CC BY
19
УДК 532.533.2
М.А. Брутян1'2, У. Г. Ибрагимов2
Центральный аэрогидродинамический институт им. профессора Н. Е. Жуковского "Московский физико-технический институт (государственный университет)
Автомодельные и неавтомодельные течения вязкого газа, истекающего из вершины конуса
Рассматривается стационарное осесимметричное течение вязкого сжимаемого газа в расширяющемся конусе в автомодельной и неавтомодельной постановке. В рамках уравнений Навье Стокса проведено численное моделирование течения в усеченном конусе и дано сравнение с точным автомодельным решением. Показано, что при произвольных граничных условиях па левой и правой границах расчетной области течение выходит на автомодельный режим в некоторой промежуточной зоне, размер которой зависит от отношения параметров потока на границах расчетной области. Рассмотрены режимы течения с образованием местных сверхзвуковых зон и найдена приближенная зависимость относительного углового размера сверхзвуковой зоны от числа Маха на оси конуса.
Ключевые слова: уравнения Навье Стокса. осесимметричное течение вязкого газа, точные решения, численное моделирование.
1'2 2
1Zhukovsky Central Aerohydrodynamic Institute 2Moscow Institute of Physics and Technology (State University)
Selfsimilar and nonselfsimilar solutions of the viscous compressible flow inside a cone
The stationary selfsimilar arid nonselfsimilar axisymmetric flow of a viscous compressible gas in an expanding cone is considered. Within the framework of Navier Stokes equations the numerical simulation of the flow in a truncated cone is carried out and compared with the exact solution. It is shown that with arbitrary boundary conditions on the left and right bounds of the calculation area the flow becomes selfsimilar in some intermediate zone with its size dependent on the relation of flows parameters on the calculation area bounds. Flow regimes with local transonic zones are considered and the approximate relation of the relative angular dimension transonic zone with Mach number on the cone axis is found.
Key words: exact solutions, Navior Stokes equations, viscous gas axisymmetric flow, numerical simulation.
1. Введение
Научная значимость точных решений ни у кого не вызывает сомнений, а их практическая ценность сохранилась и до нашего времени компьютерных технологий. Такого рода решения нелинейных уравнений даже в случае несжимаемой вязкой жидкости найдены для немногих задач. Особое место среди них занимает решение Джеффри Гамеля об источнике, истекающем из линии пересечения двух плоских стенок, наклоненных друг к другу иод углом. Оказывается, что исходную систему уравнений Навье Стокса в этом случае удается упростить и найти решение, имеющее физический смысл. Заметим, однако, что решение
© Врутяп М. А.. Ибрагимов У. Г.. 2018
© Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)». 2018
Джеффри Гамеля относится к числу наиболее нетривиальных, и его полное исследование требует значительных усилий, связанных с исследованием эллиптических функций [1,2]. Известно также, что аналогичное точное решение в оеееимметричном случае найти не удается. Для течения в конусе Аксрбсрху [3] удалось построить решение в двух асимптотических пределах: приближении Стокса (число Рейнольдса, И,е ^ 0) и приближении пограничного слоя Прандтля (И,е ^ го).
Что касается точных решений уравнений Навье Стокса, описывающих течение вязкого теплопроводного газа, то они представляют собой большую редкость. В связи с этим упомянем работу [4|, в которой получено точное решение для сжимаемого течения Куэтта.
Течения типа Джеффери Гамеля для случая вязкого сжимаемого теплопроводного газа изучались ранее в работах [5 11]. В работе [5] рассмотрена возможность построения автомодельных решений типа Джеффри Гамеля для плоского течения вязкого газа в клине. Оказалось, что в отличие от несжимаемой жидкости критерий существования автомодельного решения в этом случае не определяется соображениями размерности. В частных случаях, когда температура газа постоянна вдоль линий тока, а коэффициенты переноса являются степенными функциями температуры, для течения в клине построены аналитические решения. В [5] также установлено, что такое течение существует не всегда, а зависит от граничных условий на температуру стенок, модели газа и типа течения (сходящееся или расходящееся).
