CC BY
38
УДК 519.237.5:621.9.048 С.Г. РАДЧЕНКО
БАГАТОФАКТОРНЕ МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА КОМПРОМІСНА ОПТИМІЗАЦІЯ ТЕХНОЛОГІЧНОГО ПРОЦЕСУ ЕЛЕКТРОЕРОЗІЙНОГО ПРОШИТТЯ ОТВОРІВ
Вступ
Постановка проблеми. Метою цієї роботи є одержання математичних моделей для визначення оптимального поєднання наведених нижче режимних технологічних факторів, за якими на верстаті типу 4Г721М досягається максимальна продуктивність обробки при мінімальному спрацьовуванні електрод-інструмента (ЕІ) під час еле-ктроерозійного прошиття отвору у сталі 1Х12СЮ.
Аналіз останніх досліджень і публікацій. Дана задача є основною серед проблем підвищення ефективності електроерозійної обробки (ЕЕО). Підвищення продуктивності процесу при малому спрацьовуванні ЕІ досягається при певному оптимальному поєднанні технологічних факторів. Звичайним методом, тобто методом однофакторного експерименту, можна визначити вплив на продуктивність тільки окремих факторів [4, 12]. Враховуючи ж всі можливі впливи факторів, необхідно дослідити технологічний процес як багатофакторний при неповному знанні механізму явищ, що відбуваються. Розробка феноменологічної моделі при значній кількості змінних факторів і широкому діапазоні зміни їх значень вельми скрутна. У цьому випадку розв'язання задачі математичного моделювання можливе тільки за допомогою експериментально-статистичного методу [10] та системного підходу [3; 8, с. 57, 66 - 69].
Постановка завдання. У формальному запису постановка задачі має такий вигляд:
У. = ї, (X,, X,,..., X,); у. = єхі,
де у . -у-та функція мети або критерій якості (залежна змінна, відгук); X,, X,,..., Xк - фактори (незалежні
змінні), що впливають на критерій якості; к - загальна кількість факторів.
Змістовну постановку задачі щодо критеріїв якості та досліджуваних факторів здійснено на базі максимально доступної інформації про характеристики технологічного процесу електроерозійного прошиття отвору у сталі 1Х12СЮ з метою їх математичного моделювання та оптимізації. При цьому бажано мінімізувати кількість дослідів і витрати ресурсів до обґрунтовано допустимих значень.
Викладення нової концепції рішення
У цьому дослідженні критеріями якості (відгуками, залежними змінними) є: у, - продуктивність обробки П, мм3/хв, П = тах (задача 1);
у2 - спрацьовування електроерозійного інструмента J, % J = тіп (задача 2)
Продуктивність П ЕЕО оцінюється об'ємом металу, що видаляється з поверхні, за одиницю виміру часу (мм3/хв) [2].
Враховуючи те, що площу та глибину отвору, який прошивають, а також діаметр ЕІ у всіх дослідах, що проводять, залишають незмінними, визначення продуктивності ЕЕО фактично зводилося до вимірювання часу обробки деталі на верстаті при рівнях факторів, що задовольняють умови даного досліду.
Отже, продуктивність процесу обчислювалася за формулою:
П = яі/ ї, мм3/ хв,
деП- продуктивність ЕЕО, мм3/хв; я - площа отвору, що прошивають, мм2; і - глибина отвору, що прошивають, мм; ї - час обробки, хв.
Спрацьовування (руйнування) ЕІ оцінюють його загальним відносним спрацьовуванням, яке виражають, переважно, у відсотках. Лінійне відносне спрацьовування дорівнює відношенню довжини спрацьованої частини ЕІ до глибини отвору, що прошивають:
J = (ді,к /1)100, %,
де Д1,к - довжина спрацьованої частини ЕІ, мм; і - глибина отвору, що прошивають, мм.
Довжину ЕІ до та після проведення кожного досліду вимірювали мікрометром МК 25-1 ГОСТ 6507-78.
При цьому відносна похибка визначення продуктивності ЕЕО склала 8П / П » 1%, а відносна похибка визначення спрацьовування ЕІ -З / J » 2%.
Внаслідок аналізу апріорної інформації, а також потреб виробництва було вирішено досліджувати вплив на критерії якості факторів, наведених у табл. 1.
Відповідно до мети та завдань роботи, експериментальним можливостям даного виробництва, а також обраним методам дослідження експеримент доцільно здійснити за планом 35//27, що містить 27 дослідів і є рівномірним планом. Це означає, що рівні будь-якого фактора зустрічаються в плані експерименту однакову для даного фактора кількість разів. Тому значення лінійних і квадратичних контрастів можна обчислити, виходячи із знання рівнів варіювання факторів.
х, = 2(X, -1), г, = 1,5(х,2 - 0,666667);
х2 = 0,25(X2 - 22), г2 = ,,5(х22 - 0,666667);
х3 = X3 - 3 , г3 = ,,5(х32 - 0,66 6 6 67); (1)
х4 = 0,05(X4 - 70), г4 = ,,5(х42 - 0,666667);
х5 = 0,05(X5 - 80), г5 = ^(х/ - 0,666667).
