CC BY
30
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 481.5:4J.011.5t Д Д КОЛОКОЛОВ
А. В. ЯРОШ
Омский государственный техническим университет Омский филиал Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН Омский филиал Московской финансово-промышленной академии
АВТОМАТИЗАЦИЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ ИЗДЕЛИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДИСКРЕТНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ_______________________________________________
В работе представлен обзор результатов, полученных в области автоматизации
и современных информационных технологий. Приведены постановки задач и соответствующие математические модели, сведения о методах решения и выполненных экспериментальных исследованиях.
Ключевые слова: автоматизация проектирования, дискретная оптимизация, информационные технологии, сложные изделия.
Введение.
В настоящее время вопросам автоматизации проектирования сложных изделий уделяется большое внимание [1 —3,5—15], что обусловлено актуальностью этого направления в различных отраслях промышленности. Имеется значительное число зарубежных и отечественных систем автоматизации, которые широко используются в производстве и учебном процессе [ 1 — 6|.
Ранее нами предложен подход к автоматизации проектирования сложных изделий, идея которого заключается в использовании моделей дискретной оптимизации с логическими, ресурсными и другими ограничениями, в частности, задач выполнимости и максимальной выполнимости логической формулы, а также их обобщений [5— 15]. Ограничения логического типа играют важную роль в проектировании
и существенно влияют на основную структуру будущего изделия и его свойства.
Указанные задачи весьма интересны в теоретическом отношении и имеют широкий круг приложений в логике, теории графов, теории расписаний, планировании, проектировании и других областях [6|.
В данной статье представлен обзор работ, выполненных на основе рассматриваемого подхода. Приводятся постановки задач, математические модели дискретной оптимизации и целочисленного линейного программирования (ЦЛП), краткие сведения о методах решения, созданном программном комплексе и результатах экспериментальных исследований, полученных, в частности, при проектировании одежды. Отмечаются перспективные направления дальнейших исследований.
2. Постановки задач и математические модели. Приведем предварительные сведения, которые нам потребуются для формулировки задач и построения математических моделей.
Задача выполнимости логической формулы является одной из основных при описании моделей. В ней рассматривается логическая формула С, представляющая собой конъюнкцию скобок (формул) Cr I = 1т, каждая из которых является дизъюнкцией логических переменных х{ и/или их отрицаний. Требуется установить, существует ли набор значений указанных переменных, при котором формула С является истинной. Если такой набор существует, то формула называется выполнимой.
В задаче максимальной выполнимости каждой формуле С( сопоставляется число (вес) d|( и тре-
буемся найти набор значений переменных, при котором суммарный вес выполненных скобок будет максимальным. Для данной задачи нетрудно построил, модель целочисленного линейного иро1раммирования. Чтобы получить такую модель, необходимо отлогических неременных перейти к булевым, а условия выполнимости скобок заменить соответствующими им линейными неравенствами. Эго делается следующим образом.
Введем множества индексов переменных С/ и С*, входящих в С( с отрицанием и без него соответственно. Заменим х,на булеву переменную у. ее отрицание х} — на 1 —ур а символ дизъюнкции V —на знак + . Условию выполнимости логической формулы С1 соответствует разрешимость в булевых переменных следующего линейного неравенства:
2>у- 2л 47!-1
^*q• 7«с/
Модель ЦЛП для сформулированной выше задачи максимальной выполнимости может быть записана следующим образом:
-» шах
при условиях
/•С
>^,2,с{0Д у = 1,я, / = 1,т.
Здесь гг ! = — вспомогательные булевы пере-
менные. Отметим, что если в допустимом решении задачи для некоторого / имеет место 2, = 1, то формула С( примет значение истина. Таким образом, оптимальное значение целевой функции равно сумме весов выполненных скобок.
Для проектирования изделий на основе задачи максимальной выполнимости нами построены более сложные математические модели, в которых наряду с логическими ограничениями учитываются конструкторские, технологические, экономические и другие. Следует отмстить, что среди логических Офаничений нами выделяются «жесткие», которые должны бьгп» обязательно выполнены, и — «мягкие», выполнение которых зависит от степени их важности.
