CC BY
40
ции высыхающих капель биологических жидкостей // Журн. технической физики. 2009. Т. 79, № 8. С. 133— 141.
7. Stauffer D., Aharony A. Introduction to Percolation
Theory. L. : Taylor & Francis, 1992. 181 p.
8. Sahimi M. Application of Percolation Theory. L. :
Taylor & Francis, 1994. 258 p.
9. ЗайманД. Модели беспорядка. Теоретическая физика однородно неупорядоченных систем. М. : Мир, 1982. 591 с.
10. Федер Е. Фракталы. М. : Мир, 1991. 254 с.
11. Ohira K, Sato M, Kohmoto M. Fluctuations in
chemical gelation // Phys. Rev. E. 2007. Vol. 75, iss. 4, 041402.
12. Gado E., Fierro A., Arcangelis L., Coniglio A. Slow dynamics in gelation phenomena: From chemical gels to colloidal glasses // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 69, iss. 5, 051103.
13. Jespersen S. Cluster diffusion at the gelation point // Phys. Rev. E. 2002. Vol. 66, iss. 3, 031502.
14. Vernon D., Plischke M. Viscoelasticity near the gel point: A molecular dynamics study // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 64, iss. 3, 031505.
15. Vernon D. Model for gelation with explicit solvent effects: Structure and dynamics / D. Vernon, M. Plischke // Phys. Rev. E. 2003. Vol. 67, iss. 1, 011401.
16. Monkos K. Determination of some hydrodynamic parameters of ovine serum albumin solutions using viscometric measurements // J. of Biological Phys. 2005. Vol. 31. P. 219-232.
17. Rottereau M, Gimel J., Nicolai T., Durand D.
3d Monte Carlo simulation of site-bond continuum percolation of spheres // The European Physical J. E: Soft Matter and Biological Physics. 2003. Vol. 11. P. 61-64.
18. Johner N., Grimaldi C., Balberg I., Ryser P. Transport exponent in a three-dimensional continuum tunneling-percolation model // Phys. Rev. B. 2008. Vol. 77, iss. 17, 174204.
19. Matsumoto M. Mersenne twister: A 623-dimen-sionally equidistributed uniform pseudorandom number generator // ACM Trans. on Modeling and Computer Simulations. 1998. Vol. 8, № 1. P. 3-30.
20. Hoshen J., Kopelman R. Percolation and cluster distribution. I. Cluster multiple labeling technique and critical concentration algorithm // Phys. Rev. B. 1976. Vol. 14, № 8. P. 3438-3445.
21. Rubin F. The Lee Path Connection Algorithm // IEEE Transactions on Computers. 1974. Vol. 23. P. 907-914.
22. Тейлор Д. Введение в теорию ошибок / пер. с англ. М. : Мир, 1985. 272 с.
23. Тарасевич Ю. Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы. М. : Едиториал УРСС, 2002. 112 с.
24. Balberg I., Binenbaum N. Invariant properties of the percolation thresholds in the soft-core-hard-core transition // Phys. Rev. A. 1987. Vol. 35, № 12. P. 51745177.
25. Эфрос А. Л. Физика и геометрия беспорядка. М. : Наука, 1982. 260 с.
26. Zhydkov V. 3D continuum percolation approach and its application to lava-like fuel-containing materials behavior forecast // Condensed Matter Phys. 2009. Vol. 12, № 2. P. 193-203.
УДК 539.3
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ СЛУЧАЯ МНОГОСЛОЙНОЙ ТОНКОЙ ОБОЛОЧКИ
М. В. Вильде, Л. Ю. Коссович, Ю. В. Шевцова
Саратовский государственный университет E-mail: [email protected]
Производится асимптотическое интегрирование трехмерных динамических уравнений теории упругости для случая многослойных тонких оболочек произвольного очертания. Построены тангенциальное и поперечное низкочастотные длинноволновые приближения. Выведены двумерные разрешающие системы уравнений.
Ключевые слова: многослойные оболочки, низкочастотные длинноволновые приближения, асимптотические методы.
Asymptotic Integration of Dynamic Elasticity Theory Equations in the Case of Multilayered Thin Shell
M. V. Wilde, L. Yu. Kossovich, Yu. V. Shevtsova
Asymptotic integration of elasticity theory 3D equations is fulfilled for the case of multilayered arbitrary-shaped thin-walled shells. The tangential and the transverse long-wave low-frequency approximations are constructed. The governing 2D equations are derived.
Key words: multilayered shells, long-wave low-frequency approximations, asymptotic methods.
