CC BY
70
АВТОКОЛЕБАНИЯ В КВАЗИГАРМОНИЧЕСКОМ И ХАОТИЧЕСКОМ ГЕНЕРАТОРАХ В УСЛОВИЯХ ВОЗДЕЙСТВИЯ ФЛУКТУАЦИЙ
В.С. Анищенко, Т.Е. Вадивасова, Г.И. Стрелкова
Представлены результаты классической теории флуктуаций в генераторе квазигармонических колебаний на примере генератора ван дер Поля. Формулируются стохастические уравнения для амплитуды и фазы автоколебаний, анализируются их решения. Рассматриваются автокорреляционная функция и спектр мощности зашумленных автоколебаний. Затем методами численного эксперимента анализируются спектрально-корреляционные характеристики хаотических автоколебательных процессов применительно к генераторам спирального хаоса. Решается задача о статистических характеристиках спирального хаоса как в отсутствие, так и с учетом воздействия шума и проводится сопоставление результатов с классической теорией флуктуаций в генераторе ван дер Поля.
Ключевые слова: Спиральный аттрактор, зашумленные автоколебания, гармонический шум, время корреляции, ширина спектральной линии.
1. Флуктуации в квазигармоническом генераторе
Стохастические уравнения квазигармонического автогенератора. Теория флуктуаций в автоколебательной системе с источником шума была развита в классических работах по статистической радиофизике на примере низкочастотного радиофизического генератора [1-3]. Основные теоретические результаты касаются квазигармонического режима и получены в условиях ряда упрощающих предположений. Рассматривается аддитивный гауссов 8-коррелированный (белый) шум. Флуктуации фазы и амплитуды во времени предполагаются «медленными» по сравнению с периодом автоколебаний.В рамках спектрально-корреляционного анализа делается предположение о слабом шуме и развитой генерации. В этом случае можно пренебречь флуктуациями амплитуды по сравнению с ее невозмущенным значением.
Эквивалентная схема низкочастотного радиогенератора приведена на рис. 1. Она может быть описана следующим дифференциальным уравнением:
<2и 2 = (Со - с зьи2\ йи 1 мш(г{)
+ ю°и = V ~с - ' (1)
где юо = 1/\/ЬС - частота квазигармонических автоколебаний. Переходя к безразмерной переменной X = и/и0 (и0 = 1/\/3ЬЬю0) и безразмерному времени
I = получаем следующее стохастическое дифференциальное уравнение СДУ
автогенератора:
X + X = (е - X2)Х + у/2Юп$),
(2)
где точками обозначены производные по безразмерному времени t. Безразмерный параметр возбуждения е = (С0 — С)/(Сю0) управляет режимом генерации. Реальная случайная сила (—т0Ь)/Ц0 ■ заменяется на эквивалентный гауссов белый шум: = где (п(^) = 0, (п^)п^ + т)) = 8(т), где 8(т) - функция Дирака; D - константа, задающая интенсивность шума. Скобки (...) означают статистическое усреднение.
Будем полагать колебания автогенератора близкими к гармоническим, что справедливо при е ^ 0.1 и D ^ е и
и искать решение (2) в виде
X(t) = p(t) сов (t + ф(^), XX(t) = —р^) 8Ш (t + ф(t)),
I
а,
-ц
в
С I
(3)
Рис. 1. Эквивалентная схема низкочастотного радиофизического генератора с источниками шума: Он(и) - нелинейная проводимость с вольт-амперной характеристикой I = -О0и + Ьи3; О, С, Ь - постоянные проводимость, емкость и индуктивность, соответственно; 1ш - эквивалентный шумовой ток, учитывающий все источники внутренних шумов системы; Е - постоянное питание
где мгновенная амплитуда р^) и случайная компонента фазы ф(^ предполагаются медленно меняющимися функциями по сравнению с периодом колебаний Т0 = 2п. Подставляя выражения (3) в (2) и производя усреднение за период Т0 = 2п получаем систему стохастических уравнений для амплитуды и фазы колебаний
/ е р2 \ 1 р = ( 2 — 8 У р — ^2п I п(е)81п(е + ф)^е,
1 п+2п
Ф = —---п(е)сов(е + ф)^е. (4)
р 2п Л
Производя усреднение слагаемых, содержащих источник шума п^), приходим к классической стохастической модели квазигармонического автогенератора
D ^ ^ . Уо
р=(2— в)р+^^
ф = р п2^), (5)
где nl(t) и n2(t) - независимые источники гауссова белого шума, для которых (щ(^) = 0, (щк^ + т)) = 8^8(т), г,к = 1,2, 8^ - символ Кронекера.