Таблиця 1. Натуральні та кодовані значення рівнів варіювання факторів
Фактор Назва та натуральні позначення факторів Натуральні значення рівнів Хг Значення рівнів X, у робочій матриці Кодовані теоретичні значення рівнів факторів та ортогональні контрасти
*г
1 Тиск рідини, що прокачують, РЕ , кГс/см2 0,5 0,5 0 -1,2247448 0,7071067
1,0 1,0 1 0 -1,4142135
1,5 1,5 2 1,2247448 0,7071067
2 Робочий струм у міжелектродному зазорі ІЕ , А 18 18 0 -1,2247448 0,7071067
22 22 1 0 -1,4142135
26 26 2 1,2247448 0,7071067
3 2 2 0 -1,2247448 0,7071067
Частота імпульсів /Е , кГц 3 3 1 0 -1,4142135
4 4 2 1,2247448 0,7071067
4 50 50 0 -1,2247448 0,7071067
Напруга на вібраторі иЕ , В 70 70 1 0 -1,4142135
90 90 2 1,2247448 0,7071067
5 Напруга на двигуні подачі 60 60 0 -1,2247448 0,7071067
електрода-інструмента ЖЕ , 80 80 1 0 -1,4142135
В 100 100 2 1,2247448 0,7071067
Для багатофакторних регулярних планів може бути запропоновано декілька типів регресійних моделей [1, 9]. Враховуючи, що фактори кількісні, план експерименту відповідає критерію ортогональності та фактори в
плані змінюють на декількох (* = 3) рівнях. Доцільно запропонувати факторну модель у вигляді системи ортогональних поліномів Чебишева [1, 9].
Для прийнятого багатофакторного плану математичну модель запропоновано у вигляді такого структурного виразу:
у = Ь0 + Ь1 х1 + Ь2 г1 + Ь3 х 2 + Ь4 г 2 + Ь5 х3 + Ь6 г 3 + Ь7 х4 + Ь8 г 4 + Ь9 х5 + Ь10 г 5 + Д, (2)
де Ь0,Ь1,..,Ь10 - оцінки коефіцієнтів регресійної моделі; х13х2,...,х5 - лінійні функції (ортогональні контрасти) натуральних значень факторів Х1, Х2, . . . , Х5 ; г1, г 2, . . . , г 5 - квадратичні функції (ортогональні контрасти) значень х13 х2,..., х5 [1, 9]; Д - умовне позначення членів моделі з добутками вищенаве-
дених функцій (поліномів) по дві, три і т. д. функції. Ці члени враховують взаємовплив факторів на значення критерію якості (функцію відгуку).
За розробленою методикою та, використовуючи програмний засіб “Планування, регресія і аналіз моделей” (ПЗ ПРІАМ) [5] із застосуванням персонального комп'ютера (ПК), була сгенерована матриця плану експерименту з кодованим позначенням рівнів 0, 1, 2 факторів ^1...^5 для кожного з дослідів. На основі вищезгаданої матриці була побудована робоча матриця плану експерименту (табл. 2).
Таблиця 2. Робоча матриця, рівні варіювання, результати дослідів
Кодовані теоретичні значення рівнів варіювання факторів Фактори Функції
Натуральне позначення факторів Натуральне позначення функцій
Ре іе Їе иЕ К П, мм3/хв J, %
Кодоване позначення факторів та натуральні значення їх рівнів Кодоване позначення функцій
Х і Х 2 Х 3 Х 4 Х 5 Уі У 2
0 0,5 18 2 50 60 Результати повторних дослідів
1 1,0 22 3 70 80
2 1,5 26 4 90 100 Уіі Уі2 У 21 У 22
Дослід 1 0,5 18 2 50 60 46 47 45 46
2 1,0 18 2 70 80 48 49 49 51
3 1,5 18 2 90 100 50 52 52 53
4 0,5 22 2 70 100 78 79 46 47
5 1,0 22 2 90 60 81 80 50 51
6 1,5 22 2 50 80 83 85 51 51
7 0,5 26 2 90 80 100 102 47 48
8 1,0 26 2 50 100 102 100 50 49
9 1,5 26 2 70 60 104 107 58 57
10 0,5 18 3 50 60 58 58 50 52
11 1,0 18 3 70 80 59 59 50 52
12 1,5 18 3 90 100 62 64 61 62
13 0,5 22 3 70 100 97 95 52 51
14 1,0 22 3 90 60 98 100 58 57
15 1,5 22 3 50 80 100 101 61 60
16 0,5 26 3 90 80 110 112 49 48
17 1,0 26 3 50 100 113 113 55 57
18 1,5 26 3 70 60 115 115 60 62
19 0,5 18 4 50 60 70 71 52 53
20 1,0 18 4 70 80 71 70 60 62
21 1,5 18 4 90 100 74 76 64 65
22 0,5 22 4 70 100 95 96 55 57
23 1,0 22 4 90 60 96 96 61 62
24 1,5 22 4 50 80 98 97 64 65
25 0,5 26 4 90 80 125 123 50 49
26 1,0 26 4 50 100 127 127 52 53
27 1,5 26 4 70 60 130 131 65 67
За необхідності існує можливість розбити план експерименту на ортогональні блоки, що дає змогу зменшити вплив неоднорідностей на критерії якості, які досліджуються, а також дає змогу їх оцінити кількісно. У цьому дослідженні план експерименту не розбивався на ортогональні блоки, оскільки вплив неоднорідностей був досить незначним.
