МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
УДК 519.7
Р. Р. ИСЛАМОВ
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕАВТОНОМНЫХ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛЬНЫХ МНОГООБРАЗИЙ В РЕЗОНАНСНЫХ СЛУЧАЯХ
Исследуется математическая модель динамической системы, которая описывается неавтономными квазилинейными дифференциальными уравнениями. Предполагается, что между частотами собственных колебаний системы и частотами возмущающих сил имеют место соотношения с рациональными коэффициентами. Для исследования таких систем применяются интегральные многообразия в специальной форме. Указывается способ выбора полиномиально независимых интегралов порождающей системы в резонансных случаях. Квазилинейная система ; интегральное многообразие ; резонанс ; полиномиальные интегралы
Рассматриваются неавтономные квазилинейные системы. Предполагается, что характеристическое уравнение порождающей системы имеет I нулевых, 2р чисто мнимых корней и 2т комплексных корней с отрицательными вещественными частями, причем кратным корням соответствуют простые элементарные делители. Предполагается также, что между частотами собственных колебаний системы и частотами возмущающих сил имеют место соотношения с рациональными коэффициентами. Для исследования таких систем применяются интегральные многообразия в специальной форме [1]. При этом исследование исходной системы порядка п сводится с помощью уравнений интегрального многообразия к исследованию вспомогательной автономной системы порядка N. Число N определяется количеством полиномиально независимых алгебраических интегралов порождающей системы. Указывается способ выбора полиномиально независимых интегралов.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть математическая модель движения динамической системы описывается неавтономными квазилинейными дифференциальными уравнениями вида
— = /X + гЕ^, X )+е2 X)+к , (1)
где X = {хь...,хп} - п-мерный вектор, е > 0 - малый параметр, / - диагональная матрица с собственными числами 11,.,1п; проекции вектор-функции Fj(tX) являются полиномами относительно проекций вектора X с коэффициентами, квазипериодически зависящими от t
Ъ X ) = II ^ (X )ехр(йу ^);
, { к (2) (Ъ М)° 0)
Здесь суммы являются конечными, векторы ^ (X) - полиномами; ук > 0 (к = 1, 2,.,о) -
несоизмеримыми между собой числами.
Предполагается, что собственные числа 1п матрицы / допускают представление
її
Яе = Яе1 и+р < 0;
(3)
ҐР = I + 2р +1,.,I + 2р + т; s = 1,.,I; а = 1,., р; у = I + р
т. е. считается, что характеристическое уравнение системы
ёХ
= Ж
(4)
имеет I нулевых, 2р чисто мнимых корней и 2т комплексных корней с отрицательными вещественными частями, так что п = I + 2р +2т. Пусть числа Юь..., Юр и у1,., уо удовлетворяют условию
Контактная информация: (347)273-77-35
^ + к + kpwp + + к + ^+спс - 0, (5)
где ki - целые числа.
Далее исследуется устойчивость нулевого решения системы (1) при наличии резонансных соотношений вида (5). Для исследования устойчивости решения системы (1) применяются интегральные многообразия в специальной форме [1]. При этом исследование исходной системы (1) порядка п сводится с помощью уравнений интегрального многообразия к исследованию вспомогательной системы порядка N. Число N определяется количеством полиномиально независимых алгебраических интегралов порождающей системы (4).
2. ПОСТРОЕНИЕ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ МНОГООБРАЗИЙ
Наряду с системой (1) рассмотрим вспомогательную систему порядка N
^-е^(г;)+е2^ (с)+к. (6)
Ищем уравнение интегральных многообразий системы (1) и (6) в форме
С - V(^X)+£Ф^,X) + £2Ф2^,X)+ к . (7)
Для определения вектор-функций V(t, X), Gk(C), Ф^, X) дифференцируем соотношение (7) по t в силу уравнений (1) и (6). Затем, исключая из результата дифференцирования вектор С с помощью равенств (4) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, получим уравнения с частными производными
+DVjx=0
dt DX
ЭФ, DF,
at
где
DV
DX
DX
DF.
