Астатическая коррекция цифровых законов управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

Смирнова М.А.1, Смирнов М.Н.2

1 Санкт-Петербургский государственный университет, г.Санкт-Петербург, ассистент кафедры

компьютерных технологий и систем, 51тлгпоуа-та@Ьк.ги

2 Санкт-Петербургский государственный университет, г.Санкт-Петербург, ассистент кафедры

компьютерных технологий и систем, [email protected]

АСТАТИЧЕСКАЯ КОРРЕКЦИЯ ЦИФРОВЫХ ЗАКОНОВ

УПРАВЛЕНИЯ

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА

Астатизм, цифровое управление, устойчивость. АННОТАЦИЯ

В статье рассмотрены задачи применения многоцелевых структур для управления линейными объектами в их движении по заданным траекториям с обеспечением нулевой статической ошибки при воздействии постоянных внешних возмущений, а также вопросы астатической коррекции стабилизирующих законов управления. Предложены методы и алгоритмы для решения указанных задач.

Современные системы автоматического управления движением, как правило, функционируют в различных динамических режимах, определяемых конкретным заданием командных сигналов и внешних возмущений, действующих на объект управления. Для каждого из режимов на стадии проектирования системы формируется комплекс требований, условий и ограничений, которые должны неукоснительно выполняться в процессе движения. Следует особо отметить, что указанные комплексы в совокупности чаще всего имеют противоречивый характер в силу существенного различия особенностей динамики режимов движения.

Естественным путем обеспечения всех требуемых динамических свойств является достижение некоторого компромисса по качеству процессов управления в различных режимах. Этот компромисс проще всего обеспечить некоторым единым многоцелевым законом управления для всех режимов, однако потери качества для отдельных режимов здесь очевидны. Этот подход рассмотрен в различных работах, таких как [1 - 9].

В связи с отмеченными обстоятельствами, в работе принят иной подход к формированию многоцелевых законов, базирующийся на частичной фиксации некоторой единой для всех режимов части закона управления с возможным подключением дополнительных адаптивно настраиваемых на отдельные режимы элементов. Математической основой для такой настройки принимается оптимизационный подход, позволяющий трактовать содержательные задачи проектирования как задачи о поиске экстремумов. Идеология предложенного подхода рассматривалась в различных работах [10 - 31], однако в цифровом случае требуются дополнительные уточнения.

В частности, существенное внимание в статье уделяется законам управления движением по заданной траектории, обеспечивающих астатизм замкнутой системы.

Пусть математическая модель динамики подвижного объекта представляется следующей системой дифференциальных уравнений

X [ п + 1 = х (X [ п ], 5 [ п ]) + Bd [ п ],

5 [ п + 1^5 (5 [ п], и [ п]), (1)

у [ п ]=Сх [п ],

где функции и F(5 определяют нелинейности объекта и привода соответственно.

Здесь х £ Еп - вектор состояния, 5 £ Ет - вектор управляющих воздействий, и £ Ет -вектор управляющих сигналов (управлений), у £ Ек - вектор измеряемых и регулируемых переменных, d £ Е1 - вектор внешних воздействий, матрицы В и С имеют постоянные компоненты.

Также будем рассматривать уравнение обратной связи

z [ n + 1 ] = F z( z [ n ], б [ n ], y [ n ]), u [ n ]=FU (z [ n ], б [ n ], y [ n ])

с вектором состояния zE.EV ■ Функции Fz и Fu необходимо определить в результате решения задачи синтеза.

Для замкнутой системы (1), (2), находящейся под воздействием внешнего возмущения вида d = { d [ n ]}=d 0'[de [ n ]} , где d 0G El , а de = {de [и]} - ступенчатая единичная последовательность, условие астатизма по регулируемой переменной y запишется в виде lim y [ n ]=0

n ^да

Для решения задачи стабилизации, уравнения состояния объекта (1) линеаризуются в окрестности нуля при нулевых управляющих и возмущающих воздействиях, а уравнения приводов рассматриваются только в пределах линейного участка. В результате формируется линейная модель динамики подвижного объекта

x [ n + 1 ] = Ax [ n ] + B б [ n ] + Dd [ n ],

б [ n + 1 ] = u [ n ]+б [ n], (3)

y [ n ] = Cx [n ] с теми же динамическими переменными.

