Асимптотическая формула для математического ожидания конечных эллиптических дробей Минковекого Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 11 Выпуск 2 (2010)

УДК 511.9

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ КОНЕЧНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ МИНКОВСКОГО 1

О. А. Горкуша (г. Хабаровск)

Мы исследуем статистические свойства эллиптических дробей, которые являются частным случаем дробей Минковского. Главный результат этой работы — доказательство асимптотической формулы для математического ожидания случайной величины v (c/d), когда переменные си d меняются в пределах 1 ^ с ^ d ^ R, R ^ то, v(c/d) — длина эллиптической дроби числа c/d.

We prove asymptotic formulae with two significant terms for the expecta-

v(c/d)

with parametre Q = 2 when the variables с and d range over the set 1 ^ с ^ d ^ R < то.

1. Запись [А] означает характеристическую функцию условия А.

2. Запись [ж] означает целую часть числа х.

3. Запись {х} означает дробную часть числа х, то есть {ж} = х — [х].

4. Запись ^2*1<к<п f (к) — сумма всех f (к), таких, что индекс к взаимно прост с п.

5. Константа Эйлера

Аннотация

Основные обозначения

6. Дзета-функция Римана:

П= 1

1Работа выполнена при поддержке фонда РФФИ, гранты N 09-01-12129-офи-м, N 10-01-98001-р-сибирь-а.

7. Функция Эйлера <^(п) — количество взаимно простых с п чисел, не превосходящих п.

8. Функция Мебиуса ^(п), которая определяется следующим образом:

{1 если п =1,

( —1)к ЄСЛИ п = р1 ■ ... ■ Рк,

0 еслир2|п.

9. Дилогарифм Эйлера

Ы2{х) = - [ 1о5^ ~^сН.

ио І

§1. Введение

Нерегулярную непрерывную дробь, определяемую двумя числовыми последовательностями {ап}п^0 и {Ьп}п^1 будем записывать в виде

ао;

Ьі

(1)

г>1

Часто оказывается, что величины а1; Ь1; а2, Ь2 определяются особенным образом. В этом случае применяем обозначения

а1 сц а1 СІ2

) 7 ) Ь1 Ьг_ , г^2 О'О ) 7 ) Ь1 Ьг_

(2)

і^3

Далее будем рассматривать только те дроби, для которых ао = 0, а* € { —1,1}, Ьг € N. Для п ^ 2 конечная непрерывная дробь

А„

В„

аі

Ьі

п— 1

І=1

(3)

п,

Ап и Вп — числитель и знаменатель подходящей дроби Ап/Вп. Из равенства

(3) и из начальных условий

А,

о=

1, А1 = 0, Во = 0, В1 = 1

а

мы получаем рекуррентные соотношения

Ап+1 = ЬпАп + апАп-1 для п ^ 1, , ,

Вп+1 = ЬпВп + ап Вп-1 дл я п ^ 1.

аг 1 ,

непрерывной дробью и обозначаются [0; Ь1,Ь2,... ], а последовательность подходящих дробей регулярной непрерывной дроби — через Рп/^п.

Пусть r £ Q и r £ (0,1/2). Хорошо известно, что r имеет единственное представление в виде конечной регулярной непрерывной дроби r = [0; bi,..., bs] длины s = s(r) с bs > 1. Согласно теореме Лагранжа о наилучших приближениях, дроби Pj/Qj с i ^ 1 есть наилучшие приближения числа r. Это замечание

r.

Построим решетку Гг на плоскости с базисом (1, 0), (—r, 1).

Определение 1. Будем говорить, что точка y = (YbY2) решетки Гг — локальный минимум этой решетки, если прямоугольник {(x,y) £ Д2||ж| < |y1|, |y| < |y2|} не содержит никаких других точек релиетки, кроме начала, координат.

Множество таких точек обозначим через М(ГГ). Из определения 1 следует, что М(Г) = {±M(j)|M(j) = (Pj - rQj,Qj), 0 ^ i ^ s(r) + 1}. (5)

Определение 2. Назовем, ненулевую точку y = (Y1,Y2) решетки Гг — эллиптическим минимумом этой релиетки, если найдутся вещественные положительные числа ^ и t2 с условием

Гг П {(x,y) £ tix2 + t2y2 < tiY2 + t2Y2 = 1} = {(0, 0)}.

