CC BY
45
Математическая модель
В математической модели [19, 20], реализованной в комплексе программ ББС8, учтены силы Пича-Кёлера, обусловленные приложенным воздействием, и силы сопротивления движению дислокаций, обусловленные решеточным, примесным и дислокационным трением, линейным натяжением, генерацией точечных дефектов, обратными полями напряжений со стороны скопления ранее созданных дислокаций и вязким торможением. При записи уравнения модели использованы следующие предположения [17-20]: 1. Зона кристаллографического сдвига формируется в однородной изотропной среде, оказывающей такое же сопротивление движущейся дислокации, что и исходное поле дискретных препятствий дислокационной и иной природы. Линейное натяжение считается одинаковым по всей длине петли.
Напряжение, связанное с генерацией точечных дефектов на винтовых составляющих дислокационной петли, равномерно распределено по всей длине петли.
Уравнения динамики дислокационной петли получены из закона сохранения энергии, записанного для замкнутой дислокационной петли [17-20]:
2.
3
йе
(•)
С е +£0)
тЪ -тяЪ - 0 £к
Ж
- РвЪ 2рг -
Увъ 2(1 -1)
Б/2-г
- Вс, 1 -
С е(') ьк
Кео
+1
х с 1 -
е V2 +1
- = с, 1 -ж V
ГсО Л +1
V ео У
Здесь г и / - текущий радиус и время движения расширяющейся дислокации; - кинетическая энергия единицы длины /-ой расширяющейся дислокационной петли; т - приложенное напряжение; т=т+Т (т - напряжение решеточного и примесного трения, тй - дислокационное сопротивление движению дислокации); е0 - энергия единицы длины покоящейся дислокации; О - модуль сдвига; Ь - модуль вектора Бюргерса; В - коэффициент вязкого торможения движущейся дислокации; Б=Вгт/(ОЬр) - средний диаметр зоны сдвига (Вг -некоторый вычисляемый параметр [21, 22], р -плотность дислокаций); с - поперечная скорость звука в металле; Р=(рр£)/8 - комбинация физически определяемых параметров (р - доля порогооб-разующих дислокаций некомпланарных систем, р, - доля порогов на околовинтовых сегментах дислокационной петли, ^ - множитель Смоллмена); У=(2-У)/(2п(1-у)) (у- коэффициент Пуассона).
Величина приложенного напряжения т, при котором формируется зона сдвига, определяется напряжением прохождения дислокационным сегментом-источником критической конфигурации. Дальнейшее его развитие в замкнутую конфигурацию и расширение замкнутой дислокационной петли происходят под действием напряжения, равного напряжению потери устойчивости дислокационным сегментом-источником. Критическая конфигурация дислокационного источника в форме полуокружности при расчетах заменяется окружностью того же радиуса.
Заметим, что переменные системы дифференциальных уравнений (*) изменяются на интервале интегрирования на порядки величины, а слагаемые, характеризующие вклад различных механизмов, являются разнопорядковыми. В этом случае для выполнения расчетов требуется реализовать численный метод, пригодный для решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).
Структура комплекса программ DDCS
В соответствии с принципами гибкой методологии разработки программного обеспечения и на основе анализа особенностей математической модели динамики кристаллографического скольжения в ГЦК металлах было определено множество функций, которые должны быть реализованы в комплексе программ ББС8:
1) формирование на основе обобщенной математической модели редуцированных математических моделей, учитывающих различные физические механизмы;
2) предоставление удобного и понятного пользовательского интерфейса;
3) применение численного метода, пригодного для решения жесткой системы ОДУ;
4) графическое представление результатов вычислений;
5) хранение результатов численных экспериментов и значений параметров математической модели, используемых в расчете;
6) хранение значений характеристик, полученных различными авторами в теоретических или экспериментальных исследованиях ГЦК материалов;
7) хранение информации библиографического характера;
8) экспорт данных;
9) сохранение личных настроек интерфейса пользователя;
10) расширение (по мере необходимости) базы данных и функциональных возможностей комплекса программ;
11) идентификация пользователя при входе в систему.
