CC BY
9УДК 517.547.28
АСИМПТОТИКА НУЛЕЙ ФУНКЦИИ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА ПОРЯДКА 1/2
А. М. Седлецкий
1. Введение. Распределение нулей гп функции типа Миттаг-Леффлера
= ТУ «
являющейся целой функцией порядка р, первым изучал А. Виман [1], доказавший, что при р < 1/2, у = 1 все нули функции (1) отрицательны и просты. Для случаев р > 1/2, р =1, у € М и р = 1/2, 0 < у < 3 М. М. Джрбашян и А. Б. Нерсесян (см. [2]) получили асимптотику последовательности гП с точностью до 0(к^ \п\) и 0(1) соответственно, а также доказали простоту всех достаточно больших по модулю нулей. В статье автора [3] для всех допустимых значений параметров р и у, кроме случая р = 1/2, Ие у = 3, была найдена асимптотика последовательности гП с точностью до о(1), оценена скорость убывания этой величины о(1) и доказано, что, за исключением упомянутого случая р = 1/2, Ие у = 3 (отличающегося большим своеобразием), число кратных нулей функции (1) не более чем конечно. Для р = 1/2, Ие у = 3 в [3] доказано лишь, что
= тп + Ап, Ап = 0( 1), п —► +оо (2)
(всюду в статье, за исключением п. 5, аналитические ветви функций za и log z задаются условием 0 < arg z < 2п). Наша цель — более подробно исследовать распределение нулей функции (1) в этом исключительном случае. При р = 1/2, ц = 3 функция (1) допускает явное выражение
£1/2(2; 3) = (сЪлД- l)/<Jz, (3)
все нули функции (3) двукратны и точки sjz^ имеют вид sjz^ = 2irin, n G N. Поэтому надлежит исследовать поведение нулей функции
Ei/2(z; 3 + iß), 0 = ß e R. (4)
2. Функции, обратные к функции Жуковского и к гиперболическому косинусу. Напомним необходимые для изложения факты, относящиеся к этим функциям и содержащиеся, например, в [4] и [5] соответственно. Пусть G = C \ ((—то, —1] U [1, +то)). В области G обратная функция Жуковского
w = w(z) = z + л/ z2 — 1
распадается на две однозначные аналитические ветви w± (z), конформно отображающие G соответственно на верхнюю и нижнюю полуплоскости Imw ^ 0. При x e R, \x\ > 1 полагаем w+(x) = w+ (x + i0). Ветвь логарифма log w+(z) характеризуем условием 0 < arg w < п. Так как w+w- = 1, то пусть
log w-(z) = — log w+(z). (5)
Если x e R, \x\ > 1, то w+(x + i0)w+ (x — i0) = 1 и, следовательно,
log w+(x) = log w+(x + i0) = — log w+(x — i0), x e R, \x\ > 1. (6)
Рассмотрим функцию, обратную к гиперболическому косинусу:
Arch z = Log (z + V z2 — 1) = Log w(z), z<eG. В соответствии с (5) любое значение многозначной функции Archz в G имеет вид
log(z + л/z2 - 1)+ + 27Tis+ или - log(z + \/z2 - 1)+ + 2ms~, (7)
где s1*1 G Z. Здесь и в дальнейшем (z + Vz2 — 1)+ = w+(z).
3. Основной результат. Скажем, что последовательность (п асимптотически распределена в полуполосе а < И,е ( < Ь, 1т ( > 0, если для любого е > 0 существует Я > 0, такое, что |1ш £п| > Я ^ а — е < Ке (п < Ь + е.
Для сокращения записи при 0 = в € М вводим обозначения
7 = 7(/3) = 1/Г(1 + г/3), Р1 = Р1(/3) = Ы + ^|7|2-1, Р2 = Ш = Ы + ^Ы2 + 1, (8)
беря для корня арифметическое значение. По формуле дополнения
2 1 1 пгв
Г(1 + г£)Г(1 - в) i@r(i@)Г(1 - ip) nip пв
> 1; (9)
отсюда, в частности, следует, что р\ > 1. Имеет место
Теорема 1. 1. Множество кратных нулей функции (4) не более чем конечно.