Целью данной работы является развитие асимптотических методов исследования динамических процессов в тонкостенных телах, предложенных в работах [1-5]. Метод асимптотического интегрирования трехмерных динамических уравнений теории упругости обобщается на случай многослойных
© Вильде М. В., Коссович Л. Ю., Шевцова Ю. В., 2012
оболочек произвольного очертания. Рассматривается случай низкочастотных длинноволновых приближений, допускающий сведение трехмерных уравнений теории упругости к двумерным уравнениям относительно величин, заданных на срединной поверхности оболочки. В отличие от других работ, посвященных построению двумерных теорий многослойных оболочек (см., например, [6]), полиномиальный закон изменения НДС по толщинной координате не задается заранее, а определяется в ходе асимптотического интегрирования.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим многослойную оболочку произвольного очертания толщины 2к. Будем предполагать, что каждый слой оболочки выполнен из изотропного упругого материала. Введем криволинейную триортогональную систему координат:
Р («1 , а2,а3) = М («1 , а2) + а3п, (1)
где (а1 , а2) — параметры линий кривизны срединной поверхности оболочки, а3 — расстояние по нормали, п — единичный вектор нормали к срединной поверхности.
Поверхности раздела слоев зададим уравнениями
а3 = = сопэ^
р = 1, п — 1, к = ¿о >^1 >...> — к = гп,
(2)
п — число слоев. Подчеркнем, что поверхность а3 =0 соответствует срединной поверхности оболочки и в общем случае не является поверхностью раздела слоев. Все величины, относящиеся к к-му слою, будем отмечать верхним (для искомых функций) или нижним (для постоянных параметров) индексом к. Толщину к-го слоя обозначим 2кк, тогда ¿к-1 — ¿к = 2кк.
Трехмерные динамические уравнения теории упругости для каждого слоя оболочки запишем в форме
1 да
(к)
1 да(кг) да3к)
1 дН
Нг даг И) да)
да
____________) а(к) — а(к)\ +___________________
НгН,- даг V гг 33 / + НгН3 да
1 дНг V*» + )') +
г) )г 1 1
1 дНг Н) (к) 1 дНг (к)
+^-а* + Нг дата(3) — Рк
1 да
(к)
г3
Нг даг
+
НгНз да3
1 да(3) , да33)
д\(к)
д£2
= 0,
Нз даз
+
1 дН
да3
Нг да
1 дНгНз а(к) .
а33 +
Нз да3 33 Нг Нз да3
+^_ а(к) + + НгНз даг г3 +
1 дНг
НгНз даз
г (к)
_аз'3 — рк
2 (к)
д 2ь
д£2
= 0,
(3)
(к)
Ек
агз 2(1 + ^ )к
дь(к) + 1 дь)
1 — да5
(к)
Н) да)
+
Нг Н) да
дН) (к) , 1 дН) (к)
Н) да3
(к)
+
1 дьг
Н “дОО"
+
дНг (к) 1 дН
-----V- + — —— V
(к)
Нг да3 ~3
(к)
а3э =
Ек
2(1 + ^к )Кк
^к
1 дь
(к)
+
1 дь
(к)
Н) да)
+
1
дНг Ь(к) +
+
Нг Н) да
дН) (к)
-----ь> ; +
+
а(к) = а3г =
1. дНг
Нг да3
Ек 2(1 + ^к )
(к)
+
1 дН)
Н) да3
+
дь
(к)
да3
1 дь
(к)
Нг даг
+
дь
(к)
1 дН
да3
Нг да
г (к) ь
( к ) Ек
а'. = --------------
г) 2(1 + ^)
(к)
1 дьг
Н "да)
+
1 дь
(к)
Нг даг
1 дНг НгН) да)
(к)
ь—
1 дН) (к)
------------V-
Нг Н) даг )
(4)
3
и
1
1
1
3
3
где Кк =
(к)
с2,к
с1,к
1 — 2^к 2(1 — ^к)
с1,к =
Е(1 — ^к)
(1 + ^к )(1 — 2^к )рк
с2,к =
Ек
_________________, а(к)
2(1 + ^к )рк г)
напряжения,
ьт — перемещения, £ — время, Нг — параметры Ламе, Ек — модуль Юнга, ^к — коэффициент Пуассона, с1,к — скорость волны расширения, с2,к — скорость волны сдвига. Здесь и далее всегда предполагается, что индексы принимают следующие значения: г = ] = 1, 2, т = 1, 2, 3, к = 1,п, р = 1,п — 1. Параметры Ламе выражаются через коэффициенты первой квадратичной формы срединной поверхности оболочки А2 и главные радиусы кривизны Дг следующим образом:
Нг = Аг
(5)
Будем предполагать, что лицевые поверхности оболочки свободны от нагрузки. Тогда граничные условия на них будут иметь следующий вид:
а32, = 0 при а3 = к, а^^ = 0 при а3 = —к.
