CC BY
164
СУДОСТРОЕНИЕ И СУДОРЕМОНТ
УДК 629.12.10 В. В. Сахаров,
д-р техн. наук, профессор, ГУМРФ имени адмирала С. О. Макарова;
А. А. Кузьмин,
канд. техн. наук, профессор, ГУМРФ имени адмирала С. О. Макарова
БАЛАНСОВЫЕ МОДЕЛИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВОМ
BALANCE MODELS AND THEIR APPLICATION IN AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS FOR PRODUCTION MANAGEMENT
Рассматриваются балансовые модели управления и планирования процессов производства конечной продукции в судоремонте и системах анализа межотраслевых связей. Приводятся модели, базирующиеся на теореме Гозинта и межотраслевого баланса. Решается инверсная задача балансовой модели «затраты-выпуск» В. Леонтьева.
Balance models for planning and production control systems in ship repairing and co-branch connections are considered. Founded on Gozint theorem and on co-branched balanced models are presented. Inverse Leontief’s input-output analysis problem is solved.
Ключевые слова: балансовые модели, управление, планирование, судоремонт, сборочные технологии, оценка, инверсная задача.
Key words: balanced models, control, planning, ship repair, assembly technologies, estimation, inverse problem.
К
m
ОНЦЕПЦИЯ построения моделей для принятия решений в определенной предметной области предусматривает использование математического аппарата, адекватного проводимым исследованиям, с разработкой соответствующей алгоритмической части, программной системы. Предполагается, что модельная часть должна с заданной точностью отражать процессы и сведения об объекте и предмете моделирования. Тогда принятые решения будут получены на основе строгих математических методов в соответствии с постановкой и спецификой конкретной задачи исследований. Важной проблемой при построении моделей технологических процессов является выбор формального аппарата для описания процессов принятия решений и построение на его основе модели принятия решений, адекватной и семантически корректной проблемной области. В качестве такого аппарата обычно используют продукционные системы [2]. При этом основные исследования ведутся в контексте алгоритмической (детерминированной) трактовки продукционной системы с присущей ей последовательной схемой поиска решения. Очевидно, в процессе моделирования могут встречаться случаи, когда различные по назначению продукционные системы могут в своей основе базироваться на одних и тех же математических моделях. Такие модели можно считать универсальными в том смысле, что они могут быть пригодны для определенного класса продукционных систем. Остановимся кратко на рассмотрении систем, где для принятия решений используются балансовые модели, базирующиеся на матричном уравнении:
х - Ах = у. (1)
Предположим, что А — неотрицательная продуктивная квадратная («х«)-матрица, причем такая, что существует
В = (I - А)- 1 . (2)
Тогда возможны прямое и обратное преобразования при неотрицательных значениях векторов х и у, если I — единичная матрица. В балансовых моделях для обеспечения неотрицательности
х и у матрица А > 0 должна отвечать условиям продуктивности. Тогда неотрицательная обрати-
мость (2) может быть получена при условии, что собственные числа X матрицы А должны быть меньше единицы:
Х(А) < 1.
При этом условии матричный ряд
1+а+а2+а3+...== (7~ АУ1 (3)
сходится. В балансовых моделях обозначения, используемые в формулах (1)-(3), имеют следующий физический смысл:
А — матрица коэффициентов прямых потребностей (нормативная матрица материалоемкости, или сборочная матрица);
В — матрица коэффициентов полных потребностей (матрица преобразования вектора у в вектор х);
х — вектор валовой продукции (число деталей и узлов, необходимых для выполнения сборки ремонтируемых агрегатов);
у — вектор конечной продукции (число полностью отремонтированных агрегатов, готовых к отгрузке потребителю).
Балансовые модели (1), (2) пригодны для составления производственных программ при кратковременном планировании на предприятиях отрасли. На их базе можно получать в технических системах количественные оценки для обоснованного принятия решений и выбирать наиболее подходящие варианты из допустимого множества при поддержании заданных балансовых соотношений между входами и выходами.
С корректировкой планов и адаптацией их к конкретным ситуационным изменениям, происходящим в условиях рынка, связано выполнение сборочных работ на судоремонтных предприятиях. Адаптация необходима для сохранения и развития бизнеса предприятия при изменении внешних условий. С ними связаны изменения сроков поставки готовых изделий для ремонта машин и механизмов, номенклатуры изделий и др. Гибкость планирования производства с учетом внешних условий на основе простых математических моделей, адекватных процессу и доступных пользователю, следует считать основным условием совершенствования судоремонтного производства на водном транспорте. При гибком планировании становятся актуальными вопросы, связанные с расчетом потребных материалов, деталей и узлов для выпуска конечной продукции в требуемых объемах.
