Асимптотическая устойчивость решений линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом при возмущении коэффициентов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929.4

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ ПРИ ВОЗМУЩЕНИИ КОЭФФИЦИЕНТОВ*) Е, С, Водопьянов, Г, В, Демиденко

1. Введение

В настоящей работе рассматриваются системы линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом

—х(г) = Ах(г) + Вх(г - г), г> т, (1)

аЬ

где А, В — постоянные матрицы размера п х п такие, что нулевое решение (1) асимптотически устойчиво при любом параметре запаздывания т > 0. Задача об устойчивости решений систем вида (1) хорошо изучена (см., например, [1-3]). В частности, установлены условия на матрицы А В, при которых имеет место асимптотическая устойчивость нулевого решения. Одним из самых популярных критериев является спектральный критерий асимптотической устойчивости, который формулируется в терминах принадлежности корней квазимногочлена

сМА + е-тХВ - XI) = 0

левой полуплоскости С_ = {X € С : Т1еХ < 0}. Однако следует заметить, что на практике проверка этого критерия может оказаться очень

Работа выполнена при поддержке поддержке фцп «Научные и паучпо-педа-гогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (гос. контракт № 16.740.11.0127), а также СО РАН (интеграционный проект № 85).

© 2011 Водопьянов Е. С., Демиденко Г. В.

сложной задачей, поскольку для определения корней нужно применять приближенные методы, а как известно, даже в случае В = О задача нахождения корней такого уравнения является плохо обусловленной (см., например, [4]).

Еще одна интересная особенность при изучении устойчивости решений систем вида (1) может появиться в случаях, когда такие системы возникают при моделировании реальных процессов. В этих случаях элементы матриц А и В зачастую определяются неточно. Например, они могут быть получены в результате некоторых приближений громоздких выражений или измерений, которые проводятся с небольшими погрешностями, или каких-либо численных расчетов на ЭВМ. Коэффициенты могут также определяться гипотетически при отсутствии полной информации о моделируемом процессе. Поэтому при исследовании прикладных задач, изучив вопрос об устойчивости нулевого решения системы (1), очень важно определить границы для возмущений

АВ

нулевое решение возмущенной системы

±у(г) = (А + АА)у(г) + (в + ьв)у(г-т), г>т, (2)

будет также асимптотически устойчиво. Цель настоящей работы —

АВ

рантируется асимптотическая устойчивость нулевого решения системы (2) при любом параметре запаздывания т > 0.

Близкие вопросы рассматривались в работах [5-7].

2. Асимптотическая устойчивость решений систем с возмущением

Рассмотрим начальную задачу для системы (1)

= Ах(г) + Вх(г - г), г > г, х(г) = <^(г) при£ е [о,т], (з)

х{г) е с[о, С(т, ю),

где £ С[0,т] — заданная вектор-функция. Известно, что решение начальной задачи (3) существует и единственно. В следующей теореме [8] приводятся достаточные условия на матрицы А и В, при которых нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво для любого т > 0, при этом устанавливается оценка решения задачи (3), характеризующая убывание решения при г ^ то с экспоненциальной скоростью.

Теорема 1. Предположим, что существуют матрицы Н, К(з) £ С1 [0, т] такие, что

Н = Н* > 0, К(з) = К*(з) > 0, -^-К(з) < 0, в € [0, т], (4)

аз

при этом составная матрица

(НА + А*Н + К(0) НВ N С- - ^ В*Н -К(т)) (5)

положительно определена. Пусть с\ > 0 — минимальное собственное значение матрицы С н к > 0 — максимальное число такое, что

4-К(з) + кК(з) < 0, [0, г].

аз

Тогда нулевое решение уравнения (1) асимптотически устойчиво и для решения начальной задачи (3) справедливо неравенство г

рыт ) + /т - > *

г—т

{Нф), ф)> + / {К(т - з)ф), ф))0з

г > т, (6)

IIНII

о

где 7 = тт{с1, кЦН||}.

Отметим, что доказательство этой теоремы проведено с использованием модифицированного функционала Ляпунова — Красовского следующего вида:

г

= > + /<К« - мм*>аз

г

Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений с возмущенными коэффициентами (2). В следующей теореме указаны до-

АВ

нулевое решение этой системы будет асимптотически устойчивым.

