Асимптотика затопленной струи и процессы переноса в ней Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.525

З.М. Маликов1, А. Л. Стасенко2,3

1Институт механики и сейсмостойкости сооружений АН РУз 2 Московский физико-технический институт (государственный университет) Зцентральный аэрогидродинамический институт им. проф. Н.Е. Жуковского

Асимптотика затопленной струи и процессы переноса в ней

Найдено решение стационарных уравнений Навье^Стокса для осесимметричной струи несжимаемой жидкости, истекающей в затопленное пространство, с точностью до третьего порядка по обратным степеням расстояния от точечного источника. Возникающий при этом парадокс нулевого расхода при конечном значении импульса преодолевается введением конечной пространственно-угловой области турбулентного течения для «сильной» струи. Исследованы пространственная эволюция циркуляции вязкой закрученной струи, а также диффузия примеси и распространение тепла.

Ключевые слова: ламинарный, вязкий, закрученный, турбулентный поток, перенос тепла и примеси.

1. Введение

Затопленная (в том числе закрученная) струя несжимаемой жидкости благодаря малому числу определяющих параметров является, с одной стороны, классическим объектом теоретического исследования автомодельных асимптотических решений [1-5]. С другой стороны, она представляет интерес для проведения теоретических исследований и модельных экспериментов, будучи «исходным фоном», на котором происходят различные физические явления [например, 6]. Практические применения многочисленны — форсунки двигателей, струйно-вихревые следы летательных аппаратов, нанесение покрытий, тестирование программ численного исследования сложных газодинамических потоков [например, 7-9]. Струйные потоки в затопленном пространстве изучены многими исследователями, но, поскольку подобные течения используются во многих отраслях техники и технологии, значимость их исследования не утратила силу и по сей день.

Динамика свободной струи, истекающей в затопленное пространство, математически строго впервые рассмотрена в работе [1], где найдены параметры потока в первом приближении. Следующее приближение получено в [2]. В настоящей статье исследована газодинамика струи в третьем приближении, а также рассмотрен перенос тепла и взвешенных частиц. Кроме того, исследована турбулентная струя и проведено сравнение полученных аналитических результатов с классическими работами.

2. Динамика свободной струи в затопленном пространстве

Следуя работам [1], используем сферическую систему координат г, в, ф. Решение системы уравнений Навье-Стокса ищем в виде разложения по отрицательным степеням радиуса г. Первые два приближения для компонент скорости и давления имеют вид

(1)

где

/ (в)

8Ш в

А — евБв’ А2- 1

2

1,

Fo (в) = иР

1 — 3 (А - 1)п + 2(А - 1)2

( А — cos (

А(А — cos (

к (#) = 4ри

2 А cos в — 1 (А — cos в)2

ко (в) = 2uFq (#).

Здесь V — кинематическая вязкость, А — безразмерная постоянная интегрирования, которая находится из интегрального соотношения для полного потока импульса:

'К

1 = 2к П„ г2 cos# sin#d#.

Величина Пгг равна

4 ри2 ( (А2 — 1)

А

г2 Ц А — cos#)4 А — cos в

Иптегрируя, получим известное выражение [1]

I = 8к Ар V2

2(3 А + 1> —А in#-

3(А2 — 1) А — 1

Третье приближение будем искать в виде

1

1

1

V = rF № + 72Fo(0) + ^F1(0).

V» = ;fm + ^/Ш

Р = ^к (в) + ^3ко (в) + ^4к1(в)-

(2)

Уравнения Навье-Стокса в сферических координатах имеют вид

=

1 д гр2 д'р

V дК + V± d^L_ К2 + 1 дЕ = г дг г дв г р дг

. 1 г2 sin в дв I s дв

2 Vr г2

2

д

2 sin д

( V? sin в)

т + к» дКі + + 1 др =

г дг г дб г грдв

1 д i>2 д'р

+

1

д / . dVe\ 2 dVr

sin

+

V*

2 sin д д 2 д

д

2 sin2

1 д( r2Vr) + 1

д

sin д

(sin# Ve) = 0.