Наиболее близкими к проведенному ниже исследованию являются работы [6 8]. В [6] дано численное решение задачи об истечении газа из оеееимметричного источника в канале с отводом/притоком массы и заданной температурой стенок при значении показателя степенной зависимости коэффициентов переноса от температуры к = 0.76. В работе [7] решена аналогичная задача для течения газа с граничным условием проскальзывания и температурного скачка на поверхности конуса. В недавно опубликованной работе авторов [8] рассмотрено автомодельное течение в конусе с непроницаемой границей от источника с известным расходом. В случае заданной температуры стенок были установлены критерии существования автомодельных решений и найдены критические значения определяющих параметров задачи. Для течения в тонком конусе построено аналитическое решение.
В настоящей работе на основе верифицированного численного кода решения уравнений Навье Стокса изучаются особенности перехода неавтомодельных режимов течения Джеффри Гамеля в автомодельные.
2. Автомодельные течения вязкого сжимаемого газа в конусе
Следуя [8], рассмотрим радиальное течение вязкого сжимаемого газа в конусе с углом полураствора а. На рис. 1 изображена схема течения (истечение газа с расходом ( происходит из вершины конуса).
о
Рис. 1. Схема течения Джеффери Гамеля в конусе
В сферических координатах (т*, в, ф) уравнения движения имеют вид:
dr*2p*u* dr *
1 d(are sin 0)
dp* 1 d(r*Vr) 1
dr*
+
,*2
dr*
sin 0
1 dp* d (r*3 are) 1
+ Î3 ^^ ' 7
r* д0 r
dr *
д0
д0
— aee — a,
pp
* * = pu
du* dr *
+ (aee - aw) ctg 0
(1) (2) (3)
dS * p* T* u *dS* =
1А(к*r *2T) | 1 d
r *2 dr * \ dr * ) r * 2 sin 0 d0
1
* ■ ndT*\
- * sin 1 +
d0
(4)
[a2r + aee + ap p + 2a2
Здесь использованы стандартные обозначения для термодинамических переменных (р *, Т* . р£ * — плотность, температура, давление и энтропия единицы массы) и коэффициентов переноса (ц * — коэффициент сдвиговой вязкости, к * — коэффициент теплопроводности). Течение в конусе предполагается радиальным, так что вектор скорости V * = (и*, 0, 0). Компоненты тензора напряжений а определяются следующими соотношениями:
4П 3 dr *
* д
u
* д
2п *
--r"
3 dr *
, are =
П * du * d
(5)
Перейдем теперь к безразмерным переменным p, u, T, p, r. В качестве масштаба выберем значения p*, u0, T* в некоторой произвольной точке p* = pO и 0 = 0, к примеру u = u*/u0. r0
мерные параметры подобия: число Прандтля, отношение теплоемкостей y = cp/cv, число Рейнольдса Reo = p*u*r*/ц*, число Маха Mo = u*/у/jRT*, а также дополнительный геометрический параметр подобия а. Здесь R - универсальная газовая постоянная, а через п* обозначено значение вязкости при T * = T*.
Коэффициент объемной вязкости ( будем считать равным нулю. Исследование общего случая ( = 0 не вносит ничего принципиально нового и оказывается просто более громоздким. Заметим также, что в тех случаях, когда изучается одноатомный газ, необходимость в предшествующем предположении отпадает, поскольку равенство Z = 0 является известным следствием кинетической теории [12]. Кроме того, число Прандтля Pr = cpn*/к* в одноатомном газе близко, а для максвелловских молекул в точности равно 2/3 [12]. Поэтому далее газ будем предполагать одноатомным, подчиняющимся уравнению состояния p * = p *RT *, тогда п */к * = 4/15R.