Множество эллиптических минимумов релиетки, обозначим, через Е(ГГ).

Поскольку Гг — дискретное множество иг £ (0,1/2), то точк и ±(1,0), ±(0,Qs+i), ±(-r, 1), ±(Ps — rQs,Qs) — эллиптические минимумы. Кроме этого имеет место вложение

Е(ГГ) С М(Г).

Определим последовательности целых неотрицательных чисел {Aj}^о, {Bj}j^o с условием Bj < Bj+i и точек {E(j)}^0 решетки Гг следующим образом:

Е(ГГ) = {±E(j)|E(j) = (A — rBj,Bj), 0 ^ i ^ v + 1}. (6)

n. J_ Qi_

bi ’ bi

назовем, ->. 1.1111i'i ii-

i=2

Определение 3. Для, 0 < г ^ 1/2 дробь

ческой дробью числа г длины V = ^(г), если последовательность подходящих дробей {Аг/Вг} с 1 ^ г ^ V + 1 удовлетворяет соотношению (6).

Для 1/2 < r < 1 дробь

0',\,

i-і ;

i=2

назовем, эллиптической дробью

r,

О- J_ 9±

bi ’ bi

i=2

І - r.

Впервые такую конструкцию нерегулярной дроби предложил ЭрмIII [1]. Много позже в 1894 году Минковский [2] изучил ряд свойств нерегулярных дробей более общего характера. Эллиптические дроби представляют частный случай этих дробей. Там же приведены основные свойства эллиптических дробей.

В настоящей работе изучаются статистические свойства эллиптических дробей.

Следует отметить, что статистические свойства регулярной непрерывной дроби изучались в работах Хейльбронна [3], Тонкова [4], Портера [5], Ренча [6], Устинова [7]. В перечисленных работах авторы исследовали асимптотическое поведение средней длины регулярной дроби с фиксированным знаменателем.

Другое направление в исследовании статистических свойств регулярных дробей — получение асимптотических свойств для математического ожидания и дисперсии величины в(с/1) — работы Диксона [17], Хенсли [18], Валлее [9], Быковского [19], Устинова [10]. Для эллиптических дробей в настоящий момент доказана асимптотическая формула для среднего значения длины эллиптической дроби с фиксированным знаменателем [8].

Используя методы получения асимптотических оценок в работах [19], [7],

[10], [8], в настоящей работе доказывается асимптотическая формула для средней длины эллиптической дроби числа с/1, когда переменные с и 1 меняются в пределах 1 ^ с ^ 1 ^ Д.

Теорема 1. Для положительного вещественного числа Д ^ 2 определим величину Е (Д) равенством

(І

Е (Д)

[Д]([Д]

і)

' с=1

ЕЕ'

Справедлива асимптотическая формула

Е(Д)

1о^З

С(2)

1оД

д

где

С(2) "Чз/ “'4 4у • —V' "°\2

С '(2)\

+ Ф - 2Ы2 - - Ы2 - + С(2) 3 - - -

9 3 7 log2 2

4

2т — к

+

2

— 7 log 3 log 2

+ Е

2т + к

к \ ^ т2 — тк + к2 ^ т2 + кт + к2

к=1 4 к<т^2к

— абсолютно сходящийся ряд.

2

1

§2. Предварительные замечания

Определение 4. Пары точек (M(j), M(j+i))^s u (E(j),E(j+i))j<v, определенных соотношениями (5) и (6), будем называть смежными локальными минимумами и смежными эллиптическими минимумами решетки Гг соответственно.

Следствие 1. Смежные локальные минимумы и смежные эллиптические минимумы составляют базис реш,етки, Гг.

Доказательство. Это непосредственно вытекает из леммы 6 в [11]. □

Следствие 2. Пусть M(j-i), M(j),M(j+i) — точки решетки Гг, определенные равенством, (5).

1. Точки M(j-i) и M(j) — см,ежны,е эллиптические минимумы решетки тогда и 'только тогда, когда точка M(j) + M(j-i) лежит вне эллипса, проходящего через точки M(j-i), M(j).