Рис 4. Графическое представление данных
возможности использования модуля для решения систем ОДУ произвольной размерности и задания произвольного числа параметров модели, описываемой системой ОДУ.
Вычислительный метод, предназначенный для решения системы ОДУ, реализован в классе GIR, в котором содержится ссылка на абстрактный базовый класс cProbeFunction. При формировании пользователем модели для расчета создается экземпляр соответствующего класса (cDislocProblem, cVanDerPolProblem), функции которого делегируются классу GIR. Таким образом, класс GIR, реализующий численный метод решения системы ОДУ, не зависит от класса, реализующего правые части системы, а зависит лишь от абстрактного базового класса cProbeFunction, который остается неизменным. Такая организация взаимодействия позволяет ввести в рассмотрение новую модель, не затрагивая реализацию численного метода. Для этого достаточно создать класс, описывающий правые части соответствующей системы ОДУ и наследующий общий для таких классов интерфейс.
Для описания правых частей рассматриваемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений исследуемой математической модели (*) предназначен класс cDislocProblem. Класс cVan-DerPolProblem описывает систему ОДУ, которая в литературе именуется как «задача Ван-дер-Поля», и используется в программном комплексе для апробации численного метода. Оба класса наследуются от одного и того же абстрактного базового класса cProbeFunction, реализующего общий интерфейс классов, который включает:
• вычисление правых частей системы уравнений модели (Probe);
• вычисление якобиана системы для реализации численного метода (Jacobian);
• сохранение значений переменных (Insert);
• проверка на выполнимость ограничений для
переменных, а также проверка условия окончания расчета (Constraints).
Алгоритм решения жестких систем ОДУ, реализованный в вычислительном модуле, позволяет на каждом шаге интегрирования оптимизировать порядок метода и величину шага.
Функция Constraints предоставляет возможность проводить вычисления не только на заданном интервале интегрирования, но и на интервале с заданной областью допустимых значений для вычисляемых переменных.
Функции Prognoz и Corrector выполняют соответственно прогноз и коррекцию.
Сохранение результатов вычислений обрабатывается функцией Insert, которая в зависимости от настроек пользователя либо выгружает данные в оперативную память, либо сохраняет их в БД.
С использованием комплекса программ DDCS пользователь имеет возможность проводить вычислительные эксперименты, позволяющие получить характеристики процесса формирования как отдельной дислокации, так и зоны кристаллографического сдвига в целом. Характеристиками формирования отдельной дислокационной петли являются: время движения, текущий радиус дислокации, скорость дислокации и кинетическая энергия единицы длины дислокационной петли. Результаты расчетов формирования дислокационной петли представлены в виде таблицы в базе данных. Зона сдвига содержит совокупность дислокаций, испущенных общим источником, то есть результаты вычислительного эксперимента представляют собой совокупность таблиц для всех дислокаций зоны сдвига. Кроме того, для зоны сдвига создается дополнительная таблица, в которую записываются:
14. Слободской М.И., Попов Л.Е. Особенности работы источника Франка-Рида в поле случайно расположенных препятствий // Известия АН. Сер. физическая. - 1998. - Т. 62. - № 7. -С. 1339-1344.
15. Нацик В.Д., Чишко К.А. Акустическая эмиссия при образовании дислокационного скопления источником Франка-Рида // Физика твердого тела. - 1978. - Т. 20. - № 7. - С. 1933-1936.
16. Нацик В.Д., Чишко К.А. Динамика и звуковое излучение дислокационного источника Франка-Рида / Физика конденсированного состояния: сб. трудов ФТИНТ АН УССР. - 1974. -Вып. 33. - С. 44-53.
