Базис полилинейной части многообразия алгебр Лейбница \overbrace{V_1} Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.5

БАЗИС ПОЛИЛИНЕЙНОЙ ЧАСТИ МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛЕЙБНИЦА V11

© 2014 С.П. Мищенко, Ю.Р. Пестова2

В случае нулевой характеристики основного поля многообразие алгебр Лейбница, определенное тождеством хх (х2х3)(х4х5) = 0, имеет почти полиномиальный рост. В работе мы продолжаем исследование этого многообразия, в частности, строим базисы полилинейных частей.

Ключевые слова: алгебра Лейбница, многообразие, почти полиномиальный рост, базис полилинейной части.

1. Предварительные сведения

На протяжении всей статьи характеристика основного поля Ф равна нулю. Все неопределяемые понятия можно найти в книге [1].

Напомним, что алгебра — это линейное пространство с билинейным умножением. Алгебра Лейбница — это алгебра, в которой выполняется тождество

(ху)г = (хг)у + х(уг). (1.1)

Если подставить г = у, то получим тождество х(у2) = х(уу) = 0, линеаризация которого имеет вид

х(уг) = -х(уг). (1.2)

Легко показать и хорошо известно, что если в алгебре Лейбница также выполняется тождество антикоммутативности, то есть хх = 0, то она является алгеброй Ли. В алгебре Лейбница не выполняется тождество ассоциативности, поэтому необходимо следить за порядком выполнения произведений. Однако тождество (1.1) позволяет выразить любое произведение элементов алгебры в виде линейной комбинации левонормированных произведений. Этим фактом мы будем пользоваться на протяжении всей статьи, поэтому договоримся в случае ле-вонормированного произведения опускать скобки, то есть использовать запись (((а1а2)аз) • • • ап) = а\а2 • • • ап. Под правилом дифференцирования будет понимать использование тождества (1.1), согласно которому линейный оператор умножения справа на фиксированный элемент является дифференцированием алгебры. Договоримся использовать для обозначения оператора умножения справа на элемент, например у, соответствующую заглавную букву У, то есть хУ = ху. Это обозначение в некоторых случаях оказывается удобным. Например, левонормированное

хРабота частично поддержана грантом РФФИ 13-01-00103 а.

2Мищенко Сергей Петрович ([email protected]), Пестова Юлия Рямильевна ([email protected]), кафедра алгебро-геометрических вычислений Ульяновского государственного университета, 432017, Российская Федерация, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42.

произведение ху...у степени т + 1 нельзя записать как хут, но можно записать в таком виде хУт, где Ут — степень линейного оператора. Кроме того, будем использовать специальный символ над образующими (черту или волну) для обозначения кососимметризации. Например,

х0х1у1х2У2У3х3х4 = (-1)Р(-1)<1x0xp(1)Уq(1)xp(2)Уq(2)Уq(3)хр(з)хр(4) ,

где Бт — симметрическая группа, а ( — 1)г — четность перестановки г. Под альтернированием элемента по группам образующих будем понимать следующее. Например, результатом альтернирования монома хох1У1х2У2Узхзх4 по наборам образующих х1,х2,хз,х4 и У1,У2,Уз является элемент хох^х2У2Узхзх4.

Напомним, что совокупность всех линейных алгебр над полем Ф, в которых выполняется фиксированный набор тождественных соотношений, называется многообразием этих алгебр над заданным полем. В этой статье мы продолжим изучение многообразия алгебр Лейбница "V1, определенного тождеством

х1 (х2хз)(х4х5) = 0. (1.3)

Многообразие "V1 было достаточно подробно исследовано в работе [2]. В частности, в этой работе дано полное описание строения пространства полилинейных элементов относительно свободной алгебры многообразия как модуля симметрической группы. Было показано, что многообразие "V1 имеет почти полиномиальный рост, то есть последовательность коразмерностей "V1 не может быть ограничена какой-либо полиномиальной функцией, но любое собственное подмногообразие "V1 имеет полиномиальный рост. Целью данной работы является построение базисов полилинейных частей. Отметим, что по своим свойствам многообразие "V1 похоже на многообразие алгебр Ли N2 А, для которого авторами недавно были получены аналогичные результаты [3].