Коэффициенты переноса предполагаем зависящими от температуры по степенному закону п *, к * ~ T *k. В случае более сложной зависимости коэффициентов переноса от температуры, например, при выполнении закона Сазерленда, точного решения отыскать не удается. Таким образом, автомодельное решение ищем в виде
r
*
*
*
r
u = ^, p = Ю, p = r-p(0), T = ™ П = (m 2 = prnbП («4
При подстановке соотношений (6) в уравнения (1) (5) приходим к необходимому условию согласования:
2тк = 1,
а исходные уравнения редуцируются к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) [8]:
1 d_ sin в dd
TkdU sin ^ + 4(m2 - 1)uTk +
de
Reo dp
Reo
(Y M0)'
-\(m + 2)p + mpu2] = 0,
(ym0)
k de =(1 - m)Tkd + > + m)de(uTk),
Reo
(Y M2)k
pu 2 - m
Y + 1
Y - 1
Y
Pr(Y - 1)
4m2T1+k + ^ d I^TkdT sin в
sin в de
de
+
4(m + 1)2u2Tk + T k( dU 3 \de
с краевыми условиями на оси, в = 0:
u = р = 1, T = p
и на поверхности конуса, в = а:
Y M0
u
0, T = Tw
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
Краевая задача (7) (11) была исследована численно в работе [8] для случая течения газа твердых сфер (см., например, [12,13]), т.е. при k = 1/2,m = 1. Там же было найдено, что автомодельное решение не существует при произвольной комбинации определяющих параметров (а, Reo, Mo, Tw, Q), а только при задании каких-либо двух. Кроме того обнаружено, что для рассматриваемого течения имеет место ограничение на вели-
а Mo
а > а* ~ 0.9 (и 52 град) нарушается условие сплошности среды, а максимальное число Маха Mmax и 2.2 достигается та оси кон уса при а 0.
1
3. Прямое численное моделирование течения вязкого газа в конусе
Для численного моделирования течения Джеффри Гамеля рассматривается ламинарное течение вязкого теплопроводного совершенного газа в расширяющемся усеченном конусе. Схема данного течения представлена на рис. 2.
*
Рис. 2. Схема точения в усеченном конусе
Здесь — расстояние от вершины конуса до входного сечения канала, г| — длина конуса от вершины до выходного сечения. Расчеты при различных значениях определяющих параметров задачи проведены с помощью численного решения уравнений Навье Стокса в двумерной оеееимметричной постановке для трех различных конусов, геометрические параметры которых приведены в таблице.
№ a (рад) r* (m) r* (m)
1 0.01 0.1 0.8
2 0.05 0.05 0.4
3 0.1 0.05 0.4
Рассматривается течение одноатомного газа гелия с коэффициентами переноса, зависящими степенным образом от температуры по закону (T*)1/2. В соответствии с соотношениями (6) для газа твердых сфер основные газодинамические параметры в автомодельном течении должны изменяться по закону
u* - —, T* - , p* - ^, Р* - —, (12)
r* r*2 r r*
а числа M и Re должны сохраняться на линиях в = const [8].
Ниже точность выполнения этих законов на автомодельных режимах течения и степень отклонения от них на неавтомодельных режимах проверяется численно. Заметим, что данная процедура является одновременно и верификацией численных расчетов, поскольку результаты расчетов на автомодельных режимах сравниваются с точными автомодельными решениями.
Как уже отмечалось, автомодельные решения существуют только при определенной комбинации определяющих параметров (a, Reo, Mo, Tw, Q), которая найдена в [8] в результате анализа краевой задачи (7) (11)- К примеру, установлено, что для каждого угла a Q Mo Reo
этом определяются единственным образом.
3.1. Результаты численных расчетов автомодельных режимов течения
Для реализации автомодельного течения в усеченном конусе необходимо задать специальный (автомодельный) закон распределения температуры на стенке T-W = (T*)i(r*/r*)2, а также особым образом подобрать параметры течения во входном при r* = r* и выходном сечениях канала, r* = r*. На входе задаются: скорость u*, плотность р* и размерный расход Qo, а на выходе: давление p2 и температура T2* (см. рис. 2).