Теорема 2. Предположим, что существуют матрицы Ни К (в) е С1 [О, т], удовлетворяющие условиям (4), п матрица

К=НА + А* Н + К(0) + НВК— {т)В* Н (7)

отрицательно определена. Обозначим через Лтах(К) максимальное собственное число матрицы К. Тогда если матрицы возмущений А А и В

([НДА+ (ДА)*н]у,у) < п|Атах(Д)||М|2, (8)

([НАВК — {т)В* Н+НВК — (т)(ДВ) * щу,у)

+ (К- (т)(ДВ) * Ну,(аВ) * ну) < т2 | ||М|2, (9)

Тз > О, Г!+Г2 < 1, V е Мп,

то нулевое решение возмущенной системы (2) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Из условий теоремы следует, что нулевое решение невозмущенной системы (1) асимптотически устойчиво. Действительно, рассмотрим матрицу С вида (5). Непосредственной проверкой убеждаемся, что выполнено равенство

I ЯсЦ ;)={-К к1)■ <->

где В = К— (т)В*Н. Отсюда С(в °1)Щ{в °1)Ш) = ( {-0 К(т))ш'ш)'ш е ^

Поэтому учитывая условия К(т) > 0 и К < 0, получаем положитель-

С

пулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво.

По аналогии с матрицей (7) введем матрицу К = Н(А + ДА) + (А + ДА) * Н + К(0) + Н(В + ДВ)К — (т)(В + ДВ) * Н. Ясно, что

К = НА + НАА + А*Н+ (ДА) *Н + К(0) + НВК— {т)В* Н + НАВК — {т)В* Н + НАВК — (т)(ДВ) * Н + НВК — (т)(ДВ) * Н = К + НАА+ (АА) * Н + НАВК — {т)В* Н

+ НВК— (т)(ДВ) * Н + НАВК— (т)(ДВ) * Н.

Покажем, что для любого вектора V е М" \ {0} имеет место неравенство

(КУ,У) <0. (11)

Действительно, из определения матрицы К имеем

(КУ, У) = (КУ, У) + ([НДА + (ДА* ЩУ, У)

+ ([НАВК— {т)В*Н + НВК— (т)(ДВ)*Щу, V)

+ (К — (т)(ДВ) * Ну,{АВ) * Ну).

Используя условия (8), (9), а также неравенство

(КУ,У) < Хт№{Щ||у||2, У е М",

получаем

(КУ,У) < (1 - п - т2)Хта,х(К)||уГ.

Поскольку т\ + г? < 1, отсюда следует (11).

Введем теперь матрицу с, являющуюся аналогом матрицы (5), следующим образом:

( ЩА + АА) + (А + АА) * Н + К(0) Н(В + ДВ) \

с - В В *Н -К т .

Пусть I) = К— {т){В + А В) * Н. По аналогии с равенством (10) имеем

I II* \ с (I о\ (-К о

О I I) ^ о К{т)

К т >

с

возмущенной системы уравнений (2) асимптотически устойчиво. Теорема доказана.

Приведем еще одну теорему, в которой получены чуть более гру-

АВ

при которых нулевое решение системы (2) будет асимптотически устойчивым.

Теорема 3. Предположим, что существуют матрицы Ни К(з) £ С1 [О, т], удовлетворяющие условиям (4), и матрица (7) отрицательно

АВ

условиям

где Ту > 0, т\ + г2 < 1, то нулевое решение возмущенной системы (2) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Перепишем условие (13) следующим образом:

2||ДА||||Н|| < п|Атах(Д)|.

Учитывая это неравенство, для любого вектора V £ М", очевидно, имеем

{HAАv,v> + {(ДА)*Hv, v>

< ||Н ||||Д А|||М|2+||(Д А) * |||Н |||М|2 < п |Атах(й) ||М|2.

А

из теоремы 2.

Рассмотрим условие на матрицу возмущения AB. Аналогично предыдущему, учитывая, что ||(ДB)*|| = ||ДB\\, ||^B*^^ ||B||, для любого вектора v G Rn имеем

( [HABK — {т)В* H+HBK — (т)(ДВ) * H}v,v)

+ (K — (t)(AB) * Hv,(AB) * Hv)

<[2 ||Д B||||B|| + ||A Bf]UK - (т) ||||H ||2||v||2.

