CC BY
12
УДК 536.2
DOI: 10.18698/0236-3941-2017-5-89-97
АВТОМОДЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ИЗОТРОПНОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ, ПОДВИЖНАЯ ГРАНИЦА КОТОРОГО ИМЕЕТ ПЛЕНОЧНОЕ ПОКРЫТИЕ
А.В. Аттетков П.А. Власов И.К. Волков
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация
Аннотация
Рассмотрена задача об определении температурного поля изотропного полупространства, граница которого движется по заданному закону и имеет пленочное покрытие. Исследован нестационарный режим теплообмена в системе твердое тело-покрытие-газ с изменяющимся во времени коэффициентом теплоотдачи и температурой внешней среды. Определены достаточные условия, выполнение которых обеспечивает возможность реализации автомодельного процесса теп-лопереноса в анализируемой системе. Качественно исследованы физические свойства изучаемого автомодельного процесса. Теоретически обоснована возможность реализации режима термостатирования подвижной границы объекта исследований
Ключевые слова
Изотропное полупространство с подвижной границей, термически тонкое покрытие, нестационарный теплообмен, температурное поле, автомодельное решение
Поступила в редакцию 02.11.2016 © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017
В математической теории теплопроводности [1-6] важное место занимают задачи теплопереноса в твердых телах с подвижными границами. Трудности, возникающие при их решении аналитическими методами, хорошо известны [7]. Они значительно усугубляются в тех случаях, когда есть необходимость учета нестационарности теплообмена в изучаемой системе [8-12]. Рассматриваемые задачи представляют практический интерес при разработке перспективных систем неэлектрического инициирования взрывных устройств повышенной безопасности, например, автономных адиабатических взрывателей для перфораторов [13]. Принцип их работы основан на реализации идеи теплового инициирования взрывного превращения в заряде взрывчатого вещества сжимаемым газовым слоем.
Несмотря на достигнутые результаты в изучении рассматриваемого круга задач, на ряд вопросов ответы еще не получены. В частности, это относится к теоретическому обоснованию возможности термостатирования границы изотропного твердого тела, движущейся по известному закону. Изучение этого вопроса и является предметом исследований, проводимых в настоящей работе.
В качестве объекта исследований рассматривается изотропное полупространство, граница которого движется по заданному закону I = I (г) и обладает изотропным покрытием постоянной толщины Н*. При этом предполагается, что:
1) начальная температура т0 объекта исследований постоянна и реализуются нестационарные режимы теплообмена с внешней средой при переменных во времени коэффициенте теплоотдачи а (г) и температуре внешней среды Тс (г);
2) в системе полупространство-покрытие реализуются условия идеального теплового контакта [2, 3];
3) изотропное покрытие является термически тонким, т. е. для него допустима реализация идеи «сосредоточенная емкость» [4]: среднеинтегральная по толщине покрытия температура
т К*)
(т(г)) = т | т(х,г)йх
Н* Щ-Н*
равна как температуре его границ, так и температуре подвижной границы х = I (г) + 0, т. е.
т(I(г)-Н*, г) = т(I(г)-о,г) = (т(г)) = т(I(г)+о,г), г>0.
Цель проведенных исследований — определение достаточных условий, выполнение которых обеспечивает возможность реализации автомодельного (самоподобного) процесса теплопереноса в анализируемой системе. Отметим, что в понятие «автомодельный» обычно вкладывают тот смысл, что изучаемый физический процесс является гомохронным (однородным во времени) и обладает состоянием равновесия, которое не зависит от времени [14-16].
В соответствии с принятыми допущениями и с учетом ранее полученных результатов [9, 10] математическая модель процесса формирования температурного поля объекта исследований может быть представлена в следующем виде:
£!Ш0> = ),Бо > 0;
SFo S^2
0(^,0) = 0;
se(^Fo)
= sS0(^,Fo)
§=v(Fo) SFo
S^
0(^'Fo)|p0,0 eL [v(Fo), +»),
+ Bi (Fo ) 0 Fo )^ = v(Fo) _ ^ (Fo )
§=v(Fo) L
(1)
где последнее условие означает, что при каждом фиксированном значении Бо > 0 функция Бо) интегрируема с квадратом по пространственной переменной Бо), +го).
