Автоматизация исследований дискретно или графически заданных зависимостей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Решетнеескцие чтения. 2015

Сравнение надежностей алгоритмов

Задача Стандартный ГА ГА, управляемый системой на нечеткой логике

Минимальная надежность Максимальная надежность Минимальная надежность Максимальная надежность

Функция Растригина, x,у е [-16;16] 0,1 0,68 0,21 0,8

Функция Розенброка, x1, x2 е [-2; 2] 0,2 0,78 0,38 0,85

Функция Катковника, x1,x2 е [-2.5;2.5] 0,12 0,76 0,2 0,83

Функция Катникова, x1, x2 е [-5;5] 0,64 1 0,68 1

Мультипликативная потенциальная функция, x1, x2 е [0;4] 0,88 1 0,92 1

Было проведено сравнение минимальных и максимальных надежностей этих двух алгоритмов, часть результатов представлена в таблице.

На основе проделанной работы можно сделать вывод, что генетический алгоритм, управляемый системой на нечеткой логике, имеет на всех функциях надежность и скорость сходимости больше, чем стандартный генетический алгоритм.

Библиографические ссылки

1. Батищев Д. И. Генетические алгоритмы решения экстремальных задач : учеб. пособие / под ред. Я. Е. Львовича. Воронеж, 1995.

2. Семенкин Е. С., Семенкина О. Э., Коробейников С. П. Адаптивные поисковые методы оптимизации сложных систем / СИБУП. Красноярск, 1997.

3. Семенкин Е. С., Терсков В. А. Модели и методы оптимизации систем управления сложными объектами / СЮИ МВД РФ. Красноярск, 2000.

4. Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы. М. : Горячая линия-Телеком, 2006.

5. Валландер Н. Нечеткие множества. Нечеткая логика. 2004.

References

1. Batishchev D. I. Genetic algorithms for solving extreme problems / Ed. Ya. E. Lvovich. Voronezh, 1995.

2. Semenkin E. S., Semenkina O. E., Korobeynikov S. P. Adaptive search optimization techniques of complex systems. SIBUP. Krasnoyarsk, 1997.

3. Semenkin E. S., Terskov V. A. Models and methods of optimization of the management of complex objects. SUI Interior Ministry. Krasnoyarsk, 2000.

4. Rutkowski D., Pilinsky M., Rutkowski L. Neural networks, genetic algorithms and fuzzy systems. M. : Hotline Telecom, 2006.

5. Wallander N. Fuzzy sets. Fuzzy Logic. 2004.

© Матюхина Я. С., Липинский Л. В., 2015

УДК 519.65

АВТОМАТИЗАЦИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ ДИСКРЕТНО ИЛИ ГРАФИЧЕСКИ ЗАДАННЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ

В. В. Митюков

Ульяновское высшее авиационное училище гражданской авиации (институт) Российская Федерация, 432071, г. Ульяновск, ул. Можайского, 8/8 E-mail: [email protected]

Рассматривается задача обобщения существующих методов гладкого приближения дискретных данных. Предложена единообразная вычислительная схема, позволяющая автоматизировать различные процессы аппроксимирования. Применение такой единой схемы упрощает и ускоряет получение искомых результатов в задачах, возникающих в ракетно-космических исследованиях (при моделировании, в вычислительных экспериментах).

Ключевые слова: задачи аппроксимации, вычислительные методы, линейные уравнения, универсальный алгоритм, численное дифференцирование, численные квадратуры.

Математические методы моделирования, управления и анализа данных

AUTOMATING THE RESEARCH OF DISCRETE OR GRAPHICALLY ASSIGNED RELATIONSHIPS

V. V. Mityukov

Ulyanovsk Higher Civil Aviation School (Institute) 8/8, Mozhaysky Str., Ulyanovsk, 432071, Russian Federation E-mail: [email protected]

The paper studies consolidation of existing methods for discrete data smooth approximation. A uniform computational scheme makes it possible to automate various processes; the scheme and approximating are proposed. The use of this unified scheme simplifies and accelerates obtaining the desired results in problems arising in rocket and space research (modeling, computational experiments).

Keywords: approximation problems, computational methods, linear equations, universal algorithm, numerical differentiation, numerical quadratures.

В работах [1-3] было представлено математическое обоснование универсального алгоритма, обобщающего методы приближения произвольных наборов дискретных данных, полученных в результате проведения сложных экспериментов или громоздких расчетов.

Использовалась традиционная линейная зависимость [4; 5], составленная из аналитически вычисляемых фрагментов - базисных функций (например, из членов степенного ряда или ряда Чебышева, ряда Фурье и т. д.) с некоторыми коэффициентами. Унификация и единообразие вычислений основывалось на прямом решении линейных систем, полученных из условий интерполирования или сглаживающего приближения (метод наименьших квадратов) заданной

системы точек (хъ yt}, путем накопления результата в процессе LU-разложения.

