Асимптотическое поведение на бесконечности решений уравнений типа Эмдена-Фаулера Текст научной статьи по специальности «Математика»

Краткие сообщения

УДК 517.95

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ТИПА ЭМДЕНА-ФАУЛЕРА

М.Д. Сурначев1

Рассматривается полулинейное уравнение Дм = \п\а-1п во внешности шара в r", п ^ 3. При значении показателя а больше "критического" (= установлено, что веду-

щий член асимптотики любого решения при x есть линейная комбинация производ-

ных фундаментального решения. Доказано существование решений с указанным главным членом асимптотики такого типа.

Ключевые слова: полулинейный, асимптотики, уравнения Эмдена-Фаулера, пространства Кондратьева, критический показатель, сверхкритическая зона.

The semilinear equation Дм = |м|°"-1 u is considered in the exterior of a ball in r", n ^ 3. It is shown that if the exponent a is greater than a "critical" value (= ^b}), then for x —> 00 the leading term of the asymptotics of any solution is a linear combination of derivatives of the fundamental solution. It is shown that solutions with the indicated leading term in asymptotics of such a type exist.

Key words: semilinear, asymptotics, Emden-Fowler equations, Kondrat'ev spaces, critical exponent, supercritical range.

Рассмотрим уравнение

Аи- \и\а~1и = 0,х е П С Мга, п^ 3. (1)

п — 2

Под решением в области О понимается функция из С2(О), удовлетворяющая уравнению в классическом смысле.

Сформулируем две теоремы, дающие описание поведения решений этого уравнения при х — ж. Теорема 1. Пусть функция и(х) — решение уравнения (1) в области \х\ > 1. Тогда найдутся такое целое число т ^ 0 и гармонический многочлен Рт(х) = ^\а\=т саха порядка т, что

и(х) = Рт (х)\х\2-п-2т + 0(\х\2-п-т—)

для всех 7 < тт(ст(п — 2) — п, 1). При этом ^\а\ \са\ < сопвь(а,п,т).

Теорема 2. Пусть задан гармонический многочлен Рт(х) = ^ саха. Тогда для любого 7 £

\а\=т

(0, (п + т — 2)(а — 1) — 2) найдется такое число Я, зависящее от ^\са\, а, п, т, 7, что в области

а

\х\ > Я существует решение уравнения (1), имеющее при х — ж асимптотику

и(х) = Рт(х)\х\2-п-2т + 0(\х\2-п-т—).

Следствие. Пусть u(x) — положительное решение уравнения (1) во внешности единичного шара в rn. Тогда u(x) = c\x\2~n + 0(\x\2_n_£)7 где c — постоянная, зависящая отрешения, и £ — положительная постоянная.

1 Сурначев Михаил Дмитриевич — асп. каф. дифференциальных уравнений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:

[email protected].

Вспомогательные результаты. Введем пространство И^ — замыкание пространства С§°(мга) по норме

J Y, \Dau\2ra+2\a-2k dx.

M^k = i > \D~u

Пусть S — единичная сфера Rn. Обозначим через Ад оператор Лапласа-Бельтрами на S. Обозначим через T множество решений уравнения

-Л2 + i(n — 2) Л + f3j = 0, (2)

где f3j = —j (j + n — 2), j = 0,1, 2,..., — j-е собственное значение Ад. Легкие вычисления дают T = { —ik; i(n — 2 +Также обозначим через {фsj}s ортонормированный в L2(S) базис пространства собственных функций, соответствующих j-му собственному значению Ад. Для А Е T будем обозначать через j (Л) то число j, при котором данное А решает уравнение (2). Введем функцию 9r(x), такую, что

вя(х) = 0, \x\ < R; 6r(x) = 1, \x\ ^ 2R; 0 < 6r(x) < 1; 6r(x) Е C^°(Mra).

Сформулируем несколько необходимых для доказательства утверждений.

Лемма 1. Для функции u(x), которая является решением уравнения (1) в области \x\ > 1, верна оценка

2

\и(х)\ < С{\х\ - 1)~

с постоянной C, зависящей только от а, п.

Доказательство этого утверждения можно найти, например, в работе [1].