Пусть V — некоторое многообразие алгебр Лейбница, а Е (X, V) — относительно свободная алгебра этого многообразия со счетным множеством свободных образующих X = {х1, х2,...}. Множество всех полилинейных элементов от х1,... ,хп в алгебре Е(X, V) обозначим через Рп(") и определим естественным способом на нем структуру модуля симметрической группы Бп. Результат действия перестановки р € на полилинейном левонормированном мономе х^1х^2 .. € Рп(~У) равен хр(г1)хр(г2) ...хр(п). Еще в середине прошлого века в работе [4] было показано, что в случае нулевой характеристики основного поля любое тождество эквивалентно системе полилинейных тождеств. Таким образом, вся информация о многообразии V содержится в пространствах Рп("), п = 1, 2,..., так называемых полилинейных частях многообразия. Поэтому

исследование структуры $п-модуля Рп(У) играет важную роль при изучении многообразия V. Модуль Рп(") является вполне приводимым, рассмотрим разложение его характера в целочисленную комбинацию неприводимых характеров ха с кратностями т\, где А Ь п — разбиение числа п,

Хп(") = х(Рп(У)) = ^2 тАХА.

АЬп

По сложившейся традиции характер модуля Рп(У) называют п-м кохарактером многообразия V.

Обозначим через сп(У) размерность пространства Рп(У). Опять же традиционно последовательность чисел сп(У), п = 1,2,..., называют последовательностью коразмерностей вербального идеала многообразия или просто последовательностью коразмерностей многообразия. Эта последовательность является одной

из основных числовых характеристик многообразия. Важными числовыми характеристиками являются также кратности и последовательность кодлин ln (V) = = Y1 Abn тa, п = 2,..., то есть последовательность длин модулей Pn(V). Обозначим через da размерность соответствующего разбиению Л неприводимого модуля, то есть d,A = deg xa • Понятно, что имеет место такое равенство cn(V) =

= dimPn(V) = ^Ahn mAdA.

Асимптотическое поведение размерности пространства Pn(V) определяет рост многообразия. Напомним, что рост многообразия называется полиномиальным, если существуют такие числа C, k, что для любого п выполняется неравенство cn(V) < Cnk. Говорят, что многообразие V имеет почти полиномиальный рост, если рост самого многообразия не является полиномиальным, но рост любого собственного подмногообразия является полиномиальным. В классе алгебр Ли существует ровно четыре разрешимых многообразия почти полиномиального роста и найдено одно неразрешимое многообразие почти полиномиального роста (см. по этому поводу обзор [5]). В случае алгебр Лейбниц, кроме упомянутого многообразия почти полиномиального роста, найдены еще три многообразия с аналогичным экстремальным свойством. Первое из них подробно изучено в работе [6], а некоторые свойства двух других можно найти в работах [7-9].

Если последовательность коразмерностей экспоненциально ограничена, то можно определить верхнюю и нижнюю экспоненту многообразия как верхний и нижний предел следующих последовательностей:

Exp(V) = lim sup ncn(\), Exp(V) = lim inf ncn(\)-

В случае их совпадения пишут Exp(V) = Exp(V) = Exp(V) и называют экспо-нентой многообразия V.

2. Свойства многообразия алгебр Лейбница V1

Перейдем к изложению результатов о свойствах многообразия "V1. Пусть е^ — матричные единицы, а UT2 = V(Ф) = Фец + Фе12 + Фе22 — ассоциативная алгебра верхнетреугольных матриц размера 2 х 2 над основным полем Ф. Обозначим через иТ° алгебру тех же матриц только относительно другого умножения, когда результат произведения двух матриц равен нулю, то есть для любых а°1,а00 € иТ° произведение а°°а0 =0 равно нулю. Пусть теперь

и = ит2 ф ит2

является прямой суммой двух векторных пространств иТ° и иТ2. Зададим на V структуру алгебры, определяя произведение в ней следующим образом:

(а2 + а1)(а° + а2) = (а?а2)0 + [аь а2],

г 1 0 J еи , если 3 = Н

где [а1,а2] = а1а2 — а2а1 коммутатор матриц, а е0„ем ~

\ 0 , если з = Н.

