Базисные системы для геомагнитного поля Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2010. № 1 (1). C. 24-30

Математическое моделирование Mathematical simulation

УДК 27.35:37.15

БАЗИСНЫЕ СИСТЕМЫ ДЛЯ ГЕОМАГНИТНОГО ПОЛЯ* Г.М. Водинчар1,2, Л.К. Крутьева1

1 Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034, Камчатский край, с. Паратунка, ул. Мирная, 7

2 Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга,

683032, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4

E-mail: [email protected], [email protected]

Описана система собственных соленоидальных полей оператора Лапласа, которые можно использовать для разложения геомагнитного поля в ядре Земли. Граничные условия обеспечивают непрерывный переход поля в референтное геомагнитное поле.

Ключевые слова: геодинамо, ядро Земли, спектральные методы математической физики

© Водинчар Г.М., Крутьева Л.К., 2010

MSC 76W05:86A25 BASIC SYSTEMS FOR THE GEOMAGNETIC FIELD G.M. Vodinchar1,2, L.K. Kruteva1

1 Institute of Cosmophysical Researches and Radio Wave Propagation Far-Eastern Branch, Russian Academy of Sciences, 684034, Kamchatskiy Kray, Paratunka, Mirnaya st., 7, Russia

2 Kamchatka State University by Vitus Bering, 683032, Petropavlovsk-Kamchatskiy, Pogranichnaya st., 4, Russia

E-mail: [email protected], [email protected]

The system of own solenoidal fields of operator Laplace which can be used for decomposition of a geomagnetic field in a kernel of the Earth is described. Boundary conditions provide continuous transition of a field in a referential geomagnetic field.

Key words: geodynamo, kernel of the Earth, spectral methods of mathematical physics

© Vodinchar G.M., Kruteva L.K., 2010

*Работа выполнена по теме НИР № 01201052397 и при финансовой поддержке гранта ДВО РАН № 10-Ш-В-07-158.

Введение

При изучении проблемы геодинамо спектральными методами магнитное поле представляется разложением по некоторой системе стационарных базисных полей с зависящими от времени коэффициентами. Выбор такой системы неоднозначен и определяется во многом вычислительными удобствами, аппроксимирующими свойствами системы, сложностью ее представления, налагаемыми краевыми условиями и т. п. Учитывая сферическую геометрию задачи, чаще всего в таких системах используют произведения сферических гармоник на некоторые радиальные функции. Желательными свойствами базисных систем являются ортогональность и полнота относительно подходящего скалярного произведения.

В настоящей работе предлагается базисная система для магнитного поля в ядре Земли и изучаются ее свойства. Считаем, что вне ядра электрические токи отсутствуют и магнитная проницаемость всего пространства постоянна. Это приводит к непрерывности поля во всем пространстве, потенциальности внешнего магнитного поля (поля вне ядра) БоМ и нулевой радиальной составляющей ротора поля (плотности тока) на границе ядро - мантия. Граничные условия такого типа известны как вакуумные граничные условия [1, 2].

Внешнее поле и граничные условия

Пусть г = т\ и г = г2 являются соответственно внутренней и внешней границами жидкого ядра. Тогда потенциальное внешнее магнитное поле можно представить в виде Бои = —gradU, где потенциал раскладывается в ряд по сферическим гармоникам

/ г \ —(и+1) п

и=г2 Е Ь Е <(<)С(е,V). (1)

п=1 V 2 / т=—п

Такое представление аналогично моделям класса IGRF для референтного поля вне Земли [3, 4]. Различие лишь в том что в моделях IGRF используется радиус Земли ге вместо Г2. Кроме того, в отличие от этих моделей мы будем использовать для сферических гармоник не нормировку Шмидта, а среднеквадратичную нормировку.

