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Section 4. Mathematics
Section 4. Mathematics
Borisovskiy Ivan Petrovich, Belgorod National Research University Associate professor, Pedagogical Institute, E-mail: [email protected]
Uber lineare Erweiterung der Fast-Kontaktstruktur
Abstract: Es wird der Zusammenhang zwischen der fast-hermiteschen Struktur und der auf ihrer Erweiterung in-duzierten metrischen Fast-Kontaktstruktur untersucht. Es wird die Bedienung erhalten, unter welcher die semi-kahlersche Struktur auf der linearen Erweiterung der kompakten quasisasakischen Mannigfaltigkeit induziert wird.
Keywords: Mannigfaltigkeit, Fundamentalform, die fast-kontakte Struktur, Vektorfeld, Tensorfeld, riemannscher Zusammenhang,
Sei M — eine geschlossene glatte Mannigfaltigkeit der Dimension dim M = 2n + 2; x(M) — der absolute Be-trag der glatten Vektorfelder auf M; d — der Operator der Aufiendifferenzierung; q — die riemannsche Metrik auf M; V — der riemannsche Zusammenhang der Metrik q.
Definition 1. Als fast-hermitesche Struktur (oder kurz АН-), auf М bezeichnet man ein Paar der Tensoren auf М jj,q = (.,.)}, wo J — eine fast-komplexe Struktur ist, wobei es gilt: (JX, JY) = (X,Y);X,Y e x(M). Die Mannigfaltigkeit, auf der die АН-Struktur angegeben ist, nennt man fast-hermitesche Mannigfaltigkeit. Naturlich, auf jeder solchen Mannigfaltigkeit ist eine 2-Form 0(X,Y) = (X, JY);X,Y e x(M) bestimmt, die die Fundamentalform der Struktur heifit.
Definition 2. Als fast-hermitesche Struktur {j= (•>•)} auf Mannigfaltigkeit Мnennt man:
• hermitesche Struktur, wenn ihre fast-komplexe Struktur integrierbar ist;
• kahlersche, wenn ihre Fundamentalform im rie-mannschen Zusammenhang parallel ist;
• approximativ kahlersche, wenn VX,Y e x(M) V x (J )Y + V y (J )X = 0;
• fast-kahlersche, wenn d© = 0.
Die Festlegung der fast-hermitesche Struktur auf M ist der Festlegung der G-Struktur in der Hauptdiffe-renzierung aller komplexer (точка и набор векторов) Hohenmarken der Mannigfaltigkeit M mit der Struktur-gruppe U (n +1) [1] aquivalent. Diese U (n +1) - Struktur heifit die angefugte G-Struktur.
Hier werden wir annehmen, dass die Indizes a, f,y,... die Werte von 0 bis n durchlaufen, die Indizes a,b,c,d,... = l,n, wobei a = a + n. Gewohnlicher weise,
mit den Symbolen [], () bezeichnen wir die Alternation und die Symmetrierung des Objektes verhaltnismafiig. Fur die erste Gruppe der Strukturgleichungen der AH-Struktur ergibt sich dke =k л k + Be yk л kp + + Bee ke л kY; dka = -ка лкв + BJay лк + Всфук л к; wo к ,a>e — die Komponente der Formen der Translation und des riemannschen Zusammenhangs verhaltnismafiig sind;
_
Ba =
7
>/~l ra
2 \-в-Л
B e _
afir
-4-i rs
2 J V-rV
-4—
j “
J R
4-i -
B,a y=—j a
aft
(1)
wo ГРг — die Komponente des kovarianten Differentials des Tensors Jbezuglich des riemannschen Zusammenhan-ges sind. Es ist bekannt, dass die Reihe der Funktionen {}, {B„fr}, [Bar}, [Bar} auf der Mannigfaltigkeit М die Tensoren bestimmt, die man als Strukturtensoren der ersten und der zweiten Stufe und als imaginable Tensoren der ersten und der zweiten Stufe verhaltnismafiig bezeichnet. Wobei 1)Ba = Be; 2)Baf= Baf; 3)B{a'\ = BaW) = 0 wo t ^ t — der adjungierte Operator ist.