В работе [2] показано, что алгебра V является алгеброй Лейбница, которая порождает многообразие "V1. Там же из следствия 2.3 и леммы 3.3 получаем, что для коразмерностей исследуемого многообразия верна формула

сп("V1) = 2"~2 п(п — 3) + 2п.

Таким образом, экспонента равна двум, Ехр("V1) = 2. Приведем также полученные в работе [2] результаты, касающиеся кратностей и кодлины. Для кодлины

т х

при п> 2 выполнены формулы: /„(V1) = п2 — 2п + 6, если п четное, и /„("V1) = = п2 — 2п + Ц-, если п нечетное. Если же х„(" 1) = Т^Ль„ тлХл является п-м кохарактером многообразия "V1, то кратности вычисляются по следующим формулам:

д +1, если Л = (р + д + 1,р +1,1,1), (р + д + 2,р + 2, 2), (д + 1,1); 29 + 1, если Л = (д + 1,1,1); 2д + 2, если Л = (р + д,р), р > 2; 3д + 3, если Л = (р + д + 1,р + 1,1), р > 0; 1 , если Л = (п) ;

0, в остальных случаях.

Для получения новых результатов нам потребуется такая несложная лемма.

Лемма. В многообразии алгебр Лейбница "V1 выполняются следующие тождественные соотношения:

(хХр(1) . . . Хр(к))(^уд(1) . . . Уд(т)) = (ХХ1 . . . Хк . .. ут), (2.1)

где р £ Бк, д е Бт.

Доказательство. Достаточно показать, что можно в первой скобке менять местами любые два соседних элемента, начиная со второго места, а во второй скобке — начиная с третьего. Пусть, например, в первой скобке нам нужно поменять местами два последних элемента. Тогда, используя правило дифференцирования по тождеству (1.1), получим

(ххр(1) . . . хр(к- 1)Хр(к))(^Уд(1) .. .) = (ххр(1) . . .Хр(к)Хр(к-1))(^уд(1) . . .) +

+ (хХр(1) .. .хр(к-2)(хр(к)Хр(к-1))] (?Ьуд(1) . ..)

Согласно тождеству (1.3), второе слагаемое равно нулю. В общем случае доказательство проводится аналогичным образом. Лемма доказана.

Заметим, что из леммы следует, что наличие пары альтернированных образующих начиная со второй позиции внутри первой скобки или во второй скобке, начиная с третьей позиции, влечет равенство элемента нулю.

3. Базис полилинейной части многообразия V1

Сформулируем новый результат, в котором будет предъявлен базис полилинейной части многообразия.

Теорема. Базис полилинейной части Рп(~У 1) состоит из элементов вида:

хг\хг2 . . . хгп ,

(3.1)

где «2 > ... > г„;

(хгх хг2 . . . хгп—к )(xjl х02 . . . х0к ), (3.2)

где к = 2,..., (п — 1), «2 > ... > г„-к, 31 < 32 и 32 > Зз > ...> Зк.

Доказательство. Так как любой элемент полилинейной части является линейной комбинацией левонормированных, достаточно рассмотреть левонормиро-ванный элемент х^1 х^2 ... .

Используя тождество (1.1), получим х^1 х^2 ...х^п = х^1 х^2 ...х^п + V, где «2 >...>«„, а V является линейной комбинацией элементов вида

Хjl . . . Хjm (хгxj )хк1 . . . хкь , (3.3)

в которых т ^ 1, £ ^ 0, т + £ = п — 2, а множество {31,... ,зт, ¿,3, ..., к} совпадает с начальным отрезком натурального ряда {1,...,п}. Отметим, что первое слагаемое является элементом из множества (3.1).