Лемма 2. Для функции u(x), которая является решением уравнения (1) в области \x\ > 1, верна оценка

\u(x)\ < C\x\2-n, \x\ > 2,

с постоянной C, зависящей только от а, n. Доказательство. Выберем число A так,

чтобы A ■ 22-n ^ sup \u(x)\. Рассмотрим функцию v(x) = \x\=2

A\x\2-n. Ясно, что 0 = Avo < Vq , т.е. v(x) является суперрешением уравнения (1). Так как при \x\ = 2 выполнено v(x) ^ \u(x)\ и u(x),v(x) ^ 0 при x ^ ж, то из принципа максимума следует, что \u(x)\ ^ v(x) при \x\ ^ 2.

Первые два утверждения основываются только на принципе максимума и построении барьеров. Легко видеть, что оценка леммы 2 точна.

Следующие две леммы — результаты из общей теории весовых пространств В. А. Кондратьева (см., например, [2, 3] и ссылки там).

Лемма 3. Пусть функция f(x) Е и на прямой ImA = нет чисел из Т. Тогда существует

и единственно u(x) Е i^a — решение Au = f в Rn, причем ||u|U2 ^ C\\f |\h0.

Ha Ha

о о

Лемма 4. Пусть функция u(x) является решением Au = f в Rn, причем u Е и f Е hha2, где ai < (i2■ Пусть на прямых ImA = a2+^-~4 ulmA = ai+^-~4 нет чисел из Т. Тогда и(х) = ^CjsrlXipj^s(uj) +

\,s

U\(x), где суммирование ведется по А ЕТ, лежащим между прямыми ImA = ai+^~4 и ImA =

причем ||ui\й2 + £ \cjs\ < C(|ui\h2 + \\f Who ).

Ha2 js Ha1 Ha2

Из локальных поточечных оценок эллиптической теории (см., например, [4, следствие 9.21]) легко получить следующее утверждение.

Лемма 5. Пусть u(x) Е fl2a и Au Е L^c(Rn). Тогда для x = 0

\u(x)\ < C

\х\ 2 ||и||цо + \х\ sup \Аи(у)\

а~4 ||х|<Ы<2|х|

с постоянной С = С(п,а).

Для доказательства существования решений используется принцип Лерэ-Шаудера в следующей форме.

Лемма 6. Пусть & — замкнутое выпуклое множество в банаховом пространстве B и пусть T — непрерывное отображение множества & в себя, такое, что образ T& является предкомпактным множеством. Тогда отображение T имеет неподвижную точку.

Главная лемма сводится к применению леммы 4 для получения разложения и оценки результата с помощью леммы 5. Принадлежность рассматриваемых функций пространствам Щ есть легкое следствие классической эллиптической теории регулярности (см., например, [4, гл. 9]).

Лемма 7. Пусть функция z(x) удовлетворяет уравнению Az = za + п, где z(x) = 0 при \x\ < R и z(x) ^ C\x\2~n~T с некоторым т ^ 0, функция n(x) Е L^(rn) и равна нулю вне кольца R < \x\ < 2R. Тогда для любого y Е (0,т(а — 1) + u(n — 2) — n) и для любого т', такого, что т' < т и \т' — т\ < dist(f(n — 2 + т ),T), если на прямых Im Л = n — 2+т' и Im Л = n — 2 + т + y нет решений уравнения (2), то

z(x) = Е r%Xj CsjФsj (w) + zi(x),

причем

zi(x) Е нП+2т+27, llzi lb + E \Csj\ < Ci и \zi(x)\ < C2\x\2-n-T-Y, где Л- — решения уравнения (2), лежащие в области n — 2 + т' < Im Л < n — 2 + т + y, а постоянные

Cj = Cj (C, ЦпЦь2 ,п^^,т,т' ), j = 1, 2.

Доказательство теоремы 1. Расмотрим функцию v(x) = 02(x)u(x). Функция v(x) удовлетворяет уравнению Av = va + п, причем носитель функции п лежит в кольце {2 < \x\ < 4}, п ограничена (абсолютной величиной, зависящей только от n, а) и непрерывна. Согласно лемме 2, \v(x)\ ^ C\x\2-n. Используя лемму 7, получаем v(x) = cr2-n + vi(x), где \vi(x)\ < C\x\2-n-1 и vi Е НП+2т.