JX = Uk (t, X)+ Gk (V),
(8)
(9)
DX
- матрицы Якоби, а
Uk (t, x)° Uk
f F,
, Fk,..., Gi,k, Gk _i,V, ^
v Ф k _i
- из-
вестная вектор-функция при известных Gl(t,X),...,Gы(t, X) и V(t, X), Ф1(t, X),..., Фы^ X) (^1, ...ук - известные векторы (1)). Из уравнения (8) вытекает, что интегралы порождающей системы (4) при е = 0 являются проекциями вектора V(t, X). При этом интегралы следует взять такие, чтобы с помощью выбора вектора Gk(V) можно было найти решение Фк(^ X) системы (8). Допустим, что в качестве проекций вектора V(t, X) выбраны полиномиально независимые интегралы V1, ...у„ системы (4), через которые все интегралы выражаются полиноми-
ально. Тогда вектор Gk(V) будет полиномиальный относительно V1, ...уп, а проекции вектора Фк(^X) будут полиномами относительно х1,.,х„ с коэффициентами, квазипериодически зависящими от t (аналогично свойствам векторов Fj(t, X) (2)). Итак, при указанном выборе проекция вектора V(t, X), векторы Gk(V) и Фк(^ X) последовательно определяются из уравнения (9) с отмеченными выше свойствами, тем самым строятся система (6) и уравнение (7). При этом порядок вспомогательной системы (6) зависит от числа полиномиально независимых интегралов системы (4). Число последних в свою очередь зависит от свойств характеристических чисел 1Ь...,1„ матрицы J и соотношений вида (5). Таким образом, важно указать способ выбора проекций вектора V(t, X). Переходя к этому вопросу, отметим, что выбор V(t, X) неоднозначен.
3. НАХОЖДЕНИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНО НЕЗАВИСИМЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ ПОРОЖДАЮЩЕЙ СИСТЕМЫ
Предварительно рассмотрим р + а-мерный вектор К, проекции кь...,кр+а которого представляют собой коэффициенты равенства (5). Затем введем 2р + а-мерный вектор М = = {т1,...,т2р+а}, где его проекции определяются через проекции вектора К следующим образом:
1) т] - тр+] - 0 (к] - 0; } < р);
2) т] - к]; тр+] - 0 (к] > 0; } < р);
11 (10)
3) т} - 0; тр+}. - \к\ (к}- < 0; } < р);
4) ш.
2 p+s = kp+s (s = 1, K s).
Тогда, учитывая соотношения (5) и (10), имеем, что функция
V = Хш1 ••• ХШ2Рр exp i(m2 p+iVi + ... ш2 p+CTVCT)t , (11)
соответствующая вектору M, является интегралом порождающей системы (4). Функции вида
V = x„...,V = Xi, (12)
и
^+а = x,+axv+a (v = 1 + f; а = I-. P) (13)
с учетом (3) будут также интегралами порождающей системы (4). Обозначим через Mа вектор, соответствующий интегралу V+a (13), при-
чем его проекции ша1, представление
ш = ш = 1* ш = 0
,паа та,p+а А? гпа u
а,2 p+s
допускают
(s ф 0, p + а)
(а = 1,...,p; s = 1,...,2p + с).
Пусть {К} - множество всех отличных от нуля векторов К, для которых справедливы равенства (5), и пусть г - размерность этого множества. Тогда найдется такая система г линейно независимых векторов Ку (у = 1,...,г) из {К}, в которой наибольший делитель целочисленных проекций каждого из векторов равен I. При этом любой вектор К е {К} может быть единственным образом представлен через К1,.,Кг в виде линейных комбинаций
К - 1стКу (ст- 0,±1,±2,...). (15)
у-1
Обозначая проекции вектора Ку через ку1, ., ку р+а, можно написать равенства
к11^1 + ... + курШр + кур+1П1 +... + кТр+спс - ^ (16)
и выражения
г
к} -1с7ки (} - 1,-Кр+а), (17)
7-1
для проекций вектора К, вытекающие из соотношений (15). Введем в рассмотрение 2р+а-мерные векторы Му и Му соответственно с про* *
екциями тУ1, ..., ту 2р+а и т уЬ ..., т у 2р+а, составленными из проекций ку1, ..., ку 2р+а вектора К аналогично правилу (10), а именно:
1) тт; = т.