Натуральні значення рівнів факторів (незалежних змінних) Хі, їх значення в робочій матриці, кодовані значення рівнів факторів Еіта відповідні їм значення лінійних хі та квадратичних ортогональних контрастів наведені у табл. 1. Перед таблицею наведені формули (1) переходу від Хі до хі, гі , що визначають
за допомогою персонального комп'ютера для кожного плану окремо за методикою та програмою, розробленою розробниками [5, 9]. Відповідні нормувальні коефіцієнти введені в коефіцієнти одержаних математичних моделей.
Попередній аналіз результатів експериментів. Результати повторних дослідів, проведених у номінально однакових умовах, перевірялися на статистичну відтворюваність за Є-критерієм Кохрена. При
Gрозр £ Gтабл для певного рівня значущості а (у нашому випадку (а = 0,05) та числа ступенів вільності v для кожного рядку результатів повторних дослідів і загальної кількості дослідів N гіпотезу про незначущість відмінності дисперсій різних дослідів не відкидають і вважають, що міра розсіювання результатів повторних дослідів, які відповідають певним рядкам матриці плану експерименту, є однаковою. Для обох задач відмінності дисперсій різних дослідів статистично не значущі, тобто вони є однорідними. Результати перевірки дисперсій дослідів на однорідність, що виконувалась за допомогою ПЗ ПРІАМ, наведено у табл. 3. Детальніше попередній аналіз результатів дослідів розглянуто у [6, с. 191].
Перевірка рівня впливу «шуму» на результати дослідів. Перед тим як почати будувати математичну модель, бажано визначити, чи можливо на основі певних результатів експериментів одержати будь-яку закономірність. Формально це визначають за допомогою F -критерію Фішера. Результати перевірки рівня впливу «шуму» на результати дослідів, що проводилися за допомогою ПЗ ПРІАМ, наведено у табл. 4. Тут v1 -
число ступенів вільності відносно загального середнього значення результатів дослідів, v2 - число ступенів
вільності для дисперсії відтворення. Детальніше це питання розглянуто у [8, с. 169].
У вищенаведеному випадку як у задачі 1, так і у задачі 2 рівень впливу «шуму» на результати дослідів є незначним, що дає змогу відповісти позитивно на питання про можливість одержати за результатами дослідів певні закономірності в обох задачах відповідно.
У ПЗ ПРІАМ є можливість виконати такі перетворення матриці незалежних змінних вихідних даних: нормування, ортогоналізація та побудова взаємодій. Вони є однаковими як для задачі 1, так і для задачі 2, оскільки робоча матриця плану експерименту у них одна. Нормувальні коефіцієнти автоматично враховують у коефіцієнтах одержаного рівняння регресії.
Таблиця 3. Результати статистичного аналізу математичних моделей
Умовні по- Значення параметрів для моделі
Параметри статистичного аналізу значки /V У1 /V У2
Перевірка гіпотези про відтворюваність результатів експерименту Дисперсія відтворення 2 £ У 1,09 0,93
Середньоквадратичне відхилення £у 1,05 0,96
Число ступенів вільності для дисперсії відтворення ї 2 £У 27 27
Розраховане значення Є-критерію G розр 0,152 0,08
Табличне значення Є-критерію G табл 0,32 0,32
Рівень значущості а 0,05 0,05
Значення критерію Стьюдента (а = 0,05; v = 27) ^ табл 2,05 2,05
Число обумовленості СопсІ 1 1,35
. .-г-г.<•< гіпотези про адекватність одержаної математи- Дисперсія адекватності 2 £ад 0,9839 1,5060
Розраховане значення F -критерію F розр 1,1105 1,6265
Табличне значення ¥ -критерію Р табл 2,0905 1,9736
Число ступенів вільності для адекватності / ^ ад 19 20
Рівень значущості а 0,05 0,05
Аналіз одержаної моделі на інформативність Коефіцієнт множинної кореляції Я 0,9994 0,9833
Число ступенів вільності У1 Л 7 6
Число ступенів вільності У2 /я 46 47
Розраховане значення ¥ -критерію Р розр 2269,05 97,50
Табличне значення ¥ -критерію Р табл 2,2164 2,2990
Рівень значущості а 0,05 0,05
Значення параметру для критерію Бокса і Веца 7 27 5
Інформативність моделі дуже висока висока
Середня абсолютна похибка апроксимації, % Є У 0,7479 1,6329
Частка розсіювання, пояснювана моделлю ^y 0,9988 0,9669
Таблиця 4. Перевірка рівня впливу «шуму» на результати дослідів
Задача 1
Дисперсія відносно загального середнього 601,793
Розраховане значення ¥ -критерію 550,794003
Табличне значення ¥ -критерію (а = 0,05; У1 = 26; V 2 = 27) 1,912622
Задача 2
Дисперсія відносно загального середнього 36,6731
Розраховане значення ¥ -критерію 39,606923
Табличне значення ¥ -критерію (а = 0,05; У1 = 26; v2 = 27) 1,912622
Побудова регресійних моделей. Регресійний аналіз результатів дослідів і перевірку одержаних математичних моделей виконують за алгоритмом і відповідно до методики, викладеної в [6, 8, 9]. Розрахунок моделей здійснювався на ПК з використанням ПЗ ПРІАМ [5]. Як вихідні дані використовувалися нормована матриця ортогональних контрастів разом з подвійними і потрійними взаємодіями та результати дослідів.