2. Точки M(j-i) и M(j+i) — см,ежны,е эллиптические минимумы решетки тогда и 'только тогда, когда точка M(j) лежит вне эллипса, проходящего через точки M(j-i), M(j+i) w M(j+i) = M(j) + M(j-i).

Доказательство. Эти утверждения немедленно вытекают из (4), следствия 1 и из того факта, что в каждой из координатных четвертей множество ®Т(ГГ) — выпуклая оболочка точек решетки, кроме нуля [12], [13]. □

Пусть

1 + 2х

0(*) = -2^> е [0,1])

ах = а(у) (у £ [1/2,1]) — функция, обратная к в(х). Ниже мы будем рассматривать только такие функции в (х) и а (у).

Лемма 1. Для, некоторого i ^ 1 подходящая дробь Pj/Qj регулярной непрерывной дроби числа c/d £ (0,1/2) будет подходящей дробью эллиптической дроби числа c/d только в случае выполнения неравенства

</3, Яг-1

dPi cQi

dPi-1 cQi—i

Яг

Доказательство. Достаточно доказать лемму в следующей формулировке:

Допустим, что для некоторого г ^ 1 точка М— не эллиптический минимум решетки Гс/^. Тогда согласно следствий 1 и 2 точки М(г-1), М(г+1) — смежные эллиптические минимумы, М(г+1) = М+ М(г-1) и точка лежит

вне эллипса, проходящего через точки M(i-1) и M(i+1), С учетом (5) перепишем эти условия в терминах переменных

Qi-1 dPi cQi /^\

Х=Ж’У= dPi-i - cQt-i (7)

В результате получаем у > в (x).

Предположим, что для некоторого i ^ 1 выполняются условия

|(dP - cQi)/(dPi-i - cQi-i)| > в(Qi-i/Qi), M(i) G E(rc/d).

Приведем это утверждение к противоречию. У нас имеются только две возможности:

M(i-1) G £(ГС/Й) ил и M(i-1) G Е(ГС/Й),

которые мы рассмотрим отдельно, используя следствие 2.

1 случай. Точка M(i-1) + M(i) лежит вне эллипса, проходящего через точки

M(i-1), M(i). В терминах переменных x и у (7) условие перепишется в виде

у<в(х).

M(i-1) M(i),

M(i) — M(i-1). В терминах переменных x и у (7) условие перепишется в виде у < (2x — 1)/(2 — х) < в(x).

Таким образом, и в первом и во втором случаях мы получили противоречие и предположением. Лемма доказана. □

Определение 5. Будем говорить, что четверка натуральных чисел, (k,/,m,n) есть E— представление ч,исла d, если,

km + /n = d, m ^ n, к ^ /в(т/п), НОД(т, n) = НОД(к, /) = 1. (8)

Множество E — представлений числа d обозначим через T*(d).

d > 2

Е «'(з) = 2 • #т*м +

Доказательство. Согласно определения 3 и (6)

#E(rc/d)/2 — 2 если c < d/2,

77( ) = ^ если с = d 1 #E(r1-c/d)/2 — 1 если c > d/2.

d > 2

S = S #£(г<=/<*) - 7^(d)- (9)

' 1<c<d/2

НОДМ) = 1

Зафиксируем число 1 € N, 1 > 2 и дополним множество Т*(1) четверками неотрицательных целых чисел (0,/,т, п), (к,/, 0,п) (0,/, 0,п), для которых выполняется условие (8) и т ^ 1/2, а затем выкинем все четверки (к,/,т, п), у которых либо к = /, либо т = п. Полученное множество обозначим через Т'(1). Заметим, что

#т'м = #т*(<г) + (ю)

Отобразим Т'(1) ^ {с € N1 0 < с ^ 1/2, НОД(с, 1) = 1} посредством правила: число с таково, что при разложении числа с/1 в регулярную непрерывную дробь существуют соседние подходящие дроби Pi/QiШ Рг+1/фг+1 с условием

1Рг+1 с^г+1

1Рг с^г

и Рг+1/фг+1 — подходящая дробь эллиптической дроби числа с/1. Из леммы 1 следует, что это отображение биективно. Это означает, что

тл)= £ (^^-1

Кс^/2 ^

НОДМ) = 1

Учитывая полученное равенство и соотношения (9) и (10), получаем утверждение леммы. □

§3. Асимптотические формулы

Здесь мы приведем несколько вспомогательных утверждений, полезных для дальнейшего изложения. Введем вспомогательные функции

51(ж) — сумма всех неполных частных регулярной непрерывпой дроби числа х,

1 Г

р{х) = - — {х}, а(х) = р(£)1£.

