CC BY
58
УДК 62-50
АВТОНОМИЗАЦИЯ КАНАЛОВ УПРАВЛЕНИЯ В МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЪЕКТАХ
А.Б.Филимонов1, Н.Б.Филимонов2
I) Кафедра Технической кибернетики Российского университета дружбы народов 117198 Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6 2) Кафедра Систем автоматического управления Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана 107005, Москва, 2-я Бауманская ул. 5
Предлагается мопыП метод динамической рачвятки каналоп управления н мпогоеня:шых объектах, основанный на uju'eGpe рациональных передаточных мафии.
Проблема автономного регулирования многосвязными объектами
Проблема автономного регулирования многосвязными объектами, сформулированная И.Н.Вознесенеким в 1934 г., играет важную роль в теории и практике современной автоматики [1]. Системотехническое решение данной проблемы реализуется преднамеренным введением в систему регулирования дополнительных «развязывающих» элементов в виде соответствующих корректирующих устройств (статических или динамических; включаемых в прямую цепь, либо в обратную связь), призванных развязать контур регулирования путем компенсации внутренних естественных перекрестных связей в объекте. При этом целесообразно применять принцип разделения', предварительно осуществляется автономизация {развязка)I каналов управления, к которым затем подключаются сепаратные регуляторы.
Сложились два подхода к решению задач автономного регулирования многосвязными объектами: один, основанный на аппарате передаточных матриц (ПМ), заложен в работе Бо-ксенбома и Худа [2]; другой, основанный на формализме пространства состояний, берет начало от работы Моргана [3] и существенное развитие получил в работах Уонэма [4]. Оба подхода не исключают, а ваимодополняют друг друга. Однако первый имеет ряд преимуществ, поскольку для него первичными понятиями являются сигнал и канал передачи сигналов, посредством которых проще описывать и анализировать канальную структуру схем развязки, учитывать различные функциональные и технические аспекты решаемой задачи.
В настоящей работе предлагается новый метод решения задачи динамической развязки каналов управления в многосвязных объектах, основанный на аппарате ПМ. Метод учитывает требование физической реализуемости механизма развязки, предотвращает нежелательный эффект компенсации передаточных нулей и полюсов объекта. Приведенные результаты являются дальнейшим развитием исследований авторов в области структурного анализа и синтеза многомерных систем [5-7].
Взаимно простая факторизация рациональных матриц
Введем обозначения:
• ~ кольцо полиномов от 5 с коэффициентами из поля V;
• VYs) - поле рациональных функций от S с коэффициентами из поля V;
• V[s] - класс полиномиальных (pxq)-матриц (с элементами из кольца V[i']);
• VP*q(s) - класс рациональных (рх^)-матриц (с элементами из поля V(^)).
• гапку(<?)6(-У) ~Раиг Снормальный ранг) рациональной матрицы Q(s) в поле V(^)5 т.е. максимальный порядок миноров матрицы, не равных тождественно нулю;
• degPO) - степень полиномиальной матрицы P{s), т.е. наивысшая степень ее полиномиальных элементов..
Рациональная матрица Q(s) называется правильной, если ее элементы ограничены на бесконечности, и строго правильной, если Q(s) -» 0 при S -» оо. Квадратную полиномиальную матрицу называют унимодулярной, если ее определитель равен ненулевому числу. Отметим, что матрица, обратная к унимодулярной, также является унимодулярной.
Полиномиальная матрица Л(л’) называется общим левый (к'чителсм матриц 0{х) и N(5), если найдутся полиномиальные матрицы О^Л') и ЛМл') такие, что /)(\) - Л(л')1)\(х) иДГ(з') = А(б')/У1(л'). Полиномиальные матрицы /)(х) и 1У(я) называются вшично простыми слева, если они не имеют неуинмодулярного общего ясного делителя. Анаши ичным образом определяются общий правый делитель и внпшно простые справа матрицы.
Теорема факторизации [8]. Любая рациональная матрица (){х) може! бы и. прет: пт-лена в форме матричной дроби:
Й0«) = (ВД) - НЪНРЪ))
где/)(л’) иА^(л’) - полиномиальные взаимно простые слева матрицы, а Лг*(л) и /) (л ) полиномиальные взаимно простые справа матрицы.11
Матрицы /У(.у) и /У*(Л') называют числителями, а матрицы /)(л*) и /)*(л ) * таисттпчч ми матричной дроби. Левые и правые дробно-матричные представления нседшюненны.
Пусть р -- гапку(д’)6(л<) нормальный ранг рациональной (/ж</)-ма трины ()(х). При р ~р р с{ существует правая, а при р - с/ р р - левая инверсии матрицы ()(\). Правая инверсии (<20?))+ удовлетворяет соотношению Q{s){Q{я))i “ Ер и определяется рапененшм
(«.'■))+ = е1'0[е(л')Й1л)| '.