(6)
На поверхностях раздела слоев зададим условия полного контакта:
аЫ = а(р+1)
а3т = а
3т
= ь()р+1) при а3 = ¿р.
(7)
Вывод уравнений для приближенных теорий будет осуществляться с помощью метода асимптотического интегрирования уравнений (3), (4), основанного на малости геометрического параметра П = к/Д (Д — характерное значение радиусов кривизны срединной поверхности).
Введем масштабированные переменные
аг = Яг]д Сг, а3 = ДпС, £ = Лс2 1 пат,
(8)
где q — показатель изменяемости, а — показатель динамичности (см. [1,3]). Предположим, что дифференцирование по безразмерным переменным Сг, £, т не меняет асимптотического порядка неизвестных величин. В безразмерных переменных уравнения (3), (4) запишутся в виде
1 да
(к)
+
1 >'
21 да(к)
+ П 1^3^ +
дС
НгН) даг
а(к) — а(к)
гг )
+
дНг / (к) , (к) .
х да) К +^ 1 +
Л дН,- И
НгН) да3
гН)' (к)
3г
+
Нг да?
г (к)
- агУ — П
—2а
Ек
Нг Н)
д2ь(к)
2(1 + ^)Д дт2
= 0,
1 да
(к)
■3 + Н + п-1 ^
дС
Нг дСг Н) дС)
Д дНг
н- да
г (к) Д дН)' (к)
-а;„- — а)/ +
Н) да3 ))
(9)
+
НгН) да3
-Н^^г (к)
33
+
НгН) даг
) (к)
'г3
+
-2а
Ек
НгН) да) а)3 П 2(1 + ^)Д дт2
д24к) =0
(к)
=
Ек
(1 — ^)Д
1 дь(к)
^ —ц г +
Нг дСг
Д дНг (к) Д дНг (к) \
-----------^ + -гг- ^—V, +
и, И) да) )
И, да3 3
(к)
/ ц 1 дь)
+^к п—'г—+
И) дС)
Д дН)' ь(к) | Д дН)' ь(к) ьг + Н) да3 ь3
и, И) да
+
1 —
(к), 33 ,
— 1 Ек дь(к) (к) / (к) . (к)' п 1Т-ЭГ = а33 — ^ 'а~ + а!
Ек
2(1 + ^к )
(к)
))
Д дНг
Нг дСг
дС
и, да
г (к)
-ь;
= а
(к), 3г ,
Ек
2(1 + ^к)
1 дь(к) 1 дь.
П —^ г + п-^—_______________)
(к)
И) дС)
Нг даг
НгН) да)
г (к) ь-
) (к) ь
= а(к).
г)
(10)
X
п
и
Введение переменных (8) позволяет вывести асимптотически приближенные уравнения для составляющих напряженно-деформированного состояния (НДС) при различных показателях изменяемости и динамичности. Остановимся на случае длинноволновых низкочастотных приближений, для которых д < 1, а < 1. Эти приближения разделяются на два типа: тангенциальные и поперечные. В первом случае тангенциальные компоненты вектора перемещений велики по сравнению с нормальной компонентой г, >> -из. Во втором случае имеет место противоположная ситуация: -из >> г,. Приведем вывод тангенциальных и поперечных приближений в случае многослойной оболочки.
