Авторегрессионный алгоритм Берга для обнаружения целей и определения их скоростей на фоне пассивных помех, основанный на спектральных и статистических различиях целей и помех Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Радиостроение

Научно-практический журнал ИКр ://www. гас! iovega.su

Ссылка на статью: // Радиостроение. 2017. № 04. С. 1-15

Б01: 10.24108/^е^.0417.0000096

Представлена в редакцию: 12.06.2017

© НП «НЕИКОН»

УДК 621.396.96

Авторегрессионный алгоритм Берга для обнаружения целей и определения их скоростей на фоне пассивных помех, основанный на спектральных и статистических различиях целей и помех

Клименченко П.В. Жураковский В.Н.

кИшр ауе] 19 9 5 @таД1 ли 1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

В данной статье основное внимание уделяется авторегрессионному алгоритму Бергу, специфике его работы для математической модели в условиях ограниченной выборке данных в обзорных и многоцелевых РЛС. Актуальной особенностью данного метода является обнаружение цели на фоне широкополосной пассивной помехи. Отличие данного метода от других является его высокая разрешающая способность и хорошие результаты работы, что позволяет выполнить определения частот смеси сигналов. Исследуя его разрешающую способность и точность, на основании его спектральной плотности мощности и графиков зависимости среднего квадратичного отклонения на интервале изменения отношения сигнал-помеха и уровня шума авторы доказывают состоятельность свойств метода. Данные результаты приемлемо применять для решения задач обнаружения цели на фоне пассивной помехи.

Ключевые слова: метод Берга; авторегрессионный метод; обнаружение цели на фоне пассивной помехи; спектральный анализ; спектральная плотность мощности

Введение

В современных радиолокационных станциях в целом ряде работ существует актуальная задача определения частот смеси сигналов. В обзорных и многоцелевых РЛС эта задача осложняется ограниченностью выборки (дефицит данных). Соответственно возникает проблема при ограниченном объеме данных определить частоты смеси сигналов. Существует множество методов спектрального оценивания для решения такого рода проблемы. Обычно оценивание спектра случайных или дискретизированных детерминированных процессов обычно выполняется с помощью быстро преобразования Фурье [1-5]. Такой подход к анализу спектра эффективен с точки зрения вычислений и обеспечивает получение приемлемых результатов для большого класса сигнальных процессов. Однако, подходы, основанные на вычислении БПФ, имеют ряд ограничений. Основное ограниче-

ние заключается в частотном разрешении, т.е. способности различать спектральные линии двух и более сигналов. Второе ограничение обусловлено неявной весовой обработкой данных при БПФ. Взвешивание проявляется в виде «утечки» в частотной области, т.е. энергия главного лепестка спектральной линии «утекает» в боковые лепестки, что приводит к наложению и искажению спектральных линий других присутствующих сигналов. Эти ограничения сильнее начинают проявляться при анализе коротких записей данных. Это вынуждает к поиску новых методов спектрального оценивания. Существуют два различных класса методов спектрального анализа: классические и параметрические. Одним из самых часто применяемых классических методов является периодограммное оценивание СПМ. Показано в [6] и [7], что среднее значение оценки совпадает с истинной СПМ, а дисперсия оценки не стремится к нулю при стремлении количества отсчетов в бесконечности, ее среднеквадратическое значение при любом N сравнимо со средним значением. Т.о. периодограмма - асимптотический несмещенный оцениватель СПМ, но несостоятельный, поскольку дисперсия оценки не стремится к нулю с увеличением N. Причиной этому является то, что при вычислении периодограммы с помощью ^точечного ДПФ мы пытаемся оценить N/2 неизвестных параметров. При увеличении N качество оценки не улучшается, поскольку мы оцениваем пропорционально увеличивающееся число параметров. Предложен ряд модификаций, суть которых сводится к сглаживанию оценки путем введения псевдоусреднения по некоторому ансамблю [1],[6],[8]. Существует так же и другие классические методы. Помимо них часто используют параметрическое оценивание СПМ на основе моделей авторегрессии-скользящего скользящего среднего (АРСС) [4],[8]. Здесь оценка СПМ по наблюдаемым данным может быть сведена к оценке коэффициентов фильтра и дисперсии белого шума. Оценки СПМ на основе АРСС-модели имеют высокую разрешающую способность в сравнении с классическими процедурами получения оценок СПМ, в которых АКП вне интервала наблюдений полагается нулевой или периодически повторяющейся, что обычно не соответствует поведению реальной АКП. Частным вариантом АРСС модели являются авторегрессионные модели и модели скользящего среднего. Наибольшее внимание специалистов в практическом применении нашли АР-модели, поскольку для них характерны спектры с острыми пиками, что часто связывается с высоким частотным разрешением. Разработан целый набор эффективных алгоритмов нахождения оценок параметров АР-модели, в числе которых алгоритм Берга [4],[6],[8],[9],[10]. Алгоритм Берга основан на оценивании АР-параметров по последовательности коэффициентов отражения. Достоинства данного метода: высокая разрешающая способность при анализе коротких сигналов, гарантированная стабильность рассчитанного формирующего фильтра.