* *
= т = т
тр+л тл тр+л
= 0; } = 0);
;т
т р+я т р+л
=т*я; (кт! >0);
*
т_г"тл
3) тт; = ту р+; = 0; тт р+; = т„, = |к,
(ктл < 0;);
(18)
т р+
4) тт2р+X ктр+X; тт2р+х к'
(5 = 1,...С).
Из равенств (16) и (18) следует, что функции
V = х 11
у у+т 1+1
хтт 2 Р V 1+2 р А
х ехр/{тт 2 р+!у! + ... + т
т 2 р+с у с
.-1.,
V = х т1
у у+г+т 1+1
хтт 2 Р х л/+2 р л
(19)
х ехр 4ту 2р+1у! + к + ту 2 р+сУ- К
соответствующие векторам Му и Му* являются интегралами порождающей системы (4). Принимая во внимание соотношения (13), (18), (19), находим, что существуют зависимости
К+тК+г+т = ...^1крр1 (т = 1,...,г), (20)
где куі, ..., ку Р - коэффициенты в равенстве (16).
Пусть {М} - совокупность векторов М = = {ті, ..., т2р+с }, где его проекции образуются из проекций вектора К є {К} согласно правилу
(10). Любой вектор М є {М} можно выразить с
помощью введенных векторов Ма, Мт, М* .
Принимая во внимание соотношения (10), (17), (18), найдем для вектора М є {М} выражение
М = Iк|Мт .
(21)
т=1
Здесь Су - коэффициенты в равенстве (15);
Мт - векторы вида
\М
\М.
при
при
Ст > 0;
ст < 0.
(22)
Таким образом, интеграл (11) порождающей системы (4), соответствующий вектору М є є {М}, выражается в виде
V = Vе1 —VI
(23)
где V - интеграл, принимающий значения:
~ = (П+т при Кт = IV.
Ст > 0;
ст < 0;
^ п+г+7 при С7 < 0; (24)
(V -1 + р, 7-1,...,г), где Vv+7 ,^п+г+7 - функции (19).
4. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ
Итак, учитывая соотношение (23), приходим к выводу о том, что любой интеграл системы (4), полиномиальный относительно х1, ...,х1+2р и квазипериодически зависящий от t, выражается через систему 1+р+2г функций (12), (13) и (19). Здесь указанный интеграл выражается полиномиально через эти 1+р+2г функций. Тогда, принимая функции (12), (13), (19) в качестве проекции вектора V(t, X), с помощью уравнения (7) приходим к вспомогательной системе (6) порядка 1+р+2, где переменные Сь- -, С+2р+2г связаны соотношениями
С.+тС.
С 1кт Р I
‘Ь/
(25)
эп+7Ъп+г+7 Ъ/+1 Ъ/+р
(V -1 + р, 7-1,...,г),
вытекающими из тождеств (20). Так как £у+у и Су+г+у комплексно-сопряженные переменные, то, полагая
Сх - ; С/+а - С/+а
(х - 1,к,/; а- 1,к,р) (26)
Сп+7 - С п+7 + ^п+г+7; Сп+г+7 Сп+7 ^п+г+7,
получим соотношения (25) в форме
*
С2 + ~2 n +g n
= nkTi| l+1
У ГУp l+p
(27)
эп+7 ' Ъп+г+7
(7- и. г )■
Заменяя проекции вектора С в уравнении (6) согласно формуле (26) и исключая переменные Сп+г+7 с помощью соотношений (27), приходим окончательно к системе порядка /+р+г
^eG^+eG (с)
+ к .