2. ТАНГЕНЦИАЛЬНЫЕ НИЗКОЧАСТОТНЫЕ ДЛИННОВОЛНОВЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
При построении тангенциального приближения следует положить д = а. Возьмем асимптотику НДС в виде
(к) т->( а 0(к) 1+о 1(к)\ (к) т->( 0(к) 2а 1(к) \
г, у у + п у), гз = Д(пг3 + пг3 ),
а(к) = р (а0(к) + па1(к)) а(к) = Е (а0(к) + па1(к))
^"гг Ек 1^гг + п^гг /5 Ек + П^.7
(к) = р (п1-1?а0(к) + п2-аа1(к)) а(к) = Е (п2-2аа0(к) + па1(к)
Зг = Ек(П а3г + П а3г Л а33 = Ек(п а33 + п°33
(11)
) •
Здесь предполагается, что величины с индексами «0» и «1» имеют один и тот же асимптотический порядок. В формулах (11) НДС оболочки разделяется на основную и дополнительную компоненты. Основное НДС (индекс «0») аналогично НДС плоского слоя, дополнительное (индекс «1») — результат влияния кривизны оболочки. От случая однородной оболочки (см. [1,3]) асимптотика (11) отличается представлениями для напряжений а(к) и а33). Подставим (11) в уравнения (9), (10) и отбросим величины порядка О (п2-2а). При этом используем следующие разложения в ряды по степеням £:
1
Ж
1
А"
1 - пД* + О (п2
ЯгЯ)
А,А)
1 - пчД*+Д* +О (п2:
(12)
где Д* = Д,/Д. Приравнивая члены одинакового порядка по п, получим системы уравнений относительно величин с индексами «0» и «1». Приведем систему относительно компонент г0(к), г1(к) а0(к) 1(к)
33
0(к) 0(к)
ай ’^ :
3г
1 да0
0(к)
А,
д&
+па
1 Д*
+
1 од
0(к)
А
+
да
0(к)
3г
) дС) дС
дА,
+ па
АгА) да)
-
Д дА
АгА) да
1
_______________д2___________
2(1 + ^) к дт2
/"а0(к) а0(кЛ +
~ [аа - ) ) +
= 0,
д 2г°(к)
0(к)
0(к)
+
да
1(к)
33
дС
+
1
0(к) ________1
а,-,- =
1 дг
0(к)
А, дС,
+ ^к
.1 д)
а) дС)
0(к)
+ па
д 2 г1(к) л2 д г3 = 0
к дт2 0
1
+п2а ( ——+ — Д* Д*
1(к)
а0(к) =
2(1 + ^к)
1 дг
0(к)
+
1 дг
0(к)
0(к)
дА)
А дС) А дС
д«1(к) =0 дС ’
А, А) \да)
дг.
0(к)
дС
= 0,
+
(13)
где ^ = с2,1 /с2,к.
Интегрируя полученные системы, установим зависимость компонент НДС от координаты £:
0(к) 0(к)
V = <0 ’ 0(к) 0(к) а,г = ам,0 ’
1(к) 1(к)
г, = <0
, и 1(к) 0(к) 0(к^ . и 0(к) 1(к) 1(к)
+ Сгг,1 ’ г3 = г3,0 + Сг3,1 ’ г3 = г3,0
1(к) + > 1(к) а0(к)
¿¿,0 + ^а,,, 1 ’ аг7
',),0
+ Са
(14)
1
1
1
3
1
а
п
а
=а
0(д) 0(к) ^ 0(д) 1(д) 1( к ^ , > 1(д) , >2 1( к)
03і = 03гУ + №,1 , 03, = Он,0 + №,1 + С 03і,2 ,
0(д) 0(к)
°з3 = 0
33,0
+ с^03л + с 2о035,
1( ) 1( )
033 = 0
33,0
+ со
1(Д)
33,1 •
Все величины, стоящие в правых частях (14) с запятой в нижнем индексе, являются функциями, не
0( ) 1( ) 0( ) 0( )
зависящими от £. Система относительно асимптотически главных компонент , огг 0 , 0^0
записывается следующим образом:
1 9а,0<д)
гг,0
+
1 до0(д)
А, дСг А) д£
^г,0 + 0(д) + „ Я дА7
+ 03г,1 + '/
+П
' д дАг /_0(д) + 00(д А, А, да. V г),0 + °г,0
о(д) _ о(д) А,А, да, ^гг,0 0^0
д 2 -и0(д)
02 о!’20 =о,
+
1
0(Д)
д* 0гг,0 +
0(д) + 1(д) +
0^ п + 033,1 +
о(д) =___________
гг,0 і _ ^2
д дї0(Д)
А, д^г
1 дг>
о(д) =
0г,,0
1
2(1 + ^Д )
А, дС.