Згідно зі заздалегідь сформульованими критеріями та в результаті перевірок статистичних гіпотез одержано структурні групи ефектів: головних ефектів та взаємодій. Був проаналізований список ефектів - кандидатів для включення у структуру математичних моделей до задачі 1 і до задачі 2. Обмеження максимального коефіцієнта кореляції між ефектами - 0,4, а мінімального коефіцієнта кореляції ефектів з відгуком - 0,01.
Одержані за допомогою ПЗ ПРІАМ моделі наведено в рівняннях (3-4):
У1 = 88,80 + 27Х2 +10,56Х3 + 4,852223 — 3,1572 + 2,28x1 + 2,8922Х3 —1,7023, (3)
У2 = 54,89 + 5,38хі + 4,31хз — ЗХ3Х425 — 2,752Х23 + 2,562^225 — 3,292^224 . (4)
Статистичні характеристики коефіцієнтів рівняння регресії та мультиколінеарність ефектів до задачі 1 наведено у табл. 5 та 6, а до задачі 2 - у табл. 7 та 8 відповідно.
Таблиця 5. Статистичні характеристики коефіцієнтів математичної моделі до задачі 1
Назва регресора Коефіцієнт рівняння регресії Стандартна похибка коефіцієнтів рівняння регресії Розраховане значення критерію Стьюдента і розр Частка участі
*2 27 0,190896 5,74014 0,838647
х3 10,5556 0,190896 2,24409 0,128178
2 2 2 3 4,85185 0,190896 0,631657 0,0101554
2 2 -3,14815 0,190896 -0,579621 0,00855113
Х1 2,27778 0,190896 0,48425 0,00596863
2 2 *з 2,88889 0,190896 0,434284 0,00480047
2 3 -1,7037 0,190896 -0,313677 0,00250439
Вільний член 88,7963
Таблиця 6. Мультиколінеарність ефектів до задачі 1
Назва регресора Максимальний коефіцієнт кореляції З яким регресором Коефіцієнт кореляції з відгуком
*2 0 з усіма 0,915777
*3 0 з усіма 0,35802
22 23 0 з усіма 0,100774
2 2 0 з усіма 0,0924723
*1 0 з усіма 0,0772569
2 2 *3 0 з усіма 0,0692854
2 3 0 з усіма 0,0500438
З метою одержання адекватних математичних моделей обмеження мінімальної частки розсіювання для коефіцієнтів моделей було вибране досить малим - 0,001. Тому деякі коефіцієнти моделей під час перевірки за і -критерієм Стьюдента статистично не значущі.
Таблиця 7. Статистичні характеристики коефіцієнтів математичної моделі до задачі 2
Назва регресора Коефіцієнт рівняння регресії Стандартна похибка коефіцієнтів рівняння регресії Розраховане значення критерію Стьюдента і розр Частка участі
*і 5,38125 0,272806 1,40326 0,487808
*3 4,30556 0,241601 0,994325 0,349953
*3 * 4 2 5 -3 0,241601 0,4 0,0566335
21 *2 2 3 -2,75 0,241601 0,317543 0,0356909
21 *2 2 5 2,55833 0,253394 0,30983 0,0142586
21 22 24 -3,29444 0,31501 0,429543 0,0225979
Вільний член 54,8944
Таблиця 8. Мультиколінеарність ефектів до задачі 2
Назва регресора Максимальний коефіцієнт кореляції З яким регресором Коефіцієнт кореляції з відгуком
0,288675 21Х2 2 5 0,698433
Хз 0 з усіма 0,591569
хз х4 2 5 0 з усіма 0,237978
21Х2 23 0 з усіма 0,18892
21Х2 2 5 0,288675 Х1 0,343746
2122 24 0 з усіма 0,259527
Перевірка гіпотези про адекватність одержаної моделі результатам експерименту проводилася за допомогою ¥ -критерію Фішера. Якщо для моделі ¥ г°°г £ ¥табл при визначеному рівні значущості а (у нас а = 0,05 ), то модель адекватно відображає результати експерименту. Значення ¥р°зр і ¥табл наведено у
табл. 3. Обидві одержані математичні моделі є адекватними.
Якість одержаної моделі оцінювалась шляхом визначення множинного коефіцієнта кореляції И і його значущості за ¥ -критерієм.
Множинний коефіцієнт кореляції Я показує величину статистичного зв'язку між результатами, розрахованими за рівнянням множинної регресії у ■ і результатами, одержаними в процесі проведення експерименту у у. Якщо коефіцієнт множинної кореляції Я досить близький до одиниці та статистично значущий, тобто
рро°р > ртабл при взятому рівні значущості а, то модель є інформативною і має корисну інформацію про процес, що моделюється.
