CC BY
7
Владикавказский математический журнал 2012, Том 14, Выпуск 4, С. 19-23
УДК 517.633
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ С ВЫСОКОЧАСТОТНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ1
В. В. Гусаченко, В. Б. Левенштам
Рассмотрен конкретный (иллюстративный) пример линейной параболической задачи с двумя независимыми переменными (х,^ и высокочастотными по времени t коэффициентами; соответствующая стационарная однородная усредненная задача при этом вырождена. С помощью методики, развитой недавно для обыкновенных дифференциальных уравнений (см. [1]), и метода пограничного слоя построена полная формальная асимптотика периодического по времени решения.
Ключевые слова: параболическая задача, высокочастотные по времени коэффициенты, вырожденная усредненная задача, полная асимптотика периодического по времени решения.
В работе [1] (см. также [2]) построены и обоснованы полные асимптотические разложения периодических решений линейных нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с высокочастотными коэффициентами, для которых стационарная формально усредненная задача имеет простое нулевое собственное значение. Важную роль при этом играет методика, развитая в работе [3], где рассматривались возмущения стационарных задач на спектре.
В данной работе методика [1] в сочетании с методом погранслоя [4] применена для построения формальной асимптотики решения конкретной параболической задачи второго порядка с двумя независимыми переменными (x, t) в полосе с высокочастотными по времени t коэффициентами. Соответствующая однородная стационарная формально усредненная задача вырождена. Представленная в работе методика, как видно из изложения ее на примере, применима к широкому классу высокочастотных параболических задач с вырождением.
Построим формальную асимптотику ^т-периодического по времени t решения задачи
= 9 dx2'^ + u(x, t) + ¿u(x, t) cos x + u(x, t) x sin wt + cos 2x + cos x cos wt; u(0,t) = u(n, t) = 0; (1)
^u(x, t + 2п) = u(x, t),
рассматриваемой в полосе (x, t) G [0, п] x R. Введем в рассмотрение оператор A0 с областью определения D(A0) = {u G W|([0, п]) : u(0) = и(п) = 0}, действующий в L2([0, п]) по правилу Aou = + u. Оператор Ao самосопряжен и его спектр имеет вид a(Ao) = {1 — k2, k G N}, a0(x) = sinx — собственная функция оператора A0, отвечающая собственному значению А = 0.
2012 Гусаченко В. В., Левенштам В. Б.
1 Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства образования и науки Россий-
ской Федерации, соглашение 8210, и Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 12-
01-00402-а.
Из соотношений (cos x sin x, sin x) = 0 и sin2x cos x — x cos x, sin ж) = 74 = 0 следует, что собственная функция ao(x) имеет обобщенную присоединенную функцию ai (x) относительно соответствующей тройки операторов Ao, Ai, A 2 (которые аналогичны одноименным конечномерным операторам из [1]), т. е. справедливо равенство A0ai(x) + Aia0(x) = 0, а уравнение A0z(x) + Aiai(x) + A2a0(x) =0 не имеет решений.
Для построения искомой формальной асимптотики в окрестности точки x = 0 положим £ = x^, а в окрестности точки x = п сделаем замену п = (п — x)v/w. Тогда д2 = , , д2 д2 = , , д2 дх2 д£2 ' дх2 дп2
Формальную асимптотику решения задачи (1) c учетом [1, 4] строим в виде
u(x,í) = ш2С_4 a0(x) + ш2 D_4 a0(x)
<х
fe=_i
+ Ck_3a1 (x) + У2к+1 (Ж, r) + z1k+i r) + z!k+1 (ПT)
+
Ш 2
U2k+2(x) + w^fé) + w2k+2(n) + Dk_2ao(x)
k=_1
+ Dk_3a1(x) + y2k+2(x,T) + z2k+2T) + Z2k+2(n,T)
T = wt.
(2)
Подставим ряд (2) в уравнение и граничные условия задачи (1) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях ш, причем отдельно для регулярных и для погранслойных слагаемых. Равенство коэффициентов при старшей степени (ш2) доставляет задачи:
ду-1(х,т) _ Г1 дт = C_
4 x sin x sin t ;
(y_1 (x, t )) = 0,
' d2w 1i(g) д!2 W_1 (£)
0;
• д2 w 2 1 (n) = 0; dn2 '
w 21 (n)| = 0,
rdzii(í,T)
д2 z ii(g,T) д!2 ;
дт ""
<zÍ1 (£,т )> =0;
z Í1 (е,т )|€=те =0 UÍ1 (0, t ) = 0,
' дг"21 (n,T)
дТ
д2 z^i (п,т) д!2 ;
(n, t )> =0;
v2
z 21 (n,T )|n=^ = 0; [z 21 (0, t ) = 0.