Описание метода Берга

Метод Берга относят к параметрическим методам, для применения которых, необходимо, исходя из имеющихся априорных данных, построить математическую сигнальную модель. Задачей параметрических методов является оценка неизвестных параметров ма-

тематической сигнальной модели. Рассмотрим частный случай параметрической модели: авторегрессионная модель. При применении авторегрессионный модели набор параметров системы называется вектором коэффициентов авторегрессии. Авторегрессионная модель СПМ порядка р имеет вид:

X (с £) — ^ / (1)

4 } I \ 1 + а-^Хе- 1ш^ + а2Хе-+ ..• + ар X е- \ , ()

где: ю - частота дискретизации сигнала, t - период дискретизации,

- дисперсия шума, а=[а1 ... ap] - вектор коэффициентов авторегрессии. Если выбранный порядок вектора авторегрессии не меньше, чем порядок АР-модели, достаточный для воспроизведения спектра фильтруемой помехи, при свёртке сигнала с вектором коэффициентов АР происходит подавление помехи. Метод расчета коэффициентов авторегрессии Берга основан на вычислении коэффициентов АР последовательно, начиная с модели первого порядка, и увеличивая порядок модели на каждой итерации, вплоть до максимального заданного порядка. Сначала вычисляются коэффициенты отражения:

К ь —-7--, (2)

1Й=£(1 ^-хМР+^-Лп-!]!2)

где р = 1..N.

Эти коэффициенты получаются в результате минимизации ошибок линейного предсказания вперед и назад, определяемых по методу наименьших квадратов.

ер [п] — х [п]+^Р=1ар [к]хх [п — к] (3)

[п] — х [п — р] + £ Р=1 а^ [к] X х [п — р + к] , (4)

где: х - входной сигнал,

a - искомый вектор коэффициентов авторегрессии, ef, eb - коэффициенты предсказания вперёд и назад. Для получения АР-коэффициента для модели следующего порядка используется рекурсивный алгоритм Левинсона:

а 1 1 — Кх , (5)

ак,р — ак,р -1 + Ккх ак -1,р -1 , (6)

где: k=1..p-1.

ар,р Кр , (7) Рекурсивная процедура повторяется до нахождения всех АР-коэффициентов. В итоге, используя вектор авторегрессии, строится целевая функция.

Результаты применения метода Берга к практической задаче

Для трех различных конфигурации математической модели (ММ) были проведен анализ работы метода Берга и метода гооШшю, а так же были исследовано изменении характеристики СКО от отношения сигнал помеха, уровня шума. Математическая модель отраженного эхо-сигнала представляет собой спектр отраженного сигнала от цели - дельта функция, соответствующая скорости цели и спектр сигнала от низкочастотной широкополосной пассивной помехи. Математическая модель отраженного эхо-сигнала представлена на рисунке 1.

Для первого варианта ММ - доплеровская частота цели 500 Гц, центральная частота и ширина пассивной помехи 100 Гц.

Рисунок 1 - Математическая модель отраженного эхо-сигнала

Задача состоит в том, чтобы в условиях ограниченной выборки решить задачу определения частот смеси сигналов различными методами и исследовать их характеристики. Реализуя авторегрессионный алгоритм Берга, были использованы формулы (1)-(7). В результате получили целевую функцию представленную на рисунке 2.

