Байесовский анализ, когда оцениваемый параметр является случайным нормальным процессом1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

№4(20)2010

Л. Н. Слуцкин

Байесовский анализ, когда оцениваемый параметр является случайным нормальным процессом1

Рассмотрена задана байесовского оценивания последовательности неизвестных средних значений вх,ввкпо имеющимся наблюдениям Хх,Х2,...,Хкв ситуации, когда наблюдения Хх, Х2,..., Хк подчиняются многомерному нормальному распределению с вектором средних {9Х, в2,..., вк ) и известной ковариационной матрицей. Предполагается, что параметры вх,ввкобразуют гауссовский процесс. Доказывается сходимость (при к ковариационных матриц частного апостериорного распределения последовательности параметров; подробно анализируется пример, в котором размерность наблюдений Хх, Х2,..., Хкполагается равной единице, а последовательность вх,в2,...,вкобразует гауссовский процесс авторегрессии первого порядка.

Ключевые слова: асимптотическая ковариационная матрица, формула Байеса, гауссовский нормальный процесс, частное (маргинальное) апостериорное распределение.

1. Введение2

Предположим, что случайный вектор Xi, i = 1,2,... генерируется некоторым многомерным распределением с соответствующей функцией правдоподобия L(вi,Х1), Х1 Е Я, в1 Е Я"2 для всех 7, где в1 — случайный вектор, имеющий априорное распределение (#,.). Также предположим, что для разных i не только сами , но и их распределения (в1), могут быть различными. Допустим, что Хх,Х2,...,Хкусловно (по вх,в2,...,вк,...) независимы, и вх,в2,...,вкесть случайный процесс с совместными априорными распределениями р9 ,...,р9 9

Подобные задачи возникают на практике, когда i = 1,2,... представляют моменты времени. В таком случае Xi будет случайным многомерным наблюдением из распределения, зависящего от неизвестного многомерного параметра , который, в свою очередь, при байесовском подходе является случайной величиной. Естественно предположить, что различным моментам времени соответствуют различные значения , которые, вообще говоря, могут быть взаимозависимыми и представлять собой реализацию некоторого случайного процесса. Как показывает пример гауссовского процесса авторегрессии первого порядка для , приведенный в разделе 3, асимптотическая апостериорная оценка дисперсии является более точной, чем при обычном (байесовском) подходе.

1 Автор признателен профессору С. А. Айвазяну за внимательное прочтение рукописи и ценные замечания.

2 Предполагается, что читатель знаком с основными положениями байесовской теории (например, в пределах (Айвазян, 2008) или (Де Гроот, 1974)).

119

Байесовский анализ, когда оцениваемый параметр является случайным нормальным процессом

№4(20)2010

Из взаимной условной независимости Хх,Х2,...,Хк следует, что совместное апостериорное распределение многомерного параметра (61,в2,...,вк) при заданных наблюдениях (Х15Х2,...,Хк) определяется, в соответствии с формулой Байеса, соотношением

Рв1 хХк а ^(^1»Х1)' ■■■' к5Хк)' рв1 ^вк■

В частности, для 7 = 1 имеем:

Рв1\х1 х 1(°1^Х1)' Рв,-

(1.1)

(1.2)

Естественно, возникает вопрос, можно ли считать в1 | Х1,...,вк | Хкслучайным процессом с совместными распределениями, заданными формулой (1.1). Ответ, как это следу-етизпримера(1.3),отрицательный.Деловтом,чтораспределения р^|Х рв1 вк!Х Х

не являются согласованными, т. е. не удовлетворяют условию согласованности Колмогорова для частных (маргинальных) распределений (Боровков, 2009). Однако, в случае, когда вг,в2,...,вкследуют гауссовскому процессу, соответствующие ковариационные матрицы сходятся. Другими словами, когда число наблюдений к , мы получаем апостериорную информацию о ковариациях соу(#7 , в]), соответствующих наблюденным значениям Хх,Х2,...,Хкприлюбых/ и].