2 ио

Лемма 3. (формула суммирования Эйлера-Маклорена) Пусть функция /(х) дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [а,Ь]. Тогда, имеет место равенство

^ /(п) = [ /(х)1х+р(ь)/(ь)—р(а)/(а)+а(а)/(а) —а(ь)/(ь)+ / а(х)///(х)1х.

Доказательство. Смотрите, например, в [14]. ПИз леммы 3 следуют асимптотические равенства

52 1 = и+р(и), (п)

0<га^и

Е ^ = 1^/+ї+1г + 0Ш- <12>

0<га^и

Р(п)___= п.1^1 + 0(}Л (13)

2^ 1 + т/3(т) П 2 \п)’ ^ ]

0<т^п п^\п> \ /

Е ^ = ‘°*Ш + з1|п"0<2)|-^+0Ш- (14)

0<т<| у 7 У 7

1^^^(ї)-^ті)-Ь82-1т1-ік + 0Ш- (15)

&^т<2& х ут> ' ' '

Лемма 4. Пусть х = Р/ф — рациональное число, у,а,Ь — вещественные числа и а ^ Ь. Тогда,

^ {га + у} = - Ь—-р{уЯ)[Ь -а>0\ + 0(ві(ж)).

«<га^Ь

Доказательство. Положим К = [Ь] — [а],7 = {у + х[а]}, определим характеристическую функцию х(х) условиями

( ) = Г 1 если х Є [1 — 7,1),

Х(Х) = \ 0 если х Є [о, 1 — 7),

Х(х) = Х(х + 1).

Тогда

^ {пх + у} = ^ {пх} — ^ Х(пх) + К7.

«<га^Ь 0<п^К 0<п^К

Если К < ф, то па основании [15] справедливы оценки

^ {га} = у + 0(зі(ж)), ^ х(^х) = ^7 + 0(5і(ж)).

0<п^К 0<п^К

Пусть теперь К > ф. Выберем числа К = К(тоїф), Т = [К/ф],

гп = пР (тоїф) для вс ех п го отрез ка [1,К ] и заметив, что гп = гп(то^) и

то, что если п пробегает полную систему вычетов по модулю ф, то гп по одному разу принимает каждое из значений 0,1,..., ф — 1, получаем

ґ -г-\ N т^ т^+кі ^—і кі

Г 1 I пР I Гп Гп , Гп ЛТ7 п I Гп

X/ X/ | д | ^<5 ^ <3 <5 ^ <3 ^

0<п^К 0<п^К ^ ^ 0<п^К ^ п-1 ^ п-Т^+1 ^ п-1 ^ п-1

Кі

2 2 ' І О / 2 2 ' 2 ' _ 2 20

п- 1 4 '

^ ^ 0<п^К п-1 ^ п-Т ^+1 ^ п-1 ^ п-1 ^

^-^ + ЕІ^І = ^-^ + ^ + о(81(,)) = £ - £ + ом*».

Используя те же рассуждения, получаем асимптотическую формулу

х(пх)='уК ~^-{yQ}[K >Q] + 0(s1(x)).

0<n^K Q

Учитывая K = b — a + O(1), получаем утверждение леммы,

□

Лемма 5. Пусть U > 1 — вещественное число, n, m — натуральные числа и m ^ n. Имеют место оценки:

!■ E™=i«i(f) < гг log2 п,

2- ErasSf/E:.^i(/3(f))«t/2iog2[/,

5. *(*(*)) «с/2log2 t/.

Доказательство. Оценка 1 получена в работе [16].