LEMMA 1. [1] In den oben erwahnten Bezeichnun-gen ist die АН-Struktur auf der Mannigfaltigkeit М:
• hermitesch dann und nur dann, wenn Bar = 0 ;
• kahlersch dann und nur dann, wenn Ba y = 0 und BaeY = 0 ;
• approximativ kahlersch dann und nur dann, wenn
Bae — о Baer = Blaf>r]-
• semikahlersch dann und nur dann, wenn Bae= 0 ;
• fast-kahlersch dann und nur dann, wenn Ba y = 0,
BlaM = 0.
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Uber lineare Erweiterung der Fast-Kontaktstruktur
Definition 3. Die metrische Fast-Kontaktstruktur (oder kurz AC -) auf einer glatten (2n+l) - dimensio-nalen Mannigfaltigkeit heifit die Gesamtheit {,q = {.,.),£,q} derTensorfelder auf dieser Mannigfaltigkeit, wo Ф - der (1,1) - Tensor ist, der ein strukturel-ler Endomorphismus heifit, q - die riemannsche Metrik, £ und П - ein Vektor und ein Kovektor sind, die verhalt-nismafiig ein struktureller Vektor und eine Kontaktform heifien. Dabei gilt es:
1) Ф(|) = 0; 2) П °Ф = 0; 3) V) = U 4) Ф2 = = -id + $®n; 5)(ФХ,ФГ) = {X>Y)-n(X)n{Y).
Die Mannigfaltigkeit N, auf der die AC - Struktur gegeben ist, heifit AC - Mannigfaltigkeit. Sowohl auf der АН- Mannigfaltigkeit, als auch auf der АС- Mannigfaltigkeit N ist die Fundamentalform der Struktur &(X,Y) = (X,OY) bestimmt;X,7 e x(N). Im Werk [1] sind die Hauptklassen der АС-Struktur und ihre ty-pische Eigenschaften betrachtet.
Definition 4. Die АС-Struktur {,q,%,q} auf der Mannigfaltigkeit N heifit:
normal, wenn 2N ф + dq®% = 0, wo N ф - der Tensor von Nijenhuis des Operators Ф ist: 4N Ф (X ,Y) = Ф2 [X ,Y ] + [ФХ, OY ]-ф[ФХ ,Y ]-Ф[Х, ФY ];
• quasisasakisch, wenn sie normal ist, und die Fun-damentalform geschlossen ist;
• exakt kosymplektisch, wenn die Fundamental-form die Killing-Form ist, und die Strukturform ge-schlossen ist;
• fast-kosymplektisch, wenn die Fundamental - und Strukturform geschlossen sind;
• kosymplektisch, wenn ihre Fundamental - und Strukturform im riemanschen Zusammenhang parallel sind.
Im Raum der angefugten G - Struktur hat die erste Gruppe der Strukturgleichungen der AC - Mannigfal-tigkeit die folgende Form:
1) d®a = ®b л W + C“bc®c л®ь + Cabсюь a®( + Сьюь л л® + Cab®b ло;
2) drna = -юьа люь + Cab юс л ®b + Cabcab л ®c +
+ Cab®b л® + Cba®b л®;
3) d® = Dat® л® + D ®a лwb + Da® л®ь +
+ D ®a л® + Da® л®,
a a 7
wo ® = ®ii,®i = q®,Фik - die Komponente des kovari-anten Differentials des Tensors Ф sind,
, 4-\ Ca = Ф- ; b 4-1 Cabc - Ф“- ;
c 2 b >c 2 [b A'
ca =^ELФа -4—Щ-ь; C=-4-Щь;
2 b ,0 0 ,b
Ai - a ф;, ; 4-1 ■ C abc =- — Ф ,c ]
4-I -
c.„ = -—Ф-
уГщь ;
C = 4-1ф
0,b ’
Dab = W°-E, ;
[a ,b ]
D =-ур[ф\.