Для удобства введем переменную t = А — cos в и вспомогательную функцию

(3)

01 =

М),

sin

В новой переменной известные функции имеют вид

А2 1

sin2# = 1 — А2 + 2Аí — t2, /(в) sin# = 2^( —^-----------------------------2А + t

А2 1

F (t)=2" ( ^2 — 1

2

3( А2 — 1) 2( А2 — 1)2

1---------------------+

2

А

з

o

После подстановки выражений (1) и (2) в (3) будем иметь систему обыкновенных дифференциальных уравнений.

Из уравнения неразрывности системы (3) получим следующую связь между неизвестными функциями:

^(¿) = (8\п20 Ф^))',

в уравнения движения системы (3), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

4т^) = -2^1 (¿) (2^(¿) + 1) + ¡(в) 8т# (^1 (¿) — 2ф1^)) +

+ф1^) ^'(¿) 8т2# — (-Р'(£) вт2# )' — 2^д (£),

n1(t) = J 20i(í(F(t)+3)dt + 3F1(t) -ф1{Ъ)/(9) sin #.

Ее решение будем искать в виде

(5)

фі(і) = а + .

Учтем следующие соотношения:

Fq = и2р2

sin2# = 1 - cos2# = 1 - A2 + 2 At - t2,

í A2 — 1 \

f sin# = v í 2—----------------4A + 2t j ,

.( A2 - 1)4 ,2( A2 - 1)3 + 9( A2 - 1)2 | . (A2 - 1)2 6( A2 - 1)

4 A2t6 12 At5 + 9 t4 At3 6 t2

После подстановки этих выражений в систему (5) получим алгебраическую систему уравнений:

18 (А2 - 1) а + 66 = 0,

-12 А (А2 - 1)2а + 4а6 = -6ир2 (А2 - 1),

2 2 2 2 2 ( A2 - 1)2

2 (A2 - 1)2а + -(A2 - 1)6 + 8а с = 4г/р2

3V ' A

-4A (A2 - 1)6 + 12 A2с = 9vp2 (A2 - 1)2,

-24A (A2 - 1)c = -12ир2 (A - 1)

8( A2 - 1)2c = 4uр

A

(A2 - 1)4

А2

Решение, удовлетворяющее данным уравнениям, имеет вид

Р2 , 3р2(А2 - 1) Р2(А2 - 1)2

а = тт, Ь =------------—-------, с

4А’ 4А 2А2

Таким образом, искомая функция равна

, 132 3132(А2 — 1) , 02(А2 — 1)2

= 4А----------------4А^~ + ~ШГ~'

Через данную функцию найдем искомые неизвестные в исходных параметрах:

fi = "Р

F1 = ир2

( A2 - 1)2 3 A2 - 1 1

8ІП в,

2 A2(A - cos#)3 4 A(A - cos#)2 4A

3 (A2 - 1)3 7 (A2 - 1)2 (4 A2 - 1)(A2 - 1) cos#

2 A2(A - cos#)4 2 A(A - cos#)3 2A2(A - cos#)2 2A

2

3. Перенос циркуляции в струйном потоке

Большой практический интерес представляет закрученная струя, которая используется, например, в камерах смешения и сгорания топлив [7]. В данном параграфе рассматривается распространение циркуляции закрученного потока в затопленном пространстве. Для этого рассмотрим уравнение Навье-Стокса для осесимметричного случая:

К

д

+

д

+

+

■ ctg # =

д_

д

( r2 дКА +JL A (s-шв дКЛ

\ дг ) sin 6 дб\ дв )

sin2

Введя циркуляцию Г = V^r sin#, преобразуем это уравнение к виду

1 d(r2Vr Г)

+

1 д

( Ve Г sin#) = V

2 д sin д

Решение данного уравнения будем искать в виде

г = G + 5

д2Г 1 д2Г ctg дГ

+

д 2 2 д 2 2 д

(6)

2

Подставляя в (6) выражение для компонент скоростей в виде

V, = m + Fooíñ, V, = Ш,

получим уравнения для искомых неизвестных

di д2с дС\

— (fG sin #) = ^25 sin в + sin e~d^2 — cos 6—)

FG FG , 1 d (f sin 0G) ( ,d2Go ctgpdG\

—FGo -FoG+—^ —d»— =" l6Go + -m ~ctgí) d)

p)

Записывая правую часть первого уравнения (7) в виде

дв2

д д2 G д G д G

— (f G sin #) =v[2G sin # + sin# ^¡2— cos = v í sin #^^ — 2 G cos #

д

д

),

после интегрирования получим

G = v(G' — 2G ctg#) + const.