2. Нули функции (4) образуют две последовательности , и > п+ и г-, и > и-, такие, что
^ = 2тт гп- — ±5п + о(~), п->+ оо, (10)
2 \и/
где
+
6п = log log2wn + ^(7e^iog2™)2 _ ^ (11)
и 0 < Im Sn < п.
3. Точки £ra = асимптотически распределены в полуполосах
log pi <
< log P2, ImC> 0. (12)
4. Каждая точка отрезка [0, п] является предельной для последовательности Im 5n, и каждая точка отрезков [log pi, log p2], [log(1/p2), log(1/pi)] является предельной для последовательности Re5n.
5. Существуют R = К(в) > 0 и N = N (в) G N, такие, что в кругах — inn\ < R, n > N, нет, точек (п = yfa.
4. Доказательство теоремы 1. 1. Воспользуемся формулой
Я1/2(г; /х) = + ¿тгЦ^) - + , ^ — оо, (13)
0 < argz < 2п [3, с. 123-124]. В нашем случае (1 — р)/2 = —1 — iP/2, поэтому для больших по модулю нулей функции (4) имеем уравнение
ch (yt-iiг + = lzil3/2e~i7T+7Tl3/2 + 0(1/2), z —> 00. (14)
Подставим сюда z = zn. Так как в силу (2)
zne/2 = (inn + An)ie = eie log(inn+A«) = = eie log inn(1 + o(1/n)) = e-ne/2eie log nn + O(1/n), (15)
то получим
= 7e^log™ + 0(l/n), n +00. (16)
Из формулы монографии [2]
pEp(z; р — 1) = p(f — 1)Ep(z; р) + zE'p(z; р)
следует, что кратный нуль функции (4) является нулем функции E1/2(z;2 + ip). Нули последней функции имеют асимптотику (см. [3])
^ = + +oQ =i7r(n + l)-^ + o(i), iw+oc. (17)
Значит, если бы у функции (4) было бесконечное множество кратных нулей, то для некоторой последовательности индексов должно было бы выполняться свойство (17). Тогда соответствующий частичный предел модуля левой части в (16) был бы равен еов0 = 1, в то время как предел модуля правой части есть |7| > 1 (см. (9)). Противоречие. Утверждение 1 доказано.
2. Ориентируясь на сказанное во введении относительно функции (3) и учитывая формулу (2), будем записывать последовательность нулей функции (4) в виде объединения двух последовательностей г+, п > п+, и г—, и>и~, так, что
л/г^ = 2тп + п > п± (18)
и Д± = 0( 1). При этом, подобно (2), последовательности просты, т.е. возможному кратному корню
отвечают элементы (18) либо с разными номерами, либо с разными знаками. (Попутно отметим, что у
функции нет нулей кратности выше двух [6].) Подставим выражение для у^г = л/г^ из (18) в
формулу (14), учитывая, что теперь (подобно (15))
Получим Значит,
(г±)^/2 = е~пв/2е}в Хо^2пп + 0(1/п). с + =7е^2™ + 0(£), п^+оо.
А« + ^ = АгсЬ + = Logw^ei|3log2nn)+O(^y
Из всех значений многозначной функции в правой части при фиксированном и нас устраивают только два. В силу (7) мы вправе записать
Д± = ± к^ад+^е^2™) + 2тггв± + О(-), (19)
где в+ и в— — некоторые целые числа. Остается показать, что в± = 0.
Будем писать г± = г±(в), Д± = Д±(в), 8п = 8п(в), чтобы подчеркнуть зависимость данных величин от в.
Зададим е € (0,п). Величины 0(1/г2) и 0(1/п) в формулах (13) и (15) равномерны соответственно по параметрам ц и в из ограниченных множеств. Поэтому если фиксировать а > 0, то существует N1 € М, такое, что последнее слагаемое в формуле (19) удовлетворяет оценке
|0(1/п)| <е/2, пЖ^, в € [-а, а]. (20)
Фиксируем такое N1.
