CC BY
18если через получившуюся диаграмму можно провести вертикальную линию, не пересекающую пунктирную линию, то диаграмма называется приводимой. Это означает, что соответствующий диаграмме оператор можно представить в виде произведения двух операторов. Остальные диаграммы называются неприводимыми. Таким образом, неприводимые диаграммы представляют собой элементарные "блоки", из которых можно составить любую диаграмму.
5. "Уравнения для осредненных величин. Запишем последнее диаграммное уравнение в формульном виде С = Со + СоЕС. Следовательно,
= СТ1 = СоХСТ1 + О0£1 = + Со^.
Домножая на О-1 и учитывая конкретный вид этого оператора, уравнение можно переписать в виде
д2щ1 д
Р-
dt2 dxk
+ + (8)
dxm,
Таким образом, нами получено точное уравнение для среднего значения динамического перемещения щ1. Массовый оператор Е выражается через осредненную точную функцию Грина Со и корреляционные функции модуля упругости всех порядков. Выбирая в Е конечное количество слагаемых, можно получать уравнение требуемой точности.
Как видно из (5), коэффициенты уравнения (8) и, следовательно, частоты и затухание упругих волн
ди°
являются в нашем случае функциями тензора дисторсии с!^ = ——. Эта зависимость позволяет по изме-
дхк
ренному спектру малых колебаний определить напряженное состояние среды.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: В 10 т. Т. 7: Теория упругости. М.: Наука, 1987.
2. Финк К., Рорбах Х. Измерение напряжений и деформаций. М.: ГНТИМЛ, 1961.
3. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1981.
4. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984.
5. Ньюнхем Р.Э. Свойства материалов. Анизотропия, симметрия, структура. М.; Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2007.
6. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука, 1976.
Поступила в редакцию 16.03.2009
УДК 531.38
АВТОНОМНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЗАИМНОЙ ОРИЕНТАЦИИ ПРИБОРНЫХ ТРЕХГРАННИКОВ ДВУХ БЕСКАРДАННЫХ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ НАВИГАЦИОННЫХ СИСТЕМ ВО ВРЕМЯ ДВИЖЕНИЯ
А. В. Козлов1, Н. А. Парусников2
Рассматривается задача автономного определения взаимной ориентации приборных трехгранников двух бескарданных инерциальных навигационных систем, жестко установленных на общей платформе, которая в свою очередь жестко связана с корпусом самолета (носителя). Используемая информация доставляется датчиками угловой скорости обеих
1 Козлов Александр Владимирович — мл. науч. сотр. лаб. управления и навигации каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
2 Парусников Николай Алексеевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
систем. Предлагается режим движения самолета, обеспечивающий достаточно высокую обусловленность задачи.
Ключевые слова: бескарданная инерциальная навигационная система, инерциальная навигация, определение ориентации, начальная выставка.
The autonomous motion estimation of a relative misalignment for two strapdown inertial navigation systems is studied. The navigation systems are rigidly fixed on a plate mounted on an airplane fuselage. The information in use is provided by the angular velocity sensors of these systems. Some special flight maneuvers are proposed in order to ensure a higher observability.
Key words: strapdown inertial navigation system, inertial navigation, attitude determination, initial alignment.
Введение. Бескарданная инерциальная навигационная система (БИНС) включает три однокомпо-нентных ньютонометра, три датчика угловой скорости (ДУС) и бортовой вычислитель. При описании БИНС используется понятие приборного трехгранника — ортогонального координатного трехгранника, начало которого находится в точке расположения приведенной чувствительной массы блока ньютономет-ров, а оси с точностью до инструментальных погрешностей совпадают с осями чувствительности ньюто-нометров и ДУС [1]. В случае двух БИНС обозначим приборные трехгранники через M°z°1z0z0 (M0z0) для первой БИНС и через Mz\z2z-3 (Mz) — для второй.
Возможны ситуации, когда вторая система на некоторое время отключается или не была включена вообще, и требуется ввести в эту систему числовую информацию, достаточную для ее функционирования независимо от работы другой БИНС. Возможны различные постановки такой задачи, определяемые теми или иными обстоятельствами. Во всех случаях исходной информацией для решения задачи служат показания датчиков обеих систем — ньютонометров и ДУС, а также результаты обработки этой информации в бортовых вычислителях БИНС. Исключается использование каких-либо дополнительных угловых измерений.