Спектральная плотность мощности Берга

0

-10

-20

=г -30

ш

а

га 40

о

(11

Ш -50

>

С

о -00

-70

-ВО

-90

■

X: 511 ¥: -4.576

I

I I'

/V А

200 400 600 ада юоо 1200 1400 1вда 1вда 2000 Частота,Гц

Рисунок 2 - СПМ метода Берга

Для построения целевой функции (СПМ) использовалось всего 6 отсчетов, взятых с частотой дискретизации 2.2 кГц. Отношение мощности сигнала к мощности помехи (ОСП), мощности шума (ОСШ) равно 1 и 10 соответственно для каждого варианта ММ отраженного эхо-сигнала.

Было проведен расчет СКО от ОСП и уровня шума метода Берга, который продемонстрирован ниже на рисунках 3, 4.

Рисунок 3 - СКО от ОСП метода Берга

Рисунок 4 - СКО от уровня шума метода Берга

В то же время, в МайаЬ есть метод гооШшю предназначенный для спектрального анализа сигналов, представляющих собой сумму нескольких синусоид с белым шумом. Целью спектрального анализа подобных сигналов, как правило, является не расчет спектра как такового, а определение частот и уровней гармонических составляющих. В основе метода лежит анализ собственных чисел и собственных векторов корреляционной матрицы сигнала. Метода гооШшю позволяет получить оценки частот и мощностей гармонических составляющих сигнала, представленная на рисунке 5.

» гоостизл-с (сотр1ех_з1дпа1,2,2ООО)

Рисунок 5 - Результаты работы метода гооШшю

При выполнении анализа необходимо указать порядок модели, то есть число комплексных экспонент, предположительно содержащихся в сигнале. Для данного метода мы так же построили графики СКО от ОСП и уровня шума, представленные на рисунках 6,7.

СКО метода Коо^тшзк

75 -■-:-:-:-1-т—

1 234567 99 10

ОСП

Рисунок 6 - СКО от ОСП метода гооШшю

Рисунок 7 - СКО от уровня шума метода гооШиБЮ

Проведем исследование работы методов Берга и гооШшю при других вариантах ММ отраженного эхо-сигнала (рисунок 1). Для второго варианта ММ - доплеровская частота цели 350 Гц, центральная частота и ширина пассивной помехи 250 Гц и 100 Гц соответственно. СПМ метод Берга для данных условий ММ представлен на рисунке 8.

Спектральная плотность мощности Берга

10

0

-10

I—

ш

с! -20

га |_

О

ь -30

га

Т

-ц I_

I о

О

X -50

3

о

-60

-70

-ВО

■

X: 309 У: 5.2В9

I

и I 1 А

у 7\

у ___

200 400 600 В00 1000 1200 1400 1600 1300 2000

Частота, Гц

Рисунок 8 - СПМ метода Берга

Характеристика зависимости СКО от ОСП и уровня шума представлены на рисунках

9,10.

СКО реализованного метода Берга

46 44 42 40

=г

о" 33 ^

о

36 34 32

23456739 10 ОСП

Рисунок 9 - СКО от ОСП метода Берга СКО реализованного метода

45

40

35

=г 30 О

О 25 20 15 10

123456789 10 Уровень шума, В

Рисунок 10 - СКО от уровня шум метода Берга

Результаты работы метода rootmusic для второго варианта ММ представлены на рисунке 11.

30

1

Рисунок 11 - Результаты работы метода rootmusic

Графики зависимости СКО метода music от ОСП и уровня шума представлены на рисунках 12,13.

Рисунок 12 - СКО от ОСП метода rootmusic

СКО метода Rootmusic

1234567В9 10

Уровень шума, В Рисунок 13 - СКО от уровня шума метода rootmusic

Для третьего варианта ММ - доплеровская частота цели 1000 Гц, центральная частота и ширина пассивной помехи 300 Гц и 100 Гц соответственно. СПМ метод Берга для данных условий представлен на рисунке 14.

Спектральная плотность мощности Берга

-10

=г -20 Ш

ч

СО -30 о

ь

^ -40

ь о

О -50

3 о

2 -60

-70

-30

1 1 1 X: 1017

У:-3.523

1

1 С

1

200 400 600

300 1000 1200 1400 1600 Частота, Гц

1300 2000

Рисунок 14 - СПМ метода Берга

Характеристика зависимости СКО метода Берга от ОСП и уровня шума представлены на рисунках 15,16.