Флуктуации амплитуды автоколебаний. Первое уравнение системы (5) не содержит фазы колебаний и его можно рассматривать независимо от фазового уравнения. Его решение есть одномерный диффузионный процесс р^) с плотностью вероятности рр(р^), удовлетворяющей следующему уравнению Фоккера-Планка-Колмогорова:
дрр (р,г) д
дt др
((2е—£) р+2р) рр^
+ Dд2pр(р,t) + . (6)
Стационарное решение уравнения (6) имеет вид
" 1
рРт(р) = С р ехр
2\2
16В
(Р2 " Ро)
(7)
где ро = 2\/ё - невозмущенное (в отсутствие шума) значение амплитуды колебаний; С - нормировочная константа, определяемая из условия
г те
/ ррГШр = 1. о
(8)
На рис. 2 приведены распределения амплитуды, полученные для различных значений интенсивности шума В. При слабом шуме плотность вероятности ррт существенно отлична от нуля только в окрестности невозмущенного значения амплитуды ро. Наивероятное значение амплитуды рт, соответствующее максимуму плотности вероятности, практически совпадает с невозмущенным значением ро и только
при больших интенсивностях шума на-
Р? 12.0
4.0
0.0
1 А1 11
: Ро м | 1 | V
1 1 Д2
1 \\ 1 \ \ 3 :
0.0
0.2
0.4
0.6
о.:
чинает смещаться вправо от ро. Кроме того, для слабого шума (кривая 1) график плотности вероятности ррт(р) почти симметричен относительно ро. Это означает, что среднее значение амплитуды также близко к невозмущенному значению: р = (р(£)) ~ ро.
При условии слабого шума и достаточно развитой генерации (В ^ е) флуктуации амплитуды р(£) = р(£) — ро малы и могут быть описаны следующим линейным СДУ:
Рис. 2. Стационарные распределения амплитуды, рассчитанные по формуле (7) при различных значениях константы В: 1 - 0.0001; 2 - 0.001; 3 - 0.01. Пунктирной линией отмечено невозмущенное значение амплитуды
р + ер = \/Вщ(£).
(9)
Оно задает так называемый одномерный процесс Орнштейна-Уленбека. Это -гауссов диффузионный процесс. Так как в сделанных предположениях р ~ ро, то можно положить (р(£)) = 0. В пределе £ ^ ж процесс, задаваемый СДУ (9), является стационарным процессом с дисперсией
ор = (р2(£)) = В
и экспоненциально спадающей автокорреляционной функцией
%(т) = (р(£)р(£ + т)) = ор ехр (—е|т|), т = ¿2 — ¿1-
(10)
(11)
Случайная фаза автоколебаний. Случайная компонента фазы автоколебаний Ф задается вторым уравнением системы (5), правая часть которого зависит от мгновенной амплитуды р(£). В случае слабого шума (В ^ е) и развитой генерации (0 < е < 1) мы можем пренебречь амплитудными флуктуациями по сравнению с
невозмущенным значением р о и заменить переменную величину p(i) на константу р о. В таком приближении приходим к модели винеровского процесса для флукту-аций фазы p(t)
ср = лДв^и 2(t), (12)
где Вр = const - коэффициент диффузии фазы, определяемый выражением
в=2 Р2=s • ро=2^ (13)
Таким образом, p(t) - это нестационарный гауссов процесс со средним значением, определяемым начальным состоянием (p(t)) = p(to) и линейно растущей во времени дисперсией
1
<(t) = 2Вф • (t - to).
