Асимптотические методы в задачах по теплопередаче через ограждающие конструкции Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

ТЕПЛОСНАБЖЕНИЕ, ВЕНТИЛЯЦИЯ, КОНДИЦИОНИРОВАНИЕ ВОЗДУХА, ГАЗОСНАБЖЕНИЕ И ОСВЕЩЕНИЕ

УДК 536.24:692.2:001.24

А. И. БОРОДИН, докт. физ.-мат. наук,

[email protected] ТГАСУ, Томск

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ ПО ТЕПЛОПЕРЕДАЧЕ ЧЕРЕЗ ограждающие КОНСТРУКЦИИ

Предлагается асимптотический подход к решению краевых задач по теплопередаче через наружную стену ограждающей конструкции при наличии в них малого параметра.

Ключевые слова: асимптотический метод, малый параметр, теплоперенос, ограждающие конструкции.

Введение

Наличие в математической постановке задачи неравноценных по порядку величины членов позволяет применить для ее решения асимптотический подход, заключающийся в том, что малыми членами пренебрегают. В силу этого полученные приближенные уравнения упрощаются.

Наиболее известным и результативным применением такого асимптотического подхода является (на наш взгляд) создание теории пограничного слоя. В данной работе асимптотический метод применен к решению стационарных краевых задач по теплопереносу через ограждающие конструкции зданий с различного рода включениями.

Задача 1. Теплоперенос через наружный угол с теплопроводной накладкой

Из опыта эксплуатации зданий известно, что наиболее уязвимым местом с позиции обеспечения санитарно-гигиенических и технических условий являются узловые сопряжения строительных конструкций. В частности, именно в угловых помещениях чаще всего наблюдается увлажнение и даже промерзание внутренней поверхности наружных углов. Применяют различные способы для утепления (повышения температуры внутренней поверхности) этих углов [1]: это и устройство пилястр с наружной поверхности угла, и различного вида скашивание внутренней поверхности угла, и установка

© А.И. Бородин, 2009

в наружных углах стояков разводящего трубопровода отопления. Было замечено [1], что скашивание (или скругление) угла со стороны помещения достигает намеченной цели лишь в том случае, если скашивание осуществляется из материала с не меньшим коэффициентом теплопроводности, что у материала, из которого сделана сама стена. В [2] авторы, убедившись на практике, что увеличение теплопроводности внутренней обшивки деревянных домов приводит попутно и к увеличению температуры в углу стены, предложили принципиально новое решение - заделывать в углы со стороны помещения высокотеплопроводные пластины из алюминиевого сплава (X = 185 Вт/(м-°С)) или оцинкованной стали (X = 46 Вт/(м-°С)) с целью выравнивания температуры в углу с температурой глади стены, где она заведомо выше. В работе [3] приводятся результаты теплотехнических расчетов влияния материала такой угловой металлической вставки, ее размеров и места расположения относительно внутренней поверхности стены на повышение температуры внутренней поверхности угла. И в [2], и [3] толщина пластин составляла не более 1 мм.

Рассмотрим теплоперенос через наружный угол ограждающей конструкции с угловой вставкой в горизонтальном сечении стены (рис. 1). В силу симметрии конструкции достаточно ограничиться расчетом температурного поля в области odebhgfo. Распределение температуры в этой области описывается двумерным стационарным уравнением теплопроводности в декартовой системе координат, которое замыкается следующими граничными условиями:

- на внутренней (fghb) и внешней ^) поверхностях ограждения ставятся условия третьего рода (условие Ньютона - Рихмана) с коэффициентами теплообмена ави ан со средой соответственно внутри помещения и снаружи;

- на двух внутренних границах (они изображены на рис. 1 пунктирными линиями) ставится условие равенства нулю градиента температуры по нормали п к границе: на диагонали (dof) угла - в силу симметрии задачи, на противоположной границе (be) - в силу ее отдаленности от угла;

- на внутренней границе ^И) сопряжения вставки и стены ставится условие идеального контакта - равенство температур и тепловых потоков по разные стороны контактной поверхности.

Будем считать постоянными величинами коэффициенты теплопроводности материала вставки Хвст и материала стены X, а также ав = 8,7

и ан = 23 Вт/(м-°С).