Технологические приемы расчета количества и номенклатуры деталей и узлов для выполнения конкретной программы сборочных работ удобно реализовать посредством балансовой модели
(1), отвечающей условиям теоремы Гозинта. Следует отметить, что в теореме сформулирована балансовая задача, в которой элементы векторов х и у принимают целочисленные значения. Применительно к сборочным работам теорема фактически устанавливает соотношения между матрицей А коэффициентов прямых потребностей в узлах и деталях и матрицей В полных коэффициентов <3 потребностей, определяемых формулой (2). Топологические свойства матрицы А при планировании сборочных работ определяются диаграммами Гозинта, в которых устанавливается потребность в деталях и сборочных узлах на каждой технологической операции [3]. В структуре сборочной матрицы, формируемой по диаграмме Гозинта, отражена специфика изготовления (сборки агрегатов и узлов) выпускаемой продукции и последовательность выполнения технологических операций.
Выпуск 1
Согласно диаграммам по формуле (1) рассчитывается количество одних узлов и деталей для изготовления других, а также для изготовления конечной продукции (отремонтированных и собранных агрегатов). Если требуется полностью собрать (изготовить) у агрегатов для заказчика с обеспечением их запасными деталями и узлами, то вектор х потребностей в изделиях для заданной программы выпуска продукции следует находить по формуле (2).
Таким образом, простые матричные уравнения (1) и (2) дают исчерпывающий ответ на вопрос, как можно определить количество узлов и деталей, требуемых для выполнения соответствующей программы сборочных работ по выпуску агрегатов и отгрузке продукции в течение планируемого периода. В терминах балансовых моделей с помощью уравнений (1) и (2) фактически решается балансовая задача планирования объемов х валовой продукции, необходимых для обеспечения выпуска конечной продукции у.
Решение инверсной балансовой задачи состоит в оценке элементов матриц в уравнениях (1) и
(2) по группе векторов входа и выхода, из которых составляются прямоугольные матрицы X и У:
*12 Х\,п-\ Х1,п
х = Х21 х22 Х2,п-\ Х2,п
Хт,2 Хт,п-\ Хт,п_
Уп У12 У 1,п-1 Ух,п
Y = У21 У 22 У 2,л-1 У2,п
_УтЛ Ут,2 У т,п—1 У т,п
>0,
>0.
Предполагается, что m < n . Матрицы X и Y имеют полный ранг:
rank (Х) = rank (Y) = m.
Тогда оценку можно выполнить по формуле
A — I — Y -YT ■ (X ■ YT)~l,
(4)
где А — (т*т) - матрица.
Применение балансовых моделей рассмотрим на примере диаграммы сборки агрегатов С1,
С2 и С3.
Диаграмму Гозинта, изображенную на рис. 1, представим сборочной матрицей А (матрицей прямых потребностей). Размерность матрицы соответствует числу элементов, изображенных на диаграмме. На диаграмме также указано число деталей, необходимых для сборки и изготовления одной единицы того элемента, к которому подходят стрелки. Эти числа внесены в матрицу по строкам и столбцам в следующем порядке (табл. 1).
Таблица 1
m
li>
№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Элемент С1 С2 С3 Yi Y2 Y3 Y4 Y5 Di D2 D3 D4 D5 D6 D7
Рис. 1. Диаграмма сборки агрегатов: С1, С2 , С3 — сборочные агрегаты; У-У4 — сборочные узлы; Б1 - Б7 — детали для сборки узлов и агрегатов
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 5 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 2 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 4 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0
Нетрудно увидеть, что максимальное собственное число матрицы А:
ЦА) = 0,6348 -10-5,
Выпуск 1
что свидетельствует о возможности неотрицательной обратимости матрицы В. Матрица В вычисляется согласно уравнению (2). В результате устанавливается прямая и обратная связь вектора плана сборки агрегатов (выпуска продукции) у с числом потребных для этих целей деталей и узлов, представляемых вектором х:
х = В • у. (5)
В табл. 2 приведены численные значения сборочных деталей х для двух планов у. Последовательность обозначений элементов (агрегатов, узлов и деталей) диаграммы (рис. 1) соответствует принятой в табл. 1 (первая строка табл. 2). По первому плану предполагается сборка агрегатов у: С1 = 7, С2 = 3 и С3 = 11. Вычисления, выполненные по формуле (5) для их сборки, представлены в строке х.