(14)
Очевидно дисперсия полной фазы автоколебаний Ф(£) = £ + ф(£) совпадает с о2(£). Из замены (3) следует, что фаза Ф(£) автогенератора (2) в любой момент времени может быть вычислена как
Ф^) = arctg
-*(t)
X (t)
± пк, к = 0,1, 2,
(15)
Выбор целого к определяется условием непрерывности функции Ф(£). Результат численного расчета дисперсии мгновенной фазы Ф(£) автогенератора (2) представлен на рис. 3. Угловой коэффициент численно полученной линейной зависимости полностью совпадает
значением 2B,
с
с теоретическим = Б/4е = 0.0005.
Кроме переменной ф(£)е(—то; то) часто рассматривают случайную фазу, принимающую значения в ограниченном интервале [—п; п] или [0;2п],
Рис. 3. Зависимость дисперсии мгновенной фазы Ф от времени, полученная численно для системы (2) при е = 0.05, Б = 0.0001 (сплошная линия) и по формуле (14) (штриховая линия)
фф = p(t) + 2nv,
(16)
где V - некоторая целочисленная случайная функция. Представляя колебания в виде X(£) = р(£)ео8(£ + ф(£)) можно заменить переменную ф(£) на переменную ф(£). В силу 2п-периодичности косинуса процесс X(Ь) от этого не изменится, однако использовать ограниченную переменную ф(£) в некоторых случаях оказывается удобнее, поскольку она имеет в пределе Ь^ж стационарное равномерное распределение.
Автокорреляционная функция и спектр автоколебаний в присутствии шума. В рамках квазигармонического приближения можно получить известное выражение для автокорреляционной функции (АКФ) колебаний в зашумленном автогенераторе, задаваемом укороченными СДУ (5)
^(т) = 2(%(т) + р0)е"Бр|т| cosт, т = t2 - ti,
(17)
где 'фр(т) определяется выражением (11). При выводе выражений (17), флуктуации амплитуды относительно невозмущенного значения ро предполагаются малыми, так что в фазовом уравнении можно положить р(Ь) = ро. Тем самым мы пренебрегаем статистической зависимостью мгновенной фазы от мгновенной амплитуды и приходим к модели винерова процесса для фазы ф. При малой интенсивности шума В ^ е такое приближение является вполне приемлемым. На рис. 4 представлена нормированная АКФ колебаний генератора (2) Фх(т) = (т)/фх(0), полученная численно непосредственно из определения АКФ процесса X(Ь)
^х(т) = (X(Ь)Х(Ь + т)) - (X(ЩХ(Ь + т)),
(18)
где в предположении эргодичности процесса X(Ь) статистическое усреднение (...) заменялось усреднением по времени. Для сравнения на том же графике пунктиром
нанесена нормированная огибающая теоретической автокорреляционной функции, рассчитанная при тех же значениях параметров е и В по формуле (17). Можно видеть, что приближенная теория и численный результат находятся в полном соответствии. С ростом интенсивности шума флуктуации амплитуды будут возрастать и их влияние на поведение мгновенной фазы станет су-
Рис. 4. Н°рмир°ванная АКФ к°лебаний X(г) в си- щественным. В этом случае результа-стеме (2) при е = 0.05, В = 0.0001, рассчитан- .
, / - ^ ты вычислений по формуле (17) и дан-
ная по формуле (18) (серый цвет), и нормирован- т г J \ > «
ная огибающая, соответствующая теоретическому ные численного моделирования могут выражению (17) (штриховая линия) заметно отличаться.
Спектральная плотность стационарного случайного процесса X(Ь) связана с АКФ следующим соотношением:
/те
^х(т) ехр (-ют)(1т + 4лХ26(ю), $ = V-! ю ^ 0. (19)
-те
Учитывая, что среднее значение X равно нулю, получаем спектр в виде суммы двух лоренцианов, со спектральными максимумами на частоте невозмущенных автоколебаний, приведенной к единице:
Ох (ю) = С1 (ю) + Сп (ю), р0вф
О1 (ю) =
Оц (ю) =
Вф + (ю - I)2' орВ + е)
(20)
оре
(Вф + е)2 + (ю - !)2 е2 + (ю - !)2
(Вф < е).