Приведем уравнение теплопроводности для вставки в безразмерных переменных

где 0вст = (/в -1)/(/в - tн) - приведенная относительная температура вставки, tв, ^ - температура внутри и снаружи помещения соответственно, 5, l - размерные толщина и ширина вставки, Т = x /1, у = у / 5 - безразмерные декартовы координаты. Все введенные таким образом переменные являются величинами порядка единицы.

(1)

У

Рис. 1. Горизонтальное сечение наружного угла и связанная с ним декартова система координат: 1 - угловая вставка

Из физической постановки задачи следует, что толщина угловой вставки 8 намного меньше ее ширины l, т. е. в нашей задаче присутствует малый

параметр 8 /I << 1. В соответствии с этим в уравнении (1) можно пренебречь первым слагаемым в силу его малости. Тогда получим, что температурное поле в угловой вставке находится решением уравнения

5 26

ду2

= 0

и имеет следующий вид:

евст = а(X) + ь(X)у .

ггь следук

0вст на М; (2)

Эта функция должна удовлетворять следующим граничным условиям: д0 ав5

вст

вст

^вст. = А А » на оН, (3)

ду L ду '

где 0 = (/в — t)/(tв — tн) - приведенная относительная температура стены;

Ь - толщина стены; у = у/ Ь - безразмерная поперечная координата.

Опять же из физической постановки задачи известно, что вставка выполнена из материала с большой теплопроводностью (теплопроводность ма-

териала стены, напротив, мала), из чего в сочетании с малой толщиной 8 следует - ав8/Хвст << 1 и 8Х/(ЬХвст) << 1. В (2) - (3) правые части будут малыми величинами, которыми можно пренебречь. А это означает, что температура вставки практически не меняется в ее поперечном направлении:

0вст = а(Х) .

Изменение температуры вставки происходит только в продольном направлении, и механизм этого изменения прежний - теплопроводность. Отсюда 0вст = Ь + сх, где Ь, с - константы интегрирования, которые находятся из граничных условий в точке Н (см. рис. 1):

де

вст вст

= -а Є

в вст |х=1

X =1

I дх

евст| х=1 =е|х=1-

Окончательно имеем

евст =

где 0Н = 0(1,0) - относительная температура внутренней поверхности стены в точке Н.

В результате исходная задача по определению температуры в наружном углу ограждающей конструкции с наличием теплопроводной вставки (см. рис. 1) сводится к решению уравнения теплопроводности в области оёеЬНо

д20 д20

• + •

дх ду

= 0

с граничными условиями

на оё и Ье;

* = 0

дп

К де е

К— =-а в е на пЬ;

ду

е = евст =

1 а в

1 +- в

К в

(/- х)

де

К— = -а н (1 -е)

ду

е п на еп;

на ёе.

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

Различие между исходной задачей и краевой задачей (6) - (10) заключается в том, что вместо решения двух уравнений теплопроводности (в сечении стены и в сечении вставки) достаточно решить одно - в плоскости сечения угла, а расчет в сечении вставки заменяется граничным условием (9).

Некоторые решения краевой задачи (6) - (10) приводятся на рис. 2.

е

п

0

Рис. 2. Распределение относительной приведенной температуры вдоль внутренней поверхности угла:

1 - без угловой вставки; 2 - со вставкой шириной 5 см; 3 - со вставкой шириной 10 см. Сплошные линии - вставка из алюминиевого сплава. Пунктирные - из оцинкованной стали

Представленные результаты подтверждают сделанные в [3] выводы, что наличие высокотеплопроводной угловой вставки существенно повышает температуру в наружном углу, причем это повышение слабо зависит от величины коэффициента теплопроводности материала вставки и существенно - от ширины вставки.

Задача 2. Теплоперенос через наружные стены с наличием в них высокотеплопроводных включений

Современные наружные стены, как правило, являются многослойными. На рис. 3, а изображена трехслойная стена: внутренний несущий слой, теплоизоляционный слой и внешний защитный слой.

Рис. 3. Трехслойная наружная стена и схема расположения гибких связей в стене:

1 - внутренний несущий слой стены; 2 - слой теплоизоляции; 3 - внешний слой стены; 4 - коннекторы

При этом соединение внутреннего и внешнего слоев осуществляется за счет гибких связей (коннекторов). Коннекторы зачастую выполнены из арматурной стали. На рис. 3, б представлена типичная схема расположения коннекторов в стене: они заделываются равномерно, на одинаковом расстоянии как по горизонтали, так и по вертикали.