Фиксируем достаточно большое N2 € N и вводим обозначения К (го; г) = (г : 1г — го| < г), Р = (г : 2п^ + п < |г| < 2п^ — п, 1тг > 0). Имеем
Р СЬ 7 — 1
Нули правой части, лежащие в полукольце Р, имеют вид 2пгп, N1 < п < N2, и все они двукратны. По теореме Гурвица существует ¿1 > 0, такое, что в круге К(2пгп, е) находятся ровно два нуля функции Е1/2(г2;3 + гв) как только в € (0) = (в : |в| < ¿1), N1 < п < N2. Но нули последней функции — это точки (18).
Так как ^ -ш+(г) — 0, г — 1, то существует ¿2 € (0, ¿1 ], такое, что
^ ±\оЕи,+Ы13)ег1зъ%2™)\ <\, ¡3 е С/Й2(0), т<п< ЛГ2. (21)
Значит, если в (19) положить = 0 для ¡3 € 0), то в силу (18)—(21) будем иметь \J~zTifi) £
К (2пгп,е), N1^ <п < N2. То есть для в € и$2 (0), N1 < п < N формула (19) верна с з± = 0.
K
Из Ep(z; л) ^ Ep(z; ¡о), л ^ ¡о, где K — произвольный круг, по теореме Гурвица следует непрерывная зависимость \JZn{0) от ¡3. В силу (18) такова же зависимость и А^{0) от ¡3. Оба первых слагаемых в правой части (19) — непрерывные функции в• Значит, и сумма последних слагаемых в (19)
2пis±(в) + O(1/n) =: А±(в)
есть непрерывная функция в при фиксированном n. По доказанному и благодаря (20) существует 5 Е (0, §2], такое, что
\А±(в)| < е/2 < п/2, в Е Us(0), N1 < n < N2. (22)
Но как только s±(e) = 0, т.е. |s±(e)| > 1, то \А±(в)\ > 2п — е/2 > (3/2)п. А это противоречит (22) и непрерывности функции А±(в). Следовательно, s±(e) = 0, —а < в ^ а, N < n < N2.
Однако на вещественных полупрямых (—то, —1) и (1, функция logw+ (z) непрерывна только
по множеству Im z > 0. Поэтому в наши рассуждения, связанные с непрерывностью, необходимо внести уточнения, если при некоторых 0 = во Е [—a, a], Ni < n < N2 точка Ьп(во), где
Ш ) = 7(в Vе log2™, (23)
попадает на одну из этих полупрямых.
Введем множества U± условиями в Е U + (U-) ^ Im tn(0) ^ 0(< 0). Тогда функция, равная
log w+(tn(в)), в Е U+, и — logw+(и(в)), в Е U-,
благодаря (6) окажется непрерывной в точке во. Значит (см. (19)), если для в Е U- мы поменяем ролями значения Д+ и Д— (и соответственно s+ и s—), то все предыдущие рассуждения, основанные на непрерывности, сохраняют силу.
Так как N2 мы можем фиксировать сколь угодно большим, то s^^) =0, n> Ni, в Е [—а, а]. Но и а > 0 в наших рассуждениях произвольно. Значит, формула (19) с s±± = 0 верна для всех 0 = в Е R. Вводя обозначение (11) и вспоминая, что ветвь логарифма logw+(z) характеризуется условием 0 < argz < п, мы полностью получаем утверждение 2.
3. Будем рассматривать эллипсы, симметричные относительно осей. Условимся, что точки эллипса, лежащие на вещественной оси, принадлежат верхнему полуэллипсу. Пусть р > 1 и пусть
ap = \(p + -^i ЬР = \(Р~- )■ (24)
р/ 2\ р,
ар, ьр
Функция w+(z) отображает верхний (нижний) полуэллипс с полуосями ар,bp на полуокружность |w| = р, Imw > 0 (|w| = 1/р, Imw > 0).