17. Вихорь Н.А., Колупаева С.Н., Попов Л.Е. Движение дислокаций при формировании полосы кристаллографического скольжения // Физика металлов и материаловедение. - 1995. -Т. 80. - № 4. - С. 51-57.
18. Попов Л.Е., Колупаева С.Н., Вихорь Н.А., Пуспешева С.И. Дислокационная динамика кристаллографического скольжения // Известия вузов. Физика. - 2000. - № 1. - С. 71-76.
19. Popov L.E., Kolupaeva S.N., Vihor N.A., Puspesheva S.I. Dislocation dynamics of elementary crystallographic shear // Computational Materials Science. - 2000. - V. 19. - P. 267-274.
20. Пуспешева С.И., Колупаева С.Н., Попов Л.Е. Динамика кристаллографических скольжений в меди // Металловедение. -2003. - № 9. - С. 14-19.
21. Попов Л.Е., Кобытев В.С., Ковалевская Т.А. Концепция упрочнения и динамического возврата в теории пластической деформации // Известия вузов. Физика. - 1982. - № 6. -С. 56-82.
22. Попов Л.Е., Кобытев В.С., Ковалевская Т.А. Пластическая деформация сплавов. - М.: Металлургия, 1984. - 182 с.
23. Самохина С.И., Петелин А.Е., Колупаева С.Н. Исследование дислокационной динамики кристаллографического скольжения. База данных программного комплекса DDCS // Прикладные задачи математики и механики: Матер. XV Междунар. на-учн. конф. ученых Украины, Беларуси, России. - Севастополь, 2007. - С. 274-277.
24. Самохина С.И., Петелин А.Е., Колупаева С.Н. Интерфейс программного комплекса DDCS для исследования дислокационной динамики кристаллографического скольжения // Научное творчество молодежи: Матер. XII Всеросс. научно-практ. конф. - Томск, 2008. - Ч. 1. - С. 35-38.
Поступила 14.04.2010 г.
УДК 681.52
СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ МНОГОЗОННОЙ ТЕРМИЧЕСКОЙ УСТАНОВКОЙ ДЛЯ ВЫРАЩИВАНИЯ КРИСТАЛЛОВ ПО МЕТОДУ БРИДЖМЕНА
М.М. Филиппов, Ю.В. Бабушкин, А.И. Грибенюков*, В.Е. Гинсар*
Томский политехнический университет *Институт мониторинга климатических и экологических систем СО РАН, г. Томск E-mail: [email protected]
Представлено описание системы автоматического регулирования многозонной термической установкой для выращивания монокристаллов методом Бриджмена в вертикальном варианте. Показаны результаты внедрения и апробации предлагаемой системы.
Ключевые слова:
Многозонная термическая установка, метод Бриджмена, рост кристаллов, температурное поле, система автоматического регулирования. Key words:
Multizone thermal installation, Bridgman method, crystal growth, thermal field, automatic control system.
Качество кристаллов, выращиваемых по методу Бриджмена, зависит от множества факторов, которые можно разделить на три группы. Первая группа связана со свойствами кристаллизуемого вещества (состав, температура плавления, тепло-физические свойства расплава и кристалла и др.). Вторая группа относится к особенностям организации рабочего объема, в котором происходят физико-химические процессы при росте кристалла (наличие или отсутствие затравочных кристаллов, тиглей, их взаимодействие с источником и стоком тепла). Третья группа факторов связана с параметрами термической установки, в которой проводится процесс выращивания кристалла. Ос-
новными требованиями, предъявляемыми к термическим установкам для выращивания кристаллов, являются:
• воспроизводимость в рабочем объеме необходимых температурных режимов, удовлетворяющих условиям технологического процесса;
• точность поддержания температурных полей в рабочем объеме установки на всех этапах технологического цикла выращивания кристалла;
• возможность создания в рабочем объеме установки заданных осевых градиентов распределения температуры;
• точность и стабильность перемещения ампулы.