Слагаемое О1 связано с флуктуациям фазы. Ширина этой компоненты на уровне половинной мощности равна 2Вф, а значение в максимуме есть р0/Вф. Поскольку при слабом шуме величина Вф очень мала, то лоренциан О1 является очень узким и высоким. Напротив, слагаемое Оц определяется, главным образом, флуктуациями амплитуды. Ширина этой компоненты на уровне половинной мощность есть примерно 2е, то есть относительно велика, а значение в максимуме, приблизительно
Рис. 5. Спектральные характеристики автогенератора при е = 0.05, Б = 0.0001: а - нормированные функции О1 (ю) и Оц (ю), рассчитанные по формулам (20) в децибелах; б - нормированный спектр колебаний X (¿), полученный численно для системы (2) (серая сплошная линия) и теоретически по формулам (20) (штриховая линия)
равное Ор/е, мало. Таким образом, при условии слабого шума и развитой квазигармонической генерации спектр автоколебаний состоит из узкой спектральной линии на частоте автогенерации, ширина которой определяется коэффициентом диффузии фазы и широкополосного низкого пьедестала, в основном связанного с амплитудными флуктуациями.
Рассчитанные по формулам (20) слагаемые С1 и Сц, отнормированные на величину С,тах = С (1), представлены на рис. 5, а. На рис. 5, б приведен нормированный спектр колебаний генератора (2)
(ю) = 10 ^
Сх (ю) Сх
(21)
полученный численно. Здесь Стах = Сх (1). Штриховой линией показан теоретический спектр. При выбранных параметрах данные приближенной теории достаточно хорошо соответствуют численному эксперименту.
2. Спектрально-корреляционный анализ автоколебаний в генераторах спирального хаоса (численные исследования)
Спиральный хаотический аттрактор детально изучен и представляет собой очень распространенный пример негиперболического хаотического аттрактора, типичный для широкого класса динамических систем. Для спирального хаотического аттрактора характерно почти регулярное вращение фазовой траектории вокруг состояния равновесия и наличие четко выраженного спектрального максимума на частоте, соответствующей средней частоте вращения. По указанным причинам к спиральному аттрактору можно применить амплитудно-фазовое описание [2,3].
Классический пример автогенератора хаоса - осциллятор Рёсслера. Уравнения осциллятора имеют вид
х = —у — г, у = х + ау, г = в + г(х — ц). (22)
В (22) будем полагать, что а = в = 0.2, а ц рассматривать в качестве управляющего параметра. В зависимости от выбора значения ц система может находиться в режиме периодических автоколебаний, спирального или винтового хаотического аттрактора.
Другим примером служит модифицированный генератор с инерционной нелинейностью (ГИН)
x = mx + y — z + bx3, y = — y, Z = -gz + gf (x).
(23)
В качестве нелинейной характеристики /(ж) в (23) может быть выбрана любая положительно определенная при х > 0 функция, не являющаяся четной. Будем полагать
Параметры т и д управляют режимом автогенератора, который, как и в осцилляторе Рёсслера, может быть периодическим или хаотическим.
Мгновенную фазу Ф(Ь) автогенераторов (22) и (23) введем аналогично фазе в генераторе ван дер Поля (15) как угол вращения изображающей точки на плоскости динамических переменных х, у
Величина ±пк выбирается таким образом, чтобы фаза была непрерывной функцией времени. Мгновенная амплитуда колебаний есть длина радиус-вектора, исходящего из начала координат,
Рассмотрим режим спирального аттрактора в модели (22) при ^ = 6.5. Вид (х, у)-проекции (рис. 6, а) соответствует режиму спирального аттрактора. Распределение амплитуды р(Ь) хаотических колебаний (рис. 6, б) сильно отличается от аналогичного распределения в зашумленном квазигармоническом генераторе (см. рис. 2) и в окрестности среднего значения амплитуды ро = (р(Ь)) является далеким от гауссова. Разумеется, автоколебания осциллятора Рёсслера сильно отличаются от квазигармонических автоколебаний зашумленного осциллятора ван дер Поля. В то же время, с точки зрения поведения мгновенной фазы и связанных с ней характеристик наблюдается много общего. Распределение флуктуаций мгновенной фазы ф(Ь) = Ф(Ь) - (Ф(Ь)), рассчитанное на ансамбле фазовых траекторий одинаковой длины, достаточно хорошо аппроксимируется гауссовым законом (рис. 6, в). Дисперсия мгновенной фазы хаотических автоколебаний растет почти линейно (рис. 6, г) подобно тому, как она росла в квазигармоническом осцилляторе с шумом (см. рис. 3).