Рисунок 15 - СКО от ОСП метода Берга

4 5 6 7 Уровень шума, В

Рисунок 16 - СКО от уровня шума метода Берга

Результаты работы метода rootmusic для третьего варианта ММ представлены на рисунке 17.

» rootmusic(complex signal,2,2043}

321.3340 340.Э005

Рисунок 17 - Результаты работы метода гооШиБЮ

Графики зависимости СКО метода гооШшю от ОСП и уровня шума представлены на рисунках 18,19.

Рисунок 18 - СКО от ОСП метода rootmusic

СКО метода Rootmusic

700 -Т-Т-Т-1-Т-I—

600 -500

=г 400

О

и 300 200 100 о

1234567В9 10 Уровень шума, В

Рисунок 19 - СКО от уровня шума метода rootmusic

Заключение

Цифровое спектральное оценивание имеет в настоящее время чрезвычайно широкую область практических применений и остается предметом активных исследований, цель которых - поиск более совершенных методов оценивания при высокой эффективности вычислительных алгоритмов. В данной работе было промоделирована математическая модель отраженного сигнала при разных ее характеристиках, применен разработанный метод Берга и встроенный в Matlab метод rootmusic для сравнения результатов. На основе данных результатов можно заключить, что метод Берга позволяет обнаруживать частоту цели на фоне распределенной пассивной помехи. При этом результаты работы метода Берга лучше результатов метода rootmusic. На основе проведенных исследований зависимости СКО от ОСП данных двух методов можно сказать, что во всем диапазоне изменения ОСП метод Берга дает более точные результаты в сравнении с методом rootmusic во всех трех вариантах математической модели отраженного эхо-сигнала в условиях ограниченной выборки данных. Если рассмотреть зависимости СКО от уровня шума, то при увеличении уровня шума СКО метода rootmusic в разы становится больше по отношению к СКО метода Берга, что говорит о более высокой устойчивости метода Берга к уровню шума.

Список литературы

1. Kay S.M., Marple S.L. Spectrum analysis - a modern perspective // Proc. of the IEEE. 1981.

Vol. 69. No. 11. Pp. 1380-1419. DOI: 10.1109/PROC.1981.12184

2. Blanchet G., Charbit M. Digital signal and image processing using MATLAB. L.; Newport Beach: ISTE Ltd, 2006. 763 p.

3. Cooley J.W., Tukey J.W. An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series // Mathematics of Computation. 1965. Vol. 19. No. 90. Pp. 297-301.

DOI: 10.1090/S0025-5718-1965-0178586-1

4. Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов: Справочник. М.: Радио и связь, 1985. 312 с.

5. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов: пер. с англ. М.: Техносфера, 2006. 855 с. [Oppenheim A., Schafer R. Digital signal processing. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1975. 585 p.].

6. Марпл С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения: пер с англ. М.: Мир, 1990. 584 с. [Marple S.L. Digital spectral analysis: with applications. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1987. 492 p.].

7. Кривошеев В.И. Современные методы цифровой обработки сигналов (цифровой спектральный анализ): учебно-методические материалы. Н. Новгород, 2006. 117 с.

8. Кривошеев В.И., Лупов С.Ю. О некоторых возможностях и проблемах современного цифрового спектрального анализа // Вестник Нижегородского ун-та им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 5(3). С. 109-117.

9. Шахтарин Б.И., Ковригин В.А. Методы спектрального оценивания случайных процессов: учеб. пособие. М.: Гелиос АРВ, 2005. 247 с.

10. Овчарук В.Н. Спектральный анализ сигналов акустической эмиссии // Ученые записки Тихоокеанского гос. ун-та. 2013. Т. 4. №. 4. С. 974-986.