Поясним вышесказанное следующим примером. Предположим, что скалярная случайная величина определена как Xi ~ N(#7, о2Х), 7 = 1,2,.... Параметр в является процессом авторегрессии первого порядка Л^(1):

бш = Р°,+ ем, 7 = 1,2,...,

(1.3)

где | р|<1, р^ 0, ~ N(0,о2е) — гауссовский белый шум. Из стационарности в следу-

ет, что Е(в) = 0, о2в =о2е /(1 — р2). Рассмотрим первые три члена временного ряда (1.3): вг, в2, в3. Обратными к ковариационным матрицам распределений р9, р9 9, рв^ 9 9 будут, соответственно, матрицы (Айвазян, Иванова, 2007):

2!1 = К 2 ],

°е

1 1 о. 1 1 1 -р 0 '

у-1 = а-1 ^в„в2,въ и е -р 1+р2 “Р

0 -р 1

(1.4)

Так как

(Х1 -в, )-* 2а X

(1.5)

то из формулы (1.1) следует:

21 1 =[(°в 2 +°Х2 )]

1 + с -р —р 1 + с

1+с —р 0

—р 1 + р2 + с —р 0 —р 1+с

(1.6)

■190

1

4(20)2010

где 2;, 22,23 —ковариационныематрицыапостериорныхраспределений рв^Х , рв^в^|Х1Х , Рвив2,в31X1 ,Х2,Х3 ис = °I°~х .Отсюдаполучаем3 11 1212

^ =

2,=^-

2 2" О в° X V _ * 1 + с Р "

О в + О х _ ’ 2 С + С)2-Р2 Р 1 + с

А

(1 + с)2 + р2с

(1 + с)2

(1 + с)2 + р2с

(1.7)

где А — определитель матрицы о223

2 2 о в° х

В частности, из (1.7) следует, что дисперсия ое |Х = ^ апостериорного распреде-

11 /т -X- /т

ления рв |Х больше,чемсоответствующаядисперсия

Од+О X

о» ХХ = "е('г+ С>, (1.8)

»1 1Х1, 2 (1 + с^2 _^2

частного распределения в1 | Х1,Х2 по отношению к ре^ в х Х ■ Тем самым показано, что распределения рв \Х1 и Рех в2х х не согласованы. Интересно также отметить, что апостериорный коэффициент корреляции

Рв2 ,в2 |Х!,Х2 1 _|_ ^

меньше, чем априорный коэффициент, равный р. Особый интерес представляет матрица 23. Так как ее диагональные элементы не равны между собой, можно заключить, что апостериорное распределение рв^ 9 9 ^Х Х^ Хз не является стационарным.

Мы продолжим апостериорный анализ процесса (1.3) в третьем разделе, где будут получены в явном виде элементы асимптотических ковариационных матриц апостериорных распределений оцениваемых параметров.

2. Гауссовские процессы

Предположим, что Xi ~ N(в1, 2Х), 7 = 1,2,..., где 2Х — известная (не зависящая от 7) ковариационная матрица порядка п . Пусть вг,в2,...,вк— гауссовский процесс, т. е.

~ N(б°, 2е ), б° — известный вектор из Я”, 2е — известная ковариационная матрица порядка п, 7 = 1,2,.... в(0 и 2е могут быть различными для разных 7. Тогда совместное априорное распределение в1,...,вк: рв1 вк = N(в0,к,2е^),где вектор#0’* = (0°,...,в0к),в0,к Е, и 2е* — известная ковариационная матрица порядка кп, к = 1,2,.... Совместное апостери-орноераспределение в1,...,вк призаданных Х1Хк определяетсяформулой

3 Так как данный пример служит исключительно иллюстративным целям, при описании матрицы И3 мы ограничились лишь диагональными элементами, оставляя другие ячейки не заполненными.