Можно оценить по методу наименьших квадратов угловой коэффициент линейного роста дисперсии. Половину этого коэффициента называют эффективным коэффициентом диффузии мгновенной фазы хаотических автоколебаний Вэф. Для рассматриваемого режима в модели (22) было получено значение Вэф = 0.00018 ± 10_5. Напомним, что в данном случае диффузия фазы связана не с шумом, а только с детерминированной динамикой системы (22), в которой шум отсутствует.
Остановимся более подробно на спектрально-корреляционных характеристиках спирального хаоса. Как показывают расчеты, АКФ колебаний х(Ь) в системе (22) в режиме спирального аттрактора очень хорошо аппроксимируется выражением (17), где вместо Вф следует взять Вэф. На рис. 7, а приведен результат расчета АКФ колебаний х(Ь) в системе (22) по формуле (18) с учетом нормировки. Там же изображена
(24)
к = 0,1, 2,...
(25)
p(i) = vxw+ш.
(26)
Рис. 6. Характеристики спирального аттрактора в модели (22) при ц = 6.5: а - (х, у)-проекция аттрактора; б - распределение амплитуды хаотических колебаний; в - распределение флуктуаций мгновенной фазы в момент £ = 1000 при начальном распределении в пределах интервала [—я/30; я/30] и его гауссова аппроксимация (штриховая линия); г - зависимость дисперсии мгновенной фазы от времени (точки) и ее линейная аппроксимация (штриховая линия)
- 1 ] я •
/ \,
/ V V;
V
■■■":> :• / V
/ V. . . :
/ У
1.00 1.05 1.10 1.15 ю
Рис. 7. Результаты спектрально-корреляционного исследования хаотических автоколебаний в системе Рёсслера (22) при ц = 6.5: а - нормированная АКФ колебаний х(£) в системе (22), рассчитанная по формуле (18) (серые точки), и нормированная огибающая, соответствующая выражению (17) при Бц = Вэф (черные точки); б - фрагмент нормированного спектра колебаний х(£) (сплошная серая кривая) и аппроксимация основной спектральной линии по формуле (27) (штриховая линия). При аппроксимации использовались численно полученные значения коэффициента эффективной диффузии фазы Вэф и частоты максимума ю0: Вэф = 0.00018 ± 10~Б; ю0 = 1.0683 ± 10~4
нормированная огибающая, соответствующая выражению (17) при Вф = Вэф и численно полученных значениях ^р (т). Таким образом, учитывалось поведение не только фазы, но и амплитуды колебаний, так как в рассматриваемом хаотическом режиме флуктуации амплитуды являются существенными. На рис. 8 приведены результаты расчета ненормированной автокорреляционной функции амплитудных флуктуаций ^р (т). Как видно из графика, ^р (т) при т = 0 имеет значительную величину и резко
10.0
-5.0
Рис. 8. Результаты расчета ненормированной автокорреляционной функции амплитудных флукту-аций 'фр(т) для системы Рёсслера (22) при ц = 6.5
Именно с амплитудными флукту-ациями связан спад на начальном участке АКФ, который заметен на графике рис. 7, а. Фрагмент нормированного спектра колебаний х(Ь) в том же режиме представлен на рис. 7, б. Пунктирной линией изображена аппроксимация спектральной линии по формуле
Бх(т) = 10 ^
Рх(щ)
Лтах
= 10^
В2
Вэф
Вэ2ф + (ю - юо)2
(27)
-60.0
0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 со
Рис. 9. Фрагмент нормированного спектра колебаний х(£) в (23) при т = 1.35, д = 0.21, Ь = 0.0001 (сплошная серая линия) и аппроксимация основной спектральной линии по формуле (27) с коэффициентом эффективной диффузии фа-
зы Вэ(
0.00008 ± 10 и частотой максимума
ю0 = 0.9642 ± 10 (штриховая линия)
где ю0 = 1.0683 ± 10-4 - численно полученная частота главного спектрального максимума, совпадающая в пределах погрешности вычислений со средней частотой хаотических колебаний юср, определяемой выражением
Ф(*о + Т) - ф(^о) (28)
юср =11т ---. (28)
1 —±
Таким образом, основная спектральная линия в режиме спирального аттрактора хорошо аппроксимируется лоренциа-ном в соответствии с (20), причем даже
без учета амплитудных флуктуаций. Последние проявляются в спектре в форме широкополосного пьедестала на уровне менее -40 дБ. Ширина основной спектральной линии на уровне половинной мощности определяется коэффициентом эффективной диффузии фазы и, в пределах погрешности численных расчетов, равна 2Вэф.