Під час перевірок одержаних моделей за критеріем Бокса і Веца встановлено, що інформативність першої моделі дуже висока, а другої — висока.
Аналіз мультиколінеарності введених у математичну модель ефектів показав, що у задачі 1 вони всі ортогональні, а у задачі 2 — майже всі. Число обумовленості інформаційної матриці Фішера (сопсі) дорівнює 1 в задачі 1 і дорівнює 1,35 у задачі 2. Це підтверджує стійкість структури та оцінок коефіцієнтів одержаних рівнянь регресії [8, с. 102-103; 167-168].
За допомогою одержаних математичних моделей можна проаналізувати вплив досліджуваних факторів на значення функції відгуку (критерію якості). Під час аналізу моделей у у необхідно враховувати той
факт, що матриця плану експерименту відповідає критерію ортогональності, а ефекти, що увійшли до моделей, є ортогональними. Тому знак і величина коефіцієнтів математичної моделі, записаної в кодованому вигляді (з використанням ортогональних контрастів як незалежних змінних), вказують на напрямок і силу впливу відповідного ефекту на критерії якості, що моделюють. Такі математичні моделі називають семантичними в інформаційному сенсі.
Аналіз залишків. Велике значення для оцінювання одержаних математичних моделей мають графіки залишків. Залишками, згідно з їх визначенням, є різниці між значеннями, обчисленими за допомогою одержаної математичної моделі у експериментальних точках, і середніми значеннями в цих точках, одержаними під час експерименту. За своєю суттю вони є величинами, які не можна пояснити за допомогою одержаного рівняння регресії. Під час регресійного аналізу здійснюються деякі припущення стосовно випадкових похибок, а саме, що вони незалежні, мають нульове середнє значення та дисперсію, яка не змінюється, а також підкоряються нормальному закону розподілу [6; 8, с. 157 - 163].
Якщо одержана модель є правильною, то залишки матимуть тенденцію щодо підтвердження наведених вище припущень або хоча б не суперечитимуть їм. У результаті аналізу залишків можемо дійти висновку, що припущення щодо випадкових похибок порушені або ні. У більшості випадків залишки досліджують за допомогою таких їх основних графіків:
1) загальний графік розподілу залишків;
2) графік залежності залишків від часу, якщо відома послідовність проведення дослідів;
3) графік залежності залишків від значень, розрахованих за математичною моделлю в точках факторного простору, в яких здійснювалися досліди.
Якщо в результаті аналізу виявлено порушення в графіках залишків, то це може означати, що насправді порушені припущення регресійного аналізу або неправильно вибрано часткову структуру рівняння математичної моделі.
На основі аналізу вказаних графіків можна стверджувати, що залишки підкоряються нормальному або наближеному до нього закону розподілу, що свідчить на користь якості одержаних моделей. Залишки незалежні від часу проведення дослідів; функціональний зв'язок між залишками та величиною відгуку відсутній.
Використовуючи одержані моделі у у , можна суто математичними методами знайти найвигідніше поєднання змінних факторів (у межах проведених досліджень), що дає змогу оптимізувати процес або керувати ним.
Багатокритеріальна оптимізація за результатами досліджень. Розв'язанням задач оптимізації складних технологічних і технічних систем притаманна істотна специфіка, зумовлена прикладною спрямованістю одержаних розв'язків; відсутністю інформації про механізми явищ або процесів, що відбуваються в системі; значною кількістю показників якості (критеріїв оптимальності) і факторів, які беруть участь в оптимізації та моделюванні; випадковим характером зміни критеріїв оптимальності та деяких факторів. Раніше були вибрані
критерії якості у1, у2.
Якщо задають кількість критеріїв оптимізації більше ніж один, то їх спільні значення вибирають, використовуючи принцип компромісу за Парето [7, 11]:
У\Х^Х2,•••,Х ] = У\у1 = тіп ; у2 = тах ; узтп < уз < уз^... ] = орі,
де У - узагальнений критерій оптимальності об'єкта оптимізації, одержаний шляхом використання принципу компромісу за Парето.
Ідея компромісу за Парето полягає в пошуку таких умов функціонування системи, за якими узагальнений критерій оптимальності її досягає екстремального значення.
Узагальнений критерій оптимальності
У = /\ у , у ,..., у 1 = ехїт,
і/ Ь/1ст’./ 2ст ’ ’ у пст J ,
де у1ст,у2ст,...,упст - стандартизовані значення критеріїв якості. Останні можна визначити за формулою:
\у1и - у1 тіп ]
у1с
\у 1 тах - у1 тіп ]
де у1и - значення функції відгуку при и-м поєднанні умов функціонування системи; у1тт - мінімальне з усіх результатів значення /-ої функції відгуку; у1тах - максимальне з усіх результатів значення /-ої функції відгуку.
Легко довести, що 0 £ у1ст £ 1. Отже, будь-яку функцію відгуку зводять до сегмента [0, 1] і виражають стандартизованим значенням у1ст у просторі функцій відгуків.
Цей простір являє собою куб розмірності п, ребра якого складають стандартизовані значення критеріїв якості як система ортогональних координат. Кожне ребро куба є одним із значень 0 £ у1ст £ 1. За оптимальне значення У = орї беруть таку точку 1 £ и £ N з простору функцій відгуків, яка буде найближчою до
ідеальної комбінації значень цих відгуків.
