Автомодуляционные колебания системы автоподстройки частоты Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.91

АВТОМОДУЛЯЦИОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ АВТОПОДСТРОЙКИ ЧАСТОТЫ © С.С. Мамонов, И.В. Ионова

Ключевые слова: предельные циклы второго рода; матричные уравнения; фазовая автоподстройка.

Для системы дифференциальных уравнений получены условия существования циклов второго рода. Предложен алгоритм определения области фазового пространства, содержащей предельный цикл второго рода.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

х = Ах + Ьф (а) , а = стх, (1)

где Ь, с, х € К”, ф (а) является непрерывно дифференцируемой и А -периодической функцией. Система (1) является математической моделью системы фазовой автоподстройки частоты ФАП, которые нашли широкое применение для решения задач синхронизации, стабилизации частоты, управления частотой и фазой радиоколебаний, фильтрации, демодуляции, формирования и обработки сигналов, а также ряда других задач [1—4]. Для системы ФАП исследуется как важная для практики задача подавления паразитных автомодуляци-онных колебаний, так и альтернативная задача усиления эффектов автомодуляции в целях создания эффективных генераторов сложномодулированных колебаний на этой основе [3, 4]. Одним из видов автомодуляционных коллебаний системы ФАП является угловая модуляция, определяемая решением системы (1) периодическим по фазовой переменной а. Система (1) рассматривалась в работах [5, 6], в которых методом нелокального сведения получены частотные условия существования циклов второго рода системы (1). Условия обеспечивающие автомодуляционные режимы системы ФАП, определяются результатами следующих теорем.

Теорема1. Пусть для системы (1) выполнены условия:

1) система матричных уравнений

АтН + НА = Ь + 2есст — 2аН, НЬ = г (2)

при е = е1 > 0, а> 0, г = с, стЬ = —Г < 0 имеет решение Н = Н1 = Нт, Ь = = Ь1 < 0,

матрица Н1 имеет одно отрицательное и (п — 1) положительное собственное значение;

2) система матричных уравнений (2) при е = е2 > 0, а> 0, г = —с имеет решение н = Н2 = нТ > 0, матрица Н2 является положительно определенной;

3) система уравнений

у = —^у — ф(а), 7 = У (3)

при ц = Ц\ = (Ге1 + а)Г-1/2 имеет предельный цикл второго рода Р\(а) > 0 для любого

а € (—ж>; +го);

4) система уравнений (3) при ц = ¡л2 = (а — Ге2)Г-1/2 имеет предельный цикл второго рода F2(а), 0 < F1(а) < Г2(а) для любого а € (—то;+то) ;

5) справедливо неравенство а(е1Г)-^1(а) — F2(а) ^ 0 для любого а € (—то;+то).

Тогда система (1) имеет предельный цикл второго рода.

2600

Одним из условий теоремы 1 является условие разрешимости матричных уравнений (2). Для случая п = 2 определены условия разрешимости уравнений (2) и получено решение системы матричных уравнений (2).

Л е м м а 1. Пусть для системы матричных уравнений (2) выполнены соотношения: А =( ^ —а)’ а> 0 в>°- J = (0 ~>) ' с = ( с,) ' Ь = ( ЬО ' сТ Ь =

= —Г < 0, Аь = ЬТЬ, Ас = стс, тс = ст,1Ь = с2Ь1 — с1Ь2, г = с, справедливы неравенства е1 > > ,ш1 = —¡3(с1 Аь)-1(с1Ь2 + с2Ь1), е1тс > в, тогда матричные уравнения (2) имеют решение Н = Нт, Ь = Ь1 < 0, где Н1 = (Аь)-1(сЬт + JcЬTJ) , Ь1 =213(Аъ)~1^сЬт + +сЬт.]т) — — 2е1сс < 0, матрица Н1 имеет одно отрицательное и одно положительное собственное значение.

Л е м м а 2. Если для системы матричных уравнений (2) выполнено соотношение г = = —с, справедливы неравенства тс >0, е2 >ш2 = — [втс(^2АьГ)~1(с1Ь1 — с2Ь2), е2 >(ЗтсГ~2, то матричные уравнения (2) имеют решение Н = Н2 = Нт, Ь = Ь2 < 0, где

Н2 = — (Аь)-1(сЬт + JcЬTJ) + 2АСГ-1(Е — А-1ЬЬт),

Ь2 = —2:в(Аь)-1 (.1сЬт + сЬт^т) + 2[вАсГ-1! — 2А-1JЬЬT) — 2е2сст < 0,

Е - единичная матрица, матрица Н2 является положительно определенной.

Для случая, когда известно решение матричных уравнений (2) и взаимосвязь решений системы (2) при различных значениях вектора г, справедливо утверждение.