(2S)
Здесь У={у1,ку1 + + r }
„+р+г] - вектор;
вектор-функция, проекции которого являются непрерывными функциями от переменных
С1, к С/ + р + г .
Теорема 1. Если устойчиво (неустойчиво) нулевое решение системы (28), то устойчиво (неустойчиво) нулевое решение системы (1) при достаточно малых значениях е > 0.
Доказательство. Пусть нулевое решение системы (28) устойчиво (неустойчиво). Тогда на основании равенств (25-27) вытекает устойчивость (неустойчивость) нулевого решения системы (6). Согласно уравнению интегрального многообразия (7) систем (1) и (6) следует устойчивость (неустойчивость) нулевого решения системы (1). Теорема доказана.
Исследование стационарных режимов в системе (1) приводит к исследованию постоянных решений системы (28). Система (28) пригодна для исследования устойчивости нулевого решения системы (1).
5. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
ГИРОМАЯТНИКА ПРИ ВИБРАЦИИ ОСНОВАНИЯ С ПОМОЩЬЮ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ МНОГООБРАЗИЙ
Для составления уравнений движения гиромаятника выберем систему координат ОХлХ, начало которой совпадает с точкой опоры, причем ось С направлена по вертикали, а оси Х, Л находятся в горизонтальной плоскости. С внутренней рамкой (кожухом) свяжем оси Резаля Охуг. При этом ось г направим по оси собственного вращения гироскопа, ось у - по оси подвеса внутренней рамки, а ось х - перпендикулярно к двум первым осям в соответствии с правой системой координат. Положение осей Резаля Охуг относительно трехгранника ОХлХ определим следующим образом: углом а поворота вокруг оси Х и углом в поворота вокруг оси у. Обозначим через ф угол поворота ротора гироскопа относительно кожуха. Считается, что
центр тяжести гиромаятника расположен на оси z на расстоянии z0 от начала координат.
Пусть основание прибора совершает вибрации в вертикальном направлении по закону С = = NLcos0t, где Nl и 0 - амплитуда и частота вибрации. Тогда нелинейные уравнения движения гиромаятника при вибрации основания в вертикальном направлении с учетом вязкого трения в опорах подвесов можно записать в виде
I(P)a + HP cos P - KLaP sin 2P =
-z0 (p - mN1Q1 cos 0t)sin a cos P - nLa;
K
FP - Hex cos P--^1 a2 sin 2P =
= -z0 (p - mNiq2 cos 0t)cos a sin P - n2P; H = C(p + a sin P) = const,
(29)
где
I (p)=Ii(i -Oi sin2 p)
Ii = mz0 + A) + Ai + A2;
Oi =
Kl.
Ii;
(З0)
К1 = т^0 + А + А1 — С1;
Е = mzl + А0 + В1.
