CC BY
37
УДК 519.7
Автомодельное решение задачи о движении воды и воздуха в деформированном грунте
И.Г. Ахмерова
Алтайский государственный университет (Барнаул, Россия)
Self-similar Solution of Moving Water and Air Problem in a Deformed Soil
I.G. Akhmerova
Altai State University (Barnaul, Russia)
Описывается процесс фильтрации воды и воздуха в деформированном грунте. Грунт является трехфазной средой, состоящей из воды (г = 1), воздуха (г = 2) и твердой деформируемой пористой среды (г = 3). Математическая модель состоит из уравнения сохранения масс и импульса пористой среды при насыщении пор водой и воздухом. В уравнении движения и в законе деформирования пористой матрицы учитывается эффект капиллярных сил. Дается постановка задачи и проводится преобразование системы уравнений. В результате преобразований закон сохранения импульса для воды и воздуха записывается в виде закона Дарси, закон сохранения импульса для твердой матрицы переписывается с учетом принципа Терцаги, обобщенного закона Гука и эффекта капиллярных сил. Исследуется решение задачи о движении воды и воздуха в деформированной среде в виде бегущей волны. Получены уравнения для насыщенности и пористости. С помощью этой модели можно рассчитать критическое значение насыщенности, при котором на свободной поверхности под действием капиллярных сил возникают трещины разрыва. Это есть эффект поверхностного разрушения почвы при засухе.
Ключевые слова: многофазная фильтрация, пористая среда, насыщенность, деформированный грунт, разрушение почвы.
БМ 10.14258/izvasu(2015)1.2-14
This paper describes the process of water and air filtering in a deformed soil. Soil is a three-phase medium consisting of water (i = 1), air (i = 2), and a solid deformable porous medium (i = 3). The mathematical model is presented by the equation of the conservation of mass and momentum of the porous medium at saturation with water and air. The equation of motion and the law of deformation of the porous matrix take into account the effect of capillary forces. The problem is formulated, and the modification of the system of equations is carried out. As a result of the modification, the law of conservation of momentum for water and air is written as Darcy's law, the law of conservation of momentum for a solid matrix is formulated with consideration of Terzaghi's principle, the generalized Hooke's law, and the effect of capillary forces. The solution to the problem of motion of air and water in a deformed medium in the form of a traveling wave is investigated. The equations for saturation and porosity are derived. This model can be used to calculate critical values of saturations, wherein on the free surface under the action of capillary forces tension cracks arise. This is the effect of the surface soil degradation during drought.
Key words: multiphase flow, porous medium, saturation, deformed soil, destruction of soil.
Постановка задачи. Рассматривается движение воды и воздуха в пористой среде. Грунт является трехфазной средой, состоящей из воды (г = 1), воздуха (г = 2) и твердой деформируемой пористой среды (г = 3). Математическая модель состоит из квазилинейной системы уравнений составного типа [1, 2]:
dpi dt
+
djpiUj)
dx
1, 2, 3;
(1)
дщ dt
+ Ui
duA д(а агы)
dx
dx
■ + Y,Fji+Pit- (2)
Здесь щ — скорость г-й фазы; р^ — приведенная плотность, связанная с истинной плотностью р0 и объемной концентрацией а соотношением р^ = = ар0 («1 = шв 1, «2 = тов2, аз = 1 — ш); вх, в2 — насыщенности воды и воздуха; ш — пористость грунта; агы — истинные фазовые напряжения г-й
Р
0
фазы (а^ = -р\5ы ,а2к1 = —рк5ы, аЫг = ак1, где ды — единичный тензор); рг — давление г-й фазы; д — ускорение силы тяжести; ^ — сила объемного взаимодействия между ] и г фазами. Так как ^ — внутренние силы для среды в целом, то
F2 — F12 + F32 — Р2 —-т:-— + R12 + R32 • (6)
dx
Силы межфазного трения Rji имеют вид
Rji = Kji(uj - ui), Kij = K.
ji,
(7)
f.. = _ F ■
1 ji = 1 j,
J2pji = °, 1=j-
i,3
Подобные модели рассматривались при решении задачи о тающем снеге. В работе [3] был доказан физический принцип максимума для насыщенности водной фазы в случае модельной зависимости функции пористости от температуры среды. В работе [4] численно решена двумерная задача снеготаяния. В работе [5] доказана локальная разрешимость начально-краевой задачи для системы уравнений одномерного нестационарного движения теплопроводной газожидкостной смеси.