' 1 дгйД)
1
0(д) Я ,,0 . а Я
——+ па—
2(1 + ^) д дт2
2 1(Д)
1
Я* )),0
2 д2% 0 0| а_20 =0,
2(1 + ^д) дт2
А, А, \да, ),0
дАг Ад) + 1/д дА) ^0<ДМ + П2а
даг
1 . Уд
Г>* + ту*
дг Д
(15)
і(д)
3,0
+
1 д«д
А, дС, Аг дС
па Д дАг °(д) + дА) °(д)
п л л I я„. уг,0 + - и
Аг А, \да,
даг ),0
Подставим представления (11) в граничные условия (6), (7). Учитывая зависимости (14), получим
00(1 = _00« 03г,0 = 03г,1 ,
0(п) ____ 0(п)
03г,0 = 0
3г,1
00(1)
033,0
0(п)
33,0
0« + 0« = °33,1 + 0 33,2 =
0(п) + 00(п) = 733,1 + 033,2 =
1(1) 1(1) 1(1)
3г,0
+ о
3г,1
+ о3і,2 = 0,
1(п) 1(п) , 1(п) п
03, 0 _ 03, і + 03> 2 = о,
3г,1
3г,2
01(1) = _01(1) 033,0 = 033,1,
1(п) ____ 1(п)
33,0
= О
33,1
Е (00(р) + г 00(р)) = Е (00(р+1) + г 00(р+1))
ЕР(03г,0 + ГР03г,1 )= ЕР+1(03г,0 + ГР03г,1 ),
Е (00(р + г 00(р + Г200(р)) = Е 1(00(р+1) + г 00(Р+1) + г200(Р+1))
ЕР (033,0 + ГР 033,1 + Гр 033,2 )= ЕР+1 (033,0 + ГР 033,1 + Гр 033,2 ),
г 01(р
г,1 1(Р)
Е (01(Р) + г 01(Р) + Г201(Р)) = Е (01(Р+1) + г 01(Р+1) + г201(Р+1))
ЕР(03г,0 + ГР03г,1 + Гр03г,2 )= ЕР+1 (03г,0 + ГР03г,1 + Гр03г,2 ),
(16)
Е (01(р) + г 01(р)) = Е (01(Р+1) + г 01(Р+1))
ЕР(033,0 + ГР033,1 )= ЕР+1(033,0 + ГР033,1 ),
^0(р) = ^0(р+1) уг,0 =
г,0
,1(Р)
г,0
1(р) _ „,1(Р+1)
г,0
,,0(Р)
3,0
,0(р) _ „,0(р+1)
+ гр ^3,і = ^3:0 + ^3,1
0(р+1)
+ rPvг1,(1P+1),
1(р) _ „,1(Р+1)
^3,0 = п
3,0
где гр = /^. Уравнения для двумерных величин с запятой в нижнем индексе, полученные в ходе
асимптотического интегрирования, и соотношения (16) образуют замкнутую систему уравнений, из которой можно определить все величины, входящие в представления (14). Из (16) получаем, что
величины г°0к), г-^ не зависят от к. Последовательно выражая функции а"^, а^д через а°(к1),
1(к) , ,
а33,1 соответственно, придем к соотношениям
п п
5] йкЕка3г(к1) =0’ 5] йкЕказ1^;0) = 0.
(17)
д=1
д=1
Получим двумерную форму записи разрешающей системы. С этой целью первые уравнения системы (15) умножим на 2йкЕк и просуммируем по к. Введем обозначения
Тг = "¡Т 2Л,дЕд0°(0), ^г, = "¡Г 2^дЕд0°(0), иг = ^°,(0д), 'Ш = Д^2"^1(0д),
д=1
а также усредненную плотность
д=1
р = -т^>2 ^д рд •
д=1
(18)
(19)
1
1 дТ, 1 д&
А, да, + А. да.-
+ А) (Т, - Т)) + 2к,£,) - 2рй
д2
= Б3
з
А, д
А) да) V А,
д£2 +Б2
А) д
=0’ Дт+12+2рлд?=0’
1 ди д
+ к) и, +
А) да)
+
А, да, А
(20)
где
к, =
1 дА,
А, А) да) ’
к=11 - у2
к=1 1 - Ук
Б3 =
к к Ек
1 + Ук
к = 1 _ ' к
Из уравнений (20) следует выражение для скорости волны расширения в многослойной оболочке по двумерной теории:
С3 =
А
2кр'
(21)
3. ПОПЕРЕЧНЫЕ НИЗКОЧАСТОТНЫЕ ДЛИННОВОЛНОВЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
При построении поперечного приближения следует положить а = 2д - 1, 1/2 < д < 1. Возьмем асимптотику НДС в виде
(к) т->( 0(к) 2а 1(к)\ (к) т->/ а 0(к) а+1 1(к)\
г, = Д(пг, + пг, ) г3 = Д(паг3 ' + п г3 у).
= Е (п1-а а°г<к) + Ч,а’4(к))!