Здесь А0 и С - экваториальный и осевой моменты инерции ротора; А1, В1, С1 - моменты инерции внутренней рамки относительно осей х, у, z; А2 - момент инерции наружной рамки относительно оси X; т, Р - масса и вес ротора гиромаятника. Переходя к безразмерному времени
X = . и вводя безразмерные параметры
л/ilf
Wi =v v W 2 =i F; Oi = il1;
Kl z0PF z0PIL S2 = y; mi =-^; m 2 =^/;
u
= ey^. = z0mNL
H
; Ci
u
2
(З1)
I1
'; %2 = XlW2;
h =-m^; h = т2^2
Н * Н а также новые обозначения переменных
^ = а, = Ь (32)
и разлагая тригонометрические функции в ряд Маклорена, представим систему (29) в виде
- Ч1 + о -Ч2
-х
?2
2 +Ц-72+тіЧі =е Шх ^-тО; 2 -х ах
- Ч2
(33)
аТ 2 ах
где используются обозначения
02-^ + ^ =е 02(х, Ч,-^),
ах
0(х,Ч,~т) ° аіЧі — Рі “Г1 + Сі соеихЧі — ах ах
ах
к,-- _Оі|аі — 1 |Ч22 -4- +
+ 2СіЧ2
ах ах
/ -Ч^ о -Ч1
0,2 (х, Ч, —) ° а2Ч2 — Р2 —г + %2 С08 ихч2 ■ -х -х
(34)
к2 , 0 Ч2 , С2Ч2 -х 2 -х
Я
-х
Здесь а1, а2, р1, р2 - малые расстройки частот, причем в выражениях для Q1, Q2 (34) не учитываются нелинейные члены, коэффициенты которых содержат безразмерные параметры ц1, ц2, х1, %2 (31), которые предполагаются малыми, параметры к1, к2 (31) также считаются малыми (слабая диссипация). В правых частях уравнения (33) формально вводится малый параметр е, отражающий малость членов вида (34). Квадраты частот собственных колебаний системы (33) при е = 0 определяются из формулы
2<2-1+т + т ±У(1+т +т)2 - 4т1^2, (35)
где значения параметров ц1, ц2 приведены в (31).
Применяя вышеизложенные результаты, исследуем устойчивость нулевого решения системы (33) в случае, когда между частотой собственных колебаний ю1 (35) и частотой и (31) возмущающих сил имеет место соотношение вида (16):
2ю1 -и- 0. (36)
Предварительно, используя преобразования
q1 - -а(х1 + х3)+Ь(х2 + х4); д2 -1^2(®1 (х1 - х3)+ Ю2(х2 - х4));
-41 = і(—1а(х1 — х3)+ —2Ь(х2 — х4));
-х
(37)
2 = —02 (и»2 (х1 + х3)+—2 (х2 + х4));
-х
і = 4—1
где
а = —2—т2, ь=т 2——2; приведем систему к виду (1):
(38)
II ^3 |
-х
-х 2+к
-х
Здесь
=і—л+е/к(х, 4 = —і—кХ2+к + Є/2+к (X, х)
(к = 1,2) (39)
х , х2, х3, х4},
(
/і(х,х)°и —-& — 00 а
г ( \ — і Рл О р.
/2 (х, х) = — ТГ °1 + "Г” 0
ь
2 V—2 - У
— ( і л 01 ^
' І2
а
(40)
Г ! \ — і Я О, "
/3 (х, х ) = —01 + 02
/4 (х, Х)° —
У
— 01 —ОЪ1 ^2
V —2 Ь
\
У
причем
—=(—2——2)т
—2) > 0 .
(41)
0к (к = 1,2) - функции 0к(х, ч,-Ч) (34), в кото-
Величины а и Ь определены выше (38);
01) й?Т
рых переменные 1к, заменены по формулам
й?Т
(37). При исследовании устойчивости нулевого решения системы (39) в случае равенства (36) интегралы порождающей системы возьмем в виде
V - х1е, У2 - х3егЮ1Т, Уъ - х2х4. (42)
В данном случае вспомогательная система (6) будет порядка N = 3:
^-% У + ... (^ - {^1, ^ ^2 }) . (43)
ах
Ищем уравнение интегрального многообразия системы (39) и (43) в форме (7):
д - V +ефх(х,х)+... (* -1,2,3). (44)
Дифференцируя уравнения (44) по т в силу систем (39) и (43) и исключая С согласно (44), придем к уравнениям вида (9), из которых определим функции gs(С), фДт, х) (^ = 1, 2, 3). Окончательно получим систему (43) в первом приближении:
- е-^ (/'У0^1 + ^2 -М0?1 + ^'(г1^12^2 - г2^1^3 )), ах 2
О; = (- /у0^2 - N^1 -М0?2 - 4 V V2 - г2?2^ )),
-х
= е г2^1,
2
где
У 0 - — «1 - — «2 +®1(^2р1 +Цр2 ),
а
N0 -
К»!