Аналогичные результаты были получены для генератора с инерционной нелинейностью (23) (рис. 9) и для других моделей хаотических автогенераторов в режиме спирального аттрактора, что позволяет говорить об их универсальном характере.
Влияние белого шума на хаотические автоколебания в режиме спирального аттрактора. Исследуем, как повлияет аддитивный белый шум на поведение мгновенной фазы хаотических автоколебаний в режиме спирального аттрактора. Рассмотрим модель (22), добавив в нее белый гауссов шум п(£) ((п(£)п(£ + т)) = 8(т)),
Х = -У - 2 + ^2Ви(г), У = X + аУ, 2 = в + 2(X - ц),
(29)
где В - параметр, управляющий интенсивностью шумового воздействия. Численное исследование модели (29) и других моделей спирального хаоса показывает, что воздействие слабого белого шума не приводит к качественным изменениям поведения системы, в частности, характера поведения мгновенной фазы, однако, может существенно увеличить скорость перемешивания за счет увеличения коэффициента эффективной диффузии фазы. Исследуем зависимость коэффициента эффективной диффузии фазы Вэф от интенсивности белого шума в системе (29). Как следует из теории квазигармонического автогенератора, диффузия фазы прямо-пропорциональна интенсивности шума В. Можно предположить линейный характер зависимости Вэф(В) и в случае хаотического генератора, но при этом необходимо учесть, что хаотические автоколебания в отсутствие шума обладают собственным коэффициентом эффективной диффузии фазы Вэф(0). Тогда получим
Вэф = С! В + С2, (30)
где С1 - некоторый коэффициент пропорциональности, определяемый характеристиками хаотических колебаний, а с2 = Вэф(0) - коэффициент эффективной диффузии фазы хаотических автоколебаний при В = 0. На рис. 10 в логарифмическом масштабе представлена зависимость Вэф от интенсивности шума В, полученная численно для модели (29). Штриховой линией изображена ее линейная аппроксимация (30). Коэффициенты С1 и С2 находились по методу наименьших квадратов. В целом данные численного эксперимента разбросаны в окрестности линейной зависимости, причем полученное в результате линейной аппроксимации значение С2 = 0.00020 близко к численно найденному значению коэффициента диффузии: Вэф(0) = 0.00018. Соответственно с ростом Вэф возрастает скорость экспоненциального затухания АКФ хаотических колебаний и ширина основной спектральной линии.
Исследование динамики мгновенной фазы и спектральных характеристик автогенератора со спиральным аттрактором в физическом эксперименте. Статистические характеристики источников шума, неизбежно присутствующих в реальных устройствах, не всегда удается правильно определить. Поэтому, установленные для математической модели закономерности в реальности могут нарушаться. Чтобы подтвердить наблюдаемость установленных закономерностей, в реальных системах были проведены соответствующие физические эксперименты. Была создана измерительная установка, включающая исследуемую систему, компьютер, АЦП, и генератор гауссова широкополосного шума с полосой частот от 0 до 100 кГц (рис. 11).