Нетрудно показать, что из условия (14) вытекает неравенство

[2|ДB||||B|| + ||ДBf ] ||K-(т)|||Hf - r2|Атах(Д)| < 0.

Отсюда

( [HABK — {r)B* H+HBK — (t)(Ab) * H}v,v)

+ (K- (r)(AB) * Hv,{AB) * Hv) < r2 |Amax(B) |||v||2. B

из теоремы 2.

Итак, для матриц возмущения AA и AB выполнены все условия теоремы 2. Поэтому нулевое решение системы (2) асимптотически устойчиво.

Теорема доказана.

3. Оценки решений

Используя полученные результаты и рассуждая, как в [8,9], можно получить оценки решений системы (2) на всей полуоси {t > т}. Для этого рассмотрим начальную задачу для возмущенной системы (2): ( fty(t) = (А + AA)y{t) + (В + AB)y{t -т), t > т, I y(t) = ^(t) при t е[0,т], (15)

[ y(t) G C[0, œ)n C(t, œ). Теорема 4. Предположим, что выполнены условия теоремы 2. Пусть с\ > 0 — минимальное собственное значение матрицы с, определенной в (12), н k >0 — максимальное число такое, что

-^K(s) + kK(s) < 0, s G [0, г].

Тогда для решения начальной задачи (15) справедливо неравенство

{Ну (г), у (г) >+ / {К (г - з)у(з),у(з) > ¿з

< ехр -

~ г)

\\Щ

т

{Нф(т), ф)) + I{К(т - з)ф), ф)>аз

,г>т, (16)

где 7 = к||Н||}.

Доказательство. Пусть ^г) — решение начальной задачи (15). Рассмотрим модифицированный функционал Ляпунова — Красовско-го

У(г, у) = {Ну(г), у(ь)>+ / {К(г - з)у(з), у(з)) аз,

(17)

введенный в работе [8]. Дифференцируя его и используя матрицу (12), нетрудно получить следующее тождество:

г

- I (^К(±-з)у(з),у(з)^аз = 0.

с

с>

неравенство

+ I (К(1 - з)у(з),у(з)) ¿з ^ 0.

г-т

Отсюда, учитывая определение функционала (17), имеем

а ~ ^ ~

цПЬуН^УЬУХО, *>Г.

Стало быть,

V(t,y) <ехр t > т,

а это неравенство совпадает с (16). Теорема доказана.

Следствие. Предположим, что выполнены условия теоремы. Тогда для решения начальной задачи (15) имеет место оценка

IbWIKexp (-^If^ip) VilH-i\\V(t,V), t>r.

Доказательство непосредственно вытекает из неравенства (16).

Замечание. Аналогичные результаты можно получить для систем дифференциальных уравнений нейтрального типа

4 ш + (D + AD)y(t - Т)) = (А + AÄ)y(t) + (В + AB)y(t - г), t > т,

dt

ЛИТЕРАТУРА

1. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физ-матгиз, 1959.

2. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. В. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.

3. Кореневский Д. Г. Устойчивость динамических систем при случайных возмущениях параметров. Алгебраические критерии. Киев: Наук. Думка, 1989.

4. Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970.

5. Kbusainov D. Ya. Investigation of interval stability of linear systems of neutral type of Lyapunov function method //J. Appl. Math. Stochastic Anal. 2002. V. 15, N 1. P. 71-81.

6. Kbaritonov V. L. Lyapunov-Krasovskii functionals for scalar time delay equations 11 Syst. Control Lett. 2004. V. 51, N 3. P. 133-149.

7. Gu K., Kbaritonov V. L., Oben J. Stability of time-delay systems. Control engineering. Boston, MA: Birkhäuser, 2003.

8. Демиденко Г. В., Матвеева И. И. Асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2005. Т. 5, вып. 3. С. 20-28.

9. Демиденко Г. В., Матвеева И. И. Устойчивость решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и периодическими коэффициентами в линейных членах // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, № 5. С. 1025-1040.

г. Новосибирск

1 августа 2011 г.