В математической модели (1) использованы следующие безразмерные переменные и параметры:
Bi =
at x2 x > x* 9= Г-Т0 , Tc0 - T0 ^ = Tc - T0 Tc0 - T0 h = h* x*
а x* " Я , h 8 = - : Ах = СпРп h, сР an х=—, a А= —
где a — температуропроводность; t — время; x* — выбранная единица масштаба пространственной переменной; x — пространственная переменная; а — коэффициент теплоотдачи; c — удельная массовая теплоемкость; р — плотность; X — теплопроводность; индексы: «п» — покрытие, «с» — внешняя среда, «0» — начальное значение.
Функция у(Бо), определяющая закон движения границы полупространства, — неотрицательная неубывающая функция, дифференцируемая хотя бы в обобщенном смысле [17] и удовлетворяющая условию у(0) = 0. Функции В1 (Бо ) и <^(Бо ) по смыслу решаемой задачи могут принимать лишь неотрицательные значения и должны удовлетворять условиям Гёльдера [17].
Отметим, что наличие пленочного покрытия в реализуемой математической модели «сосредоточенная емкость» фактически учтено граничным условием при ^ = у(Бо ), явно содержащим производную температуры по времени. Определяющий безразмерный параметр в модели (1) по смыслу решаемой задачи - малый положительный параметр.
Выполним в задаче (1) автомодельную подстановку
ц = ЦМ (2)
л/БО
Тогда, с учетом очевидных равенств
8 = ц/2 + У^)Л/БО d 8 = 1 d 82 = 1 d2
8БО БО dц 8£, ЛУБО dц 8^2 БО dц2
и введенных обозначений
U<Ц)4^Б"), Г(Б0, (3)
смешанная задача (1) будет эквивалентна следующей краевой задаче: d2U(ц) , Гц , ) /Н dU(ц)
dr|2
dU (ц)
dц
■fc + v(Fo)Vfö1 dU(ц) = 0, ц> 0; (4)
[ 2 J dц
= y(Fo )|"U (ц)|-C(Fo)
ц = 0
(5)
U (^)е Д[0, +<»), (6)
где надстрочной точкой обозначена производная по переменной Fo. Начальное условие при Fo = 0 в смешанной задаче (1) в автомодельных переменных (2) будет иметь вид краевого условия задачи (4)-(6), заданного при ^ = +».
Непосредственный анализ краевой задачи (4)-(6) показывает, что используемая подстановка (2) приводит к автомодельному решению при выполнении следующих условий:
v (Fo )VFo =v0 - const; (7)
y( Fo )=y о - const; (8)
С (Fo) = Cо - const, (9)
где постоянная v0 принимает лишь неотрицательные значения, а y0, С о — положительные постоянные. Искомое автомодельное решение в этом случае будет обладать тем свойством, что со временем изменяется только масштаб автомодельной переменной 0, а масштаб функции U (-q) остается неизменным.
Условие автомодельности (7) реализуется лишь для следующего закона движения границы объекта исследований:
v(Fo ) = 2 v (>VFo. (10)
При выполнении этого условия решение обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка (4) находится стандартными методами [18] и имеет вид
U = U (0) + U'(0)exp (vg erfc (vо)-erfc (y+v0 j
0, (11)
где ег£с(-) — дополнительная функция ошибок Гаусса [2]; штрихом обозначена производная по переменной
Используя равенство (11), с учетом условий автомодельности (8), (9), равенства (10), краевого условия (5) и условия (6) принадлежности функции и классу интегрируемых с квадратом функций, находим безразмерную температуру и (0 ) границы изотропного полупространства в изучаемом автомодельном режиме теплопереноса:
и (0.) = Ч + (12)
1+ У0 V % ехр ( у0 ) епс ( У0)
При этом справедлива следующая асимптотическая оценка при больших значениях у0:
и(0^ 0.
у0 + У0 vо
При неподвижной границе изотропного полупространства (v0 = 0) равенство (12) принимает вид
U (0 ) = С 0,
т. е. безразмерная температура границы объекта исследований не зависит от реализуемого режима теплообмена в изучаемой системе и определяется лишь безразмерной температурой внешней среды - const, которая задана условием автомодельности (9).