Radio Engineering

Radio Engineering, 2017, no. 04, pp. 1-15. DOI: 10.24108/rdeng.0417.0000096 Received: 12.06.2017

Berg's Autoregressive Algorithm to Detect Targets and Determine Their Velocities in Presence of Passive Interference, Based on Spectral and Statistical Target and Interference Differences

P.V. Klimenchenko1'*, V.N. Zhurakovsky1 "klimpayell995@maiLru

:Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia

Keywords: Burg's method; autoregressive method; detecting the target against a background of

passive interference; spectral analysis; spectral power density

The article considers the Berg's autoregressive algorithm to detect targets and determine their velocities in presence of passive interference, based on spectral and statistical target and interference differences. Thus, there is a problem to determine the frequencies of a mixture of signals. In scanning and multi-target radars, the problem becomes more complicated due to limited data sampling, which requires the search for new methods of spectral analysis with high resolution. In this article the authors review two groups of spectral analysis methods, namely classical and parametric. The Berg parametric autoregressive method is especially emphasized since it is characterized by spectra with sharp peaks, which is often associated with high frequency resolution. The article describes the Berg method, the steps to calculate main parameters for the input sequence of data depending on the order of the autoregressive model, which represent a vector of the auto-regression coefficients and a value of white noise dispersion. These parameters are used to form the target function, i.e. the spectral power density. A relevant feature of this method is the target frequency detection in presence of wide-band passive interference. The article describes a mathematical model of the reflected echo signal, which represents a spectrum of the signal from the target - the delta function, corresponding to the target velocity, and a spectrum of the signal from the low-frequency broadband passive interference, and other parameters. This mathematical model was used for three cases of correlation between the target and the interference characteristics. For each of these cases, the implemented Berg method and the root-music method, built-in in Matlab, were used, and then the values of the target frequency estimate for each method were obtained. After that, the results of used methods were studied for a dependence of the mean square deviation of the target frequency estimate from the true value when changing the signal-to-noise ratio and the noise level, respectively. In conclusion, based on the graphs obtained, the authors show that in conditions of a limited data sample the Berg method is more accurate as compared to the root-music one and has high resolution, while the graphs of the

root mean square deviation of the Berg method from the signal-to-noise ratio and from the noise level are lower than the graphs of the root mean square deviation of the root-music method at all intervals of the change.

References

1. Kay S.M., Marple S.L. Spectrum analysis - a modern perspective. Proc. of the IEEE, 1981, vol. 69, no. 11, pp. 1380-1419. DOI: 10.1109/PROC.1981.12184

2. Blanchet G., Charbit M. Digital signal and image processing using MATLAB. L.; Newport Beach: ISTE Ltd, 2006. 763 p.

3. Cooley J.W., Tukey J.W. An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series. Mathematics of Computation, 1965, vol. 19, no. 90, pp. 297-301. DOI: 10.1090/S0025-5718-1965-0178586-1

4. Gol'denberg L.M., Matyushkin B.D., Poliak M.N. Tsifrovaia obrabotka signalov. [Digital signal processing]: a handbook. Moscow: Radio i Sviaz' Publ., 1985. 312 p. (in Russian).

5. Oppenheim A., Schafer R. Digital signal processing. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1975. 585 p. (Russ. ed.: Oppenheim A., Schafer R. Tsifrovaia obrabotka signalov. Moscow: Tekhnosfera Publ., 2006. 855 p.).

6. Marple S.L. Digital spectral analysis: with applications. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1987. 492 p. (Russ.ed.: Marple S.L. Tsifrovoj spektral'nyj analiz i ego prilozheniia. Moscow: Mir Publ., 1990. 584 p.).

7. Krivosheev V.I. Sovremennye metody tsifrovoj obrabotki signalov (tsifrovoj spektral'nyj analiz) [Modern methods of digital signal processing (digital spectral analysis)]: Educational and methodological materials. N. Novgorod, 2006. 177 p. (in Russian).

8. Krivosheev V.I., Lupov S.Yu. On some possibilities and problems of modern digital analysis. Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo [Vestnik of Lobachevsky State Univ. of Nizhni Novgorod], 2011, no. 5(3), pp. 109-117 (in Russian).

9. Shakhtarin B.I., Kovrigin V.A. Metody spektral'nogo otsenivaniia sluchajnykh protsessov [Methods of spectral estimation of random processes]: a textbook. Moscow: Helios ARV Publ., 2005. 247 p. (in Russian).

10. Ovcharuk V.N. Spectral analysis of signals acoustic emission. Uchenye zapiski Tikhookeanskogo gosudarstvennogo universiteta [Scientific Notes of the Pacific State Univ.], 2013, vol. 4, no. 4, pp. 974-986 (in Russian).