Таким образом, y_ 1(x,T) = — C_4x sin x cos t, zl1(£,T) = z^(n,T) = w i1(£) = w^1 (n) = 0.
Приравняем теперь регулярные слагаемые при следующей степени (ш2): дуо^"",т) = D _4x sin x sin т. Отсюда y0(x,T) = —D _4x sin x cos t.
Для погранслойных слагаемых получим те же задачи, что и на предыдущем шаге.
Поэтому z0(£,T) = z0(n,T) = w¿(<Ü = w2 (n) = 0.
Приравняем теперь регулярные слагаемые при степени ш:
dy1(x,T) ( д 2 Л / / N ,
---= ——~ + 1 u _ 1 (x) + y _ 1 (x, т) +— C _ 4 sin 2x + C _ 4 cos x sin x
дт \dx2 / \ 6 /
+ ^u _ 1(x) + C_ 3a0(x) + C_4a1 (x) + y _ 1(x,Tx sin т.
2fc-1
0
Применяя к уравнению (3) операцию усреднения по т, составим задачу
( 32U-l(x) / \ г,
dx2 ; + u-i(x) = 0; u-i (0) = u-1 (п) = 0; ^ (u-1 (x), sinx) = 0.
Отсюда, u-1(x) = 0. Возвращаясь к (3), найдем
y1 (x, т) = — C_3 sin x x cos т — 1 C_4 sin 2x x cos т + 1C_4 sin x x2 cos 2т — 2C_4 cos x sin т.
6 4
Перейдем к погранслойным слагаемым при той же степени. Получим задачи:
ЯЛ2 = 0;
«1(
w1 (OL.» = 0,
Таким образом, w1 (£) = w2(n) = 0. Далее,
dzl(!'T) = д2z 1(!'Т);
дт = Щ2 ;
<z1 &т)> =0; *1&т )|€=те = 0;
^1(0, т) = 2C_4 sin т,
d2w 2(n) = 0;
3r¡2 ;
w2(n)1 = 0.
1 \ / / n=<x
' dz2 (П'Т) d2 z2 (П'Т) i
dn2 ;
дт 2
z 2 (n, т )> =0; ; 2 (n, т )| =0;
1 \ о у 1п=те '
^ z2 (0, т) = —2C_4 sin т.
(4)
Вернемся к этим задачам после нахождения коэффициента C_4.
i
Приравняем регулярные слагаемые при следующей степени (w 2):
dy2 (x, т) ( d2 \( 1 \ -дт— V дж2 + / \ (x) + Уо (x, т) + 6D_4 sin 2x I + D_4 cos x sin x
+ ^u0(x) + D_3a0(x) + D_4a 1 (x) + y0(x^x sin т.
Применяя к уравнению (4) операцию усреднения по т, получим задачу
' d2U2x) + U0(x) = 0; < U0 (0) = U0 (п) = 0; ^ (u0 (x), sin x) = 0.
Отсюда, u0(x) = 0. Возвращаясь к (4), с учетом условия (y2(x^)) = 0, получим y2 (x, т) = —D_3 sin x x cos т — 6 D_4 sin 2x x cos т + 4D_4 sin x x2 cos 2т — 2D_4 cos x sin т. Перейдем к погранслойным слагаемым. Получим задачи:
fd2w1 (!) =0;
J d!2 = 0;
Iw1 (0|€=те =
Таким образом, w1, (£) = w2(n) = 0.
dzl (!'T) _ d2zl (!'T),
' d2w2 (n) dn2
w2 (П)
^ = 0;
0.