Баланс масс. Уравнения сохранения массы для каждой из фаз в отсутствие фазовых переходов имеют вид
d{p°isim) d(p® Sitnui)
dt
dx
= 0, i = 1, 2,
д(Р1(1-т)) | ^(1-тЬ) =(1 Ы дх
Баланс импульса. Уравнения сохранения импульса для воды и воздуха имеют вид (положим в! = в, вк = 1 — в)
plsm
dui
dui
B(mspi) dx
dt ^ 1 dx
+ F21 + F31 + Pi smg,
duo
du2
—+u2 —
dx
d(m(l - s)p2) dx
+ F12 + F32 + p2(1 - s)mg.
Перепишем эти уравнения в следующем виде:
dui
dui
dpi
= -ms^ + R2I + R31 + Pismg;
(4)
duo.
du2
—+u2 —
dx
,dp2 dx
-m(l-s)^ + R12+R32+p02^-s)mg, (5)
где Rзг — силы межфазного трения (г = 3). Из сравнения (2) и (4), (2) и (5) найдем выражения для объемных межфазовых сил, действующих на воду и воздух:
д (гт,в)
= ^21 + ^31 = Р1—~--Ь Й21 + ДЗЬ
дх
где Kij — коэффициент взаимодействия фаз.
Полагая, что ускорения воды и воздуха малы, закон сохранения импульса (4), (5) с учетом (7) принимает вид
-ms-^- + К2\(и2 - и1)+ dx
+K3i(u3 - ui) + pismg = 0; (8)
dp 2
-m( 1 - s)— + Ki2{ui ~ «<2)+
+K32(u3 - u2) + p2(1 - s)mg = 0. (9)
Разрешив систему уравнений (8) и (9) относительно скоростей с учетом K12 = K21 = 0 (обменом импульсом между водой и воздухом пренебрегаем), получаем обощенный закон Дарси:
2 s 2 dp 1
Tf k0l dp г 0
= -К о—(— + Pig)] p1 dx
(10)
(11)
n v ^ m2(l - sf dP2 о ч m( 1 - s)(w2 - из) =---+ p29) =
k02 ,dp2 0 N ^2 dx
Баланс импульса твердой фазы. Из закона сохранения импульса для твердой фазы следует, что F3 = F13 + F23. Из соотношения F1 + F2 + +F3 = 0 находим объемную межфазовую силу, действующую на твердую фазу:
F3 = ~(Fi + F2) = + Д21 + Д31+
d(ms)
= ~(P1 --P2~d^ + + Rl3'
Тогда уравнение сохранения импульса твердой матрицы (2) примет вид
du3
РШ-т)
d((1 - m)ak 1)
dt
dx
dx
d (ms) dm ~(P 1 --P2~dx +
+R13 + p3(1 - m)g.
(12)
Полное напряжение в среде Г ы1 должно уравновешиваться фазовыми напряжениями с весом,
равным их относительному содержанию на произвольном плоском сечении среды
Гы = (1 - m)afci - mspi4; - m(1 - s)p2^i. (13)
В соответствии с принципом Терцаги можно ввести фазовые эффективные напряжения в пористой среде: af; (1) = Гк; + pA; — для первой фазы и af; (2) = Гй; + p2^fc; — для второй фазы. Тогда полное эффективное напряжение при двухфазном насыщении среды имеет вид
Hl = SH (1) + (1 - s)4 (2) = rfc; + P4;, (14)
где P = spi + (1 - s)p2 — полное давление первой и второй фазы. Из (14) c учетом (13) найдем соотношение для aki
(1 - m)aki = af; - (s(1 - m)pi+
+(1 - s)(1 - m)p2)Jki. (15)
Подставив соотношение (15) в (12), уравнение сохранения импульса для твердой фазы принимает
вид
( дмя
du
V dt
dx
д<г{, . , дР , дв
+Й23 + Й13 + р0(1 — ш)£. (16)
Разность фазовых давлений обусловливается капиллярными силами и ее можно представить в виде
Pi - Р2 = Pc(s),
(17)
где рс(в) — равновесное капиллярное давление.