Рассмотрим теплопередачу через симметрично повторяющийся фрагмент наружной стены (на рис. 3, б он выделен пунктирным контуром), отдельно вынесенный на рис. 4.

Рис. 4. Схема фрагмента трехслойного наружного ограждения с коннектором и привязанной к фрагменту декартовой системы координат Охух:

1, 2, 3 - внутренний, теплоизоляционный и внешний слои стены соответственно; 4 - цилиндрический коннектор

Температурное поле внутри выделенного фрагмента стены находится как решение системы четырех уравнений теплопроводности (по числу слоев плюс коннектор), удовлетворяющее следующим граничным условиям (аналогичным условиям задачи 1):

- на внутренней и внешней поверхностях стены - условия третьего рода с известными коэффициентами теплообмена (ав и ан);

- на всех внутренних границах сопряжения слоев стенки и слоев стенки с коннектором - равенство температур и тепловых потоков по разные стороны контактной поверхности;

- на границах самого фрагмента по всему его периметру (пунктирная линия на рис. 3, б) - условие равенства нулю градиента температуры по нормали к поверхности границы в силу симметричного отображения фрагмента в стене ограждения.

Данная задача, в отличие от рассмотренной выше задачи 1, имеет ряд усложняющих ее решение особенностей. Во-первых, отсутствие всякой симметрии в самом фрагменте не позволяет уменьшить размерность задачи. Задача является, по существу, пространственной. Поэтому процесс теплопередачи во всех составных частях фрагмента, а это - три параллельных слоя и один коннектор, описывается трехмерным стационарным уравнением теплопроводности. Во-вторых, цилиндрическая форма коннектора осложняет практическую реализацию граничных условий на контактной поверхности «коннектор - стена»: замена части криволинейного контура плоскостью приводит всегда к уменьшению порядка аппроксимации задачи, т. е. к неизбежной потере точности получаемого решения.

Покажем, как наличие в задаче малого параметра позволит асимптотическими методами значительно упростить нахождение распределения температуры в рассматриваемом фрагменте стены.

Разделим фрагмент на две области. Для этого продолжим цилиндрическую поверхность коннектора в обе стороны до пересечения с боковыми поверхностями стены. Тогда первая область заключена внутри этого цилиндра, радиус которого равен радиусу коннектора (Л), а длина его равна толщине стены (Ь). Коннектор полностью находится внутри этой области. Вторая область - весь фрагмент за исключением первой области. Особенностью первой области является наличие в ней двух характерных линейных размеров Л и Ь , тогда как во второй области - только один размер Ь.

Теплоперенос в первой области описывается пространственным стационарным уравнением теплопроводности, которое в силу цилиндрической формы области удобно представить в цилиндрической системе координат и которое в безразмерных переменных имеет вид

где 0 = (7в - ti )/(7в -) - как и раньше, приведенная относительная температура, причем индекс I = 1, 3, 4 указывает на принадлежность к соответствующим слоям ограждения и коннектору (см. рис. 4); г = Лг - расстояние от оси коннектора; ф = 2пф - угол, отсчитываемый от плоскости xOz; X = Ьх -

продольная координата. Обезразмеривание, проведенное в (11), позволило привести все переменные величины к одному порядку, а именно - 0(1).

Приведем граничные условия, проставляемые по поверхностям, ограничивающим четвертинку этой цилиндрической области, также в безразмерных координатах.

(11)

На боковой цилиндрической поверхности (г = 1) из равенства тепловых потоков следует

} = 13 д04 = Д\д0_

дг Ь дг ’ ’ дг Ь К4 дг''

і = 1, 2,3,

(12)

где гЬ - расстояние от произвольной точки фрагмента стены, для которого характерным линейным размером является толщина стены.

50

На плоскостях симметрии этой четвертинки —- = 0, где I = 1, 3, 4.

дф

Так как радиус коннектора намного меньше толщины стены, то Я / Ь << 1. При стремлении этого малого параметра задачи к нулю в уравнении (11) исчезнет последний член, а в граничных условиях (12) правые части обратятся в нуль.

Решением полученной асимптотической краевой задачи с нулевыми граничными условиями является 0 = Д (х) . В этом нетрудно убедиться тривиальной подстановкой. Физически это тоже понятно: в силу малости поперечного размера области температура в ней практически меняется лишь в продольном направлении.