Теорема 2. Пусть для системы (2) выполнены условия 1)-4) теоремы 1 и справедливы утверждения:

1) для матриц Н1, Н2, Н0 = Н1 + Н2 существует д1 > 0, для которого выполняется неравенство Б1 = Н1 + Г-1сст — д1Н0 ^ 0;

2) значение д1 удовлетворяет соотношению а2е-2Г-2 + д1 — 1 > 0;

3) при р = (д-1 а2е-2Г-2 + 1 — д-1)1/2 справедливо неравенство pF1(а) — F2(а) ^ 0 для любого а € (—то;+то).

Тогда система (2) имеет предельный цикл второго рода.

С помощью метода нелокального сведения и подхода предложенного в работе [7], получены условия существования циклов для системы (1) специального вида, которые позволяют улучшить результаты теорем 1, 2. На примере системы ФАП с фильтрами второго порядка проведен анализ полученных результатов. Предложен алгоритм проверки условий теорем. Показано, что последовательное применение сформулированных теорем позволяет расширить область параметров системы (1), при которых система ФАП имеет автомоду-ляционные режимы. Условия теорем позволяют выделить в фазовом пространстве системы (1) область начальных условий для автомодуляционных режимов системы ФАП.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А. Системы фазовой автоподстройки частоты. М.: Связь, 1972.

2. Капранов М.В., Кулешов В.Н., Уткин Г.М. Теория колебаний в радиотехнике. М.: Наука, 1984.

3. Матросов В.В. Нелинейная динамика системы фазовой автоподстройки частоты с фильтром второго порядка // Изв. вузов. Радиофизика. 2006. Т. 49. № 3. С. 267-278.

4. Матросов В.В., Шалфеев В.Д. Динамический хаос в фазовых системах. Н. Новгород: ННГУ, 2007.

5. Леонов Г.А., Смирнова В.Б. Математические проблемы теории фазовой синхронизации. СПб.: Наука, 2000.

6. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А.Устойчивость нелинейных ситем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978.

7. Мамонов С.С. Условия существования предельных циклов второго рода системы дифференциальных уравнений. II // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46, № 8. С. 1075-1084.

2601

Mamonov S.S., Ionova I.V. VIBRATIONS OF SYSTEM OF SELF-LOCKED LOOP For a system of differential equations conditions for the existence of cycles of the second kind are recieved. The algorithm for determining the phase space containing the limit cycle of the second kind is offered.

Key words: limit cycles of second kind; matrix equation; phase-locked.

УДК 531.38

ДИНАМИКА УГЛОВОГО ДВИЖЕНИЯ НЕКОНТАКТНОГО ГИРОСКОПА ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВИБРАЦИЯХ ТОЧКИ ПОДВЕСА

© А.В. Медведев

Ключевые слова: гироскоп; трехгранник; дебаланс; случайный процесс; коррелляцион-ная функция; кинетический момент; момент силы; стохастические уравнения; метод осреднения; моментные функции.

В работе рассматривается задача о движении быстро вращающегося несбалансированного гироскопа под действием произвольной пространственной вибрации, которая предполагается стационарным векторным случайным процессом. С помощью метода осреднения стохастических систем и применения уравнения Колмогорова-Фоккера-Планка получены и проанализированы уравнения для моментных функций первого и второго порядков фазовых координат, задающих движение неконтактного гироскопа.

Рассматривается задача о движении быстро вращающегося динамически симметричного твердого тела вокруг точки, которая совершает случайные колебания в пространстве. Пусть O, Oí являются точками подвеса и центра масс гироскопа, соответственно, при этом точка O совершает перемещения по случайному закону. Для изучения углового движения гироскопа введем правые ортогональные трехгранники zlz2z3 и yly2y3.

Трехгранник { считаем неподвижным. Начала трехгранников n, z и y выбираем в точке O. Оси nj параллельны осям {j. Трехгранник z связываем с вектором кинетического момента гироскопа iK, при этом ось Z3 направляем вдоль iK. Трехгранник y жестко связан с телом, ось уз является осью симметрии эллипсоида инерции тела. Направление оси yl выбираем так, чтобы вектор дебаланса ~E = OOl лежал в плоскости yly3. Согласно определению трехгранника у, проекции вектора ~E на оси yíy2y3 имеют вид:

Eyl = E cos в, Ey2 = 0, Ey3 = E sin в-

Здесь E - модуль дебаланса; в = const - угол между ~E и экваториальной плоскостью центрального эллипсоида инерции гироскопа.

Взаимное положение введенных выше трехгранников определим следующим образом: трехгранник z получается из трехгранника n двумя последовательными поворотами на угол а вокруг оси щ и на угол р вокруг второй оси промежуточного трехгранника. Трехгранник y получается из трехгранника z тремя последовательными поворотами: на угол ф вокруг оси zi, на угол § вокруг второй оси и на угол ф вокруг третьей оси промежуточных трехгранников. В качестве фазовых координат, задающих угловое движение гироскопа, выберем следующие элементы: величину модуля вектора кинетического момента

2602