Если же u(x) знакопеременна, то c = 0, и, применяя лемму 7 нужное число раз (конечное!), получаем

v(x) = \ x\2-n-m Е csxs + vi(x),

\s\=m

причем

\vi(x)\ < C\x\2-n-m-Y, \x\ > 2. Оценка коэффициэнтов ca содержится в утверждении леммы 7.

Доказательство теоремы 2. Обозначим данную гармоническую функцию \ x\2-n-2m ^ caxa че-

\a\=m

рез uo(x). Будем обозначать Co = supxer" \ uo(x) \ • \ x\m+n-2. Введем банахово пространство

B = {v(x) : v(x) = 0, \ x\ < R; sup \ v(x) \ • \x\Y+n+m-2 < ж}

xeR"

с нормой

llvllB := sup \ v(x)\ • \ x\Y+n+m-2. xeR"

Обозначим &i = {x Е B : ||x||b ^ 1}. Рассмотрим в rn уравнение

Aw = (uo0R + v)a := F(v), (3)

где v есть элемент B. Определим оператор T, сопоставляющий функции v(x) Е B функцию w0r. Легко

о ~

проверяется, что для a = —n + 2(n + m — 2)а — 5, 5 > 0, имеет место F(v) Е Ha и

(rf-S-ja J)-S

Согласно лемме 3, существует решение уравнения (3) из пространства Н^. Используя оценку леммы 5 при \x\ > R получаем

\w(x)\ < C CR-S/2 + ||v|BR-S/2-Ya) \x\2+(2-m-n)a+S/2.

Таким образом, для v Е ©i

\Tv(x)\ < Ci\x\2-m-n-Y-T, т > 0, \x\ > R, (4)

если число R выбрано достаточно большим, а 5 — достаточно малым. Аналогичным образом показывается, что отображение T непрерывно из ©i в ©i.

В силу того что все элементы X := T©i удовлетворяют оценке (4), для любого е > 0 найдется такое число K > 0, что для всех v Е X имеем ||v — v£\x\<kHb < е/2, где через обозначена характеристическая функция множества A. Рассмотрим Xk — ограничение семейства функций из X на шар радиуса K. Воспользовавшись стандартными эллиптическими оценками и теоремой Арцела-Асколи, мы получаем предкомпактность семейства функций Xk в пространстве C(R < \x\ < K). Следовательно, в B найдется е/2-сеть для множества Xk (для функций, обращающихся в нуль вне слоя R < \x\ < K, норма в B эквивалентна обычной норме пространства непрерывных функций: ||u||cRY+m+n-2 ^ ||и||в ^ ||u||cKY+m+n-2).

В силу принципа Лерэ-Шаудера у отображения T : ©i ^ ©i найдется неподвижная точка vo. Теперь сумма uo + vo и будет при \x\ > 2R искомым решением уравнения (1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кондратьев В.А., Ландис Е.М. О качественных свойствах решений одного нелинейного уравнения второго порядка // Матем. сб. 1988. 135, № 3. 346-359.

2. Багиров Л.А., Кондратьев В.А. Об эллиптических уравнениях в R" // Дифференц. уравнения. 1975. 11, № 3. 498-504.

3. Кондратьев В.А., Олейник О.А. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях // Успехи матем. наук. 1983. 38, вып. 2(230). 3-76.

4. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.

Поступила в редакцию 20.11.2006

УДК 517.521

О ЛИНЕЙНОЙ НЕЗАВИСИМОСТИ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ ЛЕРХА

Е. А. Уланский1

Оценивается количество линейно независимых чисел среди 1, Фх ^z, ,..., Фа ^z, в зависимости от натурального числа а, где Фя ^z, , s = 1,2,..., — функции Jlepxa.

Ключевые слова: функции Лерха, обобщенные полилогарифмы, линейная независимость.

The number of linearly independent numbers among 1, Ф1 ^z, ,..., Фа ^z, is estimated depending on a natural number a, where Фя ^z, , s = 1,2,..., are Lerch functions. Key words: Lerch functions, generalized polylogarithms, linear independence.

Введение. Пусть z Е c, \z\ ^ 1, s Е n, причем z = 1 при s = 1, а также p Е Z, q Е n, 0 ^ p < q, (p,q) = 1. Функции Лерха определяются следующим образом:

ч <Х

p

q>

q ¿-f (и+ |)ä

7 n=l q

1 Уланский Евгений Александрович — ассист. каф. теории чисел мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].