Задача состоит в том, чтобы спроектировать обратную связь (2) так, чтобы указанное положение равновесия было асимптотически устойчивым, а замкнутая система (3), (2) была астатической по регулируемой переменной y ■

Скоростной регулятор в дискретном варианте определяется формулой

u [ n ] = ц (x [ n + 1 ]—x [ n ]) + vy [ n ]. (4)

Он строится однозначно в силу уравнений динамики объекта на основе исходного управления по состоянию

U[n]= Kxx[n]+Kбб[n] ■ (5)

При этом коэффициенты управлений (5) и (6) определяются с обязательным учетом следующих требований:

- замкнутая линейная система должна быть устойчивой;

- перерегулирование P и длительность переходного процесса Tp не должны превосходить заданных величин, т.е. P<P0, Tp<Tp0 .

Суть метода обеспечения астатизма для режима стабилизации в дискретном случае состоит в численном поиске коэффициентов исходного базового закона управления (5), обеспечивающего выполнение указанных требований с переходом к скоростному закону управления (4) в силу уравнений объекта. Поскольку производные вектора состояния недоступны непосредственному измерению, они заменяются оценками, полученными с помощью асимптотического наблюдателя полного порядка.

Для поиска коэффициентов базового закона (5) удобно использовать функционал

да

J = Е( x'[ n ] Qx [ n ] + u'[ n ] Ru [n ]),

n=0 , (6)

заданный на движениях замкнутой системы (3), (5). Минимизация этого функционала позволяет найти матрицы Kx, K6 базового стабилизирующего регулятора (5). Заметим, что весовые матрицы Q и R заранее не задаются и находятся адаптивно при реализации общей схемы синтеза управления (4).

Таким образом, можно сформировать схему синтеза цифрового скоростного закона управления. Эта схема, базирующаяся на конечномерной задаче на условный экстремум, состоит из следующих вычислительных операций:

1. Указывается вектор у£ Ep вещественных числовых параметров, от которых однозначно зависит знакоположительная матрица Q=Q (у) и положительно-определенная матрица R = R (у) и задаются начальные приближения для его компонентов.

2. Решается задача LQR-оптимального синтеза для замкнутой системы с интегральным квадратичным функционалом

J = Е( X' [п ] Qx [п ] + и' [п ] Ru [ п ]),,

п = 0

что дает коэффициенты Кх = Кх(у), К6 = К6(у) базового стабилизирующего регулятора.

3. Базовый регулятор преобразуется в силу линейных уравнений объекта к скоростной форме (4) при условии отсутствия внешнего воздействия, что дает коэффициенты

Ы, v=vы.

4. На соответствующих движениях получившейся замкнутой системы при учете ступенчатых возмущений определяются значения функционалов Р = Р (у) и Т р=Т ^ (у) , а также значение вспомогательного функционала

I = I (У) = р (У)-Р о + |р (У)-р0+Тр (У)-Тр0 + |Тр (У)-ТроК

5. Если для данного вектора У значение вспомогательного функционала положительно, с помощью любого численного метода спуска задать новое приближение вектора У и повторить вычисления по пунктам 2 - 5, минимизируя функционал I = I (у) до достижения им нулевого глобального экстремума, соответствующего выполнению желаемых ограничений.

Особенности реализации цифрового траекторного управления с использованием многоцелевой структуры рассмотрим на примере линейного стационарного объекта с математической моделью

$[п + 1 ] = Ап] + Ви[п], $[0]=0,

у [ п ] = С $ [п Ии [ п ], 1

где ^ eEv - вектор состояния объекта, и £ Ец - вектор управляющих воздействий, у £Ек -вектор регулируемых координат, А,В,С^ - матрицы соответствующих размерностей с постоянными компонентами.

Будем считать, что заданное движение у d [п ] реализуемо, если существует обратная связь, обеспечивающая выполнение

У [п]- yd[п] при п

в замкнутой системе.

Уравнения (7) определяют линейный стационарный оператор

: и - Г , у [ п ] = И р и [ п ] , (8)

который при заданных начальных условиях $ [ 0 ] = $ о ставит каждому управлению и из

допустимого множества и в однозначное соответствие выход у из множества Г . Будем

считать, что определен и соответствующий обратный оператор ^р1 .

Пусть при этом задана цифровая стабилизирующая обратная связь с СП математической моделью

£[ п + 1 ]=А с £[ п ]+В с у [ п ],

и [ п ] = Сс п ] + Dc у [ п ], (9)

где - вектор состояния регулятора, Ас, Вс, Сс, Dc - матрицы соответствующих

размерностей с постоянными компонентами. Как и в непрерывном времени, начальные условия по вектору С, принимаются нулевыми.