Л. Н. Слуцкин

Байесовский анализ, когда оцениваемый параметр является случайным нормальным процессом

№4(20)2010

А ,..А = N(Yk, 2,), (2.1)

где

Yk =2, (2-^ + 2“^), (2.2)

2хк = 1к ® 2Х — матрица порядка кп, вдоль диагонали которой расположены к копий матрицы 2X , а остальные элементы — нули, вектор Xк = (X jXk), Xк Е Rкп, и

2“1 = 2^ +2-' . (2.3)

Заметим, что апостериорная ковариационная матрица 2, не зависит от наблюдений

Xхt.

Формула (2.1) является многомерным аналогом известной в байесовском анализе формулы для случая, когда X и в — скаляры, а к = 1 (Де Гроот, 1974):

Y = (о~х2 +о~ V( о~х X + о92 в0), о~2 =о~х +о~2. (2.4)

Доказательство формул (2.1)—(2.3) будетдано в Приложении I4.

Рассмотрим распределения р9 9 , р9 в , \ > к .Матрица Ze ^ получаетсяиз матрицы 2е к добавлением (к1 - к)п столбцов и строк снизу и справа от матрицы 2е к. 2е к соответствует ведущему главному минору Z9 ^ порядка кп. Пусть Z\ik} будет подматрицей Z^, соответствующей ее ведущему главному минору порядка кп. Z^ является ковариационной матрицей частного апостериорного распределения вх к |XjX^ по отношению к p9i. Следующие две леммы следуют из свойств положительно (неотрицательно) определенных матриц (Магнус, Нейдеккер, 2002, глава 1).

Лемма 2.1. Справедливо неравенство:

2, S> Z<f>. (2.5)

Примечание. Везде в дальнейшем неравенство A > B означает, что матрица A — B неотрицательно определена.

Смысл леммы 2.1 заключается в том, что, если к фиксировано, то при добавлении новых наблюдений мы получаем более (не менее) точную информацию о совместном апосте-риорномраспределении вх,...,вк.

Следствие. 2t >Z*+! >^ >....

Лемма 2.2. Пусть Aj > A >... > Ak >... — последовательность положительно определенных матриц одного и того же порядка т . Тогда существует предел 2 = lim Ak, где матрица 2 неотрицательно определена.

Сформулируем главный результат, который является следствием лемм 2.1и 2.2. Теорема. Для любого фиксированного к матрицы Z^) сходятся (при kj к неотрицательно определенной матрице Qk порядка к.

4 Заметим, что формулы, подобные (2.1)-(2.3), приводятся (без доказательства) в монографии (Berger, 1985).

№4(20)2010

3. Пример

Приступим к более детальному анализу примера стационарного априорного процесса, представленного в конце первого раздела. Напомним, что наблюдается скалярная случайная величина Х{ ~ N(#,., о\), 1 = 1,2,.... Параметр в является процессом авторегрессии первого порядка Л^(1):

От=рв, + ет, 1 = 1,2,...,

(3.1)

где | р|<1, р^ 0, е{ ~ N (0, о"2) —гауссовскийбелыйшум, Е (в) = 0, о2в=о 2 / (1-р2)-Обратной к ковариационной матрице процесса (3.1) для в1,...,бк будет следующая матрица (Айвазян, Иванова, 2007):

-V—1 ___ _ —2

в,к ~ ^е

1 -р 0 0 0 0

-р 1+р2 -р 0 0 0

0 -р 1+р2 -р 0 0

0 0 0 0

0 0 -р 1+р2 -р 0

0 0 0 -р 1+р2 -р

0 0 0 0 -р 1

Из (2.3) следует, что

1 = о~х1 + = °~е2 с! + ,

(3.2)

где I — единичная матрица порядка к,

-2

с = оаV .