По существу прямо или косвенно задача может быть сведена к следующей геометрической задаче. Измеряются во времени проекции на оси двух трехгранников одного и того же вектора. При этом предполагается, что взаимная ориентация трехгранников постоянна во времени. Локально (в каждый момент времени) взаимная ориентация трехгранников может быть установлена с точностью до поворота вокруг измеряемого вектора. Для того чтобы определить эту ориентацию полностью, необходимо, чтобы измеряемый вектор менял свою ориентацию относительно трехгранников. Очевидно, что обусловленность задачи будет тем выше, чем большие эволюции и за более короткое время совершает этот вектор. В нашем распоряжении два таких вектора: вектор действующей на чувствительную массу ньютонометров внешней силы, который измеряется этими ньютонометрами, и вектор угловой скорости, измеряемый ДУС. Не углубляясь в подробности, заметим, что легче и существенно быстрее организовать маневр, обеспечивающий достаточную эволюцию вектора угловой скорости, чем получить эволюцию вектора внешней силы. Далее рассматривается ситуация, когда информация, доставляемая ньютонометрами, для решения задачи не используется.
Несмотря на то что возможность определения взаимной ориентации приборных трехгранников двух БИНС исследуемым способом достаточно очевидна, его описания в существующей литературе найти не удалось.
Математическая модель. Обозначим через uzo = ,<}T и uz = {<1,<2,<з}Т проекции век-
тора абсолютной угловой скорости самолета на оси соответствующих приборных трехгранников, а через u'0 = {<¿1,^2 ,u'^}T и u'z = {ui,<2, <3}T — векторы соответствующих значений, измеренных ДУС обеих систем. Первая система принимается за эталон, поэтому будем считать, что <0 = uzo. Для u'z имеем <Z = uz + vz + V'S, где vz = {V\,V2,V3}T — моделируемая составляющая инструментальных погрешностей ДУС, а vS = {vf,V2,Vs}T — высокочастотные шумы, полагаемые здесь белыми шумами с известными интенсивностями. Поскольку исследуется принципиальная возможность решения задачи, для инструментальных погрешностей выбирается простейшая модель: Vj = const, M[vs] = 0 (M[•] означает математическое ожидание случайной величины).
Без ограничения общности предполагается, что ориентацию трехгранника Mz относительно трехгранника M0z0 можно задать вектором малого поворота 5z = {£ 1,^2,^3}T так, что для любого вектора l в линейном приближении выполняется соотношение lz = (E + 5) lzo, где E — единичная матрица и
0 83 —82
85 = —83 0 81
82 —81 0
)
Далее рассматриваются два варианта, имеющие место на практике. В первом варианте предполагается, что величины и'г0 и иХ доступны в вычислителе, решающем рассматриваемую задачу. Во втором варианте измерения и' 0 недоступны, но доступны матрицы ориентации приборных трехгранников, полученные при решении кинематической задачи в БИНС [1].
Вариант 1. В линейном приближении имеет место равенство их = (Е + 5) ихо. С учетом этого составим вектор измерений
С = и'х - и'го = -и'го8Х + Ух + VI- (1)
Рассматриваемая задача может быть поставлена как задача оценивания по измерениям (1) векторов 8х и ух, удовлетворяющих уравнениям
8Х = 0, ^ = 0.
Задача решается методами калмановской фильтрации. При реализации в бортовом вычислителе уравнения записываются в дискретной форме. Процедура калмановской фильтрации хорошо известна [2] и здесь не описывается.
