Базисная математическая модель движений человека в безопорном состоянии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 796.012

Б.II. Загревский, V.I. Zahreuski, e-mail: [email protected]

Могилевский государственный университет им А.А. Кулешова, г. Могилев. Беларусв Mogilev State University named after A. Kuleshov, Mogilev, Belarus

БАЗИСНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЙ ЧЕЛОВЕКА В БЕЗОПОРНОМ СОСТОЯНИИ

BASE MATHEMATICAL MODELS HUMAN MOVEMENT IN UNSUPPORTED CONDITION

В статье показано, что движение многозвенной биомеханической системы в полетной части упражнения можно описать системой дифференциальных уравнений второго порядка, представляющих собой базисную математическую модель движении человека в безопорном состоянии.

The article shows that the movement of tlie ladder biomechamcal system lit the flight part of the exercise call be described as a system of differential equations of second order, which are the basic mathematical model of human movement ш the unsupported condition.

Ключевые слова: движение, биомеханическая система, математическая модель, программное yrqtae-Keyv"ords: motion, biomechanics1 system, mathematical model, program control

Для математического описания движения спортсмена в полетной части упражнения воспользуемся кинематической схемой /У-звенной модели биомеханической системы при условии, что точка контакта спортсмена с опорой (А) свободна (рис. 1).

Рис. 1. Кинематическая схема многозвенной модели биомеханической системы в безопорном состоянии

В работах [3, 4] рассматривается методика построения математической модели движения опорной и свободной трехзвенной системы. Распространим, используемый авторами подход, на многозвенную модель биомеханической системы с целью автоматизированного компьютерного вывода искомых уравнений на персональном компьютере (ПК).

Для рассматриваемого случая введем обозначения:

А' Г

, - координаты центра масс 1-го звена по осям Ох, Оу,

^', ^! - первая и вторая производная от ' по времени (линейная скорость и линейное ускорение центра масс ¿-го звена по оси От);

, ^' - первая и вторая производная от ' по времени (линейная скорость и линейное ускорение центра масс г-го звена по оси Оу);

(Pi

- угол наклона г-го звена к оси Ох;

Ф, Фг

<Р,

- первая и вторая производная от по времени (угловая скорость и угловое ускорение г-го звена);

/ = 1,2, 3,___, Лг где N— количество звеньев модели.

(р ф

В связи с тем, что за обойденные координаты биомеханической системы приняты 1, то '

ф г

и г 1 соответственно будут обозначать сообщенную скорость и сообщенное ускорение /-го звена.

Для обозначения масс-инерционных характеристик рассматриваемой многозвенной модели

J.

опорно-двигательного аппарата тела спортсмена введем следующие идентификаторы: ' - цен-

Щ R Ц

тральньш момент инерции i-ro звена; ' - масса г-го звена; ' - вес г-го звена; ' - длина г-го звена; - расстояние от 1-го шарнира до центра масс 1-го звена в направлении к 1+1 шарниру. Также, пусть Uz - управляющие моменты мышечных сил в суставе г, где с = 2, 3, ... , Л'. И здесь, всегда, для z = 1 и г = jV+1, величины Щ = 0 и ГЛЧ+1 = 0, так как суставы под номером 1 и jV+1 является фиктивным, но принимают участие в рекуррентной форме построения уравнений движения

Итоговая система уравнений, описывающих движение iV-звенной биомеханической системы в безопорном состоянии, имеет вид

N N

КХcosщ - кХ sill <pt + У Д- jiJ, cos(^- В>-ДУ - «) = м, ;

J=1 J=1

N N

KJi~T К,Ф} cos <pt - У K}<pf sin= 0: j=i j=i

N N

K^-Y, KjPj sin Pj - S cos <Pj = °~> ,=1> 3.....N- (1)

j=1 " ' j=1

Система уравнений (1) включает в себя ,V+2 уравнений, где последние два уравнения являются уравнениями сил реакции связи относительно свободной точки А (рис. 1), а остальные N уравнений описывают вращательное движение системы. Уравнения (1) являются базисной математической моделью свободного движения N-звенной биомеханической системы. Их рекуррентная форма построения позволяет автоматизировать [1, 2] процесс создания математической модели с произвольным количеством звеньев модели непосредственно в вычислительном эксперименте на ПК. Для этого необходимо выяснить структуру коэффициентов Ki, Bi,j.

