Асимптотический анализ системы ММР|м|1|ИПВ в условии предельно редких изменений состояний входящего потока Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.872

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СИСТЕМЫ MMP|M|1|ИПВ В УСЛОВИИ ПРЕДЕЛЬНО РЕДКИХ ИЗМЕНЕНИЙ СОСТОЯНИЙ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА

А.А. Назаров, А.Е. Горбатенко

Томский государственный университет E-mail: [email protected]

В качестве математической модели сети связи рассмотрена система массового обслуживания ММРМЦИПВ. Для нахождения распределения вероятностей числа заявок в источнике повторных вызовов предложен метод асимптотического анализа в условии предельно редких изменений состояний входящего потока.

Ключевые слова:

Асимптотический анализ, MMP-поток, условие предельно редких изменений, состояния входящего потока. Key words:

The asymptotic analysis, Markov Modulate Poisson Process, the condition of limit rare changes of arrival process state.

Введение

В связи с быстрым развитием информационных технологий эффективность работы многих компаний зависит от доступности и актуальности информации. Сети связи обеспечивают возможность оперативно получать, обрабатывать и передавать необходимую информацию. Стохастический характер функционирования таких сетей и сложность структуры передаваемой информации приводит к невозможности построения детерминированных математических моделей. Поэтому актуальной является задача построения адекватных стохастических моделей сетей связи случайного доступа и методов их исследования.

Исследованию математических моделей сетей связи посвящено достаточное количество работ, выполненных как отечественными, так и зарубежными учеными. Некоторые из них были рассмотрены в работах [1-5].

Математическая модель сети случайного доступа

Математическую модель сети случайного доступа определим в виде однолинейной системы массового обслуживания ММР|М|1|ИПВ (рис. 1), на вход которой поступает ММР-поток заявок из внешнего источника. Если общий ресурс сети (обслуживающий прибор) свободен, то заявка успешно обслуживается и покидает систему. Если прибор занят, то поступившая заявка уходит в источник повторных вызовов (ИПВ), после случайной задержки в котором заявка вновь обращается к прибору с повторной попыткой его захвата.

В качестве входящего потока рассмотрим MMP-поток (Markov Modulate Poisson Process), который относят к классу специальных потоков. В отличие от классических моделей случайных потоков (пуассоновского и рекуррентного) математические модели специальных потоков (к которым относят ММР, МАР, BMAP, COX и SM потоки) [6-8] более адекватно представляют телекоммуникационные потоки реальных данных.

Рис. 1. Математическая модель сети случайного доступа. ц, g - параметры продолжительности обслуживания заявки и ее задержки ИВП

Чтобы определить ММР-поток, введем сначала определение случайного потока однородных событий.

Последовательность t0<t1<t2<... моментов наступления рассматриваемых событий называется случайным потоком однородных событий или точечным случайным процессом [9].

Случайный поток однородных событий будем представлять в виде случайного процесса m(t) - числа событий потока, наступивших за время t или на интервале времени [0,t).

Пусть задана эргодическая цепь Маркова n(t), определяемая матрицей инфинитезимальных характеристик Q(1) с элементами , а также набор неотрицательных чисел А„>0.

Случайный поток однородных событий будем называть марковским модулированным пуассо-новским потоком (ММР-потоком) [10], управляемым цепью Маркова n(t), если выполнены следующие условия:

P{m(t + At ) = m +11 m(t) = m, n(t) = n1} = = A At + o(At),

P{m(t + At) > m + 1 |m(t) =m, n(t) =n1} =o(At).

Состояниями ММР-потока будем называть состояния его управляющей цепи Маркова n(t).

Продолжительность обслуживания заявки является экспоненциально распределенной случайной величиной с параметром /. Если во время обслуживания заявки поступает другая заявка, то поступившая заявка отправляется в ИПВ, не искажая обслуживающуюся заявку. Продолжительность задержки заявки в ИПВ случайная и имеет экспоненциальное распределение с параметром а, одинаковым для всех заявок [11].

Постановка задачи

Задача исследования системы сводится к нахождению распределения вероятностей состояний канала и числа заявок в ИПВ.

Обозначим i(t) - число заявок в источнике повторных вызовов и k(t) - состояние обслуживающего прибора [11], которое определяется следующим равенством:

[0, прибор свободен

к(t) = •

[1, прибор занят

Процесс [k(t),n(t),i(t)} является трехмерной цепью Маркова с распределением вероятностей P(k, i, n, t) = P{k (t) = к, i (t) = i, n(t) = n}.