В качестве исследуемой системы был выбран модифицированный ГИН, представляющий собой реальный радиотехнический автогенератор с мостом Вина и цепочкой инерционной нелинейности, контролирующей коэффициент усиления усилительного каскада. В безразмерных переменных математическая модель ГИН задается системой уравнений (23). Значения параметров т и д выбирались соответствующими режиму спирального хаоса. При заданной настройке моста Вина основная частота хаотических колебаний /о составляла 18.5 кГц. Частота дискретизации АЦП
-4.0 -3.5 -3.0 -2.5 ^О Рис. 10. Зависимость коэффициента эффективной диффузии фазы Вэф от интенсивности шума Б (сплошная кривая) и ее линейная аппроксимация по методу наименьших квадратов (штриховая линия)
выбиралась равной 694.44 кГц. Кроме внутренних источников шума на экспериментальный генератор воздействовал широкополосный шум от внешнего генератора, интенсивность которого можно было регулировать.
В ходе эксперимента с помощью АЦП проводилась запись колебаний х(Ь) исследуемой системы и последующая обработка данных на компьютере. Для последовательности моментов времени вычислялись мгновенная амплитуда р(Ь) и мгновенная фаза Ф(Ь) колебаний с использованием концепции аналитического сигнала. По полученным экспериментальным данным вычислялось зависимость дисперсии фазы от времени и вычислялся коэффициент эффективной диффузии мгновенной фазы Вэф. При этом использовалось усреднение на ансамбле, составленном из N фрагментов длинной реализации х(Ь). Рассчитывались также автокорреляционная функция записанных колебаний генератора. На рис. 12 в логарифмическом масштабе представлены графики огибающих Рис. 12. Огибающие автокорреляционных функций нормированных АКФ, полученные при
(отлсзштю линии), полученные в жотежмште различных значениях интенсивности при различных значениях дисперсии внешнего шу- _
ма Б: 1 - 0, 2 - 0.0005 мВ, 3 - 0.001 мВ, и их экспо- внешнего шума. Там же приведены экс-ненциальные аппроксимации («кружочки») с декре- поненциальные аппроксимации получен-ментами затухания Вэф: 0.00024, 0.00033, 0.000439, ных зависимостей вида Фапп(т) = соответственно = ехр (-Вэфт), где Вэф - коэффициент
эффективной диффузии мгновенной фазы, найденный по экспериментальным данным (флуктуации амплитуды в ГИН относительно малы, так что при аппроксимации АКФ их можно не учитывать).
Аналогичные результаты физических экспериментов, находящиеся в полном соответствии с результатами численных исследований, были получены также для аналоговой модели осциллятора Рёсслера. Таким образом, физические эксперименты показали, что спектрально-корреляционные свойства хаотических автоколебаний в режиме спирального аттрактора и их связь с коэффициентом эффективной диффузии фазы являются достаточно грубыми по отношению к характеристикам источников шума и четко наблюдаются в экспериментах.
Заключение
Результаты анализа статистических характеристик колебаний зашумленного квазигармонического генератора на примере классической модели ван дер Поля показали следующее. Воздействие слабого 8-коррелированного шума приводит к установлению в генераторе случайных колебаний, математической моделью которых служит так называемый «гармонический шум»
Рис. 11. Схема экспериментальной установки
X(t) = p(t) cos [w0t + .
(31)
Здесь р(Ь) = ро + р(Ь) - случайная амплитуда, ц(£) - случайная фаза процесса X(£). Причем, в силу фильтрующих свойств резонансного контура генератора, флуктуации амплитуды р(£) и фазы ц(£) являются медленно меняющимися функциями в сравнении с периодом Т = 2п/ю0 колебаний генератора.
Автокорреляционная функция случайного процесса X(Ь) выражается следующим образом:
где ^р (т) - АКФ амплитудных флуктуаций. Для квазигармонического зашумленного генератора амплитудные флуктуации малы и огибающая АКФ ^(т) спадает с ростом т экспоненциально. Скорость спада определяется коэффициентом диффузии случайной фазы Вф, которая представляет собой нестационарный винеровский процесс.