Рассмотрим элемент (3.3). Дифференцируя в нем образующими хкв, в = = 1,...,£, получим линейную комбинацию элементов вида:

(х21 х22 . . . хгп_к )(xj1 х32 . . .х3к ),

где к ^ 2 и п — к ^ 1. Применяя к этим элементам тождества (1.1) и (1.2), которые позволяют внутри второй скобки действовать аналогично случаю алгебр Ли, можно добиться, чтобы индекс 32 был максимальным среди индексов 31,...,3 к. Используя тождества из леммы, делаем так, чтобы в этих элементах индексы, начиная со второго в первой скобке и начиная с третьего во второй скобке, были упорядочены по убыванию. Таким образом, мы доказали, что элементы вида (3.1) и (3.2) порождают полилинейную часть Рп как векторное пространство. Для завершения доказательства осталось установить их линейную независимость.

Рассмотрим линейную комбинацию этих элементов и предположим, что она равна 0. Так как в относительно свободной алгебре любое равенство от свободных образующих является тождеством многообразия, то мы получаем, что в многообразии "V1 выполнено тождество

п

^ ] °-г (хвхп ... хв . . . х1) + ^ ] (х»1 х»2 . . . хгп-к )(х31 х32 . . . х3к ) = 0, (3.4)

8=1

где коэффициенты во второй сумме зависят от индексов ¿1, 31 и множеств I = = {¿2,... ,гп-к-1}, J = {32,...,3к}, а домиком, как общепринято, обозначено отсутствие в последовательности букв соответствующей образующей.

Если существует индекс в такой, что а8 = 0, то, подставив в (3.4) вместо образующей х8 квадрат х1, а вместо остальных образующих — у, получим, используя тождество ху2 = 0, в качестве следствия тождество ххУп-1 = 0, из которого следует такое хХп = 0. Получили противоречие, так как в разложении кохарактера многообразия "V1 кратность т(п+1) не равна нулю, точнее т(п+1) = 1. Таким образом, все коэффициенты первой суммы равны нулю, и тождество (3.4) приобретает вид

^ ] @1Л1,31 (х11 х12 ... хъп—к—1 )(х31х32 ... х3к) = 0,

в котором хотя бы один коэффициент отличен от нуля.

Переобозначим образующие (в частности, х^1 = х, хз1 = у) так, чтобы слагаемое с отличным от нуля коэффициентом имело вид

(хукУк+1 . ..Уп-2)(УУ1 . ..Ук-1).

В полученное тождество вместо образующей х подставим ...хк-1, а вместо образующей у подставим г2г3хк .. .хп-2. Проальтернируем по парам образующих х8, у8, где в = 1, 2,..., п — 2. В силу замечания, сделанного после леммы, в результате произведенной подстановки и альтернирований все остальные слагаемые станут равны нулю, останется только выделенное слагаемое, которое примет вид

(х^1 ... хкУк+1... Уп-2)(г2гзУ1 ... Укхк+1 ... хп-2) = 0.

Получили противоречие, так как это тождество не выполняется в алгебре и, а следовательно, и в многообразии "V1. Действительно, достаточно подставить

Zi = e0i, Z2 = eii, Z3 = ei2, xs = eii, ys = e22, s = l, 2,...,n — 2, чтобы получить отличный от нуля результат. Теорема полностью доказана.

В заключение отметим такую взаимосвязь формул для коразмерностей трех многообразий: многообразия ассоциативных алгебр UT2, порожденные алгеброй верхнетреугольных матриц порядка два UT2 ; многообразия N2 A всех алгебр Ли, коммутанты которых нильпотентны ступени не выше двух и исследуемого многообразия алгебр Лейбница "Vi. Для всех n ^ l выполнены равенства

Cn(Vi) = n ■ c„(UT2) = c„+i(N2A).

Литература

[1] Giambruno A., Zaicev M. Polynomial Identities and Asymptotic Methods. Mathematical Surveys and Monographs. AMS, Providence, RI, 2005. V. 122. 344 p.