Применив формулу полной вероятности, получим: ' P(0, n, i, t + A) =

= P(0, n, i, t)(1 - X„A){1 - iaAt )(1 + q£> A) + +P(1, n, i, t)^At + £ P(0, v, i, t) q® A + o(At),

v *n

P(1, n, i, t + A) =

= P(1, n, i, t)(1 - A„At)(1 - /uA)(1 + q^A) + +P(0, n, i +1, t )(i + 1)oAt + +{P(1, n, i -1, t) + P(0, n, i, t)} АиA + +£ P(1,v, i, t) q® At + o( At). (1)

Выполнив несложные преобразования, получим систему дифференциальных уравнений Колмогорова:

dP(0, n, i, t) =

dt

= -(An + ia)P(0, n, i, t) + +^(1, n, i, t) + £ P(0,v, i, t) q®,

v

dP(1, n, i, t)

dt

■ = -(^ + A) P(1, n, i, t) +

+An{P(1, n, i -1, t) + P(0, n, i, t)} +

+(i + 1)aP(0, n, i + 1, t) + £ P(1, v, i, t) qv(n).

(2)

Для стационарного распределения вероятностей Р(к,г,п) из (2) можно записать следующую систему уравнений:

-(An + ia) P(0, n, i) + iuP(1, n, i) + +£ P (0,v, Oq® = 0,

V

-(^ + An) P(1, n, i) + An{P(1, n, i -1) + P(0, n, i)} + +(i + 1)aP(0, n, i +1) + £ P(1,v, i) q® = 0. (3)

Обозначим

да

H (k, n, u) = £ eJuiP(k, n, i),

(4)

где 1.

Функции Н(к,п,и) будем называть функциями, аналогичными характеристическим.

Домножив обе части уравнений системы (3) на и просуммировав по всем г, получим:

дН (0, п, и)

-JG-

ди

- = -AnH (0, п, и) +

+V-H (1, n, u) + £ H (0,v, u)qv(1n)

V

-Ju dH(0, n, и)

jae

du

= (An (eju -1) H (1, n, u) +

+AnH (0, n, u) + £ H (1,v, u)qv(n).

(5)

Значения инфинитезимальных характеристик -дП? определяют времена пребывания ММР-пото-ка в п-х состояниях.

Исследование системы дифференциальных уравнений (5) выполним методом асимптотического анализа в условии предельно редких изменений состояний входящего ММР-потока [11].

Метод асимптотического анализа в условии предельно редких изменений состояний входящего ММР-потока

Пусть 5 - некоторый малый положительный параметр.

Условием предельно редких изменений состояний входящего ММР-потока будем называть равенства

(6)

q(1) =8q

определяющие достаточно малые значения инфинитезимальных характеристик, что влечёт достаточно редкие изменения состояний потока [11, 12].

С учетом (6) система (5) будет выглядеть следующим образом:

дН (0, п, и,5)

-Ja-

du

- = -AH (0, n, u,S) +

+ßH (1, n, u,S) + S£ H (0,v, u,S) q,

V

- ju dH (0, n, u,S)

Jae

du

= (A (eju -1) -ß)H(1, n, u, S) +

+AnH(0,n,u,S) + S£H(1,v,u,S)qn.

(7)

V

i=0

V

V

В соответствии с теоремой Пуанкаре [13] об аналитической зависимости решения от малого параметра можно утверждать, что существует предел

limH(k,n,u,5) = F(k,n,u), к = 0,1.

В системе (7) выполним предельный переход при 5>0; для функций F(k,n,u) получим следующие равенства:

dF (0, n, u)

J

joe

du

-ju dF(0, n, u)

= -knF (0, n, u) + /dF (1, n, u),

du

= (k(eju -1) - /)F(1, n, u) + knF(0, n, u).

(8)

F (1, n, u) =

к

/-Ke>

-F (0, n, u).

(9)

Подставив (9) в первое уравнение системы (8), получим совокупность (не систему) дифференциальных уравнений:

( .л \

dF (0, n, u)

-jO - :

du

-k + -

/к

F(0, n, u),

решения которых имеют следующий вид:

C

F (0, n, u) =-n-—,

F (1, n, u) =

(d-kej" У k • С

к.

(d-ke*)O

(10)

(11)

Константы Cn можно найти из начальных усло-

вии:

F (0, n, u) + F (1, n, u) = R(n),

где Я(и) - стационарные вероятности значений цепи Маркова и(0, определяемые однородной системой линейных алгебраических уравнений

I R(vKn = 0

V

и условием нормировки

IВД = 1.

Константы Cn определяются из выражения:

к+1 ./-к)O

Си = R(n)-

(12)

С учетом (12) из (10) и (11) получим:

F (0, n, u) = R(n) I 1 -k

(

d-kne

X,

'n~

F (1, n, u) = R( n)

kГ /-к л

d-ke

ju 'n~ /

(13)

(14)

Домножив первое уравнение системы (8) на е-и и сложив его со вторым, получим:

-Хпе~ j"F (0, п, и) + |лe-"F (1, п, и) +

+(Хп еи -1) -1)F(1, п, и) + Х^(0, п, и) = 0,

приведя подобные, получим:

-Х^(0, п, и) + (Хпе'и - |)F(1, п, и) = 0.