Докажем вторую асимптотическую формулу, используя предыдущую асимптотику. Мы имеем

е£‘.МЭ)=е£>(£гтЭ<е Е -(^)«

n^U m=1 ' ' ' ' n^U m=1 ' ' 1^3U n^U, ' '

m^n,

1=2n+m

«Е E s‘(^-:r!l)«EEsi(f)«Enos2(<<c,2los2f/-

ZsC3t/ |<сга<с| ' 7 Z<3t/ V / ZsC3C7

Те же рассуждения, которые применялись при доказательстве второго утверждения дают оценку £„<[Г £}<т<„ «1(а(5» « и2 log2 и. □

Лемма 6. Определим абсолютно сходящиеся ряды Ф1, Ф2, Ф3 равенствами

*.=ёКе^-^(|

k= 1 VmsC§ V

ГО

iTr Х-'' ^ / Х-'' (^ 2?7i — k 1 д 1 о I 3

2 " 2^ h 1 2^ [o' m2 _ I L2 “ ™ I L ) “ °g +

Тогда

^ k\ ^ I 2 m2 — mk + k2 m + k) 2

fc=1 x fc^m<2fc x 7

1 / 2m + k

3 = ^ к V ^ m2 + fcm + fc2 ~~ °S k=1 4

2Ф: + 2Ф2 + Ф3 = Ф — log ( ^ ) (2 + 2 log 2 + ((2)),

Ф

Доказательство. Если положить

Ф' = Ф - 2Ф1 - 2Ф2 - Ф3,

то из определения рядов Ф, Ф1; Ф2, Ф3 следует

ф' = 2Ф/; + 1

3 ’

где

Ф" = У'1( у

^ т + к т + к

к= 1 4 к<т^2к т^.-1

Представим ряд Ф'' в виде разности двух абсолютно сходящихся рядов:

*-=еК е ^-^(|))-еКе^Ь-^(|

к=1 ' к<т^2к ' ' ' к= 1

Исследуя второй ряд, отдельно посчитаем сумму элементов ряда с индексами (к,т) € {(2т,т)|т € N1, а у другой суммы ряда поменяем порядок суммирования, затем воспользуемся равенством ,, \ , ,1-, 1,,, и сделаем замену

переменных суммирования к ^ т, т ^ к. В результате получаем следующее представление второго ряда:

Е^ Е

к ^ \т т + к т\^]

к=1 т>2к 4 121

*-Ч0е(е44Ь<2>(Ь¥

' к=1 т>2к 2 ' '

Далее покажем, что для любого N € N выполняется равенство

N

£(.£.41 4Н2+МЧ2+^)-1о82)+0Ш-

1 / 1

, |-Г)=1о82 +

к=1 ' т>2к 2

Обозначим сумму, стоящую в левой части равенства через Б ^) и разделим ее на три суммы:

N 1 N 1 N 1 5от = Е Е ^т+ЕЕ^шт-Ег

к=1 2к<т^2М 2 &=1 2 N <т 2 &=1

В первых двух слагаемых поменяем порядок суммирования, а затем воспользуемся формулой Эйлера- Маклорена — получим требуемое асимптотическое тождество. Доказательство леммы следует из соотношения limNБ^) =

2 + 1. □

Лемма 7. Для, любого положительного вещественного числа R определим сумму Hi(R) равенством

КЯкЦ v v

Тогда, при R ^ то

#i(.r)=log r log +Ci+тгБ f1 _ i°g +0^°gR

2) 1 2M \2П VR2

где

Ci = Ф1 +7 log - log - 105~ log (log 3 + U2(l)

2) "\2) 2 "\2) " 24 ' 2 V 3

Ф1

Доказательство. Согласно определения

яг(л)= ~к + 1 ~ ^ ^ &(я_^ТТ

к<:Л КП к<Л

2 1+А:>Д

Если в суммах произвести отдельно суммирование по индексам I = [Я], к € [1, [Я]/2], то

*<*>= Е Е Е Кга)+0(^>

г<д-1 к<-1 кк-1 к<1 у / \ /

1+к:>Я

Из (12) и (14) следует

Принимая во внимание оценки

R - 1 R R2 ' R R2

получим

Е 7 Е ТГГТ = log (1) '1о8Л + Ф,+

l ^ k + l V 2

г<д-1 fc<i v

Получим асимптотическую формулу для второго слагаемого (обозначим его через Б (Я)) в правой части равенства (16). Сначала применим к внутренней сумме формулу Эйлера-Маклорена:

■?№)= Е Е

1

r 1/2 \R 3iy Viv VR2(R -1)

ге(^,д-1] 4 где

n logZ-log(-R-Z) logi?-log(i?-/)

/№.0 =------------д-------------------------}-.