Напомним, что любое соленоидальное поле можно разложить в сумму тороидальной Тф = го1;(Фг) и полоидальной 8^ = го1хо1:(^г) составляющих, где Ф и ^ -некоторые подходящие скалярные функции. При этом [5]

го1;Тф = 8ф, го18^ = Т—до, ДТф = Тдф, Д8^ = 8д^. (2)

Кроме явного представления через потенциал внешнее поле можно записать в виде

“ п / / г \ —(п+1) \

Вои = ЕЕ 4Г(* )го1го1 -* - ¥пт(в, V )г . (3)

п=1 т=—п \п \г2/ у

В справедливости этого разложения можно убедиться непосредственным вычислением двойного ротора в формуле (3) и градиента выражения (1).

Из формулы (3) видно, что внешнее поле является чисто полоидальным и разлагается в линейную комбинацию элементарных полоидальных компонент

gOUt

rw r

= rotrot | — — n U2

y“(e, ч> )r

(4)

Для магнитного поля внутри ядра также будем использовать разложения по сферическим функция на нестационарные тороидальные и полоидальные составляющие

Виш = rot (Znm(rt)y„m(e, q>» и Виш = rotron t)y„m(e, q>)r

с пока произвольными функциями ZTm(r,t) и Z^r,t). Системы полей BTm и ВПт определяют структуры различных масштабов по переменным в и ф. Для выделения разных масштабов по радиальной переменной вводим (пока формальные) разложения

Z«m(r>t) ^ k Tnm^ )Rknm(r)> Z«m(r>t) ^ k TnSm (t )RSnm(r)

k k

и соответствующие стационарные базисные поля

= rot (RLm(r)Ym(e> Ф)r) и kBnm = rotrot fRSnm(r)Ynm(e> Ф)r

k В

T

nm

Не конкретизируя пока функции ^киш(г) и Я^пт(г), получим для них граничные условия. Из определений тороидальных и полоидальных полей следуют разложения по локальному сферическому базису [5]:

где оператор

m

д ym T д Yn

де

BJ ____ — _____y-me ____ r

^nm лknm g n Є knm

rS

kBjm = -^n (n + 1) ymer+

, . dRL, , -L, 'Wд С e . m + — + —) і~âëee + Sine

n (n + 1) ynmer+

m

y-me

yn eÇ>

r

d—T —T

І і knm + knm

dr

r

д ym де

ee + -

sin в

y-me

yn eÇ>

rotkBnm i LnRSnm

m д ym

y-m„ ^Jn e

yn ee - - - e

sin в

де

1 d 2 d n(n + 1)

L = ——r2—_______

n r2 dr dr r2

(5)

(6)

Рассмотрим граничные условия при г = Г2 для тороидальных компонент ¿В^. Поскольку тороидальная часть внешнего поля отсутствует, получаем условие непрерывного перехода в виде кВтш(г = г2) = 0. С учетом первой формулы из разложений (5) ^киш(г2) = 0. Условие непроницания для токов го^В^ через границу г = г2, т. е. отсутствия радиальной проекции у тока на этой границе, также приводит, как видно из третьей формулы (5), к условию ^киш(г2) = 0.

Таким образом, граничные условия для тороидальных компонент имеют вид

Ккпт(г2) = 0. (7)

Теперь рассмотрим граничные условия для полоидальных компонент кВ^ш. Из четвертой формулы разложений (5) видно, что требование непроницания для порождаемых ими токов ГО^ ВПт через границу г = Г2 выполняется автоматически, поэтому необходимо обеспечить лишь непрерывный переход этих компонент в соответствующие компоненты внешнего полоидального поля.

Полагая во втором равенстве (5) ^Ит = (г2/п)(г/г2)-(п+1), получим по формуле (3):

Б» = (Г2 У^(" + 1)у”ег - (£)-п-2 (Ж - + ¡£в ). (8)

Поскольку отвечающая паре сферических индексов (п,т) комбинация внутренних мод £купт(^)Б^т должна на границе перейти в аналогичную внешнюю моду Лт(?)Б0т, к

то, приравнивая соответствующие проекции из (8) и второй формулы (5) при г = г2, получим:

£ к7пт(г ')В‘кпт(г2) = ),

I kYnm(t )

dRîL(r)

dr

n + 1

Am(t ).