Рассмотрим процесс проектирования сложных изделий, которые формируются из множества сос-
Та блица
Для математической постановки задачи эскизного проектирования изделий введем следующие обозначения:
J - множество номеров составляющих изделия, ./={ 1,...,п);
yJ — составляющая изделия с номером j^J; .
Х1 логическая переменная, принимающая значение истина, если у входит в состав изделия, и — значение ложь в противном случае;
S1 — вес составляющей уг характеризующий степень целесообразности ее включения в изделие;
р — 1шжняя граница для суммарного веса составляющих уг включенных в изделие;
1 — множество номеров логических формул, используемых в задаче, /={
Г множество номеров логических формул, которые должны быть обязательно выполнены, т'\ Г С/;
С, логическая формула, соответствующая /-му логическому ограничению, / € 1, которая представляет собой дизъюнкцию переменных х1 и/или их отрицаний Х) ;
d, — вес формулы С,, характеризующий степень необходимости ее выполнения, / € / \ Г ;
К - множество номеров используемых ресурсов, К={1,.
ач — объем к-го ресурса, требуемого для изютовления]ой составляющей изделия, к € К ;
Ьк — имеющийся объем 1с-го ресурса, к е К .
тавляющих. Например, в случае проектирования одежды к ним относятся различные покрои рукавов, виды воротников, карманов, застежек и т. д. Естественно, что не все составляющие входят в изделие одновременно, поскольку помимо функциональной нецелесообразности определенных сочетаний, некоторые из них могут привести к визуальной дисгармонии. Подобного типа условия отражаются с помощью логических ограничений. При проектировании необходимо учесть и другие факторы (в частности. расход материалов, трудоемкость изготовления, затраты и т. д.), а также предпочтения проектировщика по включению в изделие составляющих. В качестве критерия оптимизации выбрана степень «логичности» изделия.
Для математической постановки задачи эскизного проектирования изделий введем следующие обозначения (табл.).
Задача состоит в отыскании значении логических переменных, при которых выполняются формулы С, с номерами ге/', ограничения по ресурсам и по суммарному весу включенных в изделие составляющих ^ jeJ,a вес выполненных формул С1 для I е / \ /' будет максимальным.
В результате решения этой задачи может быть получен один или несколько наборов составляющих, из которых формируется проектируемое изделие.
С целью решения сформулированной задачи можно указанным выше способом построить модель ЦЛП [б- 81-
После выполнения этапа оптимизации на основе квалификации, опыта, предпочтений проектировщика из множества полученных решений осуществляется выбор подходящих эскизов.
3. Моделирование с учетом групп составляющих и характеристик изделий. В предыдущем разделе была дана постановка задачи для автоматизации этапа эскизного проектирования изделий, в которой все составляющие и характеристики представлены одной совокупностью без выделения различных групп, что используется при традиционном проектировании. Эго было сделано с целью упрощения изложения рассматриваемого нами подхода. Вместе с тем, несколько усложняя обозначения, мы можем сформулировать задачу и построить математическую модель, в которой учитываются такие группы, что позволяет более адекватно описыватьироблемную ситуацию и может быть использовано при разработке алгоритмов решения задачи.
Ниже приводится модифицированный вариант постановки задачи эскизного проектирования сложных изделий и указанная математическая модель, которая также относится к области ЦЛП. В новой модели в явном виде выделяются логические ограничения, описывающие выбор одной или нескольких составляющих (характеристик) для каждой из групп.