Таблица 2
Элемент ^3 ^4 ^5 А А А ^4 ^5 ^7
Первый план
У 7 3 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
X 7 3 11 17 28 80 50 11 89 165 243 206 245 33 55
Второй план
У 8 6 4 3 0 5 6 0 0 0 0 0 20 0 0
X 8 6 4 25 20 69 34 4 124 194 213 142 180 12 20
В =
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 2 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 6 5 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 2 4 0 1 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
11 4 0 4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
11 11 5 5 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
3 19 15 0 6 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 10 16 0 5 0 3 6 0 0 0 1 0 0 0
0 12 19 0 6 0 2 7 0 0 0 0 1 0 0
0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 1 0
0 0 5 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 1
кроме выпуска агрегатов С1 = = 8, С2 = 6 и С3 = 4, в с
ненулевые значения Г1 = 3, Г3 = 5, У4 = 6 и 05 = 20. Эти элементы можно считать дополнением к основному плану в качестве запасных деталей, поставляемых по желанию заказчика одновременно с агрегатами.
Принцип суперпозиции позволяет планировать сборочный процесс раздельно для каждого вида конечной продукции с различным временем представления заказчику. Тогда сборочный процесс может анализироваться с учетом затрат времени на выполнение отдельных операций производственного цикла, а также может решаться комплекс задач о загрузке оборудования, совершен-
ствоваться технологические операции сборки механизмов на балансовых дискретно-динамических моделях.
Балансовые модели (1)-(4) также нашли применение в экономике. Традиционно их используют для определения способов анализа, необходимых для решения проблем взаимных связей при межотраслевых взаимодействиях и установления количественных соотношений макропеременных с отраслевыми переменными микроуровня в процессе производства. Эта задача решается с помощью модели межотраслевого баланса В. Леонтьева. Связи между отраслями в модели устанавливаются с помощью статистических таблиц, называемых «межотраслевыми» и отражающих картину народнохозяйственной динамики за определенный период (как правило, 1 год). Таблицы межотраслевого баланса позволяют анализировать структуру потоков ресурсов [1]. В них отражена структура затрат (используемых ресурсов), необходимых для каждой отрасли, а также представлено распределение каждого вида продукции [2]. С помощью таблиц также устанавливаются балансовые соотношения для выпуска продукции и расходов отрасли.
В модели В. Леонтьева допускается для каждой отрасли существование производственной функции с неизменным эффектом масштаба (затраты прямо пропорциональны выпуску) и с отсутствием взаимозаменяемости ресурсов. Существует несколько вариантов базовой модели межотраслевого баланса. Модель межотраслевого баланса обычно представляется матричным уравнением вида (1), где каждый /-й элемент вектора х есть объем выпуска отрасли х . Продуктивная неотрицательная квадратная матрица А размерности (п х п) является матрицей коэффициентов прямых затрат; у — вектор конечного спроса размерности (п х 1), состоящий из положительных элементов. Если из вектора у в уравнении (1) выделить вектор импорта, то может быть получен вариант модели конкурентно-импортного типа, наиболее часто используемый в Японии. В отличие от балансовых моделей Гозинта, в моделях «затраты-выпуск» В. Леонтьева элементы х. могут быть сгенерированы с помощью наиболее подходящих производственных функций, например функции Кобба-Дугласа либо СЕ8-функции и др. С этой целью соответствующая модель производственной функции должна «встраиваться» в модель В. Леонтьева.
Наиболее трудоемкой частью анализа межотраслевых связей является получение коэффициентов прямых затрат а., или элементов матрицы А. В условиях рыночных процессов ценообразования и изменяющихся макроэкономических показателей элементы матрицы коэффициентов прямых затрат А также подвержены значительным изменениям. Поэтому для нестационарных режимов функционирования экономических систем целесообразно использовать методы оценки коэффициентов прямых затрат по обобщенным показателям. Таковыми, в частности, могут быть матрицы X и У, составленные из векторов х и у в результате многократных измерений. Для минимизации ошибки оценки коэффициентов эти матрицы должны быть прямоугольными, полного ранга, размерности (п х т), где т > п.