(9)

Т=Т2

Выражая из обеих формул (9) Ат(?) и приравнивая эти выражения, можем записать

к( кпт

граничные условия для RSnm(r):

1 RS (r )+ 1 dRSnm(r)

—Rknm (r2) +

r2 knm n+1 dr

= О. (10)

r=r2

Также необходимо обеспечить интегрируемость квадрата поля во всем пространстве, т. е. конечность энергии поля. При г ^ ^ это гарантирует асимптотика внешнего поля. Действительно, легко получить, что объемный интеграл

/ (Br)2 dV = r2 (n + 1).

B

r>r2

В центре ядра будем требовать конечности базисных мод, т. е. конечности пределов:

і- г>Т ґ \ і- R]knm(r') і- dRknm

limRTnm(r), lim———, lim—fnm. r-r0 fenmV y’ r-r0 r r-r0 dr

Построение базисных систем

Выбирая различные системы функций Щпт(г) и К%пт(г), удовлетворяющие соответственно условиям (7) и (10), можно получать различные системы для разложения магнитного поля в ядре. Сам этот выбор может быть обусловлен многими соображениями (например, упомянутыми во введении). Рассмотрим далее один из возможных вариантов.

Поскольку соответствующим образом обезразмеренное уравнение индукции в ядре Земли имеет вид [1, 2]

где Рг - число Прандтля, q - число Робертса, V - скорость, то наиболее естественно использовать в качестве базисных компонент собственные поля оператора Лапласа. Обозначим временно ^Тиш(г) или Я^пш(г) через Х(г).

Будем использовать далее разложение скалярного оператора Лапласа на радиальную и угловую части: А = Аг + (і/г2) А5, где

При этом известно, что А^ГП” = — п (п + 1) У™.

Рассмотрим задачу А(Х(г)УП”) + пХ(г)УП” = 0. Используя уже приведенное разложение оператора Лапласа, получаем, что задача равносильна равенству ^П^ + пX = 0. Тогда X(г) имеют вид [6]

где )п (■), уп (■) - сферические функции Бесселя первого и второго родов соответственно. Известно, что уп (0) = те. Поэтому для того, чтобы собственные функции были ограничены в центре ядра, необходимо положить В = 0.

Рассмотрим теперь граничные условия для разных типов полей.

Для тороидальных полей условия (7) на собственные функции 7(г) приводят к уравнению

Условие нетривиальной разрешимости (А = 0) этого уравнения определяет для каждого п счетное множество собственных значений п = Пт,к = 0,1,2,..., как решений уравнения )п (^пг2) = 0. После нахождения п/п определяем коэффициент А = А^ из условия нормировки

в действительности не зависят от индекса т. Поэтому в дальнейшем будем записывать их как ^Гп(г).

Итак, получаем тороидальные базисные поля /В^ = гО К(г)Гпт(е, Ф)г). Приведенное условие нормировки для я[п(г) обеспечивает нормировку вида

которая соответствует единичной безразмерной энергии, выделяемой полями /В^ во всем пространстве.

д t

1 д2

sin2 вдц>2

Z(r) = Ajn (л/ñr)+ Byn (лДr) ,

Ajn (Vñr2) = О.

(11)

смысл которого поясним позже. Тогда собственные функции ^Тпт(г) = АТп./п

Тогда вся тороидальная составляющая магнитного поля в ядре Вт будет представляться как

œ œ

Бт = III k¿(t)kБ;

k=0 n=1 m=-n

т.

nm.

Для полоидальных полей граничные условия (10) на собственные функции 7(г) = = А/п (^Пг) дают уравнение

A

1 1 d

—+--------------7 ~7~

r n + 1 dr

= 0.

(12)

r=r2

Аналогично тороидальному случаю получаем для каждого п счетное множество собственных значений п = Пы,к = 0,1,2,..., а затем и коэффициенты с помощью

нормировки, которую опишем далее. Собственные функции RSnm(г) = Аиі'и

Чи

снова не зависят от индекса m ив дальнейшем обозначаются как RSn(r).

