Автоматизированное восстановление характеристик ГТД по экспериментальным данным

Бочкарев Сергей Константинович; Мосоулин Владимир Викторович

УДК 621.431.75

АВТОМАТИЗИРОВАННОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ГТД ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ

Проведены методы выбора наилучших математических моделей дроссельных характеристик двигателя и их применения при определении дроссельных характеристик двигателя по экспериментальным данным. Показано, что наилучший результат при автоматизированном восстановлении характеристик двигателя по малому количеству экспериментальных данных дает робастный метод Хубера с регуляризацией.

Дроссельные характеристики, полиноминальные зависимости, лучшие модели, малое количество экспериментальных точек, устойчивые методы оценивания.

При автоматизации испытаний газотурбинных двигателей (ГТД) после измерения параметров двигателя в последней экспериментальной точке осуществляется так называемое восстановление дроссельных характеристик. Здесь под восстановлением характеристик понимается оценка истинных характеристик двигателя по экспериментальным данным с учетом имеющихся погрешностей измерения параметров и возможных выбросов, не отбракованных на предыдущих этапах обработки результатов измерений.

Для восстановления характеристик двигателя проводится аппроксимация экспериментальных точек некоторыми априорно выбранными функциями. Обычно в качестве этих функций выбираются полиномиальные зависимости вида

= а0 + ап + а2п2пр +...+ ап ™ (1)

10 0 1 пр 2 пр т пр . ^ '

В классе полиномиальных функций необходимо для каждого параметра выбрать в некотором смысле оптимальную функцию, которая наиболее точно описывает искомую дроссельную характеристику. При этом поиск оптимальных моделей дроссельных характеристик двигателя целесообразно вести не только среди полных многочленов, но и среди всех других, для которых ограничена лишь максимальная степень, а коэффициенты содержатся не при всех степенях режимного параметра. Это позволяет использовать при восстановлении дроссельных характери-

стик двигателя по малому количеству экспериментальных точек (5.. .8) достаточно сложные модели.

Поскольку количество экспериментальных точек при определении характеристик двигателя мало, а некоторые из них могут содержать не выявленные на этапе контроля грубые ошибки измерения, то выбор лучшей модели целесообразно осуществлять заранее на основе анализа выборок, полученных по расчетным или среднестатистическим характеристикам данного двигателя.

Для выбора лучшей модели целесообразно использовать один из так называемых “внешних” критериев селекции - критерий стабильности. Использование внешних критериев вместо традиционных критериев, базирующихся на распределении Фишера, обосновано тем, что последние требуют знания свойств генеральной совокупности рассматриваемой выборки, которые часто неизвестны, а также тем, что они субъективны, поскольку зависят от заданного уровня значимости.

При применении критерия стабильности имеющаяся выборка делится на две части: обучающую (А), по которой оцениваются коэффициенты модели (1), и контролирующую (В). Для зависимости Рпр = /(ппр) критерий стабильности имеет вид

где Р и Р - действительные значения па-

прi пр]

раметра в выбранных точках обучающей и

контролирующей выборок; Р1& и Р1д]. -

оценки значений параметра в выбранных точках обучающей и контролирующей выборок, определённые по выражению (1); п - количество точек обучающей выборки; т - количество точек контролирующей выборки.

В качестве оптимальной модели выбирается та, для которой значение критерия 82 минимально. При этом может оказаться, что имеется несколько конкурирующих моделей, для которых значение критерия стабильности примерно одинаково, но число или номенклатура коэффициентов модели различны.

В этом случае в качестве наилучшей модели целесообразно выбрать модель, для которой значение максимальной невязки

Л

ід

полученной во всех точках обучающей и контролирующей выборок, минимально и меньше погрешности экспериментального определения параметра Рпр.

Разбиение выборки на обучающую и контролирующую можно осуществлять следующим образом: в обучающую последовательность включаются точки, соответствующие тем режимам работы двигателя, на которых обычно производится измерение параметров, а в контролирующую последовательность - остальные точки.

В качестве примера ниже приведены лучшие модели для восстановления дроссельных характеристик одного из отечественных ТРДД по 6.8 экспериментальным точкам:

пААїд=ао + азп

НДпр +а5п НДпр ■.

Оао ~ао + аіпНДпр +а3п3НДпр +а4п41Дпр +аПНДпр,

^ г3=0 + а1п НДпр +а2пНДпр ^аР НДпр +аРНДпр .

Максимальные значения невязок Л при использовании этих моделей в 3...4 раза

меньше погрешностей измерения параметров.

Определение численных значений ко -эффициентов а в выбранных для каждого параметра моделях осуществляется по результатам испытания двигателя. Обычно для решения подобных задач применяется так называемый метод наименьших квадратов (МНК). Согласно этому методу в качестве оценок коэффициентов а принимаются значения аі, при которых удовлетворяется условие

где п - количество экспериментальных точек.

Однако, формальное применение этого метода при восстановлении дроссельных характеристик ГТД по малому количеству экспериментальных точек (5.8) не позволяет получить адекватные результаты, если хотя бы одна из них содержит грубую ошибку измерения.

Поэтому при автоматизированном восстановлении характеристик ГТД по экспериментальным данным в условиях объективно существующей возможности появления грубых ошибок измерений целесообразно использовать так называемые устойчивые (робастные) статистические методы.

Достоинство этих методов заключается в том, что статистические оценки, получаемые с их помощью, мало чувствительны к анормальным экспериментальным данным.

Наиболее подходящим робастным методом для решения поставленной задачи является метод Хубера, который основан на том, что случайные погрешности измерения аппроксимируются случайными величинами, имеющими следующую функцию распределения:

Гр)=(1-£)Щ)+£Ор),

где N(1) - функция нормального распределения, 0(1) - функция симметричного “загрязняющего” распределения, е - малое положительное число.