В качестве примера рассмотрим задачу оценки матрицы коэффициентов прямых затрат по формуле (4) семи отраслей японской экономики по данным, приведенным в работе [1, с. 168-171]. Секторами экономики являются:
1) сельское, лесное и рыбное хозяйство;
2) тяжелая промышленность;
3) легкая промышленность;
4) строительство;
5) энергетика;
6) транспорт и связь;
7) услуги.
Согласно [1] исходные данные по семи отраслям японской экономики получены путем агрегирования официально опубликованного 43- отраслевого баланса и проведения последующих расчетов коэффициентов прямых затрат. В результате получена матрица А:
Выпуск 1
0.1078 0.1645 0.0004 0.0012 0.0005 0.0000 0.0078
0.1156 0.2311 0.0433 0.1980 0.0035 0.0343 0.0439
0.0683 0.0980 0.4529 0.1935 0.3869 0.1435 0.0326
0.0018 0.0011 0.0012 0.0003 0.0086 0.0026 0.0183
0.0346 0.0370 0.0647 0.0192 0.1630 0.1953 0.0236
0.0376 0.0440 0.0283 0.0612 0.0248 0.1125 0.0541
0.0666 0.1246 0.1173 0.1231 0.0655 0.1431 0.1494
В каждом столбце матрицы конечного спроса У7 размерности (11 х 7) содержатся базовые значения величин конечного спроса, соответствующие приведенному выше перечню секторов экономики (ед. измерения — млрд иен). Нумерация секторов соответствует нумерации столбцов.
В формуле (4) содержится матрица базовых значений объемов выпуска X, которую вычислим с помощью (5) для одиннадцати векторов у. Теперь решим инверсную задачу В. Леонтьева: по известным У и X произведем оценку матрицы коэффициентов прямых затрат А. В результате получим оценку, идентичную исходной матрице А, то есть
А = 1-У-Ут ■(Х-УТ)~1=А,
что подтверждает корректность выполненных решений. В нестационарных условиях оценочные значения не будут совпадать с исходными, и поэтому
А*А.
89.0 31625 30634 49670 3077 15919 117240
89.3 31826 31234 50125 3085 15729 118240
89.7 32424 31839 50339 3123 15823 121023
90.0 33125 32135 50496 3311 15739 122509
91.4 33928 32326 50971 3279 16120 123235
89.8 34237 32611 51311 3402 16431 124247
91.9 34787 32934 51429 3329 16642 126117
92.1 34832 32974 51476 3343 16688 126149
92.3 34889 32996 51512 3372 16732 126223
92.7 34912 33011 51586 3412 16924 126745
92.9 35011 33216 51599 3426 16988 126822
т
Г*
Вместе с тем при наличии случайной составляющей в измерениях А будет представлять наилучшую оценку, при которой обеспечивается минимум суммарной квадратичной ошибки модельных значенийХМ и измеренийX, где Хм = А-У и г=[Хи-Х] Критерием является
Т - 1 т
мин — 2 е е‘
В работе показано, что балансовые модели применимы для решения задач в различных сферах производственной деятельности, и в частности в технических и экономических системах. Математическая интерпретация, структура и требования к модели остаются неизменными и практически в изложенной постановке слабо зависят от предметной области исследований. По сути, балансовые модели определяют механизм совершенствования существующего информационного обеспечения и программных средств автоматизированных систем управления производственны-
ми процессами на различных иерархических уровнях. Учет времени выполнения сборочных операций и моделирование технологических процессов с применением современных вычислительных сред существенно расширят класс решаемых задач, позволят на качественно новом уровне управлять производством, принимать обоснованные технические решения, многократно проверенные и отобранные на математических моделях с учетом воздействия многочисленных внешних факторов.
Список литературы
1. Кубонива М. Математическая экономика на персональном компьютере: пер. с яп. / М. Ку-бонива, С. Табата, Ю. Хасэбэ; под ред. М. Кубонива; под ред. и с предисл. Е. З. Демиденко. — М.: Финансы и статистика, 1991. — 304 с.
2. Пупков К. А. Интеллектуальные системы / К. А. Пупков, В. Г. Коньков. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2003. — 348 с.
3. Сахаров В. В. Совершенствование управления качеством сборки судовых механизмов в судоремонте / В. В. Сахаров, А. А. Кузьмин. — СПб.: Судостроение, 2012. — 202 с.
ГбзП
Выпуск 1