Уравнениям (9) регулятора соответствует линейный стационарный оператор : Г и обратной связи

и[ п]=Ису [п ] , (10)

который ставит каждому измерению у из множества Г в однозначное соответствие управление и из множества и .

При замыкании объекта (7) обратной связью (9) в соответствии с соотношениями (8) и (10) имеем

у [п] = Иру [п ] , (11)

т.е. уравнение, решение которого приводит к линейному стационарному оператору замкнутой однородной системы:

^3 у [ п] =0 . (12)

Поскольку обратная связь является стабилизирующей, нулевое положение равновесия системы (12) асимптотически устойчиво по Ляпунову, т.е. справедливо условие

у [ п 0 при П ^да . (13)

Вместо обратной связи (10) сформируем управляющее воздействие в виде суммы

и [ п]=И—1 ул [п ] + *с (у [ п]—у„ [п ]) , (14)

где первое слагаемое можно трактовать, как задающий командный сигнал и [п 1 у^[ п] ,

подаваемый на замкнутую систему, а второе слагаемое и [ п ]=^с (у [ п ] — у^ [ п ]) определяет

обратную связь по ошибке е[п]=у[п]—у[п] слежения. Тогда справедливо следующее утверждение:

Управление и[п] = ^ — 1 иd[п] + ^с(у[п] — у^[п]) , где первое слагаемое - задающий командный сигнал, а второе - обратная связь по ошибке слежения е[п]= у[п] — у^[п] , обеспечивает реализацию заданного движения у^ [ п ] для объекта

£[ п+1 ]=А £[ п ]+Ви [ п ], у [ п ] = С £[ п ] + Du [ п ], т.е. выполнение условия у [пyd[п] при П ^ Ю.

Конкретизируем приведенную схему реализации желаемого движения по заданному направлению с использованием цифрового стабилизирующего регулятора по состоянию объекта.

Рассмотрим линейную цифровую математическую модель подвижного объекта с учетом уравнения привода, работающего в пределах линейного участка:

х [ п + 1 ]=Ах [ п ] + В б[ п ],

5 [ п + 1 ]= и [ п ]+б[ п], (15)

у [ п ] = Сх [ п ].

Здесь х [ п ]£ Еп , б[ п ]£Ет , и [ п ]£ Ет , у [ п]£ Ек , k < п, причем будем рассматривать часто встречающуюся ситуацию, когда С=(0 | С2) , где С2 - не особая квадратная матрица

размера пХ п , т.е. справедливо равенство

х1[ п ]

у[п]=Сх[п]=(0 I С

2

х2[п ]

=С2Х2[п], х2[п]£Ек , detС2. (16)

Введем также в рассмотрение уравнение стабилизирующего регулятора по состоянию

и [ п ] = К х х [п ]+К55 [ п ], (17)

которое с учетом представления Кх = ( Кх 1 | Кх2 ) можно записать в виде

и [ п]= Кх 1 х1 [ п] + Кх2х2[ п] + К55[ п] .

В соответствии с приведенным утверждением, справедливо следующее: Управляющий сигнал

и [ п ] = Н—1( ц) у, [ п ] + К х 1 х1 [ п ] + Кх 2 С—1 [ у [ п ]—у, [ п ]] + К55 [ п ], обеспечивает реализацию заданного движения у[п ] для объекта с вектором состояния х [п]=( х' 1 [п] ! х '2[п])'

х [ п + 1 ]=Ах [ п ] + В б[ п ],

б[ п + 1 ]=и [ п ]+б[ п ], у [ п ] = Сх [ п ] = С2 х 2 [ п ], т.е. выполнение условия у [ п yd [ п ] при П ^ Ю.

Приведенные утверждения позволяют сформировать правило трансформации заданного стабилизирующего управления для его использования с целью реализации желаемого движения

объекта:

и [ п ]= Кх X [ п ] + К5б [ п ] = К х 1X1 [ п ] + К х 2Х2 [ п ] + К5б [ п

и [ п ] = Н-1( Ц ) yd [ п ] + Кх 1 X 1[ п ] + К х 2 С-1 [ у [ п ]-у, [ п ]]+ Кб б [ п ]. (18)

Здесь первое слагаемое и [п ] = Н 1( Ц) yd [ п ] можно трактовать, как задающий

командный сигнал, который напрямую подается на объект в сумме с обратной связью. При этом второе слагаемое

и [ п ]= Кх 1X1 [ п ] + К х 2 С-1[ у [ п ]-у, [ п ]] + Кб б [ п ] определяет обратную связь с учетом ошибки е[п] = у[п]—у(1 [п] слежения.