Таким образом, полоидальные базисные поля имеют вид кВПт = rot (я£,МС(в, 9 )r а вся полоидальная составляющая магнитного поля в ядре определится как

œ œ

вь = ЕЕ Е »¿,(<)*вЬ„-

к=0 п=1 т=—п

Из построения функций ^кп(г) следует, что они могут быть гладко продолжены с отрезка [0;г2] на интервал (г2; +<^) выражением ^кп(г2)(г/г2)—(п+1), обеспечивая тем

самым непрерывный переход Е к'йт^)квпт в Ат(?)В0тг. При этом из соотношения

к=0

(3) видно, что

Ат«) = ^ Е к1!?т(<)Якп(г2).

-2 к=0

Условие нормировки выберем в виде

1 2

rBP _rBP1 2

г2п(п + !) dr = 1.

r _r

Как и в тороидальном случае, это условие приводит к единичной энергии, выделяемой полем кВ^ш во всем пространстве. В левой части последнего равенства интегрирование ведется по всему пространству, а правая часть представляет из себя результат аналитического интегрирования в левой части по угловым переменным. При интегрировании по промежутку r > Г2 предполагается, что в этот промежуток _kn(r) гладко продолжена описанным ранее образом.

Все приведенные расчеты собственных значений пкП, ПкП, коэффициентов функций _Tn(r), _kn(r) были выполнены в пакете MAPLE 12 для n = 1,2,..., 10 и к = = 0,1,..., 6.

Рассмотрим теперь вопрос об ортогональности систем {kBTm} и {кВПш} в объеме ядра относительно скалярного произведения (■,■), определяемого формулой

(p, q) = J pq _v.

Г<Г2

(k Брт)2 dV =

R

BP

kn

’(n + 1)2 dr +

3

2

n

Известно, что любое тороидальноле поле ортогонально любому полоидальному на сфере. Поэтому системы {¿В^} и {кВПт} ортогональны между собой в ядре. Ортогональны также на сфере [5], а значит, в объеме ядра и однотипные поля, отличающиеся какими-либо сферическими индексами. Рассмотрим теперь поля вида kBTm при фиксированных n и m и различных k. Все такие поля - нулевые при r = r2. Применив к проекциям этих полей на орты декартовой системы координат вторую формулу Грина [6], получим, что оператор Лапласа является самосопряженным в линейной оболочке полей ¿В^ относительно умножения (■,■). Сами поля - собственные для оператора Лапласа с различными собственными значениями. Значит, они ортогональны между собой.

Полоидальные поля вида ¿ВПт при фиксированных n и m и различных k не обладают свойством ортогональности в ядре.

Заключение

В настоящей работе описаны системы тороидальных и полоидальных полей, которые можно использовать для представления геомагнитного поля в ядре Земли при исследовании задач геодинамо спектральными методами. Системы образованы собственными полями оператора Лапласа в ядре, что делает их очень удобными при выводе в работе с уравнением индукции. Система тороидальных полей ортогональна в объеме ядра, что гарантирует ее хорошие аппроксимирующие свойства. Ортогональности в системе полоидальных полей нет. Это связано с тем, что для полоидальных полей ставится очень жесткое граничное условие, обеспечивающее их непрерывный переход в поля модели IGRF референтного поля. С теоретической точки зрения представляет интерес вопрос о полноте предложенных систем, однако в настоящей работе этот вопрос не рассматривался.

Литература

1. Kono M., Roberts P.H. Recent geodynamo simulations and observations of the field // Reviews of Geophysics. 2002. Vol. 40. № 10. P. B1-B41.

2. Jones C.A. Convection-driven geodynamo models // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 2000. Vol. 358.

P. 873-897.

3. Merril R.T., McElhinny M.W., McFadden P.L. The Magnetic Field of the Earth. N.Y.: Acad. Press, 1996. 532 p.

4. International Geomagnetic Reference Field. URL: http://www.ngdc.noaa.gov/IAGA/vmod/igrf.html (дата обращения: 12.08.2010).

5. Chandrasekhar S. Hydrodynamics and hydromagnetic stability. N.Y.: Dover Publ. Inc., 1981. 654 p.

6. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 735 c.

Поступила в редакцию / Original article submitted: 20.10.10