строение фазового пространства несет много информации о типе возникающего движения. Например, для математического маятника фазовое пространство — плоскость (x, X) — состоит из точек, соответствующих состоянию покоя, окружностей (кривых, гомеоморфных окружности), соответствующих малым колебаниям, неограниченных линий (гомеоморных прямой), соответствующих движению по окружности вокруг точки крепления нити, а также сепаратрисы, разделяющей разные типы движений. Подобное представление приведено и для системы Бертрана, построены бифуркационные диаграммы. Видно, что при переходе из зоны IB в зону I1 ограниченное резонансное движение переходит в неограниченное.
Список литературы
1. Gordon W.B. On the relation between period and energy in periodic dynamical systems // J.
Math. Mech. 1969. Vol. 19. P. 111-114.
2. Ballesteros A., Enciso A., Herranz F.J., Ragnisco O. Hamiltonian systems admitting a Runge — Lenz vector and an optimal extension of Bertrand's theorem to curved manifolds // Commun. Math. Phys. 2009. Vol. 290. P. 1033-1049. DOI: 10.1007/s00220-009-0793-5
3. Козлов B.B. О динамике в пространствах постоянной кривизны // Вестник Моск. ун-та. Сер. Математика. Механика. 1994. №2. С. 28-35.
4. Santoprete M. Gravitational and harmonic oscillator potentials on surfaces of revolution // J. Math. Phys. 2008. Vol.49, no. 4. Art no. 042903 (16 p.). DOI: 10.1063/1.2912325
5. Загрядский О.А., Кудрявцева E.A., Федосеев Д.А. Обобщение теоремы Бертрана на поверхности вращения // Матем. сб. 2012. Т. 203, № 8. С. 39-78.
6. Загрядский О.А., Федосеев Д.А. О явном виде метрик Бертрана
Вестн. Моск. ун-та. Сер. Математика. Механика. 2013. X 67, № 5. С. 46-50.
7. Загрядский О.А. Обобщение теоремы Бертрана на поверхности вращения с псевдори-мановой метрикой // Вестн. Моск. ун-та (в печати).
8. Fomenko A.T., Konyaev A.Yu. Algebra and Geometry Through Hamiltonian Systems // In: Zgurovsky V.Z., Sadovnichiy V.A., eds. Continuous and Distributed Systems. Theory and Applications. Springer. 2014. P. 3-21. (Ser. Solid Mechanics and Its Applications; Vol.211) DOI: 10.1007/978-3-319-03146-0,1
9. Алешкин К.Р. Топология интегрируемых систем с неполными полями // Матем. сб. 2014. Т. 205, № 9. Р. 49-64.
10. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Т. 1. Ижевск: Изд. дом «Удмуртский университет», 1999. 444 с.
Science ¿¿Education
of the Bauman MSTU
Science and Education of the Bauman MSTU, 2014, no. 12, pp. 350-371.
DOI: 10.7463/1214.0751785
Received:
05.12.2014
Electronic journal
© Bauman Moscow State Technical University
ISSN 1994-0408
Bertrand systems and their phase space Zagryadskij O. A.
Bauman Moscow State Technical University
Keywords: Bertrand system, closed orbit, surface of revolution, bifurcation diagram, Liouville — Arnold theorem
Consider a pair (S, V), where S is a two-dimensional surface of revolution without equators, i.e. cylinder equipped Riemannian metric of revolution, V is a central potential on S such that it keeps constant when the group of rotation acts. Also consider central potentials acting on the surfaces equipped Pseudoriemannian metric of revolution. Lets select Bertrand pairs in the set of all considered pairs — the potential has to be locking, i.e. under the influence of it all bounded orbits must be closed. Such dynamical systems are Hamiltonian ones possessed four-dimensional phase space. And one could represent Bertand pairs as five-parametric set, three parameters define the inner product of the manifold, other two define potential. It is proved that only generalized law of universal gravitation and the generalized oscillator Hook law could be locking.