Функция Д(х) является решением одномерного стационарного уравнения теплопроводности, которое (см. во всех учебных пособиях по теплопередаче стационарное решение для плоской многослойной стенки) является непрерывным линейно-кусочным. Таким образом, распределение относительной приведенной температуры фрагмента стены (см. рис. 4) по оси Ох определяется как

0( X) =

1 X 1 _|

ав к,

1 + X!

ав ^1

1 +X'

ав и

/ Д,, 0 < X < Хі,

х - X

/ До,

Хі < х < X4,

(13)

X 4 - Хі

к

х - Хл

К

/ До

X 4 < X < X,,

=_1+XI + X - XI + X - X4

ав А1 '

А4

*1

ан

В результате постановка исходной задачи по нахождению температуры во фрагменте ограждающей конструкции с коннектором (см. рис. 4) существенно упростилась. В силу того, что теплопереноса через цилиндрическую поверхность, разделяющую две рассматриваемые области, нет, тепловые потоки по нормали равны нулю в (12), она расщепилась на две раздельные задачи - задачу нахождения температуры вдоль оси Ох, совпадающей с осью коннектора, решение которой приведено в (13), и задачу по определению температурного поля в трехслойном фрагменте стены. Вторая задача в силу граничных условий (равенство нулю градиента темпера-

1

туры на плоскостях симметрии: у = 0, у = Як, г = 0, г = Як) также сводится к решению одномерной задачи теплопереноса через плоскую трехслойную стенку, решение которой имеет аналогичный (13) вид:

0( X) =

7 _1_ х 1 _|

V ав X,

Г _1_ +X*

V ав

Г 2. +X,

.V ав

Я0 1 +

ав

/ Я, 0 < х < X2

/ Л0, Х2 < х < X3,

(14)

"3

\

Ъ3

1 Х2 + X3 - Х2 + X, - X3

/ R0, X3 < х < Xk, 1

Л1 /1'2 '^3

На рис. 5 и 6 приводятся некоторые результаты расчета теплового состояния трехслойной кирпичной стены с коннекторами при следующих исходных данных, взятых из [4]:

X = Х3 = 0,8Вт/(м• К), Х2 = 0,05 Вт/(м• К),

X = 0,325 м, X2 = 0,38 м , X3 = 0,53 м, X4 = 0,585 м , Xк = 0,65 м,

Я, = 0,2 м, ав = 8,7 Вт/(м2 • К), ан = 23 Вт/(м2 • К),

^ = 20 °С, =-40 С.

х, м

Рис. 5. Распределение температуры по оси Ох в трехслойной стене без коннектора (1) и с коннектором (2-5), имеющим различную теплопроводность Х4, Вт/(м К):

2 - 58; 3 - 20; 4 - 0,55; 5 - 0,05

x , м

Рис. 6. Распределение перепада температур Дг = г(х,0,0) - г(хДкДк) в зависимости от теплопроводности коннектора Х4, Вт/(м К):

1 - 58; 2 - 20; 3 - 0,55; 4 - 0,05

Библиографический список

1. Фокин, К.Ф. Строительная теплотехника ограждающих частей зданий / К.Ф. Фокин; под ред. Ю.А. Табунщикова, В.Г. Гагарина. - 5-е изд. - М. : АВОК-ПРЕСС, 2006. - 256 с.

2. Груздева, Л.В. Влияние конструктивных факторов на температурно-влажностный режим узловых сопряжений деревянных домов / Л.В. Груздева, П.П. Щеглов, Ю.А. Матросов // Деревообрабатывающая промышленность. - 1983. - № 8.

3. Табунщиков, Ю.А. Тепловая защита ограждающих конструкций зданий и сооружений / Ю.А. Табунщиков, Д.Ю. Хромец, Ю.А. Матросов. - М. : Стройиздат, 1986. - 380 с.

4. Хуторной, А.Н. Теплозащитные свойства неоднородных наружных стен зданий / А.Н. Хуторной, Н.А. Цветков, А.Я. Кузин. - Томск: Изд-во ТГАСУ, 2006. - 287 с.

А.1. BORODIN

ASYMPTOTIC METHODS IN PROBLEMS ON THE HEAT TRANSFER THROUGH EXTERNAL WALLS OF BUILDINGS

The asymptotic approach to the decision of regional problems on a heat transfer through external walls of a protecting structure at presence in them of small parametre is suggested in the paper.