Полную деформацию пористой среды ер; можно представить в виде суммы трех слагаемых
ekl = ekl + ekl + ekl,
(18)
где еы — деформация переупаковки; еры — деформация изменения плотности материала твердых частиц; ер; — деформация матрицы из-за изменения капиллярных сил. С другой стороны, тензор
деформаций имеет вид
е -
2 дж; джр '
где " — вектор перемещения твердых частиц.
Тензор скоростей полной деформации имеет вид
дер; 1, дщр дщ?,
dt
= Dki = -{
2V <9x
+
dx
а также
ekl = —^ßsiPc(s) -pc(s0))Skl.
(19)
Здесь вз — коэффициент изотермической сжимаемости материала индивидуальных частиц матрицы; вя — коэффициент набухания (усадки) матрицы при изменениях насыщенности в силу действия капиллярных сил, в° = 0 при ж = 0.
Деформации ер; в случае упругого состояния матрицы связаны с эффективным напряжением законом Гука:
4 = + 2Л2ер; )(1 — ш). (20)
Подставляя (20) и (19) в (18), получаем обобщенный закон Гука набухающей пористой среды в виде
П = (1 — ш)(Лх е4; + 2Л2ер; + взКР4; +
+ДзК(pc(s) - Pc(so)))Jkl •
(21)
Здесь К = К /(1 + взК ) = Лх + 2/ЗЛ2; К = = Лх + 2/3Л2; (1 — ш)Лх, (1 — ш)Л2 — коэффициенты Ламе; (1 — ш)К - модуль всестороннего сжатия сухой пористой среды, е = ¿г(ер;).
Полагая, что ускорение твердой матрицы мало, закон сохранения импульса (16) с учетом (7) имеет вид
ди^ дР дв
—^ - (1 -ш)---(р! -р2)то—+
дж дж дж
+К2з(щ2 — щз) + Кхз(щ1 — щз) + р0(1 — т)з = 0,
de
^^_ 1 11 _ з (22)
дж ' д£ дж Автомодельный случай. Решение системы, состоящей из уравнений (3), (10), (11), (21), (22) ищется в области (—то,с£) в предположении, что все искомые функции зависят лишь от переменной £ = ж — (с — неизвестная постоянная) и вектор ускорения в системе координат жуг имеет вид " = (—0,0). Вместо (3), (10), (11), (21), (22) получим [6]:
¿(р°вт) ¿(рХвтщх) —с--1--= 0,
¿е ¿е
^(р2(1 — в)т) , ^(р2(1 — в)тщ2)_п
^ +' #
d(p3(1 - m)) , d(p3(1 - m)us)
+
de
0;
(23)
= (24)
de
m(l_s)(M2_M3) = _iro^(^_(0oi7); (25)
M2 de
daf, dP ds
+K23(u2-us) + K13(ui-us)+P0(1-m)g = 0; (26) a 11 = (1 - m)((Ai + 2A2)eii + взКР4; +
+esKpc(s))4i, pi -p2 = pc(s);
deii du3
s 0, Ui 0,
P2(0)= p+, Ui(0) =
- „+
i = 1, 2, 3.
(27)
(28)
(29)
Определим истинные скорости для каждой фазы из (23):
—cplms + p0msui = Ai = const,
—cp2m(1 — s) + p0m(1 — s)u2 = A2 = const, —cp3(1 — m) + Рз(1 — т)из = A3 = const. (30)
Рассматривая (29) при £ ^ —то (s- =0, u- = = 0), получим следующее:
Ai = 0,
A2 = —cp2m , A3 = —cp3(1 — m-).