(к)
(к)
(22)
а(к) = Е (п2-2аа0(к) + па1(к)) а(к) = Е (п3-3аа0(к) + п2-аа1(к))
а3, = Ек(п а3, + rla3i )’ а33 = Ек(п а33 + п а33 ) •
Асимптотика (22) отличается от случая однородной оболочки представлением для напряжения а3к). Подставим (22) в уравнения (9), (10) и повторим процесс, описанный выше для случая тангенциального приближения. Будем иметь следующие системы:
1 да
0(к)
+
1 а)«
А, дС А) дС
+
да
0(к)
3,
дС
+ па
Д /дА
да,-
А А)
0(к) 0(к)\ . дА / 0(к) . 0(к)\ \ п ; - аЛ М + да“ (а) + ) ) ) = 0’
))
1 да
0(к)
3,
+
1 аа0<t)
)3
А, дС, А) дС
+
да
0(к)
33
дС
+ па
Д
А, А)
дА) а0(к) + да, ^ +
дА, 0(к) да;а)3
4д —2
а1(к)
Д*
1(к)
+
Д*
^2
2(1 + Ук) дт2
Э2гГ’ =0!
0(к) 1
1 - VI
1 дг
0(к)
А, дС,
+ Ук
1 дг
0(к)
А) дС)
+ па
Д
А, А)
дА, 0 (к) . дА) 0(к) ---г/ + Ук^^- г„-
да) )
да,
0(к)
2(1 + Ук)
1 дг
0(к)
+
1 дг
0(к)
А) дС) А дС
, Д /дА. А, А) \да)
I __Гг0(к) + дА)г0(к)
дг
0(к)
дС
= 0’
1 дг
0(к)
А, дС,
+
дг
0(к)
дС
=0
дА)
да, ^
(23)
1 да
1(к)
+
1 да
1(к)
Я
А, дС, А) дС
+
да
1(к)
Зг
дС
+ па
Д /дА
да,-
1 да31г(к)
-А, дС,
+
, Я 1(к)
1 да) к
А)
дС)
1(к)
+
да
1(к)
33
дС
+ па
А, А)
Д
А, А)
1(к) 1(к) а • • - а • •
+
дА,
да^
дА) 1 (к) + дА, 1 (к) "даГ а 3, + дО) а)3
1 - у2
1 дг
1(к)
А, дС,
+ Ук
1 дг
1(к)
А) дС)
+
1 . Ук
Д* + Д*
а1(к) + а1(к)
, '3 )
0(к)
Д,*
0(к)
+
а0(к)
Д*
+
0’
0’
и
и
п
1
п
и
1
3
Я
А* А,
дА* 1(*) . дА5 1(*)
1(к) а,3 =
1
1 ди
1(*)
+
1 ди
1(*)
А5 дС) А* дС
дг>„-
1(*)
= 0,
дг>
1(*)
да
Я ( дА* и1(к) + дА? и1(к) А* А, \да3- * да* 5 1(*) і _1(к)'
(24)
= -V* (а^ + аЩ.
дС ’ дС
Из (23) и (24) получим следующие зависимости для компонент НДС от нормальной координаты:
0(*) у*,0 )1 + 1(*) = „1(*) ^¿,0 ■ V СО о )* ()* 0, 0( 3, = и1(*)
0(*) 7м,0 + Са«1^ а1і<*) = ^й? ■ а0(*) *3 = а0(*) а*5,0 + Са^^,
а0<1) = а;,'*) + Са!;,**? + С "а0!*^1 а1(*)= а3* = а3і*0) + Са
^3,0
+
1(*) 3,1 ,
1(*) 1(*)
^ ,0 :
(25)
1(*) 3*,1 ,
0(*) 0(*) . > 0(*) . >2 0(*) . >3 0(*)
гз3 = а33,0 + С°з3,1 + С а33,2 + С а33,3 >
1( ) 1( )
33
33,0
+ ‘1 + с2 а|3*2-
Получена система уравнений, связывающая величины с запятой в нижнем индексе, не зависящие от £. Чтобы замкнуть эту систему, надо использовать граничные условия. Подставляя (22), (25) в (6), (7), будем иметь
0(1) 0(1) 0(1)
3 *, 0
0(1) ^ а0(1) 33,0
+ а3*,1 + а
=0,
а
33,1
0(п)
3*,0
0(1)
3*,2 0(1)
1(1)
3*,0
+ а0(1) + а0(1) + а0(1) = о
+ а33,1 + а33,2 + а33,3 = 0,
33,2 + а33,3 а0(п) + а0(п) = 0 - а3 1 + а3*,2 = 0-
0(п) 0(п)
33,0
Е (а0(Р) + г а0(Р) + Г2а0(Р)) = Е -,(а
Ер (а3*,0 + Гра3*,1 + Гра3*,2 ) = Ер+1 (а3*,0
3 *, 1
0(п)
- а0й = 0,
33,1 + а33,2 33,3
^ , „2 о^ч _
33.0 1(п) 3*,0 1(п)
33.0 0(р+1)
1(1) 1(1) 1(1)
+а
33,1
+ а33*2 = 0,
-а
1(п) _
3*,1
а1(п) + а1(п) = 0 - а33,1 + а33,2 = 0,
=0,
(26)
г0(р+1) + г2 а0(р+1)
),
+ гра3*,1 + > ри 3*,2
Е (а1(р) + г а1(р)) = Е (а1(р+1) + г а1(р+1))