Вначале рассмотрим течение в канале с углом полураствора а = 0.01. Параметры потока на входной и выходной границах: расход газа: Qo = 6.25 • 10_6 кг/с, u1 = 308 м/с, р* = 8.75 • 10_3 кг/м3 и p* = 4 Па, T* = 4 К. Столь малые значения давления и температуры на правой границе обусловлены быстрым законом убывания газодинамических параметров (12).
Расчеты показывают, что в рассматриваемом случае величина Mo на оси резко возрастает от значения Mo ~ 0.4 в начальном сечении до Mo = 1 в сечении т* = т* + А, и далее выходит на константу в области длиной Аавт ~ 0.54 м; за этой областью, Mo снова слегка возрастает, что обусловлено концевыми эффектами на границе расчетной области (см. рис. 3).
Mo
на который решение выходит довольно быстро. Число Reo в области автомодельности — Reo ~ 13500 примерно на 5% отличается от соответствующего точного «автомодельного» значения, полученного в [8]. Распределения скорости, плотности, давления и температуры на оси конуса в логарифмических координатах представлены на рис. 4.
На представленных на рис. 4 кривых наблюдается прямолинейный участок, начинающийся от значения lg(r*/r*) ~ 0.2. Этот участок функционально можно представить в виде
lg(f */ft) = const - n lg(r*/r*),
где У * = {и*, Т *, р*, р*}. С помощью полученных зависимостей можно определить показатель степенной зависимости п для основных газодинамических параметров. Так для скорости как функции г* на участке Давт получаем п = 0.96; аналогичный показатель степенной зависимости т в автомодельном точном решении: т = 1; для температуры соответственно имеем п = 1.94 и 2т = 2; для деления — п = 2.98 и 2 + т = 3, а для плотности — п = 1.06 и 2 — т = 1. Это означает, что, начиная с некоторого значения Д + г* = 100'2 ~ 0.16м, зависимость газодинамических параметров от расстояния г* с точностью до 6% соответствует автомодельному режиму (12).
-■---1-■---1-■-■-■-'Г г
0 2 0 4 0 0 т.
Рис. 3. Зависимость числа Маха на оси конуса а = 0.01 от расстояния г*
Аналогичные расчеты проведены для конусов с углами полураствора а = 0.05 и 0.1. При а = 0.05 автомодельные законы (12) выполнены с точностью до 6%, а при а = 0.1 -до 7%. Как видно из приведенных выше результатов, автомодельный характер течения реализуется в некоторой внутренней области канала, в которой при заданном расходе и угле полураствора конуса, числа Маха и Рейнольдса, оказываются близкими к найденным в точном решении [8].
а =0. 01 г*
Интересно изучить вопрос, связанный с возможностью образования местных сверхзвуковых зон. Естественно предположить, что для заданного а при величине расхода ^о-большем некоторого критического значения, в окрестности оси конуса должна возникнуть сверхзвуковая область. Действительно, расчеты показывают, что в конусе с углом полура-свора а = 0.1 при Q0 & 3.98 • 10_6 кг/с возникает сверхзвуковая зона (см. рис. 5).
Видно, что в центре канала образуется коническая область с углом полураствора в < а. в которой Мо > 1. Результаты систематических расчетов показывают, что при различных значениях а и фиксированном числе Мо, отношение в/а остается примерно постоянным. Для конусов с углами а = 0.01, 0.05, 0.1 и 0.2 при Мо = 1.1 это отношение приблизительно равно 0.32, а при Мо = 1.2 отношение в/а ~ 0.44.
Рис. 5. Поле чисел Мо для конуса а = 0.1
3.2. Результаты численных расчетов неавтомодельных режимов течения
Рассмотрим теперь неавтомодельные режимы течения. Для этого во входном сечении зададим граничные условия, соответствующие автомодельному режиму, а в выходном сечении отличающееся от автомодельного. В качестве примера рассмотрим течение в конусе с углом полураствора а = 0.01.