Теперь обратимся к ситуации, когда реализация желаемого движения объекта обеспечивается не с помощью регулятора (17) по состоянию, а с помощью стабилизирующей обратной связи по измеряемому выходу у .

Будем использовать многоцелевую структуру закона управления, представленную выше, обеспечивая ее динамическую коррекцию для достижения астатизма по отработке программного движения при наличии ступенчатых возмущений.

Рассмотрим систему с постоянным внешним воздействием d = { d[п]} = dо'{^е[п]}

X [ п + 1 ]=Ax [ п ] + В б[ п ] + Dd [ п ],

б[ п + 1 ]= и [п ] + б[ п], (19)

у [ п ] = Cx [ п ].

Будем считать, что матрица наблюдателя G найдена в результате синтеза наблюдателя и выполнен синтез базового алгоритма стабилизации в виде и[п] = XX[п]+ Коб[п] . Будем формировать управляющие сигналы по выходу наблюдателя в виде

и[ п]= Къ [п] + К0б [п ] , (20)

где ъ - оценка вектора состояния системы, полученная с помощью асимптотического наблюдателя

ъ [ п + 1 ]=Аъ [ п ]+В б[ п ^ (у [ п ]-Съ [ п ]). (21)

Для достижения свойства астатизма введем в (20) аддитивный корректирующий сигнал Кд (у [п ] — Съ [п ]) , в результате чего выражение (20) преобразуется к виду

и [ п ] = Къ [ п ] + К0б [ п ]+Кд (у [ п ]-Съ [ п ]). (22)

Проведя рассуждения аналогичные приведенным выше, приходим к тому, что существует такая матрица Кд , что регулятор с математической моделью

и [ п ]= Н-1 ( ц ) yd [ п ] + (К-К д С) ъ [ п ]+К 0б [ п ] + Кд (у [ п ]-уа [ п ]), (23)

где ъ - оценка вектора состояния системы, полученная с помощью асимптотического наблюдателя (21) для системы (19) с постоянным внешним воздействием d = { d [ п ]} = d 0-{^е [ п ]} обеспечивает астатизм системы по регулируемым координатам и реализацию заданного движения yd [ п ] , т.е. выполнение условия у [ п ]— yd [ п ] при П ^ С.

Таким образом, в статье рассмотрены задачи применения многоцелевых структур для управления линейными объектами в их движении по заданным траекториям с обеспечением нулевой статической ошибки при воздействии постоянных внешних возмущений, а также вопросы астатической коррекции стабилизирующих законов управления. Предложены методы и алгоритмы для решения указанных задач.

Литература

1. Веремей Е.И. Синтез законов многоцелевого управления движением морских объектов // Гироскопия и навигация. - 2009. - № 4. С. 3-14.

2. Лукомский Ю. А., Корчанов В. М. Управление морскими подвижными объектами.- СПб.: Элмор, 1996.- 320 с.

3. Лукомский Ю. А., Пешехонов В.Г., Скороходов Д.А. Навигация и управление движением судов. СПб.: «Элмор», 2002. 360с.

4. Мирошник И. В. Теория автоматического управления. Нелинейные и оптимальные системы. - СПб: Питер, 2005. -271 с.

5. Веремей Е.И. Линейные системы с обратной связью. - СПб.: Изд-во «Лань», 2013. - 448 с.

6. Fossen T.I. Guidance and Control of Ocean Vehicles. John Wiley & Sons. New York, 1999, 480 p.

7. Fossen T.I. Marine control systems. Marine Cybernetics. 2002, 558 p.

8. Holzhuter T. LQG approach for the high-precision track control of ships // IEEE Proceedings on Control Theory and Applications 144(2), 1997. pp. 121-127.

9. Holzhuter T., Schultze R. On the experience with a high-precision track controller for commercial ships // Control Engineering Practise CEP-4(3), 1996. pp. 343-350.

10. Смирнов М.Н. Метод учета ограниченных внешних воздействий при синтезе обратных связей с многоцелевой структурой // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2014. Вып. 2. С. 130-140.

11. Смирнова М.А. Обеспечение астатизма в системах управления движением морских судов // Вестн. С.-Петерб. унта. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2014. Вып. 2. С. 141-153.

12. Смирнов М.Н. Информационная поддержка процесса обучения при моделировании системы управления шаром на наклонной направляющей // International journal of open information technologies. 2014.T.2, №3. С. 23-28.