(3.3)

Из (3.2) получаем:

1+с -р 0 0 0 0

-р 1+р2+с -р 0 0 0

0 -р 1+р2+с -р 0 0

0 0 0 0

0 0 -р 1+р2+с -р 0

0 0 0 -р 1+р2+с -р

0 0 0 0 -р 1+с

(3.4)

Л. Н. Слуцкин

Байесовский анализ, когда оцениваемый параметр является случайным нормальным процессом

№4(20)2010

Пусть zfj — элемент матрицы 2*. Из результатов раздела 2 следует, что существует

zt,j =lim zü- (3-5) Лемма 3.1. Рассмотрим асимптотическую апостериорную ковариационную матрицу

процесса (3.1) 2 =

а)

. Тогда:

-1 „“2 Z,, =0„

\

(3.6)

/

_ 1 + ^2 + с + V(1 + Р2 + с)2 - 4р2 1

.X i 1

2

б) при t > 1

+ с < х <1 + р2 + с;

z.1 = Z, 1

P ’

J t-1

где Pt_1 —ведущийглавныйминорматрицы 2,1 (& > г — 1) порядка (t — 1);

(3.7)

в) { , 1 = 1,2,... является строго монотонно возрастающей последовательностью положительных чисел, т. е.

(3.8)

г) яри j > t

,j-1

z.,j = —j^ - г = 1' z>,j =

t >1.

(3.9)

Примечание. Из (3.8) следует, что 2 не является ковариационной матрицей для стационарного процесса.

,2 \

1 + с —

р

1 + с

■ -1 ^ „-2 ■■Zu <0„

р

,2 \

1 + р2 + с

, откуда следует

Нетрудно показать, что ое

0~х +0~в 2 < ^ <а~2 +0~2.

Если сравнить последнее неравенство с (2.4), можно убедиться, что асимптотическое значение является более точным.

Наконец, изучим асимптотический апостериорный коэффициент корреляции между J: р^ 1 = г,7.

Следующая лемма легко следует из формул (3.7) и (3.9).

Лемма 3.2. Пусть j > t. Тогда

I ________ J-)—1/2 _ /—1 ___ i / __ г)1/2 г)_1/2 _ /—г • 1

Ре, ,в , ~ P/-1 Р1 ’ 1 ~ 1 5 Ре, ,в , ~ P-1 P/-1 Р1 5 1 '> 1 J

(3.10)

где р1 = р/4х .

124 j=

t-1

4(20)2010

Следствие.

(З.И)

Примечание. Так как миноры Р,Р2,...,Рч,Р7образуют строго возрастающую последовательность (1 < Р < Р2 <... < р_1 < р <...), то из формул (3.10) и (3.11) следует, что асимптотический апостериорный коэффициент корреляции меньше и сходится к нулю быстрее (при 17 — у | ), чем соответствующий априорный коэффициент.

Приложение 1 Доказательство формул (2.1)-(2.3)

Из формулы (1.1) следует, что

Р., ,,X, X, « «Ч>{-- X,)'2i (в, -X,) + (0*-в»'* )'S-;(в*-в"'*)

: ехр

--[(в* -X*(б* -X*) + (в* -в">*У2“1*(б" -в°’к)]

: ехр

: ехр

(в*)'(2-,t + 2^)в* -2(0*)'(2-,tX* + 2^в">‘) (б*)'2-'б* - 2(6*)'2-% (2-,,X* +2^в°’к)'

1[ {Qk _ук у^-1 (вк _Yк)]! ^

: ехр

где

2-1 = 2-,, + 2^ ,Y * =2, (2-,t X * + 2-, в°’к).

Приложение 2 Доказательство результатов раздела 2

Доказательство леммы 2.1

Матрица 2в ^ может быть записана в виде

Запишем

7 = »А 7 ^в,к 7 21 7 12 7 22 _ . (П2.1)

7 ~1 = »А ' А, _ ^21 (П2.2)

7-1 = 7 К " A A11 _A21 1 1 . (П2.3)

Л. Н. Слуцкин

Байесовский анализ, когда оцениваемый параметр является случайным нормальным процессом

Из (2.3) следует, что

Al'l = A11 + ^X,k > A'n = A22 + 2ХЛ-k > (П2.4)

гДе 2х= Ik ®2х.