Пусть C p — окружность \z\ = \y(в) > 1, а C+ и C- — ее верхняя и нижняя полуокружности. Пусть lp и Lp — эллипсы с полуосями (24), первый из которых вписан в Cp, а второй описан около Cp. Пусть l+ и l-(L+ и L-) — верхний и нижний полуэллипсы эллипса l p (Lp). Пусть а — первая полуось эллипса lp, а b — вторая полуось эллипса Lp, т.е. а = b = |^(в)|. Тогда, учитывая (24), делаем вывод, что образом верхнего полуэллипса l+ (L+) при отображении w+(z) является верхняя полуокружность \w\ = р1 > 1, Imw > 0 (|w| = р2 > 1, Imw > 0), где (р1 + 1/р1)/2 = \7(в)\, (р2 — 1/р2)/2 = \y(в)\. Разрешая последние квадратные уравнения и учитывая, что р1 ,р2 > 1, для р1,р2 получаем формулы (8). Итак, образ полуокружности C+ есть кривая, лежащая в полукольце р1 < \w\ < р2, Im w > 0, т.е.
z Е C+ ^ р1 < \w+(z)\ < р2, Imw+(z) > 0. (25)
Рассуждая точно так же в отношении нижних полуэллипсов l- и L- , находим, что
z е C- ^ 1/р2 < \w+(z)\ < 1/р1, Imw+(z) > 0. (26)
Согласно формуле (11), 5n = logw+(z), где z Е Cp. Значит, применяя факты (25), (26), имеем \Re5п\ = \Re log w+(z)\ = \ log\w+(z)\\ Е [logр1, logр2], что вместе с формулой (10) доказывает утверждение 3.
4. Обозначим через К+ образ полуокружности С+ при отображении т+(г). Мы знаем, что кривая К+ лежит в полукольце р1 < |w| < р2, 1тт > 0, начинается в точке р1, проходит через точку гр2 и заканчивается в точке —Р1. Значит,
а) для любого в € (0,п) существует точка т = Квг9 € К+;
б) для любого р € (р1, р2) существует точка т = рвг1р € К+.
Пусть г € С+ — прообраз точки т € К+, 1т т > 0, пусть и(т) — круговая окрестность точки т, пусть и (г) — прообраз и (т), т.е. и (г) — окрестность точки г. Считаем окрестность и (т) столь малой, что она лежит в открытой верхней полуплоскости. Тогда тем же свойством обладает и окрестность и(г).
Так как ^2пп — п — то точка Ьп € С+ (см. (23)) совершает бесконечное число полуоборотов. А так как ^2п(п + 1) — ^2пп — 0, п — то в и (г) попадает бесконечно много попарно различных точек Ьп полуокружности С+. Значит, в и(т) попадает бесконечно много попарно различных точек = т+(Ьп), п € Т С N. С этого места последовательности 1т ¿п, И,е ¿п рассматриваем отдельно.
Пусть в € (0,п) фиксировано. Пусть т = Квг9 — соответствующая точка на К+ (см. а). Утверждается, что точки а^п € Т, попарно различны. Действительно, если бы у точек аргументы совпадали, то они лежали бы на луче в верхней полуплоскости, исходящем из начала. При отображении функцией Жуковского такой луч переходит либо в луч а^ г = п/2 (если в = п/2), либо в одну из ветвей (правую или левую) гиперболы, симметричной относительно осей. Но на полуокружности С+ нет ни одной пары точек, принадлежащих какому-нибудь из этих множеств. Мы доказали попарное несовпадение точек а^ . А так как точки лежат в и(т), то в соответствующей (вещественной) окрестности точки в найдется бесконечное множество точек а^ В силу произвольности и(т) это означает, что точка в является предельной для последовательности а^ = 1т ^ = 1т ¿п. Остается вспомнить, что в — произвольная точка из (0,п) и что множество предельных точек замкнуто. Утверждение 4 для последовательности 1т ¿п доказано.