Аналогичным образом определяется левая инверсия.
Постановка задачи динамической развязки каналов управления
Рассмотрим «прямоугольный» объект управления Л\ являющийся линейной конечномерной стационарной динамической системой, имеющей г скалярных управляющих входов Мь..., игит скалярных управляемых выходову\,...,ут< причем г р т.
Автономизацию каналов управления в объекте Л' будем осуществлять путем его последовательной коррекции, осуществляемой подключением к объекту тени ртвнжи Л’*, формирующего в скорректированном объекте *£ автономные каналы управления ^, Л\..........
$т (см- Рис- 0- Если И^*(л’)б УГхЯ,(а’) - ПМ звена развязки, то условие автономности новых каналов управления означает диагональность ПМ IV (.V) скорректированног о объекта:
ИГ(5)*Г(» = И'(У) = 0)
где IV} (5) (/ = 1, т ) - передаточная функция /-го автономного канала управления.
6?
Ь**
\->У2
I
>Ут
Рис. 1. Схема динамической развязки каналов управления
Таким образом, задача динамической развязки заключается в построении Г1М звена развязки IV (^), обеспечивающей выполнение условия (1) диагональности скорректированной
ИМ W (л*) . При этом звено развязки должно быть физически реализуемым и не вызывать эффекта сокращения передаточных нулей и полюсов объекта.
Метод решения задачи динамической развязки
Под передаточным нулем системы понимается значение комплексной частоты S, при которой ее ИМ теряет нормальный ранг р. Будем осуществлять разделение передаточных нулей и полюсов систем посредством факторизации их ПМ. Заметим, что идея взаимно простой факторизации ПМ получила развитие в работах СэЙна (M.K.Sain), Видьясагара (M.Vid-jasagar), Дезоэра (C.A.Dcsoer), Копье (F.M.Callier), Шулмана (J.D.Schulman) и др. [8 -10].
Будем полагать, что ПМ W(s) является строго правильной. Для разрешимости задачи динамической развязки потребуем, чтобы объект являлся функционально управляемым по
выходу, т.е. его ПМ имеет максимальный нормальный ранг: гапку(.у) W(s) - т. Тогда в силу (1) такой же нормальный ранг имеет и ПМ W*(s). Воспользуемся соответственно левой и правой взаимно простой факторизацией ПМ объекта и звена развязки:
И^)Цад)-'М(4 W\S) = M'(S)(L',>(s)y\ (2)
где /„,>(.'•)€ Vmxm[.v|, M(.v)eV"'*r|>], Л/V)“II M*(.v)||sVr><'"[.s-] и L‘d(s) eVm*m[.v] -полиномиальные матрицы, причем знаменатели Lo(s) и L*D(.v) являются диагональными:
Ld(s) = diag{Z,i(j),..., /-ЬС*) =diag{ L\(s) }. (3)
Заметим, что полюса матрицы (/^(л1))-1 являются передаточными полюсами объекта. Требование физической реализуемости звена развязки означает правильность его ПМ:
deg L'j О) р deg Му (s) (i =1 у г J = \,т). (4)
Из (1) и (2) находим:
iF(s) =(Lf/s))-,M(s)(lUs))'\ (5)
где М(л') - диагональная полиномиальная wxm-матрица:
M(s)=M(s)M\s), Af(i)=diag{Ml(s),...,Mm(s)}. (б)
Отсюда с учетом (3), (5) следует:
^ (i=Ut). (7)
Из (6) получаем
M(s)M\s)(M(s))-1=Em. (8)
Введем матрицу (Л/(,у))+€ Vrxm(s) - правую инверсию полиномиальной матрицы M(s). Заметим, что она удовлетворяет уравнению
M(s)(M(s))+ = Em. (9)
Сравнение (8) и (9) показывает, что полиномиальные матрицы M*(s) и M(s) удается най-
ти на основе взаимно простой правой факторизации рациональной матрицы
Mj(»)
M,(s)
rxm
Таким образом, процедура построения ПМ W\s) звена развязки состоит из двух этапов. На первом этапе определяется ее числитель М*(.у) путем нахождения правой инверсии (М($))+ и представления последней в виде правой несократимой рациональной дроби (10).
На втором этапе выбирается ее знаменатель £D(s), отвечающий условию физической реализуемости (4). При этом нежелательная компенсация передаточных нулей и полюсов объекта исключается, если каждая дробь (7) является несократимой. В этом случае для вполне управляемого и наблюдаемого объекта S предложенная схема развязки позволяет получить
вполне управляемые и наблюдаемые сепаратные подсистемы S; (/ ~\,т) (отвечающие сформированным автономным каналам управления) порядка nt =? dcg /^(.v), гак что порядок скорректированного объекта S оказывается равным п пх \:п2; К..-I нт .