13. Смирнова М.А. Вопросы информатизации обучения на примере программного комплекса цифрового управления роботом // International journal of open information technologies. 2014.T.2, №3. С. 29-34.

14. Смирнов М.Н. Использование современных информационных технологий для моделирования системы управления шаром на подвижной направляющей // Современные информационные технологии и ИТ-образование. М.: ИНТУИТ.РУ 2013. №9. С. 728-732.

15. Смирнов М.Н. Оптимизация управления подвижными объектами с ограниченными внешними возмущениями // Современные информационные технологии и ИТ-образование. М.: ИНТУИТ.РУ 2012. № 8. С. 1018-1024.

16. Смирнова М.А. Программный комплекс цифрового управления роботом, имитирующим башню танка // Современные информационные технологии и ИТ-образование.. М.: ИНТУИТ.РУ 2013. №9. С. 733-737.

17. Смирнова М.А. Многоцелевое управление подвижными объектами в режиме реального времени // Современные информационные технологии и ИТ-образование. М.: ИНТУИТ.РУ 2012. №8. С. 1025-1032.

18. Смирнов М.Н. Динамическая компенсация ограниченных внешних возмущений в системе стабилизации курса судна / / Материалы XV конференции молодых ученых "Навигация и управление движением". 2013. С. 364-370.

19. Смирнова М.А. Синтез астатических законов управления с неполной обратной связью для морских подвижных объектов // Материалы XV конференции молодых ученых "Навигация и управление движением". 2013. С. 217223.

20. Смирнов М.Н., Федорова М.А. Компьютерное моделирование системы астатической стабилизации курса морского судна // Процессы управления и устойчивость: Труды 41-й международной научной конференции аспирантов и студентов. СПб, 2010. С. 495-500.

21. Смирнов М.Н. Алгоритм синтеза управлений, подавляющих ограниченные внешние воздействия на морское судно // Процессы управления и устойчивость: Труды 42-й международной научной конференции аспирантов и студентов. СПб, 2011. С. 362-368.

22. Федорова М.А. Синтез и компьютерное моделирование астатической системы управления курсом морского судна // Процессы управления и устойчивость: Труды 42-й международной научной конференции аспирантов и студентов. СПб, 2011. С. 368-374.

23. Смирнов М.Н., Смирнова М.А. Реализация программного комплекса для динамического управления нелинейным объектом // Процессы управления и устойчивость: Труды 44-й международной научной конференции аспирантов и студентов. СПб, 2013. C.297-301.

24. Смирнов М.Н., Смирнова М.А. Современные информационные технологии в процессе обучения технических специалистов // Процессы управления и устойчивость, 2014. T. 1. С. 397-400.

25. Арзуманян Н.К., Смирнова М.А., Смирнов М.Н. Моделирование системы управления тормозными усилиями автомобиля в Simulink // Процессы управления и устойчивость, 2015. T. 2. С. 357-363.

26. Какорин Н.С., Смирнов М.Н., Смирнова М.А. Моделирование распространения вирусного заболевания на основе данных о взаимодействии индивидов // Процессы управления и устойчивость, 2015. T. 2. С. 421-425.

27. Королев Е.А., Петрунин В.Н., Смирнов М.Н., Смирнова М.А. Разработка системы шифрования с применением стегано-криптографических методов / / Процессы управления и устойчивость, 2015. T. 2. С. 437-441.

28. Смирнов А.Н., Смирнов М.Н., Смирнова М.А. Управление аккомпанементом в процессе воспроизведения // Процессы управления и устойчивость, 2015. T. 2. С. 497-502.

29. Смирнов М.Н., Смирнова М.А. Вопросы синтеза стабилизирующих управлений при наличии неопределенных внешних возмущений // Процессы управления и устойчивость, 2015. T. 2. С. 503-508.

30. Арзуманян Н.К., Смирнова М.А., Смирнов М.Н. Синтез и моделирование обратных связей антиблокировочной системы автомобиля // Устойчивость и процессы управления: Материалы III международной конференции, посвященной 85-летию со дня рождения профессора, чл.-корр. РАН В.И. Зубова. Спб, 2015. С. 505-506.

31. Веремей Е.И., Смирнов М.Н., Смирнова М.А. Вопросы устойчивости и качества в управлении движением морских судов // Устойчивость и процессы управления: Материалы III международной конференции, посвященной 85-летию со дня рождения профессора, чл.-корр. РАН В.И. Зубова. Спб, 2015. С. 511-512.