Такое разложение погрешности измерения соответствует представлению её в виде

Рис. 1. Восстановление истинной характеристики (1) по экспериментальным точкам (*) методом наименьших квадратов (2), методом Хубера (3) при наличии грубой ошибки в средней экспериментальной точке

суммы нормальной погрешности и некоторого возмущающего воздействия, которое с вероятностью е появляется при измерениях. Предполагается, что возмущающее воздействие можно представить распределенным по закону Лапласа, что все реализации случайной погрешности, которые больше по модулю некоторого заранее выбранного числа q, распределены по этому закону, а все реализации, которые меньше по модулю числа qx, - по нормальному закону

Задача определения коэффициентов а. в модели (1) решается при условии

і=1 где

(Р -Р)2, їді і < д

Р - Р

їде |і| > д.

Метод Хубера является наиболее предпочтительным для решения задачи восстановления характеристик ГТД по экспериментальным данным, так как принятые при его получении предпосылки наилучшим образом соответствуют ситуации, имеющей место при измерении параметров двигателя, когда наряду с ошибками измерения параметров, имеющих преимущественно закон распределения, близкий к нормальному, могут иногда

появляться грубые ошибки измерения разного знака.

Применение метода Хубера для восстановления дроссельных характеристик ГТД при наличии грубой ошибки измерения даёт существенно более адекватный результат, чем МНК (рис. 1).

Однако и устойчивые методы оценивания не позволяют получить адекватного восстановления экспериментальных характеристик ГТД, если с грубой ошибкой определена крайняя точка дроссельной характеристики (рис. 2).

Для того, чтобы повысить адекватность результатов, необходимо проводить аппроксимацию экспериментальных точек методом Хубера с ориентацией на априорную (известную заранее) модель этой характеристики. В качестве априорной модели характеристики может быть использована расчетная, ранее полученная экспериментальная или среднестатистическая характеристика. Такой метод оценки коэффициентов а. в (1) называют методом Хубера с регуляризацией. Он реализуется применением функции цели вида

п ‘дтах

£Р(Р -Р) + « | [Р1 (Пд)-Рїд(Пїд)]сіп.

^тіп,

где Р(пїд) - восстановленная по экспериментальным данным дроссельная характеристи-

п

пНДрр

1

Рис. 2. Восстановление истинной характеристики (1) по экспериментальным точкам (*) методом Хубера (2) и методом Хубера с регуляризацией (3) по априорной характеристике (4) при наличии грубой ошибки в последней экспериментальной точке

ка; Рапр (ппр) - априорная модель дроссельной характеристики; I - знак производной

порядка I; п , п - соответственно миА 7 пртгп пртах

нимальное и максимальное значения интервала аргумента, на котором осуществляется сравнение восстанавливаемой и априорной характеристик; а - коэффициент регуляризации.

Выбор первого порядка производной 1=1 означает, что при восстановлении характеристики по экспериментальным данным накладывается дополнительное требование об эквидистантности восстанавливаемой и априорной характеристики; выбор второго порядка производной 1=2 означает, что при восстановлении характеристики допускается ее линейное расхождение с априорной характеристикой.

Величина коэффициента регуляризации а определяет степень влияния используемой априорной характеристики на получаемый результат. Если а=0, то априорная информация о характеристике игнорируется, и восстановление характеристики осуществляется только на основе полученных экспериментальных данных. При больших значениях а

экспериментальные данные практически игнорируются, и получаемая характеристика по своим свойствам совпадает с априорной.

Оптимальную величину коэффициента регуляризации а выбирают исходя из того, чтобы полученная после решения задачи средневзвешенная дисперсия остаточных невязок между экспериментальными и восстановленными по модели (1) значениями параметров соответствовала погрешности измерения этого параметра.

Применение метода Хубера с регуляризацией позволяет получить существенно более адекватные результаты при восстановлении характеристик двигателя в случае наличия грубой ошибки в любой экспериментальной точке, в том числе и крайней (рис. 2).

Применение этого метода эффективно также при экстраполяции экспериментальных характеристик двигателя.

Однако следует отметить, что метод позволяет получать достаточно надёжные результаты при наличии грубых ошибок измерения не более чем в 20-30 % экспериментальных точек.

AUTOMATED RESTORATION OF GAS TURBINE ENGINE CHARACTERISTICS BY EXPERIMENTAL DATA

The paper presents methods of selecting the best mathematical models of engine throttle characteristics and using these when defining engine throttle characteristics by experimental data. Huber robust regularization method is shown to yield the best result under engine characteristics automated restoration with the smallest amount of experimental data.

Throttle characteristics, polynomial dependences, best models, small number of experimental points, stable methods of evaluating.

Информация об авторах

Бочкарёв Сергей Константинович, заместитель проректора по науке и инновациям, кандидат технических наук, доцент, СГАУ Область научных интересов: теория и испытания двигателей, автоматизация научных исследований, организация научных исследований.

Мосоулин Владимир Викторович, кандидат технических наук, старший научный сотрудник НИЦ космической энергетики, СГАУ! Область научных интересов: испытания двигателей, статистическая обработка экспериментальных данных.

Botchkaryov, Sergei Konstantinovitch, deputy pro-rector on science and innovations, candidate of technical science, associate professor, SSAU. Area of research: theory and testing of engines, automation of scientific research, organization of scientific research.

Mosoulin, Vladimir Viktorovitch, candidate of technical science, science receavch center of space energetics. Area of research: testing of engines, statistical processing of experimental data.

Automated restoration of gas turbine engine characteristics by experimental data

Текст научной работы на тему «Автоматизированное восстановление характеристик ГТД по экспериментальным данным»