С помощью (11), (12), (17) и асимптотик

^ // log Я

2lh R2(R-l) ^ Я2 ’

1Г

приходим к соотношению

S(R)= Е ■f(fiJ) + £^r(§log2_log3) +

ге(^,д-1]

\ - р(1/2) /1 2 \ /log Я

^ //2 згу V л2

ге(Д£д-1]

Так как fR f(R,t)dt <С 0(:^^), то из леммы 3 и из (17) следует

Е 'I + £Щг (§ 1о«2 - 1о«3) = /„ /<л- *)*+0 (tf)

ге(^,д-1] 3

при этом

/¥ /(д-t)dt=Iiog (!)+1iog 3+\iog2 (!) -Lh{i)+Lh (I) ■

С учетом выведенных соотношений и (16), (18) получаем утверждение леммы.

□

R

сумму H2(R) равенством

Я2(Я) = V -г f-----тт— — max ( —

k\l + ka(j) \R'k + l

l-\-ka(\)<R

Тогда при Я ^ то

Я2(Д)= ( 1оё2 — —77—^ • 1оёЯ + С2 + —1оё (1)+0^°ёЕ

2 2 2Я 2 Я2

1с^3^ | 31og2 3 51og22 Ьг2(|)

где

С2 = Ъ + 'г(1оШ2-—)+—------------------------—+

Ьг2(|) 1<^3 1о821о83

2 2 ё 2 ’

Ф2

Доказательство. Если через Пь П2, П3, П4 обозначить области

^1 = {(х,У) € И2|у € (0,Я/3],ж € [у 2у)},

^2{(ж, у) € К-2|у € (Я/3, Я/2], х € [у, Я — у]}, ^з = {(ж,у) € К-2|у € (Я/3, Я/2],х € (Я — у, 2у)},

И4 = {(ж, у) € И2\у € (я/2, я/л/3], ж + уа(у/х) < Я},

то

Б1(Я) = £

Н2(Я) = Б1(Я) - Б2(Я), (19)

1 ( 1 1

(1,к)еп1ип2к^1 + ка^ к + 1

•%№)= Е

о о к Vя / + Мт)

(1,к)€ПэиП4 4

Оценивая Б1(Я), воспользуемся определением функции а (ж). Положим

п 1 2* - к 1

Р&к) = -

2 *2 - *к + к2 * + к Тогда

5‘№) = Е| Е р«’к)+ Е \ Е ад-

*^<2*: ^е(|,|] «€[*:,Д-А:]

Дважды применим в каждом слагаемом формулу Эйлера-Маклорена и соотношения (12), (15). Равенство примет вил

5\(Д) = (ь82 - 1о8Д + с1 + ^ + ^(ь82 - +о(±

где

с, = Ф2 + 7 ( log 2 - ^ V ^ - log2 2 + i Г l0g(1-te + teV

2 / 2 2 J1/3 x

Теперь получим асимптотическую формулу для S2(R). Мы имеем

•^<я)= Е т. Е F(‘'k>+ Е т. Е Fl-ik>-

kk fc€(f,f] - - • -

где

l€(R-k,2k) le(h,h)

R 2 t2 - tk + k2 ’

_ fc + R - VR2 - 3fc2 _ fc + R + Vi?2 - 3fc2

M — --------------------1 ^2 — ------------------•

1 2 2

В этом случае рассуждения почти такие же. Окончательный результат имеет

вид

с , p(r) (л о 1о§3\ , „flogR

S2(K, = С2 + — ^l„g2 - —j +

= _ М> +1 Г w

2 2 2 Л/з ж

log 3 log 2 log 3 log2 3 log2 2

2 2 + 8 + 4 '

Завершая доказательство, подставим полученные асимптотические формулы для величин S\(R), ^(Д) в (19). □

§4. Доказательство основного результата

Пусть R — вещественное положительное число. Обозначим через N(R) — множество четверок, состоящих из натуральных чисел:

N(R)=< (k,l,m,n) GN4

Лемма 9. Длд полуцелого числа U ^ R определим множество N1(R, U) как множество элементов (k, l, m, n) ш N (R) с у слови ем n ^ U. Имеет место оценка

фМг (Л, [/) = ^R2 log [/+ ^ (Фз +7 bg 3) - + О f Д log2 Д+[/2 log2 Д + Ц Y

4 з'/&; 2 V U2

где ряд Ф3 определен в формулировке леммы 6.