Для получения содержательной информации о свойствах анализируемого процесса теплопереноса в изотропном полупространстве с подвижной границей (v0 > 0) обратимся к условию автомодельности (8) реализуемого граничного режима. В этом случае, согласно равенствам (3), (7) и (8), закон теплообмена в изучаемой системе определяется как
Bi (Fo ) = уо
sv0 + VFO
Fo
и зависит от в — определяющего безразмерного параметра реализуемой математической модели «сосредоточенная емкость». Видно, что в рассматриваемой ситуации Bi (Fo) — монотонно убывающая функция, причем Bi (0) =и Bi (+ю) = 0. При этом безразмерная температура U (0)-const, определенная равенством (12), зависит от параметра v0, заданного условием автомодельности (7). Отсюда следует, что реализуемый режим термостатирования границы объекта исследований зависит от скорости ее движения.
Приведенные результаты — наглядный пример автомодельных решений, иллюстрирующий свойства автомодельных процессов теплопереноса в твердых телах.
ЛИТЕРАТУРА
1. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. 488 с.
2. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. 600 с.
3. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высшая школа, 2001. 550 с.
4. Пудовкин М.А., Волков И.К. Краевые задачи математической теории теплопроводности в приложении к расчетам температурных полей в нефтяных пластах при заводнении. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1978. 188 с.
5. Карташов Э.М., Кудинов В.А. Аналитическая теория теплопроводности и прикладной термоупругости. М.: URSS, 2012. 653 с.
6. Формалёв В.Ф. Теплопроводность анизотропных тел. Аналитические методы решения задач. М.: Физматлит, 2014. 312 с.
7. Карташов Э.М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в областях с движущимися границами (обзор) // Инженерно-физический журнал. 2001. Т. 74. № 2. С. 171-195.
8. Аттетков А.В., Волков И.К. Математическое моделирование процессов тепло-переноса в области с движущейся границей в условиях нестационарного теплообмена с внешней средой // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 1999. № 1. С. 37-45.
9. Аттетков А.В., Власов П.А., Волков И.К. Температурное поле полупространства с термически тонким покрытием в импульсных режимах теплообмена с внешней средой // Инженерно-физический журнал. 2001. Т. 74. № 3. С. 81-86.
10. Аттетков А.В., Власов П.А., Волков И.К. Влияние подвижности границы на температурное поле полупространства в нестационарных условиях теплообмена с внешней средой // Инженерно-физический журнал. 2002. Т. 75. № 6. С. 172-178.
11. Карташов Э.М. Теплопроводность при переменном во времени относительном коэффициенте теплообмена // Известия РАН. Энергетика. 2015. № 2. С. 138-149.
12. Аттетков А.В., Волков И.К. Температурное поле анизотропного полупространства, подвижная граница которого содержит пленочное покрытие // Известия РАН. Энергетика. 2015. № 3. С. 39-49.
13. Тебякин В.М. Разработка адиабатического взрывателя для перфоратора, спускаемого на трубах ПКТ 105 // Вскрытие нефтегазовых пластов и освоение скважин: Тез. докл. II Всесоюзной научно-технической конф. М.: 1988. С. 141-142.
14. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Наука, 1966. 688 с.
15. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987. 478 с.
16. Волосевич П.П., Леванов Е.И. Автомодельные решения задач газовой динамики и теплопереноса. М.: Изд-во МФТИ, 1997. 240 с.
17. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.
18. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям: приложения в механике; точные решения. М.: Физматлит, 1993. 464 с.
Аттетков Александр Владимирович — канд. техн. наук, старший научный сотрудник, доцент кафедры «Прикладная математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана (Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1).
Власов Павел Александрович — канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Математическое моделирование» МГТУ им. Н.Э. Баумана (Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1).
Волков Игорь Куприянович — д-р физ.-мат. наук, профессор, профессор кафедры «Математическое моделирование» МГТУ им. Н.Э. Баумана (Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1).
Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:
Аттетков А.В., Власов П.А., Волков И.К. Автомодельное решение задачи теплопереноса в изотропном полупространстве, подвижная граница которого имеет пленочное покрытие // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2017. № 5. C. 89-97. DOI: 10.18698/0236-3941-2017-5-89-97
A SIMILARITY SOLUTION TO THE HEAT TRANSFER PROBLEM FOR AN ISOTROPIC HALF-SPACE FEATURING A FILM-COATED MOVING BOUNDARY
A.V. Attetkov P.A. Vlasov I.K. Volkov
Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation
Abstract
The study considers the problem of determining a temperature field in an isotropic half-space the boundary of which moves according to a given law and features a film coating. We investigated unsteady heat transfer in a system consisting of a solid, a coating and a gas, with both the heat transfer coefficient and ambient temperature being time-dependent. We determine sufficient conditions meeting which ensures the possibility of self-similar heat transfer process taking place in the system under consideration. We qualitatively investigated physical properties of the self-similar process under study. We provide a theoretical validation of implementing a thermostatting mode in the moving boundary of the object investigated
Keywords
Isotropic half-space with a moving boundary, thermally thin coating, unsteady heat transfer, temperature field, similarity solution
REFERENCES
[1] Carslaw H.S., Jaeger J.C. Conduction of heat in solids. Clarendon Press, 1986. 510 p. (Russ. ed.: Teploprovodnost' tverdykh tel. Moscow, Nauka Publ., 1964. 488 p.).
[2] Lykov A.V. Teoriya teploprovodnosti [Heat conduction theory]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1967. 600 p.
[3] Kartashov E.M. Analiticheskie metody v teorii teploprovodnosti tverdykh tel [Analytical methods in theory of heat conduction in solids]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 2001. 550 p.
[4] Pudovkin M.A., Volkov I.K. Kraevye zadachi matematicheskoy teorii teploprovodnosti v prilozhenii k raschetam temperaturnykh poley v neftyanykh plastakh pri zavodnenii [Boundary problems of heat conduction mathematical theory in application to temperature field calculation in oil reservoir in condition of waterflooding]. Kazan', Izdatelstvo Kazanskogo universi-teta, 1978. 188 p.
[5] Kartashov E.M., Kudinov V.A. Analiticheskaya teoriya teploprovodnosti i prikladnoy termouprugosti [Analytical theory of thermal conductivity and applied thermal elasticity]. Moscow, URSS Publ., 2012. 653 p.
[6] Formalev V.F. Teploprovodnost' anizotropnykh tel. Analiticheskie metody resheniya zadach [Thermal conductivity of anisotropic bodies. Analytical methods of problem solving]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2014. 312 p.
[7] Kartashov E.M. Analytical methods of solution of boundary-value problems of nonstatio-nary heat conduction in regions with moving boundaries. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2001, vol. 74, no. 2, pp. 498-536. DOI: 10.1023/A:1016641613982 Available at: https://link.springer.com/article/10.1023/A%3A1016641613982
[8] Attetkov A.V., Volkov I.K. Mathematical simulation of heat transfer processes in the region with moving boundary under conditions of nonstationary heat exchange with surround-dings. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Estestv. Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Nat. Sc.], 1999, no. 1, pp. 37-45 (in Russ.).
[9] Attetkov A.V., Vlasov P.A., Volkov I.K. Temperature field of a half-space with a thermally thin coating in pulse modes of heat exchange with the environment. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2001, vol. 74, no. 3, pp. 647-655. DOI: 10.1023/A:1016756227188 Available at: https://link.springer.com/article/10.1023/A%3A1016756227188
[10] Attetkov A.V., Vlasov P.A., Volkov I.K. Influence of the mobility of a boundary on the temperature field of a half-space under unstable conditions of heat exchange with the environment. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2002, vol. 75, no. 6, pp. 14541462. DOI: 10.1023/A:1022143716313
Available at: https://link.springer.com/article/10.1023/A%3A1022143716313
[11] Kartashov E.M. Thermal conductivity at variable in time relative to the heat transfer coefficient. Izvestiya RAN. Energetika [Proceedings of RAS. Power Engineering], 2015, no. 2, pp. 138-149 (in Russ.).
[12] Attetkov A.V., Volkov I.K. Temperature field of the anisotropic half-space, which mobile boundary contains the film coating. Izvestiya RAN. Energetika [Proceedings of RAS. Power Engineering], 2015, no. 3, pp. 39-49 (in Russ.).