Враховуючи, що в загальному випадку до відгуків ставлять вимоги екстремальності, тобто відповідність відгуку максимуму або мінімуму, ідеальному поєднанню вимог буде відповідати одна з вершин куба, що розглядають, для якої ці вимоги виконуються. Компроміс за Парето виконуватиметься для такої точки, відстань від якої до зазначеної вершини буде мінімальною.
У зв'язку з тим, що в нашій задачі проводимо багатокритеріальну оптимізацію тільки за двома критеріями якості (спрацьовування ЕІ та продуктивність П), можемо виконати графічний аналіз одержаних результатів та графічно визначити точку оптимуму. У табл. 9 наведено результати експериментів у натуральних та нормованих значеннях [0, 1].
Таблиця 9. Результати проведених експериментів у натуральних та нормованих значеннях і значення узагальненого критерію якості
Номер досліду У1 У 2 у1 норм У2 н°рм 01 02 Уузаг
1 46,5 45,5 0 0 0 1 0,50
2 48,5 50,0 0,024 0,220 0,02 0,78 0,50
3 51,0 52,5 0,054 0,341 0,05 0,66 0,50
4 78,5 46,5 0,381 0,049 0,38 0,95 0,31
5 80,5 50,5 0,405 0,244 0,40 0,76 0,32
6 84,0 51,0 0,446 0,268 0,45 0,73 0,31
7 101,0 47,5 0,649 0,098 0,65 0,90 0,18
8 101,0 49,5 0,649 0,195 0,65 0,80 0,20
9 105,5 57,5 0,702 0,585 0,70 0,41 0,33
10 58,0 51,0 0,137 0,268 0,14 0,73 0,45
11 59,0 51,0 0,149 0,268 0,15 0,73 0,45
12 63,0 61,5 0,196 0,780 0,20 0,22 0,56
13 96,0 50,5 0,589 0,244 0,59 0,76 0,24
14 99,0 57,5 0,625 0,585 0,63 0,41 0,35
15 100,5 60,5 0,643 0,732 0,64 0,27 0,41
16 111,0 48,5 0,768 0,146 0,77 0,85 0,14
17 113,0 56,0 0,792 0,512 0,79 0,49 0,28
18 115,0 61,0 0,815 0,756 0,82 0,24 0,39
19 70,5 52,5 0,286 0,341 0,29 0,66 0,40
20 70,5 61,0 0,286 0,756 0,29 0,24 0,52
21 75,0 64,5 0,339 0,927 0,34 0,07 0,57
22 95,5 56,0 0,583 0,512 0,58 0,49 0,33
23 96,0 61,5 0,589 0,780 0,59 0,22 0,44
24 97,5 64,5 0,607 0,927 0,61 0,07 0,50
25 124,0 49,5 0,923 0,195 0,92 0,80 0,10
26 127,0 52,5 0,958 0,341 0,96 0,66 0,17
27 130,5 66,0 1,000 1,000 1,000 0 0,50
Мінімальне значення 46,5 45,5
Максимальне значення 130,5 66,0
На рис. 1 показана множина точок ^ = 27) в просторі параметрів У1норм - продуктивність обробки
(П = тах), у2норм - спрацьовування електрод-інструмента (У = тіп).
Найкращий компромісний результат (компроміс за Парето [7]) позначений хрестиком і відповідає досліду № 25 у табл. 9 (позначений жирним шрифтом). Ця точка з координатами у1 норм = 0,923,
Ут = 0,195 найближча до ідеальної точки з координатами у = 1, у- = 0 .
2 норм ^ г * 1 норм ’ * 2 норм
у 2 норм
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
У1 норм
Рис. 1. Множина (N=27) точок у просторі параметрів У1норм - продуктивність обробки, у2норм - знос електрод-інструмента
Пошук оптимального значення за результатами експерименту. У випадку, якщо у нас більше, ніж два критерія якості, за якими проводимо багатокритеріальну компромісну оптимізацію, дуже важко визначити оптимальну точку за допомогою графоаналітичного методу.
Тоді будується цільова функція, яка має вигляд:
уузагі
І
^[1 - Оіг ]2 х Ж*
І=1
Де Уузагг - значення узагальненої цільової функції для г-го досліду експерименту, яка у випадку пошуку опти-
муму прагне до 0 [уузагг ® о) і є оцінкою близькості цієї точки до гіпотетичного оптимального значення, що 196 ІБвИ 1028-9763. Математичні машини і системи, 2003, № 3, 4
дорівнює 1; П]Г - зведене до інтервалу 0...1 значення у'-го відгуку (критерію якості) у г-му досліді експерименту, залежно від обраної для певного критерію якості мети це значення обчислюють за різними формулами; Ж}- - вагау-го критерію якості (відгуку); т - кількість критеріїв якості (відгуків).
Значення П]Г обчислюють за допомогою таких формул:
а) метоюу-го критерію якості (відгуку) є МАКСИМУМ
У у тах - У]?