Во входном сечении профили скорости и температуры записываются в автомодельном виде: и* = итах(1 —(в/а)2), Т* = Ттах — (в/а)2(Ттах—Т*) [8], где в — угол между осью конуса и лучом, проведенным из вершины (см. рис. 1). В расчетах для итах, Т*ах и Т* приняты следующие значения: итах = 2631 м/с, Т*ах = 2000 К и Т* = 1400 К. На правой границе расчетной области: Т2* = (Т*ах — (в/а)2(Т*ах — Т*))(г*/г*). Давление, в зависимости от режима, варьировалось от значения р2 = 0.21 Па, соответствующего автомодельному режиму течения, до значений, отличных от автомодельного: р* = 2, 5 и 20 Па. Зависимость числа Маха на оси конуса для разных режимов представлена на рис. 6.
м0
4 1_
— — — Неавтомодельный режим, р2 =2 Па
------Неавтомодельный режим, р2 =5 Па
^ --------Неавтомодельный режим, р2 =20Па
Рис. 6. Распределение числа Мо дая конуса с а = 0.1 при различных режимах течения
На рис. 7 построено распределение давления на оси в автомодельном и неавтомодельном режимах. Видно, что до некоторой точки т*вт давление р* ведет себя согласно (12) и далее выходит на константу, совпадающую с давлением в выходном сечении. Отсюда можно сделать вывод, что размер автомодельной области определяется отношением давлений во входном и выходном сечении. Это отношение можно приближенно аппроксимировать следующей зависимостью:
= Г*М/Р*2 )1/3.
Заметим, что в том случае, когда р2 близко к р1, значение давления остается практически постоянным по всей длине канала; остальные газодинамические параметры, измеренные на оси, убывают по степенному закону, но с другими показателями степенной зависимости.
Рис. 7. Распределение р* для конус а с a = 0.1 в различных режимах течения
4. Заключение
Проведен численный анализ задачи о стационарном течении вязкого сжимаемого теплопроводного газа твердых сфер в расширяющемся канале с заданной температурой стенок. Рассмотрены как автомодельные, так и неавтомодельные режимы течения. С помощью численного моделирования уравнений Навье Стокса установлено, что автомодельные режимы течения действительно реализуются при задании определяющих параметров в форме комбинаций, найденных ранее в результате точного автомодельного решения задачи [8].
Обнаружены решения, соответствующие смешанному характеру течения в конусе, когда в окрестности оси возникает местная сверхзвуковая зона. Отметим, что относительный размер этой зоны практически не зависит от угла a, а зависит только от величины числа M0 на оси конуса.
Численное исследование неавтомодельных режимов течения в том случае, когда граничные условия отличаются от автомодельных, показало, что и в этом случае в решении наблюдается некоторая область автомодельности. Размер этой области примерно пропорционален кубическому корню из отношения давлений на левой и правой границах расчетной области.
Литература
1. Berker R. Intégration des équations du movement d'un fluide visqueux incompressible. Handbuch der Physik. Band VHI/2. 1968. P. 1 384.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 735 с.
3. Ackerberg R.C. The viscous incompressible flow inside a cone /7 .J. Fluid. Mech. 1965. V. 21. P. 47 81.
4. Голубкин В.H., Сизых Г.Б. О сжимаемом течении Куэтта /7 Уч. записки ЦАГИ. 2018. T. XLIX, № 1. С. 27 38.
5. Брутян, М.А. Автомодельные решения типа Джеффери Гамеля для течения вязкого сжимаемого газа /7 Уч. записки ЦАГИ. 2017. T. XLVHI, № 6. С. 13 22.
6. Быркии А.П. О точных решениях уравнений Навье Стокса для течения сжимаемого газа в каналах /7 Уч. записки ЦАГИ. 1970. Т. 1, № 6. С. 15 21.