Ер (а3ї,0 + гра3*,1 )= Ер+1(а3г,0 + гра3*,1 ),
Е (а0(р) + г а0(р) + г2а0(р) + г3а0(р)) = Е (а0(р+1) + г а0(р+1) + г2а0(р+1) + г3а0(р+1))
Ер(а33,0 + гра33,1 + Гр а33,2 + Гр а33,3 )= Ер+1(а33,0 + гра33,1 + Гр а33,2 + Гр а33,3 ),
р 33,1 р 33,2 р
Е (а1(р) + г а1(р) + г2а1(р)) = Е (а1(р+1) + г а1(р+1) + г2а1(р+1))
Ер (а33,0 + гр а33,1 + гр а33,2 )= Ер+1 (а33,0 + гр а33,1 + гр а33,2 ),
,,0(р)
^,0
0(р) _ 0(р+1)
*,0
+ гр ^д
0
0(р+1)
1Ы = и1(р+1)
6г,0 = 6г,0 ■
и3,0(р) = и3,0
0(р+1)
1( р) 3,0
,1(р)
1(р+1)
+ гр ^3,1 = %0 + ^3,1
,1(р+1)
Из (26) получаем, что функции ), г*1^ не зависят от Поскольку в силу последнего уравнения (23) имеет место соотношение
1 д^0(к) 0(*) _ 1 ди3,0
и*,1 = ■
(27)
А, д^г
°(к) 7
величина V, ^ также не зависит от &.
Получим разрешающую систему в двумерной форме. Умножим первое уравнение (23) на п2^-1 и сложим с первым уравнением (24). Учитывая (22), получим уравнение, которое в исходных размерных переменных имеет вид
1 да}*
(*)
+
1 да
(*)
л
А,- да5
+ к
а(*) а(*)
, V агг - а53
А* да*
Введем усилия и моменты по следующим формулам:
п /* 2к-1 п /* Zk — l
г(*)^,„ с.. - ^ I ,.(*)
+к* (а3 )+а5і)
+
да
( ) 3*
да3
= 0.
(28)
= Е /
а >5 ^а3,
я‘з = £ /
а3аг(*) йа3,
С, = ^ аг(к) а3 йа3,
/» ^7- 1
г(*).
а3^йа3-
(29)
а
п
п
Е/
к = і ^ 2к
даз
(к)
3і йа3 = 0.
Тогда получим первые уравнения разрешающей системы в виде
!_ дТ, 1 д5-
Аг да і А- да,
+ к— (Ті — Т-) + 2 к-б1— — 0.
Умножая (28) на а3 и интегрируя по этой переменной, получим
і да
+
1 дН-
Аі даі А- да,
+ к- (С- — С-) + 2к-Н— — N — 0.
(30)
(31)
(32)
Применим аналогичную схему для вывода последнего уравнения. С этой целью нужно воспользоваться вторыми уравнениями систем (23), (24). Введем прогиб ш следующим образом:
ш — Яп9 4(0 • Тогда разрешающее уравнение запишется в виде
1 дЛТі 1 д^ , ДГ , ДГ „ , д2ш „
Т-, ■ Т-, ------1Тя----------к2^і. — кі^2 + 2р^^2 = 0
яі Я2 Аі даі А2 да2 д£2
Ті + Т2 —
(33)
(34)
Получим выражения для усилий и моментов, входящих в уравнения (31), (32), (34). Чтобы получить выражение для Т, необходимо использовать представления для функций из (23), (24) и
выражения (22). Интегрируя по а3 и суммируя, получим в силу (29)
1 диг ш
— — + к- и, + — Аі да-
1 д /1 дш \ к 1 дш А- да- V А- да- У + - А- да- j
—Сі
Аналогичным образом получим С- — Сі
^ 1 д ( 1 дш ^
—»і
Н- — С3
где
+ В
— С2
1 ди, ш
+ к, и- + -Б" А- да- Я
і J
1 д /1 дш
А, да, V А, да- / + к Аг да,
1 дш
(35)
1 ди- ш
— — + к-и, + —
Аі да- Яі
Аі Л
А, да, V Аі
іі.А(ь.і + ^_ і ^
А, да, \А-/ А- да- \А-
+ кі а дд
Аі А / и-
А- да- и,-
а- _д_ (’
+ С — »2 — 2С3
1 ди, ш
+ к, и- + -БА, да, Д-
1 д / 1 дш \ к 1 дш А, да, у А, да- у + ’ Аі даі
1 д / 1 дш \ к 1 дш А, да, І Аі даг / ’ А, да,
(36)
— 2»
1 д / 1 дш \ к 1 дш А, да, V Аг даг / ’ А, да.