[2] Mishchenko S., Valenti A. A Leibniz variety with almost polynomial growth // Journal of Algebra. 2000. 223. P. 66-84

[3] Мищенко С.П., Фятхутдинова Ю.Р. Новые свойства многообразия алгебр Ли N2A // Фундаментальная и прикладная математика. 2012. Т. 17. № 7. С. 165-173.

[4] Мальцев А.И. Об алгебрах с тождественными определяющими соотношениями // Математический сборник. 1950. Т. 26(68). № 1. С. 19-33.

[5] Мищенко С.П. Рост многообразий алгебр Ли // Успехи мат. наук. 1990. Т. 45. № 6(276). C. 25-45.

[6] Абанина Л.Е., Рацеев С.М. Многообразие алгебр Лейбница, связанное со стандартными тождествами // Вестник Самарского государственного университета. 2005. № 6. С. 36-50.

[7] Абанина Л.Е., Мищенко С.П. Некоторые многообразия алгебр Лейбница // Математические методы и приложения. Труды десятых математических чтений МГСУ. М.: Союз. 2002. С. 95-99.

[8] Скорая Т.В. Структура полилинейной части многообразия "V3 // Ученые записки ОГУ. 2012. № 6(2). С. 203-212.

[9] Скорая Т.В., Швецова А.В. Новые свойства многообразий алгебр Лейбница // Изв. Сарат. ун-та. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13. Вып. 4. Ч. 2. С. 124-129.

References

[1] Giambruno A., Zaicev M. Polynomial Identities and Asymptotic Methods. Mathematical Surveys and Monographs. AMS, Providence, RI, 2005. V. 122. 344 p.

[2] Mishchenko S., Valenti A. Leibniz variety with almost polynomial growth // Journal of Algebra. 2000. 223. P. 66-84

[3] Mishchenko S.P., Fyatkhutdinova Yu.R. New properties of Lie algebras variety N2A // Fundamental'naya i prikladnaya matematika. 2012. V. 17. № 7. P. 165-173.

[4] Maltsev A.I. On algebras with identitical defining relations // Matematichesky sbornik. 1950. T. 26(68). № 1. P. 19-33.

[5] Mishchenko S.P. Growth of Lie algebras manifolds // Uspekhi matematicheskikh nauk. 1990. V. 45. № 6(276). P. 25-45.

[6] Abanina L.E., Ratseev S.M. Leibniz algebras manifolds associated with standard identities // Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta. 2005. No 6. P. 36-50.

[7] Abanina L.E., Mishchenko S.P. Some Leibniz algebras manifolds // Mathematical methods and applications. Works of X mathematical readings of MGSU. 2002. P. 95-99.

[8] Skoraya T.V. Structure of multilinear part of variety "V3 // Uchenye zapiski OSU. 2012. № 6(2). P. 203-212.

[9] Skoraya T.V., Shvecova A.V. New properties of Leibniz algebras manifolds // Izv. Sarat. Univ. Ser. Matematika. Mekhanika. Informatika. 2013. V. 13. Issue 4. Part 2. P. 124-129.

Поступила в редакцию 20/77/2014; в окончательном варианте — 20/77/2014.

BASIS OF MULTILINEAR PART OF LEIBNIZ ALGEBRAS

MANIFOLDS Vi

© 2014 S.P. Mishchenko, Y.R. Pestova3

In the case of trivial characteristic of base field, Leibniz algebras manifolds defined by the identity xi{x2x3){x4x5) = 0. has almost polynomial growth. In the work we continue research of this manifold, in particular, we construct bases of multilinear parts.

Key words: Leibniz algebra, manifold, almost polynomial growth, bases of multilinear part.

Paper received 20/77/2014. Paper accepted 20/77/2014.

3Mishchenko Sergey Petrovich ([email protected]), Pestova Yuliya Ryamil'evna ([email protected]), the Dept. of Algebra and Geometric Calculations, Ulyanovsk State University, Ulyanovsk, 432017, Russian Federation.