Для пояснения приводится модельный пример интерполирования функции Sin x полиномом 4-й степени в интерактивном режиме. Система из пяти дискретных значений выбрана как 3 точки (p = 0) + 2 наклона касательных на концах (p = 1).

Здесь p - показатель кратности интегральных и/или дифференциальных операций.

Результаты вычислений отображены на рисунке. Кривые получены путем присвоения p нужного значения и последующего нажатия кнопки «Интерп.» (в таблице слева значения x указаны в радианах, а на графике - в градусах).

Приближение пяти дискретных значений функции Sin x полиномом 4-й степени

Решетнееские чтения. 2015

Коэффициенты и зависимости для полученных кривых получаются следующими (в них значения x подставляются в радианах).

p = -2 (соответствует повторному интегрированию):

x x

JJ y - dx=x - Sin x И 0,16667-x3+0,00247-x4 -0,01107-x5 +0,00117-x6

0 0

p = -1 (определяет первоначальное интегрирование):

x

J y-dx =1-Cos x и 0,50-x2+0,00986-x3 - 0,05537-x4 + 0,00705-x5

0

p = 0 (непосредственное интерполирование): y = Sinx и 1,0-x+0,02959-x2-0,22148-x3 +0,03525-x4

p = 1 (соответствует первой производной):

y' = Cosx И 1,0 +0,05918-x-0,66444-x2+0,14010-x3

p = 2 (соответствует второй производной): y" = -Sinx и 0,05918-1,32888-x+0,42299-x2

(интересно, что 3-я производная от полинома станет уже линейной).

Программная реализация универсальной схемы может использоваться для автоматизации исследований, связанных с обработкой дискретно заданных зависимостей, без ограничений на расположение узлов (точек), на выбор базисных функций и на способ приближения (интерполирование или метод наименьших квадратов). В этих случаях предоставляется возможность простого и быстрого получения результатов в режиме «нажми на кнопку - получишь результат», что позволит эффективнее использовать вычислительные мощности.

Другой областью, где могут оказаться полезными указанные возможности, являются задачи разработки или развития численных методов, вытекающих из процессов математического моделирования.

Библиографические ссылки

1. Митюков В. В. Обобщенный алгоритм и дискретная унифицированная структура для вычислительных задач // Современные информационные технологии и 1Т-образование : сб. докл. науч.-практ. конф. М. : ИНТУИТ.РУ, 2009. С. 675-681.

2. Митюков В. В. Универсальное программное решение для задач дифференцирования и интегрирования одномерных дискретных множеств // АВ1А-2013 : матер1али XI М1жнар. наук.-техн. конф. Киев : НАУ, 2013. Т. 1. С. 6.33-6.36.

3. Митюков В. В. Унифицированный подход к вопросам аппроксимации дискретно заданных зависимостей // Решетневские чтения : материалы XVII Ме-ждунар. науч. конф. (12-14 нояб. 2013, г. Красноярск). В 2 ч. Ч. 2 / под общ. ред. Ю. Ю. Логинова ; Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2013. С. 60-61.

4. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и математическое обеспечение : пер. с англ. М. : Мир, 1998. 575 с.

5. Райс Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение : пер. с англ. М. : Мир, 1984. 264 с.

References

1. Mityukov V. V. Obobshchennyi algoritm i diskretnaya unifitsirovannaya struktura dlya vychisli-tel'nykh zadach. "Sovremennye informatsionnye tekhno-logii i IT-obrazovanie". Sbornik dokladov nauchno-prakticheskoi konferentsii: uchebno-metodicheskoe posobie. M. : INTUIT.RU, 2009. S. 675-681.

2. Mityukov V. V. Universal'noe programmnoe reshenie dlya zadach differentsirovaniya i integrirovaniya odnomernykh diskretnykh mnozhestv // AVIA-2013 : Materiali XI mizhnarodnoi' naukovo-tekhnichnoi' konferentsii. T. 1. Kiev : NAU, 2013. Рр. 6.33-6.36.

3. Mityukov V. V. Unifitsirovannyi podkhod k voprosam approksimatsii diskretno zadannykh zavisimostei // Reshetnevskie chteniya : materialy XVII Mezhdunarodnoi nauchnoi konferentsii (12-14 noyabrya 2013 g., Krasnoyarsk) : v 2 ch. / pod obshch. red. Yu. Yu. Loginova ; Sib. gos. aerokosmich. un-t. Krasnoyarsk, 2013. Ch. 2, рр. 60-61.

4. Kahaner D., Moler C., Nash St. Numerical methods and software. Prentice-Hall International Inc., 1998. 575 p.

5. Rice J. R. Matrix computations and mathematical software. McGraw-Hill Bock Company, 1984. 264 p.

© Митюков В. В., 2015