(2)
Dab =-J-4 Ml
D =-V<^--^Ф1;
D°=4-1ф:,0. _ _
t-i . ..i , i s-iab z—y c /—y s-\abc
Es sei erwahnt, dass C c = Cab ; Cabc = C ;
Cab = Cb;Cb = C;; Dab = Db;D = Da.
ab> a b ) ab> a
LEMMA 2. [1] AC - Struktur auf der Mannigfaltigkeit IV ist:
• normal dann und nur dann, wenn
Cabc = Cab = D ab = Da =
• quasisasakisch dann und nur dann, wenn
Cabc = Cab = Cab = D ab = Da =
• kosymplektisch, dann und nur dann, wenn
C b = C bc = C b = C" = D" = D b = D = 0;
abc ab ab a a ab a }
• fast-kosymplektisch, dann und nur dann, wenn
rb] = Cbc = C b] = C = 0; D" = Db = D = 0;
[ abc ] ab [ ab] a J a ab a J
• genau kosymplektisch, dann und nur dann, wenn
Г = Cb; C bc = C b = Cb = Db = D b = D = 0;
[abc J abc} ab ab a a ab a }
Sei auf der (2n+l) — dimensionalen Mannigfaltigkeit N die AC - Struktur {Ф ,q ,%,q] gegeben. Die Mannigfaltigkeit M=NxR kann man als totaler Raum der trivialen Spaltung (M, N, p, R), wo p: NxR^N — die naturliche Projektion. Wir bezeichnen als v - der ein-zelne Leitvektor der Geraden R, в - 1-Form, die einen platten Zusammenhang darstellt. Dann gibt es Homo-morphismusiH : x(N) ^ %(M), so dass p* °iH = id (die waagerechte Steigerung). Wir drucken aufM Endomorphismus J und Metrik q durch die Formel aus:
J = iH oФon* - Q®f + p n ®v; q(X ,Y) = q(X ,Y) + в(Х )в(У),
wo X = iHX, (ergo X = p*X).
Die Paar (J,q) ist fast-hermitesche Struktur auf die Mannigfaltigkeit М, die die lineare Erweiterung der gege-li^nen AC - Struktur heifit. Weiterhin glauben wir, dass die Indizes a,p,y = l,...,2n. Wir stellen auf Mdie Vek-
torfeldere„ =
£ -*J—1v _ _f + y[—1
dar und bezeich-
л/2 ’ 0 yjl
nen als V - d er riemannsche Zusammenhang der Metrik
q. So haben wir Vvv = 0; VvX = VXv = 0; VXY = iHVXY.
Ergo = Vo = V0 = 1V = 1 ,
V~e =V 0s VJ =-^i„Vbs , V~eR= i„V e„.
£„ a J0 а ГС ^ a p) H $ a « в H c° в
LEMMA 3. Die Komponenten der kovarianten Ab-leitungen der Tensoren J und Ф sind in bezug auf den entsprechenden riemannschen Zusammenhang den nachsten Korrelationen genugend:
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1) Jа 1 в,Y = фа P,r (genau
2) J ° J b ,y = л/2Ф 0 ; j 0 - ,yY J b ,Y
3) J a 1 Pfi = Ja - = J 0,0 фа ^ e
4) J 0 1 a ,0 = J ° - = J -,0 ф 0 . a-,0
5) J 5 1 a ,0 =J5- = a,0 ф0 a,0
Die anderen Komponenten sind entweder gleich Null oder werden aus den vorhandenen Komponenten bekommen, unter Berucksichtigung der Gleichung
Г, ,k =~H,k.
Der Beweis: Wir haben
1) Ji^Md,,)]*-j(Ve)J
- [v ^ iH (ФкР)- iH ф(У^р)- p n (4ke)v J =
U у£г(ф)ев^^=1п(У£гев)(е„-s„)
=ф;,г ° p ;
2) J0 =
' в ,Y
U\ (Ф')£в^2 n(Vzr Se ) (£0 - e5 )
1 ф»„-^(V £e) = -^Фвг+^ОтП
л/2 в,г V2
unter Berucksichtigung цв.