Рассмотрим матрицу:

Покажем, что Достаточно доказать, что

y{k) 7/

12

7' 7'

, 21 22,

(П2.5)

2-1 <(^>)" . (П2.7)

Используем следующее представление для ^2^} ^ :

(т^ )_1=-Л2 А Г А21 + А ■ (П2.8)

Подставив (П2.4) в (П2.8), получаем

(т^)_1 =-А12 (а,2 +2-\_к)_1 А21 + А11 +2-1*. (П2.9)

Так как

тоиз(2.3) получаем

~ A12A22 A21 + A11 J (П2.10)

^ = 2“1, - A12A^1 A,, + A11. (П2.11)

Рассмотрим разность ^ — 2,1. Из (П2.9) и (П2.11) следует, что

(2^)"' -2^ =-А12 (а,2 +2-1,)_1 А21 + А12А^1 А,, = А12[А^1 -(а22 +2^)"']А21. (П2.12)

С другой стороны,

А22 ^'^-‘Х,к1 -к ^ А22 ^ А22 ^(А22 ^ . (П2.13)

Так как (А12)' = А21, то из (П2.12) и (П2.13) следует, что [т.^}^ — 2^ является неотри-

цательно определенной матрицей.

Доказательство леммы 2.2

Сначала покажем, что абсолютные значения элементов всех матриц ограничены константой С . Так как диагональные элементы матрицы Ак не превосходят соответствующих элементов матрицы А1, то они ограничены наибольшим диагональным элементом А1. С другой стороны, для любого элемента а у матрицы Ак выполняется неравенство аУ < айау .

126

/

№4(20)2010

Отсюда следует, что последовательность А1,А^,...,Ак,... содержит сходящуюся подпоследовательность. Ее пределом будет неотрицательно определенная матрица. Достаточно показать, что, если Ащ, А^,..., Ащ,... и Ащ, А^,..., Ащ,... —две сходящиеся подпоследовательности из Ау,А2,...,Ак, то их пределы совпадают. Обозначим соответствующие пределы как А' и А" и рассмотрим подпоследовательность А^, А1,..., А1 последова-

тельности Ащ, Ащ,..., Ат ,..., так чтобы 1к > пк для любого к. Тогда подпоследовательность А,, А, ..... А, .... также сходится к А'. Поскольку А, > А для любого к, то матрица А' — А''

Ч 12 1к 1к пк

неотрицательно определенная. Из тех же соображений можно заключить, что матрица А" — А' также неотрицательно определенная. Отсюда следует, что А' = А".

Приложение 3 Доказательство результатов раздела З5

г) Доказательство формулы (3.6).

Пусть Вк обозначает определитель матрицы о22^~ 1 в (3.4), и Рт (т < к) — ведущий главный минор о2 2^~ '.Величины Вк и Рт —положительные числа, т. к. 2^~1 —положительно определенная матрица. Поскольку о22^1 является матрицей с центральной симметрией, то Р будет главным минором, соответствующим подматрице, полученной из о22^1 вычеркиванием ее первых (к — т) столбцов и строк. Для вычисления определителей можно применить формулу Лапласа, сначала для первой строки о22~к 1, а затем для первого столбца подматрицы о22~к 1, соответствующей минору Ых 2. Таким образом, получим

А = (1+с) рч -р2 Рк_2. (пз.1)

Аналогично, получается следующая рекуррентная формула:

Рт = (1 + р2 + с)Рт_1 - р2Рт_2,2 < т < к . (П3.2)

Следующие две формулы потребуются в дальнейшем

Р =|1 + с|=1 + с, Р2 = Лемма ПЗ.1. При т >1

1 + с —р -р 1 + р2 + с

= (1 + с)2 +р2с. (ПЗ.З)

Р 9

1 + с <1 + р2 + с. (П3.4)

Рт—1

Доказательство проведем методом индукции. Из (ПЗ.З) следует, что (П3.4) верно для т=2 (напомним, что с = о2в~х > 0). По индукции из (П3.4) следует, что

Р 9

<1. (П3.5)

Рт—1

Для краткости доказательства результатов третьего раздела приведены в сокращенном виде.