Постоянная интегрирования равна нулю, т.к. Vv ^ 0 при # ^ 0, следовательно, G = о(#) G

при в ^ 0 и G; = —. Полученное уравнение интегрируется вторично, в результате чего получим искомую неизвестную:

G = 7

sin2

( А — cos )2

Постоянную интегрирования 7 находим из условия сохранения удельного момента импульса потока на срезе форсунки:

'К

2тг [ Р(#)С(#^т#(Ю.

Проведя интегрирование, получим соотношение

L0 = 8 KV7

2 А + 1

—7—То-----г +2 — А in —-------

|_3(А2 — 1) А — 1

o

Для решения второго уравнения системы (7), как и в предыдущем параграфе, введем переменную t = А — cos 9. Тогда уравнение запишется в виде

FGo — FoG + (fsin9Go)/ = v(6Go + sin29G'0).

После подстановки сюда известных функций (4), получим

-2 ^2А+ 1^ Go + (2А-—1 — 4А + 2t)G0 + (А2 — 1 — 2At +12) GO = F°G,

где

FqGq — vß7

n(A2 - 1)3 , 7(A2 - 1)2 J4A2 - 1)(A2 - 1) 1 nA2 - 1 , 0A ;

2 ". z 7 z 2 ■ 0 -I- 2 -I- 2 1

At5 t4 At3 t t

Решение последнего уравнения ищем в виде

^ а Ъ с

Go — + ~2 + — + d + et

и находим неизвестные коэффициенты ( А- — 1)2

а = —ßj----- ---, b= ^ßl (А2 — 1), с = —ßj

В результате

A

Go — ß7

3A2 - 1 2A ’

d — -ß-7, e — ß7.

- 2 2 A

(A2 - 1)2 5 A2 - 1 3A2 - 1 1

A 3

2 t2

ß7 sin2 9

2A

+

A

2 A

2

- 2 + 2A

A2 1

A - cos 9 (A -со s9)3 (A - cos#)3

Таким образом, искомая азимутальная скорость равна

Vv — 7

sin

ß 7 sin r2(A - cosö)2 ' 2г3A

+

1

+

A

2

A2 1

A - cos ( A - )3 ( A - cos )3

4. Перенос тепла и взвешенного вещества в струе

Рассмотрим теперь по аналогии с предыдущими параграфами перенос тепла или вещества в струе. Данная задача также имеет большое практическое значение в технике и технологии [7-9]. Пренебрежем такими эффектами, как термодиффузия и конвекция, т.е. рассмотрим классическую задачу переноса тепла и вещества. Поскольку уравнения переноса тепла и концентрации аналогичны, достаточно исследовать, например, задачу о распространении веществ в затопленной струе. Пусть 5 — концентрация взвешенного вещества в струе, тогда его распространение описывается уравнением

es + % as — D

1 Є(r'2 дЛ + Є ^in ^

г2 дг \ дг ) г2 sin 9 д9 \ д9 )

дг г д9 Будем искать его решение в виде

5 = - + Щ, Уг = - + ^, Ув = Д

уравнения переноса получим два обыкновенных дифференциальных уравнения:

-^(1 -A2 + 2 At - t2)C" +

2SC

1 1 A2 1

2A(1 + 2SC> - t(Sc+1)“T"

C' + - 0C — °'

(1 -A2 + 2Ai - t2)C0 +

2A(1 + 2Sc) - (1 + Sc)t - 2Sc

A2 1

C0 +

+

2(1 - 2 Sc) + 4Sc

A2 - 1

Co — -ScFoC.

1

Здесь Бс — — — число Шмидта. Решение первого уравнения системы (8) будем искать

в виде

Б

с = Ко гт.

Подстановка данного выражения в первое уравнение дает

т = — 2 Бе.