Доказательство. Условия

эквивалентны условиям

^Я / \

1 ^ гг ^ 1 ^ т ^ гг, 1 ^ ^ , 1 ^ к ^ 1/3[ — ], кт + 1п ^ Я,

пп

поэтому

#^(Я, и) = ЕЕЕ Е [кт + 1п « Я].

п^и т4п 1<^Л. к^1/3(1^)

Изменяя порядок суммирования в правой части равенства, получим

#адг,£0 = Е "•(££). (21)

где

*

N*(Я, и) = Е Е N (Я, и; п, т), (22)

т^п

N (Я, и; п, т) — число целых точек (/, к), лежащих в треугольнике

(ж,у) € я2 Поэтому

ж € ( 0,— п

, у € (0, Р(ж)] }>, Р(ж) = гшп ( ж/3 ( —^ ^

пт

N (Я, и; п, т) = Е^ (I) -Е{р (/)}.

п п

Применим к первой сумме формулу суммирования Эйлера-Маклорена, а ко второй сумме — лемму 4, поскольку функция Р(ж) дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [0, Я/п], за исключением одной точки. Для этого разобьем интервалы суммирования на два интервала, в каждом из которых функция Р(ж) линейна. Затем на каждом интервале воспользуемся леммой 3 и леммой

(т, п) = 1

ет вил

?2 о ( т\

ЛГ( Я, и-, п, т) = - |- + °(-)+°(4| +

2 п{п + тр{^)) 2 п \т) \п/

т

+0(81(/3(?))) +01,Чг1

Учитывая лемму 5 и оценки ^2п<и Ет<п т^-^21о§ Я’ ^ < log Я,

получаем представление для величины N*(Я, и) из (22):

*•№£0 = Е Е* (ДР)) -1) + °<^2 +

Асимптотическая формула для величины #^(Я, и) следует из соотношения (21) с помощью (12), (13),

V-"' (Д/1)2/3(~) _ Л2

2-^ 2-^ 2-^ Оп (п А- т Я (— 9 ' г) 2

2гг(гг + т/3(^)) 2 ^ гг2 ^ 1 + =*/?(=*))

d^U n<LL mi^n п > > n^U mi^n n"'~n>>

= ^yi?2log[/ + у(Фз + 7bg3) +

d^Un<U m^::n

и оценок J2d4U lugJd ^ log2 Л, J2d4U 1°g^d'> <C log2 Л. Лемма доказана. □

Лемма 10. Длл полуцелого числа U ^ R определим множество N2(R, U) как множество элементов (k, l, m, n) из N(R) с условием n > U. Имеет место оценка

#Ж2(Л, U) = Щ^П2 log (+CV Л2+4^+0 ( Л log2 Л+^J log2 Л+[/2 log2 л) ,

4 \UJ 3 2 V U2

где

C3=i(ti + t2 + ^^ + Li2(l)-Li2(j'' il2<3) 1 i,2(5)

рлс^м Ф1, Ф2 определены в формулировке леммы 6.

t(x) ,

деляемой равенством

t(x) = max(0,a(x)). (23)

Комбинируя ограничения на элементы из множества N2(R, U) и учитывая, что число четверок (k, l, m, n) G N2(R, U) с условием m = nt(k/l) равно O(Rlog2 R), получаем

#N2(R,U ) = EE E E [km + ln ^ R] + O(Rlog2 R).