Пусть р € (р1,р2) фиксировано, пусть т = рвг1р — соответствующая точка на К+ (см. б). Утверждается, что любая тройка точек ^^^ п € Т, содержит пару несовпадающих. Действительно, если бы у трех точек модули совпадали, то эти точки лежали бы на верхней полуокружности с центром в точке 0. При отображении функцией Жуковского такая полуокружность переходит в верхний полуэллипс (не совпадающий с полуокружностью). Но на С+ только две точки могут принадлежать такому полуэллипсу, т.е. наше предположение неверно. Значит, в соответствующей (вещественной) окрестности точки р находится бесконечное множество точек | и в любой окрестности точки ^ р находится бесконечно много точек ^ ^^ = И,е ^ = И,е ¿п. Так как р € (р1,р2) произвольно, а множество предельных точек замкнуто, то мы доказали, что каждая точка отрезка [^ р1, ^ р2] является предельной для последовательности И,е ¿п. При этом мы оперировали верхней полуплоскостью С+ и ее образом К+. Проводя аналогичные рассуждения для нижней полуокружности С- и ее образа К- и учитывая (26), получаем, что и каждая точка отрезка [^(1/р2), ^(1/р1)] является предельной для последовательности И,е ¿п. Утверждение 4 доказано.
5. Надо доказать отграниченность от нуля последовательности Дп (см. (2)). Предположим противное: Дп — 0 по некоторой последовательности индексов п = пи — Тогда переходя к пределу при п = пи — +то> в равенстве модулей в (16) и используя (9), получаем
| ,дч, /shnß
Но для ß = 0 это невозможно, так как при t = 0
t 1+cht ^ t2n ^ t2n sh t
ch - = —-— = l+> ^ 4, > 1 + 4
2 2 ^2(2n)l (2n + 1)! t
n=l n=l
Мы доказали утверждение 5, а с ним и всю теорему 1.
5. Случай р = 1/2, ß > 3. Следующее утверждение неасимптотического характера может представлять интерес в связи с тем, что у функции Ei/2(z; ß) при 0 < ß < 3 все нули отрицательны [7], а при ß > 3 вещественных нулей нет [6]. Ветвь функции y/z задаем условием — тт < arg z < 7Г. Обозначим
xß = V(ß-3)(ß-2) + arth (27)
Теорема 2. При ¡л > 3 у функции ¡л) нет нулей на множестве
0 <11 елД^х^, (28)
т.е. в левой криволинейной полуплоскости, ограниченной параболой х = х2 — у2/(4х2). Доказательство. Оно основано на формуле [2]
1
Ег^2-^) = Г(Д У(1 - ¿Г"2сЬ гЬсИ, ¡л > 1.
о
После интегрирования по частям при ¡л> 3 получаем
1
г(л — 1)
гЕ1/2(г2; ¡) = J(1 — Ь)^-3&Ъ гЬ (Ь,
Л — 2
о
1
Т(л — 1)
1т -^1/2(¿2; Л)) = У"(1 -í)ít"3chжísinyídí.
(29)
Воспользуемся следующей теоремой (см., например, [7]). Если функция f (Ь), Ь > 0, неотрицательна, не возрастает, убывает на некотором интервале и f £ Ь1(М+), то у функции
Р(у)= I f (Ь)в1п уЬ,(Ь, у £ М,
нет ненулевых корней. Пусть х > 0; положим fx(Ь) = 0, Ь > 1 и
fx(t) = (1 — Ь)^-3еИхЬ, 0 < Ь < 1.