л/2 e,Y л/2
Г л/-1 Wfr ,wennf=b |-л/-1 Wf ф wennf=W 0, wenn в = b
erhalten wir J° „
’ Iv2 Фв Y , wenwв = b'
3) ja=
=-^ф“ •
л e
4) Ц =
-1= iHV((tyef рг1(У„ёв)(£0 -e-0)
-1= iHV^)ss -^2-p"q(V£oёа )(e0-es)
=1Ф l-—ЧФ,£,) = - Ф”0 +—ni0 =Ф” 2 ’ 2 b 2 ’ 2 ’
5) /!„ =
-1= iHЧ((ф)еа -^2-p*n(V )(e„ -£„)
= - Ф 0,0 - П(^^з ) = 2 Ф 0,0 +^2Яа,. = Ф.,0 Aus Lem-
ma 3 und (1) und (2) erhalten wir
B®bc __ Cabc ;
B&b 0 1 Cab ;
Bab =
1 ( - c h).
>/2
2л/2
т>а 0 A /~~\a
B" =n C;
-|0
a
B0b _-LDab; Ba00_1 D“; (3)
v2 2
B00a =-iDa; d«» _ Cab
4 c c •
Und die Formel der komplexen Verknupfung.
Durch die Korrelationen (3), und Lemmas 1 und 2, ist es nicht kompliziert die nachste Zulassung zu bewei-sen:
THEOREM 1. Die AC-Struktur auf der Mannigfal-tigkeit N ist:
• normal dann und nur dann, wenn ihre lineare Erweiterung — integrierbare Struktur ist;
• kosymplektisch, dann und nur dann, wenn ihre lineare Erweiterung — Kahlerstruktur ist;
• genau kosymplektisch, dann und nur dann, wenn ihre lineare Erweiterung — fast-Kahlerstruktur ist;
• fast-kosymplektisch, dann und nur dann, wenn ihre lineare Erweiterung — fast-Kahlerstruktur ist;
Sei auf der Mannigfaltigkeit N eine quasisasakische Struktur gegeben. Wollen wir die Bedingungen finden, bei welchen auf der Mannigfaltigkeit NxR eine semi-kahlersche Struktur induziert wird. Beachten wir, dass in diesem Fall die Gleichungen Ba\ + B“ 00 = 0, B °“a = 0 der Gleichung gleich sind. Fur die Komponenten des Kodif-ferentials der Fundamentalform haben wir: (50), = qik0tj,k = qikФ, д.Also: (50) = 2yRcabb -V-D, (50), =-2yTicJ U-td., (5©)0 =4—d:.
Wenn die lineare Erweiterung der quasisasakischen Struktur die semikahlersche Struktur ist, so ist die Fun-damentalform der Struktur 0 kogeschlossen. Es ist of-fenbar, dass das Gegenteil richtig ist. Andererseits ist die beliebige geschlossene und kogeschlossene Form ^ harmonisch, d. h. dSD. + 5dQ = 0. Es ist bekannt [2], dass im Fall der Kompaktheit der ausgerichteten Man-nigfaltigkeit die beliebige harmonische Form auf ihr ge-schlossen und kogeschlossen ist. Damit ist das Theorem 2 bew iesen:
THEOREM 2. Die lineare Erweiterung der kom-pakten quasisasakischen Mannigfaltigkeit ist die semi-kahlersche Mannigfaltigkeit dann und nur dann, wenn die Fundamentalform der Struktur 0 harmonisch ist, und insbesondere die zweite Gruppe der De-Rham-Ko-gomologie der Mannigfaltigkeit N ist nicht trivial.
References:
1. Кириченко, В. Ф. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории контактных многообразий.//Итоги науки и техники. Проблемы геометрии ВИНИТИ АН СССР, т. 18, 1986. C. 25-71.
2. Лихнерович, А. Теория связностей в целом и группы голономий. - M.: Гос. изд-во ин. лит., 1960, 216 с.
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