Автомодельное вырождение дальнего плоского безымпульсного турбулентного следа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Решетневские чтения. 2018

УДК 532.517.4

АВТОМОДЕЛЬНОЕ ВЫРОЖДЕНИЕ ДАЛЬНЕГО ПЛОСКОГО БЕЗЫМПУЛЬСНОГО

ТУРБУЛЕНТНОГО СЛЕДА*

А. В. Шмидт

Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: [email protected]

Построены инвариантные решения модели дальнего плоского безымпульсного турбулентного следа. Выполнено сопоставление полученных результатов с доступными экспериментальными данными и результатами численных расчетов по полной модели.

Ключевые слова: турбулентность, плоский безымпульсный турбулентный след, математическое моделирование.

SELF-SIMILAR DECAY OF THE FAR FLAT MOMENTUMLESS TURBULENT WAKE

A. V. Shmidt

Institute of Computational Modelling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: [email protected]

We construct self-similar solutions of a model of the far flat momentumless turbulent wake. We perform a comparison of obtained results with available experimental data and results of numerical calculations on the full model.

Keywords: turbulence, swirling momentumless turbulent wake, mathematical modelling.

Искомыми функциями являются: U(x, y), V(x, y) -горизонтальная и вертикальная осредненные компоненты скорости, <u'2>(x, y), <v'2>(x, y), <u'v'>(x, y) -компоненты тензора рейнольдсовых напряжений, e(x, y) - кинетическая энергия турбулентности и e(x, y) - скорость диссипации кинетической энергии турбулентности. Эмпирические постоянные модели имеют следующие значения:

С1 = 2,2, С2 = 0,55,

Qi = 1,44, C62 = 1,92, as = 1,3. В данной работе использовалось приближение дальнего турбулентного следа. Также, в предположении малости отброшены слагаемые порождения в уравнениях на e и е [1; 2]. С помощью теоретико-группового подхода [6] найдено представление для решений, позволяющее свести исходную модель к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений решалась численно методом стрельбы. Дополнительные сложности создавало то обстоятельство, что коэффициенты системы имеют особенности. Было использовано асимптотическое разложение решения в окрестности особой точки. Полученные решения удовлетворительно согласуются с имеющимися экспериментальными данными [3; 4] и результатами численных расчетов по полной модели [5].

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 17-01-00332).

Задача о плоском турбулентном следе имеет весьма значимые практические приложения. Важной интегральной характеристикой дальних турбулентных следов является продольная компонента избыточного импульса, равная нулю в частном случае, когда тяга движителя тела компенсирует силу гидродинамического сопротивления. Данный случай теоретически и экспериментально изучался в ряде публикаций [1-4]. В работе [5] выполнено численное моделирование динамики плоских и осесимметричных турбулентных следов с варьируемым суммарным избыточным импульсом на основе математической модели

и ™ + V ^ = -±(1 и «)-(V «) )-А/и' V'), дх ду дх" ' \ >' дух '

dU dV п , , ,, dU - +-= 0, - (u'v') = v,-,

dy ^ ' t dy '

dx

(u й)-(v й> = 2ФJP, u «) = 3e + 4ФJP.

\2

vt = |ф| 1-ФP 1 —, P = vt

dU dy

Ф =

1 - C TT de de df de 1

-2-, U — + V— = —I v,— 1 + P-e,

C1 -1 + P / e dx dy dy ^ t dy)

. de de d

U — + V— = —

dx dy dy I CTe dy

vt de

Л

+ -(P - Ce2e).

Прикладная математика

Библиографические ссылки

1. Naudascher E. Flow in the wake of a self-propelled bodies and related sources of turbulence // J. Fluid Mech., 1965. Vol. 22. № 4. P. 625-656.

2. Сабельников В. А. О некоторых особенностях турбулентных течений с нулевым избыточным импульсом // Уч. зап. ЦАГИ, 1975. Т. 6, № 4. С. 71-74.

3. Исследование плоского турбулентного следа с нулевым избыточным импульсом / Ю. М. Дмитренко, И. И. Ковалев, Н. Н. Лучко и др. // ИФЖ. 1987. Т. 52, № 5. С. 743-750.

4. Cimbala J. M., Park W. J. An experimental investigation of the turbulent structure in a two-dimensional momentumless wake // J. Fluid Mech., 1990. Vol. 213. P. 479-509.

5. Деменков А. Г., Черных Г. Г. Математическое моделирование турбулентных следов с варьируемым суммарным избыточным импульсом // Выч. техн. 2015. Т. 20, № 4. С. 29-44.

6. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М. : Наука, 1978.

References

1. Naudascher E. Flow in the wake of a self-propelled bodies and related sources of turbulence // J. Fluid Mech., 1965. Vol. 22, № 4. P. 625-656.

2. Sabelnikov V. A. Some special features of turbulent flows with zero excess momentum // Uch. zap. TsAGI, 1975. Vol. 6, № 4. P. 71-74. (In Russ.)

3. Plane turbulent wake with zero excess momentum / Y. M. Dmitrenko, I. I. Kovalev, N. N. Luchko et. al. // J. Eng. Phys., 1987. Vol. 52, № 5. P. 536-542.

4. Cimbala J. M., Park W. J. An experimental investigation of the turbulent structure in a two-dimensional momentumless wake // J. Fluid Mech., 1990. Vol. 213. P. 479-509.

5. Demenkov A. G., Chernykh G. G. Mathematical modelling of turbulent wakes with varied total excess momentum // Vych. Techn., 2015. Vol. 20, № 4. P. 2944. (In Russ.)

6. Ovsyannikov L. V. Group analysis of differential equations. New York : Academ. Press, 1982.

© Шмидт А. В., 2018