It is well-known that in case of closed orbit the period of moving depends on the full energy, but not depends on angular momentum (classical Gordon's theorem); in this paper we established the explicit form of this relation for Bertrand systems. In case of nonbounded orbits we calculated full time of moving, noted the infinite cases, and derived the fullness of corresponding phase flows, i.e. whether time-parameter could be continued to infinitely on the integral curves of Hamiltonian vector field of energy.
We show, that Bertrand systems in pseudoriemannian case weren't integrable by the Liouville — Arnold theorem, however the connected components of regular Liouvill folia of two first integrals energy and angular momentum stayed either torii or cylinders. We proved any folia of the foliation could be either circle or torus or cylinder or pair of cylinders. Also we constructed bifurcation diagrams of momentum map, all the diagrams is divided into areas corresponding to different types of Liouville folii. Finally it was discovered whether flows were full or not.
1. Gordon W.B. On the relation between period and energy in periodic dynamical systems. J. Math. Mech., 1969, vol. 19, pp. 111-114.
References
2. Ballesteros A., Enciso A., Herranz F.J., Ragnisco O. Hamiltonian systems admitting a Runge — Lenz vector and an optimal extension of Bertrand's theorem to curved manifolds. Commun. Math. Phys., 2009, vol. 290, iss. 3, pp. 1033-1049. DOI: 10.1007/s00220-009-0793-5
3. Kozlov W.W. Dynamics in spaces of constant curvature. Vestnuk Moscovskogo universiteta. Ser. Mathematika. Mechanika = Moscow University Bulletin. Ser. Mathematics and Mechanics, 1994, no. 2, pp. 28-35. (in Russian)
4. Santoprete M. Gravitational and harmonic oscillator potentials on surfaces of revolution. J. Math. Phys., 2008, vol. 49, iss. 4, art no. 042903 (16 p.). DOI: 10.1063/1.2912325
5. Zagryadskii O.A., Kudryavtseva E.A., Fedoseev D.A. A generalization of Bertrand's theorem to surfaces of revolution. Matematicheskij sbornik, 2012, vol.203, no. 8. pp. 3978. (English version: Sbornik: Mathematics, 2012, vol.203, no. 8. pp. 1112-1150. DOI: 10.1070/SM2012v203n08ABEH004257).
6. Fedoseev D.A., Zagryadskii O.A. The Explicit Form of the Bertrand Metric. Vestnuk Moscovskogo universiteta. Ser. Mathematika. Mechanika, 2013, vol.67, no. 5, pp. 46-50. (English version: Moscow University Mathematics Bulletin, 2013, vol.68, iss. 5, pp. 258-262. DOI: 10.3103/S0027132213050094).
7. Zagryadskii O.A. Generalization of Bertrand theorem on the Surface of Revolution with Pseudo-Riemannian metrics. Vestnuk Moscovskogo universiteta. Ser. Mathematika. Mechanika (to be published).
8. Fomenko A.T., Konyaev A.Yu. Algebra and Geometry Through Hamiltonian Systems. In: Zgurovsky V.Z., Sadovnichiy V.A., eds. Continuous and Distributed Systems. Theory and Applications. Springer. 2014. P. 3-21. (Ser. Solid Mechanics and Its Applications; vol.211). DOI: 10.1007/978-3-319-03146-0-1
9. Aleshkin K.R. The topology of integrable systems with incomplete fields Matematicheskij sbornik, 2014, vol.205, no. 9. pp. 49-64. (English version: Sbornik: Mathematics, 2014, vol. 205, no. 9, pp. 1264-1278. DOI: 10.1070/SM2014v205n09ABEH004417).
10. Bolsinov A.V., Fomenko A.T. Integriruemye gamil'tonovy sistemy [Integrable Hamiltonian Systems] Iszevsk, Udmurtskij universitet publ., 1999. 444 p. (in Russian)