Для новой формулировки задачи введем следующие обозначения:
g — число групп составляющих и характеристик; а — номер группы составляющих и характеристик, а еС,С={1,..чд);
п„ — числоэлементов в группе а, Jа= {1 па}\
V* — составляющая с номером / из группы а; х* — логическая переменная, которая принимает значение истина, если V® входит в состав изделия, и — значение ложь в противном случае;
—вес составляющей или характеристики V* по /-му показателю, характеризующему степень целесообразности ее включения в изделие, / 6 I,
I /.={1.*), JsJ*;
р, — нижняя граница для суммарной значимости составляющих по /-му показателю, включенных в изделие;
С,— логическая формула, соответствующая /-му логическому ограничению, /е/. которая представляет собой дизъюнкцию переменных Xя, и/или их отрицаний *; ; эти формулы связывают переменные, относящиеся к разли‘шым группам составляющих и характеристик; отметим, что формулы с номера-ми /' с / должны быть обязательно выполнены;
£/, —вес формулы С,, характеризующий степень необходимости ее выполнения, /6 / \ ;
т„ — число логических ограничений для группы а, 1Я ={Ц..../пя};
— логическая формула, которая отвечает г-му логическому ограничению и связывает переменные группы а, ге/а, причем формулы с номерами из С С К должны быть обязательно выполнены;
— вес формулы С",, характеризующий степень необходимости ее выполнения, Г € /в \ /';
а£ —объем /с-го ресурса, требуемого для изготовления /ой составляющей изделия группы а, А е К; J^Ja\ Ьк—имеющийся объем к-го ресурса, къК • Задача состоит в отыскании значении логических переменных, при которых выполняются формулы С, г номерами / е Г и формулы С^, геГа, ае<7. ограничения по ресурсам и по суммарной значимости включенных в изделие составляющих, а общий вес выполненных формул Сг(ъ!\Г и формул С„, Г€1а\1д, аеС» будет максимальным.
Как и для постановки задачи из раздела 2 построим модель ЦЛП. Для этого заменяем логические переменные ** на соответствующие булевы переменные у", а их отрицания - на 1 -у*. Введем множества индексов Сл и С'ш переменных, входящих в формулы С, из группы а с отрицанием и без него, соответственно, для всех / 6 /. Аналогично введем множества Сж и С1 переменных для формул Сшщ ге1в, а е С • Кроме того, нам потребуются вспомогательные булевы переменные хр / е / \ /' и г", / е \ Га. Далее от логических ограничений переходим к линейным неравенствам.
Модель ЦЛП для новой формулировки задачи проектирования сложных изделий имеет вид:
+ 1 2X4*
я*0 «/.и;
при условиях
тЫя-ы Ф'И. /6/’,
(1)
(2)
х(х^-£>7 ,/€/\/'г (з)
•по \1*Ст М'ш
60,
М"т
I1/ 6/г,
м<7
х 2>;>;
«01/ /л/.
(4)
(5)
(6)
(7)
х,,г;.у*е{0,1}, /е/\УI ге/ж\/;; аеС(8)
Здесь в целевой функции (1) максимизируется суммарный вес выполненных «мягких» логических ограничений. «Жесткие» логические условия
отвечают неравенствам (2), (4), а система (3), (5) соответствует «мягким» ограничениям. Условия (2), (3) связывают составляющие и характеристики, относящиеся к различным группам, а (4), (5) — составляющие или характеристики внутри одной группы. Требования но включению в изделие составляющих задаются условиями (6). Неравенства (7) представляют собой ограничения для используемых ресурсов,
(8) — условие булевости переменных.
Если в допустимом решении этой задачи для некоторого I имеет место г=1, то соо тветствующая формула С, притшмает значение истина. Аналогичное утверждение справедливо для переменных г® и формул Сш ■
Для решения задачи (1) — (8) на начальной стадии исследований нами использовался пакет программ целочисленного линейного программирования [7,8]. В дальнейшем был разработан и реализован алгоритм перебора /.-классов, учитывающий ее специфику, который прошел апробацию в экспериментальных исследованиях [3].
С помощью предложенного подхода можно провести анализ готового эскиза сложного изделия [6].
Для повышения степени разнообразия получаемого множества эскизов проектируемого изделия нами предложен метод, основанный на использовании дополнительных линейных неравенст в (отсечений), присоединяемых к ограничениям задачи ЦЛП (6).
4.0 результатах применения подхода. С целью апробации рассматриваемого подхода и построенных математических моделей создан усовершенствованный вариант программного комплекса [3,5,6) для автома тизации проектирования серий и единичных эскизов изделий.