Опуская промежуточные вычисления, запишем окончательный вид коэффициентов Ki, ВЦ. Для Ki имеем

Ко = т. Ki=(Li -Si)(ж-mi), К, = Qm. i = 2. 3_____N.

(2)

Здесь т - масса биомеханической системы С1 - коэффициенты, определяющие общий центр масс (ОЦМ) А'-звенной биомеханической системы.

Коэффициенты Сг находятся из выражения [2]

m,S. +Lt у iKj __j-i+i

(3)

Для коэффициентов Bij получим

ви = - 51 К1 +Л

Я- & ' (/= 2, 3, ... , ЛО ;

= А,

(/ = 2,3 ,...,Л0; (4)

, если /¿2 л2 и ;</;

В = А

И , если)>1

Здесь Лу — коэффициенты в уравнениях движения Л-звенной биомеханической системы в условиях опоры [1, 2], учитывающие антропометрические особенности сегментов и звеньев опорно-двигательного аппарата тела спортсменов. Аналитическое выражение коэффициентов .41.]. для IV-звенной модели биомеханической системы, построим при условии введения в формульную запись динамических коэффициентов (А¡./) символа Кронекера. Символ Кронекера равен

1. если I = ]. 10, если1*1.

^ (5)

В данном случае /, / - буквенные индексы, соответствующие цифровым индексам коэффициентов Л1]. Используя символ Кронекера, можно записать представление коэффициентов А1.1 для У-звениой биомеханической системы в виде [1,2]

_ я

Ац = 0 ij (Л + гш Ж 2) + Щ 1.1 5) (1 - & 1.]) + ¡>1,

если !>}, то Л у =Л],г\ г = 1, 2, 3,... ] = 1,2, 3, ... (б)

Так как .¥-звенная биомеханическая система в безопорном состоянии при движении в одной

ф,

плоскости имеет N+2 степеней свободы, обусловленных кроме изменения дополнительным перемещением центра масс первого звена по осям Ох, Оу. то уравнения (1) полностью описывают движение спортсмена в безопорном состоянии.

Построенная базовая математическая модель движений спортсмена в безопорном состоянии (1) позволяет решать как прямую, так и обратную задачу биомеханики двигательных действий. В первом случае, по известной траектории звеньев тела спортсмена, вычисляются управляющие моменты мышечных сил в соответствии с уравнениями (1). При этом используются данные оптической регистрации движений спортсмена и ^уравнений (1) вращательного движения биомеханической системы. Для второго случая необходимо построить конструктивную математическую модель синтеза движений биомеханической системы в безопорном состоянии

Библиографический список

1 Загревский. В И. Программирование обучающей деятельности спортсменов на основе имитационного моделирования движений человека на ЭВМ : автореф. дис. ... д-ра пед. наук : 13.00.04 ; 01.02.08 / В. И. Загревский : Государственный центральный ордена Ленина институт физической культуры. М , 1994. - 48 с.

2. Загревский. В. И. Построение оптимальной техники спортивных упражнений в вычислительном эксперименте на ПЭВМ : монография / В. И. Загревский, Д. А. Лавпгук, О. И. Загревский. -Могилев : МГУ им. А. А.Кулешова, 2000. - 190 с.

3. Коренев. Г. В. Введение в механику человека / Г. В Коренев. - М. : Наука. 1977. - 264 с.

4. Назаров. В. Т. Биомеханические основы программирования обучающей деятельности при освоении ациклических упражнений (на примере спортивной гимнастики) : дис. ... д-ра. пед. наук / В. Т. Назаров. - М.. 1974. - 322 с.