Следовательно,

с =

К

і 2вс

Постоянная интегрирования Ко находится из интегрального соотношения для заданного потока вещества

'К

■] = 2п ! УГС ътбйб.

о

Подставляя полученный результат во второе уравнение системы (8), его правую часть получим в виде

-всГоС = -

Бс^Ко

і23с

1 - 3(А2- 1) + 2(А2 - 1)2

І2

А і3

Для решения второго уравнения (8) сделаем замену неизвестного:

Со — У

2

После несложных выкладок получим уравнение

(1 -А2 + 2Аі - ¿2) г2У" + 2 [Бс (А2 - 1) - А (2Бс - 1)* + (Бс - 1) ^] ЇУ' + 2( А2 - 1)2'

+2 [Бс(А2 - 1) - (Бс - 1) і2] У = -Бс£Ко

і2 - 3( А2 - 1) +

А

решение которого находим в виде

У — ^ + Ь + —.

Подстановка этого выражения в последнее уравнение позволяет найти искомые коэффициенты, так что

Со =

РКо і 23с

2Бс - 1 1 - 4Бс А2 - 1 '

---------1---г—Бс

2 А

2

А

С учетом (5) выпишем найденные решения в сферических координатах:

Ко

г (А - еоз (

2

\ + £

2Бс - 1 . . п. 1 - 4 Бс А2 - 1

(А - еоз в) +---------------+ ---------— Бс

2 А

2

А (А - еоз (

(9)

Аналогично можно записать и выражение для температуры, заменив Бс на Рг, а Ко

— на Мо — постоянную интегрирования, которая находится из условия сохранения потока Рг

5. Анализ полученных результатов

Таким образом, получены точные решения уравнений Навье-Стокса до третьего члена

poro члена. Эти решения верны для ламинарной струи. Однако здесь возникает известный парадокс нулевого расхода:

'К 'К

Qo = lim2п рг2 J Vr sin в d0 = 2п р J Fo(9) d0 = 0. (10)

o o

Qo р

считать постоянной. Полученный результат объясняется тем, что в реальности от 0 до некоторого угла в* реализуется турбулентное течение, а вне этой области течение можно считать потенциальным. Однако, как показано, например, в [3], для осесимметричной турбулентной струи ее вязкость можно считать постоянной. Следовательно, полученные результаты можно применить и для турбулентной струи, только во всех интегральных со*

турбулентпой зоны нужно пренебречь. Тогда из выражения (10) получим

в*

/1 _ A cos 0

Fo(6)dQ = -2nvfíp sin2 0*——----------*2 = npUoR^. (11)

A (A — COS u* )

o

Uo Ro

турбулептпой струи выполняется условие I/pv2 >> 1. В этом предельном случае (так называемой «сильной» струи) имеем

32 п pv2 = 3(4—1) ’

где A — 1 << 1. Если ввести параметр а = R(g„°, то коэффициент интегрирования будет равен

32при2 32и2 1 _ RoUo

A 1 + ------------- 1 + -о о 1 + О , IS ---- .

3 lo 3R2U2 6а2 4а

тт а Л Г, A (A — cos в*)2

Из выражения (11) находим р = — 4еаRo, вде е =----------------------2— •

(1 — A cos *) sin2 *

В таком случае можно считать в << 1 и можно пользоваться оценкой cos# ~ 1 — в2/2. Если перейти к переменным [т], X), где

V = X

X R

приближение для продольной скорости потока приблизительно будут равны

tt~F.Fo_ а RoUo

Ux ^ + -тт-о — 3"

X X2 X (1 + г?2)2

1 _2 £(TRo (1 — 3У2) X (1 + г?2)

Данное выражение совпадает с выражением для продольной скорости турбулентной струи, которое, таким образом, является приближением полученных выше выражений для «сильной» струи при условии постоянства коэффициента турбулентной вязкости. При этом возникают две эмпирических константы а и в*.

Для апробации полученных формул проведем сравнение с классическими опытными данными для осевой скорости. Из полученных выражений при А — 1 << 1 и 0 = 0 получим довольно простую формулу:

U (х) =

3 а Uo Ro

X

Ro Ro

1 — X +( X)

1.75

1,5

1 25

0.75

0.5

0.25

1

г

V

Л

* \

-, ч - .