Комплекс представляет собой достаточно сложную систему, состоящую из следующих основных модулей: процедуры ввода и корректировки исходных данных для построения эскизов сложных изделий; математических моделей и алгоритмов поиска оптимальных решений; базы данных (БД) размерных признаков типовых фигур и их изображений, готовых моделей эскизов, характеристик, составляющих швейных изделий, логических и других ограничений (включая процедуры их пополнения); визуализации решений и промежуточных вариантов; подготовки отчета и вывода на печать. С помощью этого комплекса проведены экспериментальные исследования при проектировании женских д емисезонных пальто и женских жакетов, которые показали практическую значимость развиваемого подхода [3,6, 10).
5. Дальнейшие исследования. В проектировании сложных изделий часто возникает ситуация, когда необходимо создать не отдельную модель изделия, а несколько моделей (серию), которые имеют общую группу составляющих (ядро серии), а остальные составляющие могут варьироваться. Формирование серий изделий позволяет заметно расширить круг потребителей за счет увеличения их разнообразия. Кроме того, это дает возможность достаточно быстро запускать в производство новые модели без существенных затрат различных ресурсов. Описанный нами подход может быть применен к решению данной задачи (13).
Другим перспективным направлением примене-ния нашего подхода является создание комплектов изделий [13). Комплект — это набор моделей изделий, состоящий из двух и более изделий различных ассортиментных групп, связанных между собой единством стиля, формой и пропорциональным соотношением элементов, согласованностью членений, сочетанием отделки и материалов, цве товым решением
и т. д. Приобретение одного или нескольких комплектов изделий позволяет потребителю существенно расширить свои возможности за счет большого числа комбинаций элементов (изделий), входящих в эти комплекты.
6. Заключение. Предложенный подход к автоматизации проектирования сложных изделий оказался достаточно продуктивным и имеет хорошие перспективы развития и применения. Значительный интерес представляют изучение новых ассортиментных групп изделий, разработка и исследование новых математических моделей и алгоритмов, совершенствование программного обеспечения. Полученные результаты нашли применение при подготовке специалистов в области методов оптимизации, исследования операций и легкой промышленности.
Библиографическим список
I. Абдулин. С.Ф. Системы автоматизированного проектирования и управления: Аннотированный ретроспективный библиографический указатель (1990 — 2000 гг.) / С.Ф. Абдулин. — Омск I Омский гос. ни-т сервиса, 2001. — 234 с.
2 Гегечкори. Е. Т. К вопросу о формировании исходного множества альтернатив в принятии управленческих решений / Е. Т. Гегечкори // Матер. V Межд. науч.-техн. конф. - Омск: Изд-во ОмГТУ, 2004. - Кн. 2. - С. 261 - 264.
3. Гуселетова, О. Н. Решение задач дискретной оптимизации с логическими ограничениями при проектировании сложных изделий / О. Н. Гуселетова, А. А. Колоколов // Автоматика и телемеханика - 2008. - N0 10. - С. 176- 182.
4. Козлова, Т. В. Основы теории проектирования костюма: учеб. для вузов/Т. В. Козлова. - М.:Легаромбыгиздегг, 1988. - 352с.
5. Математические модели и программный комплекс для проектирования эскизов одежды / А.А. Колоколов (и др.) // Прикладная ма тематика и ннформационныетехнологии: сб. науч. и метод, трудов. — Омск: ОмГТУ. 2005. — С. 80 — 98.
6. Колоколов. АА Системы автоматизированного проектирования в сервисе. Часть 1 :уч.пос.длястуд вузов/АА Колоколов. 3. Е. Нагорная, А. В. Ярош. — Омск : Омский гос. нн-т сервиса. 2006. - 113 с
7. Колоколов, АА Автоматизация эскизного нроектнрова-Ш1Я одежды с использованием моделей дискретной оптимизации / А А. Колоколов, А. В. Ярош // Препринт. — Омск: Изд-во ОмГТУ. 2004. - 24 с
8. Колоколов. А.А Проектирование одежды с использованием некоторых моделей дискретной оптимизации / А. А. Колоколов, АВ. Ярош//Омскийнау'шыйвсспшк. — 2002. - Вып.20. — С.91 —94.
9. Краснухин, А. Методологии проектировать сложных изделий / А Краснухин // Открытые системы. СУБД. — 2003. — № 6. - С 41-44.