Задача синтеза звена развязки всегда имеет решение и при том не одно. Поскольку меньший динамический порядок звена развязки более предпочтителен, то из (4) следует:
deg V: (.у) = max deg М*- (.у), (/ = 1, г=1, т).
Инверсия полиномиальных матриц
Ключевую роль в изложенной процедуре построения ПМ звена развязки играет инверсия полиномиальной матрицы M(s). Очевидно, что в частном случае «квадратного» объекта (т-г) инверсия матрицы сводится к ее обращению:
В общем случае «прямоугольного» объекта (т^г) посредством элементарных строчных и столбцовых преобразований матрицу M(s) можно привести к диагональной форме:
M(s)=U{s)MD{s)V{s\ (11)
где U(s) и V(s) - унимодуляриые матрицы размеров тхт и гхг соответственно, a Mq{s) - диагональная /wxr-матрица вида
Md(s)= [diag{ni(5-),..M Ц;„Су)}, 0].
Тогда
(Лф))+ = CFTWr* (M(s))l (ОДГ1, где ( М ( S )) £ - диагональная гх/я-матрица:
diag 1 1 1
l^i о)’ V» (*),
0
Отметим, что для получения разложения (11) можно использовать каноническую форму Смита для полиномиальной матрицы M(s).
ЛИТЕРАТУРА
1. Трофимов А.И., Егупов Н.Д., Дмитриев А.Н. Методы теории автоматического управления, ориентированные на применение ЭВМ. Линейные стационарные и нестационарные модели: Учебник для вузов. - М.: Энергоатомиздат. 1997. - 656с.
2. Boksenbom A.S., Hood R. General Algebraic Method Applied to Control Analysis of Complex Engines Types. /NACA Techn. Report 980. April. 1950.
3. Morgan B.S. The Synthesis of Linear Multivariable Systems by State Variable Feedback 11 IEEE Trans, on Automat. Control. 1964. V. AC-9. P.405-411.
4. Уонэм М. Линейные многомерные системы управления: Геометрический подход. - М.: Наука. 1980. ~ 376с.
5. Филимонов Н.Б. Проблема динамического качества многомерных систем управления // Труды МВТУ. № 360. Системы автоматич. управления. Вып. 8. М.: МВТУ. 1981. С.39-51.
6. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Приведение передаточных матриц многомерных объектов к диагональной форме // Аналитические методы синтеза регуляторов: Межвуз: иа-учн. сб. Саратов: СПИ. 1982. С.56-69.
7. Филимонов Н.Б. Структурный анализ и синтез многомерных динамических систем // Создание и внедрение автоматизированных и автоматических СУ непрерывными и дискретно-непрерывными ТП: Тез. докл. / X Всес. н.-т. совещ. Ч. И. М.: KMC ВСНТО, 1983. С.203-204.
8.Дезоер Ч., Видъясагар М. Системы с обратной связью: вход-выходные соотношения. -М.: Наука. 1983.-280с.
9. Rosenbrock Н.Н. State Space and Multivariable Theory. New York: Wiley. 1970.
10. Wolovich W.A. On the Synthesis of Multivariable Systems // IEEE Trans, on Automat. Control. 1973. V. AC-18. No 1. P.46-50.
CONTROL CHANNELS NONINTERACTION IN MULTIPLY CONNECTED OBJECTS
A.B.Filimonov1, N.B.Filimonov2
1) Department of Technical Cybernetics Russian Peoples’ Friendship University Miklukho-Maklaya St., 6, Moscow, 117198, Russia
2) Department of Automatic Control Systems Bauman Moscow State Technical University 2th Baumanskaya st., 5 Moscow, 107005, Russia
It’s suggested the new method of control channels dynamic decoupling in multiply connected objects based on algebra of rational transfer matrices.
Александр Борисович Филимонов родился в 1948 г., окончил в 1972 г. МФТИ. Канд. техн. наук, доцент кафедры Технической кибернетики РУДН. Автор более 110 научных публикаций в области кибернетики.
A.B.Filimonov (b. 1948) graduated from Moscow Physical Technical Institute in 1972. PhD(Eng), ass. professor of “Technical cybernetics”
Department of Peoples’ Friendship University of Russia. Author of more than 110 publications in the field of cybernetics.
Николай Борисович Филимонов родился в 1951 г., окончил в 1974 г. МВТУ им. Н.Э. Баумана. Канд. техн. наук, доцент кафедры Систем автоматического управления МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Автор более 130 научных публикаций в области теории управления.
N.B.Filimonov (b. 1951) graduated from Bauman Moscow Higher Technical School in 1974. PhD(Eng), ass. professor of “Automatic Control Systems” Department of Bauman Moscow State Technical University. Author of more than 130 publications in the field of control theory.