1U

20

за

41)

60

7D

Рис. 1

На рис. 1 дано сравнение результатов расчета но этой формуле (сплошная линия) с опытными данными [3] (показаны точками). Здесь же показаны (пунктир) первое и второе (штрихпунктир) приближения. По оси абсцисс указано безразмерное расстояние от среза форсунки, отнесенное к ее радиусу, а по оси ординат безразмерная скорость струи, отнесенная к скорости на выходе из трубки. Совпадение с опытными данными хорошее, если положить в* = 0.5 рад и а = 5.

Рассмотрим выражение (7). Первое приближение

Si =

Ко

г (А - cos 6»)2Sc

для случая турбулентной («сильной») струи принимает вид

о Ко

*51 ~ ~ о .

X (А - cos d)2Sc

Для продольной скорости в первом приближении имеем

А2 - 1

U\ & 2 v

Из последних двух выражений получим

Si

X (А - cos в)2 '

и аналогично,

Sma

Tl

Tmax

:(—)

\ Umax )

(-*- У

V Umax )

Sc

Ко

X(A - 1)

2

Эти соотношения получены в [4|.

Радиальное распределение концентрации вещества, отнесенной к 5тах =

X

функции безразмерного расстояния от оси струи в сечении — = 15 иллюстрирует рис. 2.

Ко

По оси абсцисс указан безразмерный радиус, а по оси ординат 3/3тах (штрихпунктирная линия первое приближение, сплошная второе).

Видно, что при учете второго приближения на небольших расстояниях распределение концентрации приобретает вид седла и количественно дает довольно существенную поправку. Заметна поправка и для азимутальной скорости при Х/Ко = 20 (см. рис. 3). Здесь по

os

О 6 О А 0 2

Рис. 2

Wd 0.1

0.0S

о.се

0.04 0 02

0 I 2 3 R/Rn

Рис. 3

оси ординат дана безразмерная азимутальная скорость, отнесенная к максимальной азимутальной скорости на выходе из трубки. Штрихнунктирная линия профиль азимутальной скорости в нервом приближении, сплошная с учетом BTOpOi'O приближения. Видно, что положение максимума для азимутальной скорости заметно смещается вправо. Отметим, что при построении данного графика использованы эмпирические параметры для свобод-

„ „ 2^о

ной струи. Данный подход можно применить, если степень закрутки mhoi'o меньше

loRo

единицы, где Lo — плотность потока момента импульса.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, гранты 09-08-00424, 10-08-00820 и в рамках программы «Развитие научного потенциала высшей школы», проект № 10.11.

Литература

1. Ландау Л.Д. Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Том VI. Гидродинамика. М.:

Наука, 1986. 736 с.

2. Румер Ю.Б. Задача о затопленной струе /7 ПММ. 1952. Т. 16, вып. 2. С. 255 256.

3. Лойцяиский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1975. 848 с.

4. Абрамович Г.Н. Теория турбулентных струй. М.: Физматгиз, 1960. 630 с.

5. Седов Л.И. Методы подобия и размерностей в механике. — М.: Наука, 1965. — 386 с.

6. Кулешов П. С., Мапошкип Ю.В. Генератор микронного и субмикронного водяного аэрозоля с электрическим управлением // ТВТ. — 2009. — Т. 47, N8 6. — С. 937-945.

7. Лефевр А. Процессы в камерах сгорания ГТД. — М.: Мир, 1986. — 566 с.

8. Ватажип А.Б., Клименко А.Ю., Лебедев А.Б., Сорокин А.Л. Влияние турбулентных пульсаций на гомогенную конденсацию в изобарической затопленной струе. Механика неоднородных и турбулентных потоков. — М.: Наука, 1989. — С. 211-220.

9. Вышинский В.В., Стасенко А.Л. Физические модели, численные и экспериментальные исследования аспектов авиационной экологии и безопасности полетов // Труды МФТИ.

- 2009. - Т. 1, № 3. - С. 23-39.

Поступила в редакцию 01.06.2011.