"dT
"a!2"
f 9z%(n'T) _ d2z2(n'T),
<z2 (е,т )> = 0; z1 (е,т )|€=те = 0;
kz1 (0, т) = 2D_4 sin т,
"dT
dn2
(z2(n, т )> =0;
z2 (n т) l = 0;
2 V h ) I n=^ ' ,z2 (0, т) = —2D_4 sin т.
0
Вернемся к этим задачам после нахождения коэффициента ^_4. Приравняем теперь регулярные слагаемые при степени ш0:
dy3 (x, т) дт
д
1
dx2 + 1) ( U1 (x) + y1 (x, т) + 6 C_3 sin 2x
+ ^ C_3a0(x) + C_4 a1 (x) + y_1(x,T )jcos x + ^u1(x) + C_2a0 (x) + C_3a1(x) + y1(x, т) j x sin т + cos 2x + cos x cos т. Применяя к уравнению (5) операцию усреднения по т, составим задачу
(5)
д дХ2 + u1 (x) = — 6C_4 cos x sin 2x + C_4 x cos x — cos 2x; u1(0) = u1(n) = 0; ^ (u1(x), sinx) = 0.
Откуда, C_4 = — 76, u1 (x) = — 3 cos x + 3- x cos x + x2 sin x + 3 cos 2x + 42- sin 3x
zí(£,T) = —76( e^ ^ !+e^ ^ ^! I sinт— — г|е
16 7П
cos т,
16
zi(n,T) = 7^(e
n+e( n
. 16/ (—/2 n f_v2 n sin т + 7-4 ev 2 2 jv — e\ 2 г 2 У? | cos т.
Приравняем регулярные слагаемые при следующей степени (ш 2):
dy4dx,T) = (dxi + 0 (ui(x) + yi(x,T) + 1 D_3 sin2x)
+ ^D_3 a0(x) + D_4 a1(x) + y0 (x,T )jcos x + (u2 (x) + D_2Й0 (x) + D_3a1(x) + yi(x,T)) x sin т. Применяя к (6) операцию усреднения по т, получим задачу
д д"2(х) + u2(x) = — 1 D_4 cos x sin2x + D_4 x cos x; u2 (0) = u2 (n) = 0; , (u2(x), sin x) = 0.
Отсюда, D_4 = 0, u2 (x) = z^^t) = z2 (n,T) = 0. В результате находим
(6)
, \ 16 2 (3 8
u(x, í) = — w sin x + w I - sin x + —— sin 2x — — x sin x cos wí
7n
7
21n
16 7П
1
2
4
1
— cos x +--x cos x + — x2 sin x +— cos 2x +
3 3n 7n
/ 82 1 105109 95
+ +
3
42n
sin 3x
206 2 23 3 v 567 n 1 60480 504П — 504П — 504П ' sinx
3 3 8 4 2 32
+--sin 2x--sin x x cos wí--sin 2x x cos wí +--sin x x2 cos 2wt +--cos x sin wí
42 7 21n 7n 7n
16 7П
e( ! + e( !
16
sin wí — —г 7п
cos wí
+
16 7П
e( +*#) n + Д n
16
sin wí + — г 7п
e( n_ Дn
cos wí + .
2
1
Литература
1. До Н. Т., Левенштам В. Б. Асимптотическое интегрирование системы дифференциальных уравнений с высокочастотными слагаемыми в критическом случае // Дифференц. уравнения.—2012.— Т. 48, № 8.—С. 1190-1192.
2. До Н. Т., Левенштам В. Б. Асимптотическое интегрирование системы дифференциальных уравнений с большим параметром в критическом случае // Журн. вычислительной математики и мат. физики.—2011.—Т. 51, № 6.—С. 1043-1055.
3. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Решение некоторых задач в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук.—1960.—Т. 15, № 3.— С. 3-80.
4. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук.—1957.—Т. 12, № 5.—С. 3-122.
Статья поступила 20 ноября 2012 г.
Гусаченко Валентин Васильевич Южный федеральный университет, магистрант факультета математики, механики и компьютерных наук
РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а E-mail: [email protected]
Левенштам Валерий Борисович Южный федеральный университет,
профессор кафедры алгебры и дискретной математики РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а; Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, главный научный сотрудник отдела дифференц. уравнений РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: [email protected]
ASYMPTOTIC INTEGRATION OF THE LINEAR PARABOLIC PROBLEM WITH THE HIGH FREQUENCY COEFFICIENTS IN THE CRITICAL CASE
Gusachenko V. V., Levenshtam V. B.
A concrete (illustrative) example of the linear parabolic problem with two independent variables and high-frequency coefficients in time is considered. The corresponding stationary homogeneous averaged problem is degenerate. Using the method developed recently for an ordinary differential equations [1] and the method of boundary layer a full formal asymptotics of the periodic solution in time is constructed.
Key words: parabolic problem, high-frequency coefficient, averaged problem, full asymptotics.