1 _ 2 yjc yjr
= r j У jBr _ У jHr
0
Djr = 1 _ -
У j max У j min
де У j max і У j min — відповідно максимальне та мінімальне значення j-го критерію якості (відгуку) серед N дослідів (пробних точок);
б) метою j-го критерію якості (відгуку) є МІНІМУМ
Djr = 1 + yjmin__yjr ;
y j max y j min
в) метою j-го критерію якості (відгуку) є ІНТЕРВАЛ
при yjr є[уjHr, yj вг]
пРи yjr > у jBr аб° yjr < yjHr
де уjHr і уjBr - відповідно нижні та верхні межі заданого інтервалу; yjc - середина заданого інтервалу для
j-го критерію якості (відгуку).
Результати розрахунку узагальненого критерію якості наведено в табл. 9. Із таблиці видно, що найменше значення (0,10) узагальненого критерію якості відповідає 25 досліду, в якому реалізовані параметри і є оптимальними. Це значення узагальненого критерію якості є, по суті, відстанню точки факторного простору, що відповідає 25 досліду, до гіпотетичної найкращої точки.
Отже, у нашому випадку згідно з одержаними експериментальними даними, оптимальне поєднання значень рівнів факторів, що впливають на критерії якості, які досліджуються, є таким:
X1 = PE = 0,5кГс / см2;
X2 = IE = 26A;
X з = Ze = 4кГч;
X 4 = U e = 90B;
X5 = WE = 80B .
При такому поєднанні рівнів факторів середнє значення за результатами повторних дослідів продуктивності ЕЕО складало П = 124мм3 / хв, а спрацьовування ЕІ _ J = 49,5%.
У деяких випадках обчислюють ефективність одержаного оптимального значення за формулою
yефект 1 yузаг .
Ефективність знайденої оптимальної точки у нашому випадку дорівнює 0,9. Це досить добре, якщо враховувати, що найкраще теоретичне значення ефективності дорівнює 1.
Пошук оптимального значення за математичними моделями. Під час розв'язання реальної прикладної задачі провести натурний експеримент у всіх точках факторного простору не завжди можна, бо є обмеження в ресурсах і часі. У зв'язку з цим для пошуку найоптимальнішої точки на основі експериментальних даних будують багатофакторні математичні моделі критеріїв якості та проводять багатокритеріальну компромісну оптимізацію (за Парето) за цими моделями.
При оптимізації моделей найчастіше використовують алгоритм випадкового пошуку на основі ЛПТ рівномірно розподілених випадкових точок. Алгоритм пошуку оптимальної точки у факторному просторі виглядає таким чином.
Крок 1. Генерація випадкових ЛПТ рівномірно розподілених точок у одиничному гіперкубі. Кількість точок, що генеруються, вибирають на базі наступної формули [13]:
м = М1 - ^опт )
1 — ^опт
де -Ропт - ймовірність виявлення оптимуму, а Сопт - частка простору, в якій знаходиться оптимум. При цьому робимо припущення (яке перевірене під час розв'язання реальних задач), що в загальному випадку із зростанням вимірності простору пошуку Сопт зменшується. Значення Сопт для реальних задач обирає фахівець
на основі аналізу розв'язуваної задачі.
Крок2. Формування матриці пробних точок у натуральних значеннях на основі одержаної на кроці 1 даного алгоритму матриці ЛПТ рівномірно розподілених випадкових точок згідно з формулами, наведеними в [11].
Крок3. Розрахунок значень критеріїв якості за моделями на основі одержаної на кроці 2 цього алгоритму матриці натуральних значень.
Крок 4. Розрахунок узагальненого критерію якості уузаг .
Крок5. Пошук найменшого значення обчисленого у кожній пробній точці узагальненого критерію якості, якому відповідає максимальне значення уефект. Точка факторного простору, якій відповідає найменше
значення узагальненого критерію якості, є оптимальною, а відповідний рядок з матриці натуральних значень є оптимальними значеннями параметрів (факторів), що впливають (у нашому випадку) на технологічний процес.
У зв'язку з тим, що одержання математичних моделей критеріїв якості, а також розрахунок за цими моделями значень критеріїв якості у пробних точках є трудомістким, для цієї мети використовують ПЗ ПРІАМ. Умови пошуку оптимуму наведено у табл. 10, а результати - у табл. 11, 12.
Таблиця 10. Мета, вагові коефіцієнти та обмеження критеріїв якості (відгуків)
Ім'я критерію якості Мета Вага у ■ Обмеження
у1 МАКСИМУМ 0,5 —
У 2 МІНІМУМ 0,5 —
Таблиця 11. Узагальнена таблиця результатів (за моделями)
Позначення точок 1-ша точка 2-га точка 3-тя точка
Ефективність Уефект 0,873564 0,832543 0,819379
Значення критеріїв якості (відгуків) у оптимальних точках
у1 106,782 106,170 114,856
у2 45,145 49,047 51,498
Фактори та їх значення в оптимальних точках
Ре 0,503906 0,601563 0,5625
25,9688 24,5625 25,5
ІЕ 2,61719 2,73438 3,375
/е иЕ ^Е 72,9688 51,5625 62,5
82,0313 87,8125 67,5
Таблиця 12. Мінімальні та максимальні значення критеріїв якості, що розраховані за моделями
Ім'я критерію якості Значення критерію якості
Мінімум Максимум
у1 50,413 125,783
У 2 44,743 65,161
Здійснена ПЗ ПРІАМ графічна інтерпретація близькості одержаних оптимальних значень критеріїв якості до гіпотетичних найкращих оптимумів у нормованих одиницях для максимуму і мінімуму наведено на рис. 2.