7. Williams J. С. Conical nozzle flow with velocity slip and temperature jump /7 AIAA .Journal. 1967. V. 5, N 12. P. 2128 2134.
8. Брутян, M.А., Ибрагимов У.Г. Автомодельные течения вязкого газа, истекающих) из вершины конуса /7 Уч. записки ЦАГИ. 2018. T. XLIX, № 3.
9. Быркии, А.П. Об одном точном решении уравнений Навье Стокса для сжимаемого газа /7 ПММ. 1969. Т. 33, № 1. С. 152 157.
10. Быркии А.П., Межи,рое И.О. О некоторых автомодельных течениях вязкох'о газа в канале /7 Из. АН СССР, МЖГ. 1969. № 1. С. 100 105.
11. Щеиииков В.В. Об одном классе точных решений уравнений Навье Стокса для случая сжимаемого теплопроводного газа /7 ПММ. 1969. Т. 33, № 3. С. 582 584.
12. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. М.: Наука, Главная редакция физ-мат. лит-ры. 1979. Т. 10.
13. Чепмеи С., Коумтг Т. Математическая теория неоднородных газов. М.: Изд-во иностр. лит. 1960.
14. Себиси Т., Бре.дшоу П. Конвективный теплообмен. М.: Мир, 1987.
References
1. Be.rker R. Integration des equations du movement d'un fluide visqueux incompressible. Handbueh der Phvsik. Band VIII/2. 1968. P. 1 384.
2. Landau L.D., Lifschitz EM. Fluid Mechanics. Moscow: Nauka, 1986. P. 735. (in Russian).
3. Acke.rberg R. C. The viscous incompressible flow inside a cone. .J. Fluid. Mech. 1965. V. 21. P. 47 81.
4. Golubkin V.N., Sizykh G.B. Concerning compressible Coucttc flow. Uch. Zapiski TsAGI. 2018. V. XLIX, N 1. P. 27-38. (in Russian).
5. Brutyan M.A. Self-similar solutions of .Jeffrey Camel type for compressible viscous gas flow. Uch. Zapiski TsAGI. 2017. V. XLVIII, N 6. P. 13 22. (in Russian).
6. Byrkin A.P. Concerning exact solutions of the Navier Stokes equations for compressible gas flow in channels. Uch. Zapiski TsAGI. 1970. V. 1, N 6. P. 15 21. (in Russian).
7. Williams J.C. Conical nozzle flow with velocity slip and temperature jump. AIAA .Journal. 1967. V. 5, N 12. P. 2128 2134.
8. Brutyan M.A., Ibragimov U.G. Self-similar solutions of viscous compressible flow inside a cone. Uch. Zapiski TsAGI. 2018. V. XLIX, N 3. (in Russian).
9. Byrkin A.P. Concerning one exact solution of the Navier Stokes equations for compressible gas. PMM. 1969. V. 33, N 1. P. 152 157. (in Russian).
10. Byrkin A.P. Mezhirov I.O. Concerning some exact solution of viscous compressible gas flow in a channel. Fluid Dynamics. 1969, N 1. P. 100 105. (in Russian).
11. Shchennikov V. V. Concerning one class of exact solutions of the Navier-Stokes equations for compressible heat conducting gas flow. PMM. 1969. V. 33, N 3. P. 582 584. (in Russian).
12. Lifschitz E.M., Pitae.vskii L.P. Physical Kinetics. Moscow: Nauka, the main scientific publisher. 1979. T. 10. (in Russian).
13. Chapman 57 Cowling T.G. The mathematical theory of non-uniform gases. Moscow: Foreign Languages Publisher House. 1960. (in Russian).
14. Ce.beci T., Bradshaw P. Physical and Computational Aspects of Convcctivc Heat Transfer. Moscow: Mir, 1987. (in Russian).
Поступила в редакцию 29.03.2018