(31)
Из (29) и (30) при £ = 0 (щ = щ++,р2 = р+) получим систему для неизвестных параметров с, , т+ вида
+ c(m+(1 — s+) — m ) Щ = m+( 1 - s+) :
+ c(m- — m+)
u3 = —;-X—•
3 1 — m+
Решение этой системы имеет вид
1. s+
mm
Получим уравнение для насыщенности. Умножим (24) на &°2Мъ а (25) на &°1^<2 и вычтем одно из другого с учетом р? — р2 = рс(в), получим
К0к01к02^р = ^02М1тв(м1 ~ из)~
— ^°1^2т(1 — в)(щ2 — щз) + к°^°1^°25(р2 — р?).
Так как рс зависит от в и полагая, что д = 5(р? — — р2 ) , получим
^i 1 — m
-msc-
М2
dpc ds
ds d£ Kokoi 1 — m
1 m-
Koko2
m(1 — s)c
1m
(1 — s)
+ ff. (33)
Получим уравнение для пористости. Сделаем предположение, что движение воды и воздуха происходит в мягком грунте, тогда в (27) эффектами сжимаемости материала матрицы можно пренебречь (взКР^Р; = 0), закон Гука (27) принимает вид
= (1 — т)(Л?е£р; + 2Л2ер; +
+вяКрс(5))^р;. (34)
Так как задача одномерная и выполнено условие одноосного деформирования, то е22 = езз = 0 и (33) имеет вид
4 = (1 — m)(Ai eiiJfc; + 2A2efci +
+esKpc(s))^fci.
(35)
Из (34) получаем
afi = (1 — m)(Aieii + 2A2en + esKpc(s)), Подставляя afi в (26), получим
+ ui rrv = —
u m u
u+ — u+
+ -
при u+ < 0, u+ = 0, u+ < 0;
2. s+ =
4+ (u+ — U+) — :
, + („+- u+)
+u1 rrv = —
u m u
при < 0, < 0, < 0. Из (29) получим представление для истинных скоростей воды, воздуха и твердой матрицы:
щ? = с,
u2 = c 1 — u3 = c 1 —
m(1 — s)
1 — m-
1m
dm
—1 + 2Л2)ец + /33КТф))+ d£
+ (l-m) ((А1+2А
dpc dp2 ds
+K23(U2 — U3) + Ki3(ui — U3) + p°(1 — m)g = 0.
С учетом (31) последнее соотношение имеет
вид
dm
лГ
((Ai + 2A2)eu + esKpc(s)) =
dpc dp2 ds
l
+
+
c=u
l
l
+
c=u
l
m
+K23C
1 — m 1 — m
г(1 — s)
+
+К13с±—^+р°3(1-т)д. (36) 1—m
Окончательно приходим к следующей системе относительно s, m:
dpc ds ds Kokoi
M2 n !l-m
-то( 1 — s)c
pi 1 — m
-msc-
1m
Koko2
dm Äf
1 — m m(1 — s)
((Ai + 2A2)eu + ßsKpc(s)) =
+ ff,
dpc , ч dp2 ds
+K23C
1m-
1 — m m(1 — s)
+
1 — m- o
1—m deii
du3
m(l - s)(w2 - из) = — - p°2g).
P2 d£
Автор выражает благодарность А.А. Папину за постановку задачи и обсуждение результатов.
m
m
m
Библиографический список
1. Николаевский В.Н., Басниев К.С., Горбунов А.Т., Зотов Г.А. Механика насыщенных пористых сред. — М., 1970.
2. Ведерников В.В., Николаевский В.Н. Уравнения механики пористых сред, насыщенных двухфазной жидкостью // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. — 1978. — V. 5.
3. Шишмарев К.А. Тепломассоперенос в тающем снеге // Труды молодых ученых АлтГУ. — 2011. — №8.
4. Гоман В.А., Папин А.А., Шишмарев К.А. Численное решение двумерной задачи движения
воды и воздуха в тающем снеге // Известия Алт. гос. ун-та. — 2014. — №1/2. D01:10.14258/ izvasu(2014)1.2-01.
5. Akhmerova I.G., Papin A.A. Solvability of the Boundary-Value Problem for Equations of One-Dimensional Motion of a Two-Phase Mixture // Mathematical Notes. — 2014. — Vol. 96. — № 2.
6. Папин А.А. Краевые задачи для уравнений двухфазной фильтрации. — Барнаул, 2009.