10. Орлова, Т. М. Об одном подходе к формированию изделий в легкой промышленности / Т. М. Орлова. А А Чернова // Теоретические 31ЫИИЯ в практические дела: сборник материалов X Международной научно-практической конференции студентов, ас пи рати в и молодых исследователей. —4.2. — Омск: РосЗИТЛП, 2009. - С.49 - 50.
II. Уайлд Д. Оптимальное проектирование: пер. с англ. — М.: Мир. 1981. - 272 с.
12. Ярош, А В. Об одном подходе к решению задач автоматизации проектирования одежды // Перспективы использования компьютерных технологий в текстильной и легкой промышленности (ПИКТЕЛ-2003) : материалы 1 Международной иаушо-технической конференции. — Иваново: ИГТА 2003. — С118— 119.
13. Ярош, АВ. Решение задач формирования серий и комплектов одежды на основе дискретной оптимизации / АВ. Ярош. А В. Ларькина // Приложения методов оптимизации : труды XIV Байкальской международной школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения », Иркутск, Байкал. 2-8 июля 2008 годе.Т. 4. - Иркутск . ИСЭМСОРАН. - 2008. - С. 230- 237.
14. Kolokolov A. A,. Guseletovo O. N.. Yarosh A. V. Application ol some discrete optimization methods to computer-added design ol clothes // Operadons Research 2005, University of Bremen, Germany, T*#* September, 2005. - P. 107.
15. Kolokolov A. A.. Yarosh A. V. On solving some complex design problems using discrete optimization models // Operations Research 2003, Annual International Conference of the German Operations Research Society (GOR) University of Heidelberg, September 3 — 5, Germany, 2003. - P. 136.
КОЛОКОЛОВ Александр Александрович, диктор физико-математических наук, профессор кафедры
прикладной математики и информационных систем Омского государственного технического университета. заведующий лабораторией дискретной оптимизации Омского филиала Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.
Адрес для переписки: e-mail: [email protected] ЯРОШ Александра Викторовна, кандидат технических наук, заведующая кафедрой информационных технологий Омского филиала Московской финансово-промышленной академии.
Адрес для переписки: e-mail: [email protected]
Статья поступила в редакцию 8.04.2010 г.
© А А Колоколов, А В. Ярош
УДК 517.95+541.124
И. Д. МАКАРОВА С. Е. МАКАРОВ
Омский государственный техническим университет Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ ХИМИЧЕСКОГО РЕАКТОРА ПРИ РЕАКЦИЯХ НУЛЕВОГО И ПЕРВОГО ПОРЯДКОВ______________________________________
Рассмотрены начально-краевые задачи, описывающие процесс в химическом реакторе с неподвижным слоем катализатора. Изучен вопрос о количестве стационарных решений данной задачи, приведена процедура построения таких решений.
Ключевые слова: гиперболическая система, стационарное решение, реактор, устойчивость.
Постановка задачи
При математическом моделировании реакторов идеального вытеснения возникают начально-краевые задачи для гиперболических систем [11. В частности, каталитический процесс в неподвижном слое в рамках квазигомогенной модели в случае реакции нулевого порядка (скорость реакции не завис иг от количества реагирующего вещества) описывается с учетом внутреннего теплообмена. смешанной задачей для нелинейной гиперболической системы на плоскости {!]:
а ах
^JA=S(0-0,% (лг.ОеП.
а дк
(0-4u=o. 3L=3>-
заданы.
(I)
Здесь П - полуполоса (0,1)х(0,со), 0, 0, -температура в реакторе и в холодильнике, С —
концентрация реагирующего вещества, р, у, 6, 00 — константы, из них первые три положительны.
Процесс в реакторе с неподвижным слоем катализатора при реакции первого порядка (скорость реакции линейно зависит от концентрации реагирующего вещества) моделируется (см. (1,2) смешанной задачей для нелинейной гиперболической системы на плоскости:
1+1=*.-сУ.
Р^^Л\-схГ-1Ке-в,\
а ах
^кЖ-вф-ох (*')еП.
с* ах
си=0-
(СМ**- заданы
(2)
Как и в первом случае, П - полуполоса (0,1 )х(0,«>)# С— концентрация реагирующего вещества, 0,0Г—тем-