,,
Сі —2£ Рк, С — 2^ Рк,
к=1 — ^ ¡К 1 — ^
С3 — V Рк,
3 ¡=1+^кк’
(п к \ / п к \
53 Лі — ) , Рк — ( Лі — Лі 1 ;
і=к і = і / \і=к+і і=і )
»і — 2Е
Лк Ек
»2 — 2Е
к = і
Лк ^к Ек 30—72)'
»3 — Е
к=13 (1 — ^к)
Лк Ек
к=і
3 (1 + ^к)
— ( 4Лк + 6ЛкРк + 3Рк
п
п
Полученные в данной работе приближенные системы уравнений могут быть использованы при исследовании длинноволновых колебаний и процессов распространения нестационарных волн в многослойных оболочках. В последнем случае они применимы вдали от фронтов волн.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-00545-а).
Библиографический список
1. Kaplunov J. D., Kossovich L. Yu., Nolde E. V. Dynamics of thin walled elastic bodies. San Diego : Academic Press, 1998. 226 p.
2. Коссович Л. Ю. Нестационарные задачи теории упругих тонких оболочек. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1986. 176 с.
3. Коссович Л. Ю., Каплунов Ю. Д. Асимптотический анализ нестационарных упругих волн в тонких оболочках вращения при ударных торцевых воздействиях // Изв. Сарат. ун-та. 2001. Т. 1, вып. 2. С. 111-131.
4. Каплунов Ю. Д., Кириллова И. В., Коссович Л. Ю.
Асимптотическое интегрирование динамических уравнений теории упругости для случая тонких оболочек // ПММ. 1993. Т. 57, вып. 1. С. 83-91.
5. Коссович Л. Ю., Шевцова Ю. В. Асимптотические приближения трехмерных динамических уравнений теории упругости в случае двухслойных пластин // Проблемы прочности и пластичности : межвуз. сб. Н. Новгород : Изд-во Нижегород. ун-та, 2005. Вып. 76. С. 102-111.
6. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М. : Наука, 1971. 446 с.
УДК 539.3
ОДНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ГИБКИХ ТРУБКАХ
Ю. П. Гуляев
Саратовский государственный университет E-mail: [email protected]
В статье описан новый вариант осреднения уравнений Навье-Стокса для осесимметричного течения вязкой несжимаемой жидкости при минимальном числе упрощающих гипотез. Приведена полная система пространственно одномерных дифференциальных уравнений, описывающая динамику кровотока в системе крупных артериальных сосудов.
Ключевые слова: линеаризация, одномерные уравнения, осесимметричные колебания, закон Пуазейля.
One-Dimensional Equations of Motion of a Viscous Incompressible Fluid in Flexible Tubes
Yu. P. Gulyaev
This paper describes a new variant of the averaging of the Navier-Stokes equations for axisymmetric flow of a viscous incompressible fluid with a minimum number of simplifying hypotheses. The complete system is spatially one-dimensional differential equations describing the dynamics of blood flow in the large arteries.
Key words: linearized, one-dimensional equation, axisymmetric oscillations, Poiseuille law.
Одномерные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости [1] применяются для моделирования динамики кровотока в крупных артериях. Эти уравнения положены в основу создания быстродействующих многопараметрических моделей артериальных систем, которые достаточно быстро и точно могут численно описывать динамику кровотока в соответствующей части артериальной системы применительно к конкретному индивидууму. Используемый в настоящее время вариант уравнений, полученный с помощью осреднения уравнений Навье-Стокса для осесимметричного течения вязкой несжимаемой жидкости и некоторых упрощающих предположениях [2], на наш взгляд, не полностью отражает характер течения жидкости в случае осевой симметрии потока и когда осевая скорость существенно больше радиальной скорости течения.
В данной работе предлагается новый, более строгий математический подход к выводу одномерных уравнений осесимметричных движений вязкой жидкости. При этом существенно сокращается число дополнительных гипотез. В частности, непосредственно закон Пуазейля, справедливый только для установившихся течений в тонких жестких трубках, здесь не используется.
Предположим, что происходит осесимметричное нестационарное течение вязкой несжимаемой жидкости в предварительно натянутой гибкой цилиндрической трубке. В цилиндрической системе
© Гуляев Ю. П., 2012