[13] Tebyakin V.M. Adiabatic detonator development for tubing conveyed perforating gun PKT 105. Vskrytie neftegazovykh plastov i osvoenie skvazhin: Tez. dokl. II Vsesoyuznoy nauchno-tekhnicheskoy konf. [Drilling in and Well Development: Abs. II Russ. Sci.-Tech. Conf.]. Moscow, 1988. Pp. 141-142 (in Russ.).
[14] Zel'dovich Ya.B., Rayzer Yu.P. Fizika udarnykh voln i vysokotemperaturnykh gidro-dinamicheskikh yavleniy [Physics of shock waves and high temperature hydrodynamic phenomena]. Moscow, Nauka Publ., 1966. 688 p.
[15] Samarskiy A.A., Galaktionov V.A., Kurdyumov S.P., Mikhaylov A.P. Rezhimy s obostreniem v zadachakh dlya kvazilineynykh parabolicheskikh uravneniy [Blow-up regimes in problems for quasilinear parabolic equations]. Moscow, Nauka Publ., 1987. 480 p.
[16] Volosevich P.P., Levanov E.I. Avtomodel'nye resheniya zadach gazovoy dinamiki i tep-loperenosa [Self-similar solutions of gas dynamics and heat transfer problems]. Moscow, MIPT Publ., 1997. 240 p.
[17] Ladyzhenskaya O.A., Solonnikov V.A., Ural'tseva N.N. Lineynye i kvazilineynye uravneniya parabolicheskogo tipa [Linear and quasilinear equations of parabolic type]. Moscow, Nauka Publ., 1967. 736 p.
[18] Zaytsev V.F., Polyanin A.D. Spravochnik po nelineynym differentsial'nym uravneniyam: prilozheniya v mekhanike; tochnye resheniya [Handbook on nonlinear differential equations: application in mechanics: exact solutions]. Moscow, Fizmatlit Publ., 1993. 464 p.
Attetkov A.V. — Cand. Sc. (Eng.), Senior Research Scientist, Assoc. Professor, Applied Mathematics Department, Bauman Moscow State Technical University (2-ya Baumanskaya ul. 5, str. 1, Moscow, 105005 Russian Federation).
Vlasov P.A. — Cand. Sc. (Phys.-Math.), Assoc. Professor, Mathematical Simulation Department, Bauman Moscow State Technical University (2-ya Baumanskaya ul. 5, str. 1, Moscow, 105005 Russian Federation).
Volkov I.K. — Dr. Sc. (Phys.-Math.), Professor, Professor, Mathematical Simulation Department, Bauman Moscow State Technical University (2-ya Baumanskaya ul. 5, str. 1, Moscow, 105005 Russian Federation).
Please cite this article in English as:
Attetkov A.V., Vlasov P.A., Volkov I.K. A Similarity Solution to the Heat Transfer Problem for an Isotropic Half-Space Featuring a Film-Coated Moving Boundary. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Mashinostr. [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Mech. Eng.], 2017, no. 5, pp. 89-97. DOI: 10.18698/0236-3941-2017-5-89-97
В Издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана вышло в свет учебное пособие автора М.М. Жилейкина
«Теоретические основы повышения показателей устойчивости и управляемости колесных машин на базе методов нечеткой логики»
Управляемость и устойчивость автомобиля являются важнейшими эксплуатационными свойствами и составляющими активной безопасности движения, оценке которых придается большое значение. Представлены результаты теоретических исследований, выполненных на кафедре «Колесные машины» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Разработаны принципы повышения показателей устойчивости и управляемости как двухосных, так и многоосных колесных машин, оснащенных различными типами трансмиссий. Обоснованы принципиальные решения по способам управления движением машин, обеспечивающих повышение их курсовой и траекторной устойчивости. Предложены критерии оценки эффективности работы комплексной системы динамической стабилизации движения колесных машин. Разработаны алгоритмы работы системы динамической стабилизации с применением методов нечеткой логики для двухосных и многоосных колесных машин.
По вопросам приобретения обращайтесь:
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1
+7 (499) 263-60-45
www.baumanpress.ru