Выражения (31) и (32) могут быть применены к описанию статистических процессов в генераторах спирального (или фазокогерентного) хаоса. В этом случае вместо коэффициента диффузии фазы Вц нужно использовать эффективный коэффициент диффузии фазы Вэф. При этом отметим, что в режиме спирального хаоса даже в отсутствие флуктуаций Вэф > 0. Этот факт еше раз убедительно свидетельствует о том, что режим детерминированного хаоса проявляет свойства случайного процесса, несмотря на то, что обусловлен детерминированными динамическими закономерностями.
Работа выполнена в рамках АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы на 2009-2010 годы» Министерства образования и науки РФ (грант № 2.2.2.2/229) и при поддержке Американского фонда гражданских исследований и развития (СКОР).
Библиографический список
1. Стратонович Р. ^.Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. М.: Сов. радио, 1961.
2. Анищенко В.С., Вадивасова Т.Е., Окрокверцхов Г.А., Стрелкова Г.И. Статистические свойства динамического хаоса // УФН. 2005. Т. 175, № 2. С. 163.
3. Анищенко В.С., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е. Регулярные и хаотические автоколебания. Синхронизация и влияние флуктуаций. М.: Интеллект, 2009.
SELF-SUSTAINED OSCILLATIONS IN QUASIHARMONIC AND CHAOTIC OSCILLATORS IN THE PRESENCE OF FLUCTUATIONS
The paper presents the results of the classical theory of fluctuations in the quasi-harmonic van der Pol oscillator. Stochastic equations for amplitude and phase of self-sustained oscillations are formulated and then their solutions are analyzed. The autocorrelation function and power spectrum of noisy self-sustained oscillations are studied.
(32)
Поступила в редакцию 23.06.2009
VS. Anishchenko, T.E. Vadivasova, G.I. Strelkova
Then the spectral and correlations characteristics of chaotic self-sustained oscillations are numerically analyzed in spiral chaos oscillators. Statistical characteristics of spiral chaos are explored both without and in the presence of fluctuations, and the obtained results are compared with the classical theory of fluctuations in the van der Pol oscillator.
Keywords: Spiral attractor, noisy self-sustained oscillations, harmonic noise, correlation time, spectral line width.
Анищенко Вадим Семенович - родился в 1943 году. Окончил физический факультет СГУ (1966). Защитил диссертацию на звание кандидата физико-математических наук (1970) и доктора физико-математических наук (1986). С 1988 года - заведующий кафедрой радиофизики и нелинейной динамики физического факультета СГУ. С 1979 и по настоящее время работает в области исследования нелинейной динамики и стохастических процессов в нелинейных системах. Является автором более 350 научных работ, среди которых 14 монографий на русском и английском языках и 6 учебников. Неоднократно читал лекции в ведущих вузах Германии в качестве приглашенного профессора. Член-корреспондент РАЕН, заслуженный деятель науки РФ (1995), Соро-совский профессор, лауреат премии Фонда Александра Гумбольдта (1999). 410012 Саратов, Астраханская, 83
Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского E-mail: [email protected]
Вадивасова Татьяна Евгеньевна - родилась в 1958 году. Окончила физический факультет Саратовского государственного университета (1981), доктор физико-математических наук. В настоящее время - профессор кафедры радиофизики и нелинейной динамики физического факультета СГУ. Научные интересы сосредоточены в области нелинейной динамики: эффекты синхронизации в ансамблях хаотических осцилляторов, явление фазовой мультистабильности взаимодействующих хаотических систем, свойства различных типов нерегулярных аттракторов, статистические характеристики динамического хаоса, роль флуктуаций в нелинейных системах и др. Автор более 60 публикаций в отечественной и зарубежной печати, включая 3 монографии. 410012 Саратов, Астраханская, 83
Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского E-mail: [email protected]
Стрелкова Галина Ивановна - окончила Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского (1993), защитила диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук (1998). С 1994 года работает на кафедре радиофизики и нелинейной динамики ведущим инженером, с 2008 года - доцентом. Область научных интересов - теория колебаний, нелинейная динамика, синхронизация. Опубликовала в соавторстве научную монографию «Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах», 35 научных статей и 3 учебных пособия. 410012 Саратов, Астраханская, 83
Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского E-mail: [email protected]