На рисунку чітко видно, що в компромісній найкращій точці продуктивність праці (П) приблизно на 25 % менша найкращої, яка можлива за даних умов (П має бути максимальною, тобто в нормованих одиницях дорівнювати 1). Що стосується спрацьовування ЕІ ^), то у цій же точці воно більше наймінімальнішого значення (спрацьовування ЕІ має бути мінімальним і прагнути досягти нуля у нормованих одиницях) приблизно на 2 %.
Тут слушно зауважити, що у випадку призначення критеріям якості інших вагових коефіцієнтів буде одержано іншу компромісну оптимальну точку.
Рис. 2. Відносні значення критеріїв якості в оптимальній компромісній точці при багатокритеріальній оптимізації за моделями
Таким чином, у результаті проведеної з використанням одержаних математичних моделей багатокрите-ріальної (компроміс за Парето) оптимізації було знайдено найоптимальніше поєднання рівнів факторів, що впливають на критерії якості:
X1 = PE = 0,504кГс / см2;
X2 = IE = 25,969Л ;
X3 = fE = 2,617кГц ;
X 4 = UE = 72,969B і X 5 = WE = 82,031B.
При цьому критерії якості дорівнюють: y1 = П = 1066782мм3 / хе , y2 = J = 45,145% . Одержаний режим був перевірений у виробничих умовах і може бути рекомендований для прошиття отвору у сталі 1Х12СЮ на верстаті 4Г721М.
Висновки і перспективи подальшого розвитку
1. Викладено системний підхід в інформаційному забезпеченні розробки технологічних процесів шляхом отримання багатофакторних статистичних моделей і багатокритеріальної компромісної оптимізації.
2. Отримані математичні моделі дозволяють встановити причинні, структурні та кількісні зв'язки між вихідним комплексом технічних умов реалізації технологічного процесу і групою критеріїв якості виробу, що виготовляють. Моделі відповідають критерію семантичності в інформаційному сенсі, їх можна використовувати для прогнозу, оптимізації, вивчення механізмів явищ, котрі відбуваються.
3. Багатокритеріальна (компроміс за Парето) оптимізація дає змогу одержати найдоцільніші об'єктивно можливі технологічні, технічні, економічні та інші критерії якості технологічних систем або продукції, яку вони виробляють.
4. Запропоновану інформаційну технологію, алгоритмічне та програмне забезпечення можна використовувати для вдосконалення технічних, вимірювальних, матеріалознавчих та інших складних систем.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Бродский В.З. Введение в факторное планирование эксперимента. - М.: Наука, 1976. - 224 с.
2. Глазков А.В. Размерная электрическая обработка металлов: Учебное пособие для студентов вузов. - М.: Высшая школа, 1978. - 336 c.
3. Дружинин В.В., Конторов Д.С. Системотехника. - M.: Радио и связь, 1985. - 200 c.
4. Золотых Б.И. Основные вопросы теории электрической эрозии в импульсном разряде в жидкой диэлектрической среде: Автореф. дис. ... д-ра. техн. наук I Моск. ин-т электрон. машиностроения. - М.: МИЭМ, 1968.
5. Планирование, регрессия и анализ моделей PRIAM (ПРИАМ). SCMC-90; 325, 660, 668 II Каталог. Программные продукты Украины. Catalog. Software of Ukraine. - К.: СП "Текнор", 1993. - C. 24 - 27.
6. Лапач С.Н., Чубенко А.В., Бабич П.Н. Статистические методы в медико-биологических исследованиях с использованием Excel. -К.: МОРИОН, 2000. - 320 с.
7. Подиновский В.Д., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. - М.: Наука, 1982. - 256 с.
8. Радченко С.Г. Математическое моделирование технологических процессов в машиностроении. - К.: ЗАО “Укрспецмон-тажпроект”, 1998. - 274 с.
9. Радченко С.Г., Добрянский С.С. Методические рекомендации по самостоятельному изучению дисциплины “Основы научных исследований и технического творчества”, “Оптимизация и моделирование технологических процессов и объектов в машиностроении” для студентов специальности “Технология машиностроения, металлорежущие станки и инструменты” и слушателей ФПК. - К.: КПИ, 1987. - 68 c.
10. Радченко С.Г., Добрянский С.С., Приходько В.П. Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине “Основы научных исследований и технического творчества” для студентов специальности “Технология машиностроения, металлорежущие станки и инструменты”. - К.: КПИ, 1984. - 35 c.
11. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. - M.: Наука, 1981. -111 c.
12. Фотеев Н.К. Технология электроэрозионной обработки. - М.: Машиностроение, 1980. - 184 c.
13. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ: Практ. руководство: Пер. с англ. - М.: Мир, 1982.- 238 с.
186 ІБвИ 1028-9763. Математичні машини і системи, 2003, № 3, 4