1
К а
— С 2-С
ю.
1 /
а
г1 -^2ю31 2а1а -1 + о1 | + 3ю;
°2а -
2
(46)
г2 -ю1ю2П2| — -а1 + 2а1Ь | + ю1ю2 х
х
^2 202-
- + 4о2Ь
2
кЬ+—Н2
1 Ь 2
> 0.
Переходя к вещественным переменным X и Л1по формуле
V -Х1 + ihl, V2 -Х1 - Щи (47)
систему (45) можно представить в форме
ах ю
— - е—х
ах 2
х(-У0Л, + ЧЛ -МА -г'П1 (х2 + Л2)+ ВДЛ1
0^1 -еКх ах 2
(48)
х(У0Х1 + N£1 - М0Л1 + г1х1(х2 +Л2)- I
ах
--ег3?3 (г3 > 0)-
Стационарное решение системы (48) или (33) находим, приравнивая нулю правые части уравнений (48). Тогда получим условие существования стационарного решения
г12р4 + 2у0г1 р2 + М2 - Ч2 + у0 - 0, (49)
где
р2-Х2 +л2.
(50)
Условие устойчивости нулевого решения системы (48), а следовательно, систем (39), (33) и (29) принимают вид
у2 + М2 -Ч2 > 0. (51)
многообразий исследование системы (1) порядка 1+2р+2т приводится к исследованию вспомогательной системы порядка Ч, причем N = = 1+р+г. Вспомогательная система позволяет построить и исследовать устойчивость стационарных режимов исходной системы, а также изучить процесс их установления.
Показано, что исследование устойчивости решений квазилинейной неавтономной системы дифференциальных уравнений порядка 1+2р+2т в сложном резонансном случае можно свести к исследованию устойчивости вспомогательной автономной системы порядка N, где N = = 1+р+г. В качестве примера приводится исследование устойчивости гиромаятника при вибрации основания с помощью интегральных многообразий. Заметим, что в частных случаях данная схема исследования устойчивости приводится в работах [2-6].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Валеев, К. Г. Об одной теореме Ляпунова / К. Г. Валеев // Сб. «Математическая физика». Киев, 1971. Вып. 9. С. 17-23.
2. Ляпунов, А. М. Общая задача об устойчивости движения / А. М, Ляпунов. М. : Гостехиздат, 1950.
3. Малкин, И. Г. Теория устойчивости и движения / И. Г. Малкин. М. : Наука, 1966.
4. Каменков, Г. В. Исследование нелинейных колебаний с помощью функции Ляпунова / Г. В. Каменков // Тр. ун-та дружбы народов им. П. Лумумбы. Сер. теор. механ. 1966. Вып. 3. Т. 15.
5. Мельников, Г. И. Об определении переходных процессов в нелинейных автоматических системах / Г. И. Мельников // Автоматика и телемеханика. 1955. Т. 26, № 1.
6. Хапаев, М. М. Обобщение второго метода Ляпунова и исследование на устойчивость некоторых резонансных задач / М. М. Хапаев // ДАН СССР.
1970. Т. 193, № 1.
ОБ АВТОРЕ
ВЫВОДЫ
Итак, указаны способы выбора полиномиально независимых алгебраических интегралов порождающей системы (4) в случае I нулевых, 2р чисто мнимых корней и 2т комплексных корней с отрицательными вещественными частями при наличии г резонансных отношений (16). Эти интегралы используются затем при построении уравнения интегральных многообразий. С помощью уравнений интегральных
Исламов Роберт Рахимович, доц. каф. математики. Дипл. инж.-мех. (УАИ, 1966). Канд. физ.-мат. наук по диф. и интегр. уравнениям. (Ин-т мат. АН УССР, 1973). Иссл. в обл. устойчивости решений обыкн. диф. ур-й.
2
а
2
г3 -ю
а