127

Л. Н. Слуцкин

Байесовский анализ, когда оцениваемый параметр является случайным нормальным процессом

Из (П3.2) получаем

Р , , Р ,

м 1 I 2 . 2 т—2 /тто ¿1\

— = 1 + р + С-р (П3.6)

т— 1 т— 1

Таким образом, (П3.4) следует из (П3.5) и (П3.6).

Следствие. Ведущие главные миноры матрицы о22^1 образуют возрастающую последовательность, т.е. 1 < р < Р2 <... < р_1 < р <....

Доказательство следует из (ПЗ.З) и (П3.4).

Лемма П3.2.

1 + С <1 + с------------—г-------

1 + с рк_1 1 + р + с

(П3.7)

Доказательство. Из (П3.1) следует, что

Д

Р

к-1

Р

к-1

(П3.8)

Таким образом, (П3.7) следует из (П3.4) и (П3.8). Лемма ПЗ.З.

,2 \

1 + с -

р

1 + с

Р

1 + р2 + с

(П3.9)

Доказательство. Из результатов, полученных во втором разделе, следует, что существует

' ~ ' (П3.10)

г,1 = 11т ^ = 11т о2 ——

11 1-1 е Д

Лемма теперь следует из (П3.7). Следствие1. гп —положительноечисло. Следствие 2.

а~2 +о~2 < г! <о~2 +а;2.

(П3.11)

Доказательство. Правое неравенство в (П3.11) следует из (П3.9). Чтобы доказать левое неравенство, заметим, что

^2 =о:2(1-р2). (П3.12)

С помощью элементарных преобразований получаем

С~х +0~Л1-Р2) <а~

1 + с-

р

,2 \

1 + с

196

4(20)2010

Р _

Лемма П3.4. Нт—— = х, где х — больший корень квадратногоуравнения

к■*» Р

к-2

9 9 9 1+Р2 + С + \/(1 + О1 + С)2 — 4 О2

х -(1 + р2 + ф + р2 = 0,т.е. х =------- ----------^— ----- ----—. (П3.13)

Доказательство. Из (П3.8), (П3.10) и следствия 1 к лемме ПЗ.З следует, что существует

Р

у = Нт—^, к . Из леммы П3.1 заключаем, что у > 0. Пусть х = у 1. Перейдя к пре-

Р

*-1

делам в обеих частях (П3.6), получим квадратное уравнение:

х2 - (1 + р2 + с)х + р2 = 0. (П3.14)

Поскольку дискриминант А = (1 + р2 +с)2 — 4р2 > 0, уравнение имеет два действительных корня. Из (П3.4) следует, что х > 1 + с. Легко проверить, что меньший корень уравнения (П3.14) будет меньше, чем 1 + с .

Следствие.

1 + с < х <1 + р2 + с. (П3.15)

Заметим, что нельзя получить строгие неравенства в (П3.15), просто взяв пределы в обеих частях формулы (П3.4). Однако, переходя к пределам в обеих частях (П3.8) и применив (П3.10), получим

/ ,2 \

-1 „“2 гц =а„

1 + с

(П3.16)

б) Доказательство формулы (3.7)

Прежде всего, заметим, что из (3.4) следует

■о„

Д

■о„

Д

'к ‘-'к Таким образом, из (П3.10) и (П3.17) получаем

Запишем

= 11т

Рк-1 Дк

2 Д РР Р

2,2 ^к 1\1 к-2 11

7 Р Р

г—1,г—1----т 1 1-21 к-----------= ИШ------------------

2:: к Д,

Д

хЕ

Р Р Р

1 г—1 к-г 1 1-1

г > 2.