Из полученного равенства с помощью несложных преобразований выразим функцию F(\,n,u) через функцию F(0,n,u):

Для достаточно малых 5 выполняется приближенное (асимптотическое) равенство:

H(к,n,u) = H(к,n,u, 5) и F(к,n,u). (15)

Просуммировав (15) по всем n и к получим функцию

H (u) = XIH (к, n, u) «XlF (к, n, u). (16)

n к n к

С помощью обратного преобразования Фурье и асимптотических равенств (15) и (16) найдем вид распределения вероятностей числа заявок в ИПВ:

1 П

P(i) = , n,i) = — J e-juiH(u)du и

n к 2n

1 П

и — J e"jui F(к, n, u) du.

2n -П „к

С учетом формул (13) и (14) асимптотическое распределение вероятностей числа занятых приборов в ИПВ имеет следующий вид:

P(i) и^-Т 0 -р„ ) R(n)х

2п „

х e

Г 4 1 -pe\

(1+рп (1 - eu)) du, (17)

Хи

где рп = -*■.

I

На рис. 2 представлен график распределения вероятностей числа заявок в ИПВ, найденное по формуле (17), при следующих значениях матрицы инфинитезимальных характеристик 2, величин Хп, параметров ц и о

'-3 1 2 ^ О = 3 -4 1

14 2 -6,

Х= 1; Х2 = 1,5; Х3 = 2; |= 3; о= 0,03.

Полученное асимптотическое распределение является многомодальным, что имеет принципиальное значение при численных реализациях.

л

n

Выводы

Рассмотрена математическая модель сети случайного доступа, представленная в виде системы массового обслуживания ММР|М|1|ИПВ. С помощью метода асимптотического анализа в условии предельно редких изменений состояний входящего ММР-потока найдено распределение вероятностей числа заявок в источнике повторных вызовов, которое является многомодальным. Это имеет

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бочаров П.П., Шлумпер Л.О. Система массового обслуживания MAP/G/1/r с фоновыми заявками // Информационные процессы. - 2005. - Т. 5. - № 5. - С. 367-369.

2. Бочаров П.П. Система МАР/Г/1/г в условиях большого коэффициента вариации времени обслуживания // Автоматика и телемеханика. - 2005. - № 11. - С. 89-98.

3. Dudin A.N., Klimenok V.I., Kim C.S., Lee M.H. The SM/PH/N queuing system with broadcasting service // Proc. of the 13th Intern. Conf. on analytical and stochastic modeling techniques and applications. - Bonn, Germany, 2006. - P. 8-13.

4. Artalejo J.R., Joshua V.C., Krashnamoorthy A. An M|G|1 retrial queue with orbital research by the server // Stochastic Analysis and Applications. - 2005. - V. 23. - P. 975-997.

5. Назаров А.А., Цой С.А. Общий подход к исследованию Марковских моделей сетей передачи данных, управляемых статическими протоколами случайного множественного доступа // Автоматика и телемеханика. - 2006. - № 2. - С. 90-105.

6. Cox D.R. The analysis of non-Markovian stochastic processes // Proc. Cambr. Phil. Soc. - 1955. - V. 51. - № 3. - P. 433-441.

7. Neuts M.F. A versatile Markovian arrival process // Journal ofAppl. Prob. - 1979. - V. 16. - P. 764-779.

принципиальное значение при численных реализациях, т. к. условием останова является достижение определенного достаточно малого значения вероятности, которое может достигаться в окрестности первого локального минимума.

Работа выполнена при поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010гг.)» Федерального агентства по образованию по проекту «Разработка методов исследования немарковских СМО их применение к сложным экономическим системам и компьютерным сетям связи».

8. Лопухова С.В. Асимптотические и численные методы исследования специальных потоков однородных событий: Дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18; Томский гос. ун-т. - Томск, 2008.

- 167 с.

9. Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. - Томск: Изд-во НТЛ, 2006. - 204 с.

10. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. - М.: КомКнига, 2007. - 336 с.

11. Назаров А.А., Моисеева А.А. Метод асимптотический анализ в теории массового обслуживания. - Томск: Изд-во НТЛ, 2006.

- 112 с.

12. Горбатенко А.Е. Исследование системы MMP|M|<» в условиях предельно редких изменений состояния входящего потока // Научное творчество молодежи: Матер. XI Всеросс. научно-практ. конф. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2007. - Ч. 1. -C. 14-17.

13. Эльсгольц Л.Е. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. - М.: Наука, 1969. - 424 с.

Поступила 20.10.2009 г.