Для функции fx(Ь) выполнены все условия цитированной теоремы, кроме, быть может, монотонности. Поэтому как только при некотором х функция fx(Ь) окажется убывающей в (0,1), то в силу (29) по этой теореме функция Е1/2(г2; ¡л) не будет иметь корней на прямой И,ег = х. Так как
и'х СО)' = (1 - ¿Г"3 + о<£< 1,
то условие (/:х(Ь)У < 0 невозрастания fx(Ь) равносильно условию
хЬЪхгц^—^, 0<£<1. (30)
1—Ь
Очевидно, условие (30) выполняется при всех малых х > 0 и не выполняется при всех больших х. При фиксированном х > 0 левая (правая) часть в (30) есть функция, строго вогнутая (выпуклая) в (0,1). Отсюда и из непрерывной зависимости левой части от х следует существование единственного значения х — х^ >> 0, такого, что графики обеих частей в (30) касаются друг друга в некоторой точке Ь^ £ (0,1), а при Ь = Ь^, 0 < Ь < 1 имеет место строгое неравенство (30). То есть при 0 < х < х^ функция fx(Ь) убывает в (0,1) и у функции Е1/2(г2; ¡л) нет нулей в полосе 0 < И,ег < х^. Значит, у функции Е1/2(г; ¡л) нет нулей на множестве (28), и нам остается только вычислить значение х^.
Упомянутое касание графиков равносильно равенству (30) в некоторой точке Ь £ (0,1) и равенству в той же точке производных, что равносильно системе уравнений
Для отыскания х = х„ следует исключить Ь из этой системы.
+
Возводя обе части первого уравнения в квадрат, складывая полученное почленно со вторым уравнением и применяя формулу 1 — Л2£ = 1/еИ2£, получаем х2 = (ц — 3)(ц — 2)/(1 — ¿)2. Отсюда
хЬ = х- л/(М — 3)(м — 2), у—| = ^
и, подставляя эти выражения в первое уравнение (31), находим, что
Ш (х - ^(М - 3)(/х - 2)) = ^
ц — 3 ß-2'
И так как решение системы существует и единственно, то оно вычисляется по формуле (27). Теорема 2 доказана.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 06-01-00326) и программы "Ведущие научные школы" (проект НШ-4564.2006.1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Wiman A. Über die Nullstellen der Funktionen Ea(x) // Acta Math. 1905. 29. 217-234.
2. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966.
3. Седлецкий А.М. Асимптотические формулы для нулей функции типа Миттаг-Леффлера // Anal. Math. 1994. 20.117-132.
4. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1982.
5. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Т.1. М.: Наука, 1967.
6. Седлецкий А.М. Несколько неасимптотических свойств корней функции типа Миттаг-Леффлера порядка одна вторая // Math. Montisnigri. 2001. 13. 75-81.
7. Ostrovskii I.V., Peresyolkova I.N. Nonasymptotic results on distribution of zeros of the function Ep (z, ¡л) // Anal. Math. 1997. 23. 283-296
Поступила в редакцию 17.02.2006
УДК 519.7
ОБ ИНВЕРТИРОВАНИИ В КОНЕЧНЫХ ПОЛЯХ ХАРАКТЕРИСТИКИ 2 С ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ГЛУБИНОЙ
И. С. Сергеев
Показано, что инвертирование в полиномиальном базисе конечного поля СЕ(2п) может быть реализовано схемой сложности 0(п4) и глубины 6, 44^2 п + о(1с^ п) либо при любом е > 0 схемой сложности 0(п2+е) и глубины 0(1с^ п).
1. Введение. Рассматривается задача реализации инвертирования в поле СЕ(2п) схемами из функциональных элементов над базисом всех двуместных булевых функций. В работах [1,2] показано, что инвертирование может выполняться схемой с глубиной п). Ни показатель степени в оценке сложно-
сти п0(1), ни мультипликативный коэффициент в оценке глубины в [1,2] не указываются.
Подробное изложение теории конечных полей можно найти в [3], а понятий сложности и глубины схем из функциональных элементов — в [4].
Конечное поле СЕ(2п) является векторным пространством размерности п над двухэлементным полем СЕ(2) (с операцией умножения векторов). Мы будем рассматривать полиномиальное представление поля. При вычислениях в полиномиальном базисе элементы СЕ(2п) интерпретируются как многочлены степени п — 1 над СЕ(2), а арифметические операции выполняются по модулю некоторого неприводимого над СЕ(2) многочлена тп(Ь) степени п.