При численном моделировании вводится вектор состояния системы х = {81,82,83,их,и2,из}т. В начальный момент времени оценка вектора состояния принимается равной нулю: х-(¿о) = 0. Пусть Р-(Ьо) — априорная ковариация ошибки оценки Ах = Х — х, Р-(£о) = М [Дх(£о)Дхт(¿о)]. Принимались следующие параметры, близкие к реальным: 1) шаг счета по времени Аt = 0,025 с; 2) интенсивности белых шумов = 0,6°/ч; 3) Р-(£0) = diag{ст2, , а2, аи, аV, аV}, где && = 3', = 0,01°/ч. Обусловленность задачи обеспечивается разумным выбором эволюций носителя, т.е. выбором функции ихо (¿). Было проанализировано несколько классов таких эволюций. Варианты, оказавшиеся по тем или иным причинам непригодными для решения задачи, здесь не приводятся. Приемлемые результаты получены при специально совершаемых самолетом колебаниях с амплитудой порядка 10° по крену и тангажу и периодом порядка 1 мин. Такие маневры приводят к колебаниям компонент угловой скорости с амплитудой около 1°/с. Указанные колебания необходимо совершать с подходящим рассогласованием для компонент по фазе. Подобный режим движения, по мнению специалистов, легко реализуем. По истечении первой минуты оценивания ошибка оценки углов рассогласования приборных трехгранников уменьшается примерно в 100 раз по сравнению с априорной, а уходов — вдвое, на четвертой минуте — в 300 раз и 3 раза соответственно.
Вариант 2. В некоторых системах информационный обмен между двумя БИНС организован так, что показания и'0 ДУС эталонной БИНС не передаются на вторую систему. При этом в каждый момент времени известны модельные матрицы ориентации приборных трехгранников БИНС относительно инерциального, вычисленные как решения уравнений Пуассона
А хо = и X о Ахо, А X = и X А'х.
Матрица А'х задает модельный трехгранник второй БИНС. Кроме того, известны показания ДУС второй системы, поскольку они используются при интегрировании уравнений Пуассона. По имеющимся данным можно вычислить вектор в* углов малого поворота модельного трехгранника второй БИНС относительно приборного трехгранника эталонной из соотношения Е + в* = А'х АТо.
Из уравнения Пуассона "в малом" для второй системы следует в! = иXв + + (в — вектор углов малого поворота модельного трехгранника второй БИНС относительно приборного). Учитывая очевидное соотношение в + 8х = в *, запишем
в * = их в* — их 8х + их + и:, 8х = 0, их = 0. (2)
Примем вычисленное значение в* в качестве измерения С = в*. Задачу оценки вектора х = {в1*,в2*,в3*, 81,82, 83, их, и2, из}т будем решать как задачу оценивания с учетом уравнений (2). Численное моделирование проведено при тех же условиях, что и для первого варианта. В измерения С вводился малый фиктивный шум, необходимый для корректной работы процедуры калмановской фильтрации.
Ошибка оценки углов рассогласования приборных трехгранников двух БИНС в данном случае уменьшается чуть более чем в десять раз за первые 4 мин оценивания. Дрейфы практически не оцениваются.
Запаздывание. В реальных системах может присутствовать запаздывание при передаче информации от эталонной системы к выставляемой. Величину запаздывания можно считать постоянной. При первом варианте решения задачи для рассматриваемых режимов движения при малых временах запаздывания (до 0,1 с) его наличие не оказывает принципиального влияния на решение. Во втором варианте если величина запаздывания т известна, то в уравнениях вместо матрицы Аго следует использовать матрицу (Е + Сот)Ахо. Если величина постоянного запаздывания неизвестна, она включается в вектор состояния и затем оценивается вместе с остальными компонентами. В этом случае система (2) дополняется уравнением Т = 0, а измерение принимает вид ( = в* + и'гт. При наличии запаздывания в моделировании принималось ат = 0,1 с. Результаты моделирования ненамного хуже, чем для системы без запаздывания.
Выводы. 1. При совершении специальных маневров задача решается вполне приемлемо в обоих вариантах, описанных выше.
2. Первый способ обмена информацией между БИНС для решения поставленной задачи оказывается более предпочтительным, чем второй.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Голован А.А., Парусников Н.А. Математические основы навигационных систем. Часть I: Математические модели инерциальной навигации. М.: Изд-во МГУ, 2007.
2. Голован А.А., Парусников Н.А. Математические основы навигационных систем. Часть II: Приложения методов оптимального оценивания к задачам навигации. М.: Изд-во МГУ, 2008.
Поступила в редакцию 27.03.2008