х хР1 хРг_2

РР

Т1 Г2

РР

г1-1 г1-1

(П3.17)

(П3.18)

(П3.19)

Окончательно имеем

г,- ,■ = г,

Р-1

Следствие.Для любого 1 >1, г — положительное число.

(П3.20)

129

г-1

г—1

Л. Н. Слуцкин

Байесовский анализ, когда оцениваемый параметр является случайным нормальным процессом

в) Доказательство формулы (3.8) Лемма П3.5. При т >1

Р

1 Ш -

1 <------< х.

Р

т— 1

(П3.21)

Доказательство. Левое неравенство следует из леммы П3.1. Доказательство правой части будет осуществлено методом индукции. Для т = 2 лемма следует из формул (ПЗ.З)

Р _

и (П3.13). Предположим, что т 1 < х. Тогда из (П3.6) получаем

Рщ—2

= 1 + р2 + с -р2 Рп=1- <1 + р2 + с - — = X . Р Р х

1 т-1 1 —1 л

Докажем теперь, что Если i = 1 ,тоиз (П3.17) заключаем, что

т— 1

2_1 < 2"1

Л ^ ^І+1,І+1 ■

22,2 X

>1 .

г11 Р 1 + с

Заметим, что последнее неравенство следует из (П3.15). Если i >1 ,тоиз формул (П3.20) и (П3.21) получаем:

^-l,i'+l _ *л_, Р!-\ _ Р г“1 Р ' xi“1 * Р

i“1 > 1.

(П3.22)

(П3.23)

г) Доказательство формулы (3.9)

Поскольку 2, является симметрической матрицей, достаточно рассмотреть случай, когда у > i.

1) i = 1. Запишем (1, у) -ый минор о22^"1 в следующем виде

-р 1+р2+с

0 -р 1+р2+с

0 0 0 “Р “Р

0 0 0 0 1+р2+с “Р

0 0 0 0

0 0 0 0 0 “Р

0 0 0 0 0 0

52+

-р

-р

1+с

. (П3.24)

Отсюда следует, что

2 с* > = (-1)^ *

(-Р) у~1 Р.- ;

о:

р 3~1Р^

(П3.25)

4(20)2010

Из (П3.17) заключаем, что

1, j

(k) ;-1 z 1 j P

Pj-i

(П3.26)

Переходя к пределам (при к ) в обеих частях (П3.26) и затем, воспользовавшись формулой (П3.20), получим

j-i

zi,j =■

zuP

j-i

ji

2) i >1. (i, j) -ыйминорматрицы о22,1 записываетсякак

1+c

~P

-p 1+p +c —p

0

0

0

0

0

0

0

0

-p i+p2+c —p

0

0

0

0

0

0

0

—p 1+p +c 0 —p i+p2+c

0

0

0

0

0

(П3.27)

~P -P 0 i+p2+c —p

0 —p i+p2+c —p

0 0 0 —p i+p2+c —p

0 0 0 0 —p 1+c

(П3.28)

Отсюда заключаем, что

7( *)

P_i (-p) -p

а

7 =* .2

P nj~iP ri-1 p rk-j

D„

'к к Повторяя в точности рассуждения, сделанные в1), получаем

^iP-iP^

,j-i

(П3.29)

(П3.30)

Список литературы

Айвазян С. А. (2008). Байесовский подход в эконометрическом анализе. Прикладная эконометрика, 1 (9), 93-130.

Айвазян С. А., Иванова С. С. (2007). Эконометрика. М.: Маркет ДС.

Боровков А. А. (2009). Теория вероятностей. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ».

Де Гроот М. (1974). Оптимальные статистическиерешения. М.: Мир.

Магнус Я. Р., Нейдеккер X. (2002). Матричное дифференциальное исчисление с приложениями к статистике и эконометрике. М.: Физматлит.

Berger J. О. (1985). Statistical decision theory andBayesian analysis, 2nded., New York: Springer-Verlag.

Л. Н. Слуцкин