U<n^/j nt(

Изменим порядок суммирования в правой части равенства. Тогда

#N2(R,U) = +0(Rlog2R) (24)

d<§

N*(Л, и) = Е Е N (Л, и;/,к),

N (Л, и;/,к)

число целых точек (п,т), лежащих в области

Поэтому

(ж, у) Є Л2

Л

/ + И(|)

,у Є ( хі[ у ),-Р(ж)

Р(ж) = шіп ( ж

Л — ж/ к

(25)

(26)

N (Л, и; /, к)

Е

с/<п<----гг-

£+А;£(у)

Р(гг) -пі( у ) )-

к

С/<п<------^т-

£+А;£(у)

Применяя к двум последним суммам лемму 4, перепишем полученное соотношение в виде

Л

Л

и<п<-------^-ТГ-

1+Ы(р

2\1 + ыт 1 + к

Л

/ + к

1

Л

и

Л

/ + к

Л

2 у/ + Мт)

+0(81(“(т

и

- < * < г

1 + кЩ)\ Л

+

I + ка{у)

+

к>2

+ 0,8і|т))+0(р|-

Подставим это равенство в (25), учитывая оценку Ег<£ ^ ^ 1°§ ^ и лемму 5, затем воспользуемся (24), Таким образом получаем

#№(Л,и) = Е Е Е Е

4<§і^Ц/А ш и<пК^1А и ' и '1+кі(І

+о(дь82д + ^1о82 д)

Р(п) - п(( у ) ) +

(27)

*

поскольку Е*<г ^ < 1о§2 Е^# Ег<^ 11о§2 1 < Й 1о§2 Д

{7 —^7

ЕЕ Е

Я/1 Я/1

и <

Я/й

+

ЕЕ Е

С/

Я/1

/ + Ш)

и

д/^ Г/ < д/^ 1 + к ^

ЕЕ Е

Я/1

г + Мт)

и

-<к<(

и <

1 + Ы($) Я/1

г + Мт)-

< Я log Я.

Последняя оценка следует из леммы 3.

-ТТ ^ Г1 + Ы(Т)

л читывая. что 0ШИ§Ка при замене суммы 2^и<п< п интегралом ]и 1

~ "1+ыф

равна О(^) и Ег<ся/и Ей<сг 1/к |т2 1с^ Я, запишем главный член в (27) (обо-

значим его через Б (Я, и)) в виде

Б (Я,и ) = ЕЕ /

, . Р 7.,^ 7 ./и

7<Я

С/

г+Ы(;) ^Я(х) — ж£^у ) )1ж

и <

Я

/ + £*(?)

+ 0(^1о6Д].

Так как в полученном выражении интеграл — площадь области П, определяемой соотношением (26), то

1+ыф

'и

к

г-Е

Я(х) — хЬ — ) )с1х = (1x1 [1х + ку ^ Я\с1у.

‘ / / -1и

В правой части равенства заменим у на /ж + ку, поменяем порядок интегрирования, после заменим у на у/и. Проделав это, получим

/ГЧ^-Кт

1ж

[72

1

к Л ■’ V/ + Н(!)

— тах —

11

у к + /

I + у ) < у

!у.

Так что

где

£(Д, II) = 11 уН(Я, и, у)с1у + О — 1о§ Д ,

Я2

и2

*

*

Учитывая (23) и условие y < R/U, представим сумму H(R, U, у) в виде H(R, U, у) = H1(y) + H2(y), где величины H^y) и H2(y) определены в лемме 7 и лемме 8, Воспользуемся результатами этих лемм, В итоге для S(R, U) получаем

S(R, U) = ^ • Я2 log (^ + С3 ■ Я2 + ^ + 0(С72 log2 Я) + О log я).

Заменив в (27) главный член полученным выражением, получаем утверждение леммы, □

Теперь можно доказать теорему.

Доказательство. С одной стороны, получим асимптотическую формулу для числа элементов во множестве N(R) (20), Для этого в леммах 9 и 10 возьмем U = [y/R] + 1/2. Тогда

log 3 R2

#N(R) = R2 log R + — • (Ф3 + 7 • log 3 + 4 • C3) + 0(R log2 R),

где константа C3 задана в лемме 10, а ряд Ф3 определен в формулировке леммы

6.

С другой стороны, применяя лемму 2 к величине

«<*) = ЕХ>(з

c=1 v

получаем

R2

S(R) = 2 Е Е #Г <’”) + Т + 0{R)'

n^R т<^ R

n

при этом из определения 5 и очевидных свойств функции Мебиуса легко выводится, что

ЕЕ#г‘(т) = Е"(п>'#Чтг

n^Rm<^R n^R ^

С учетом равенств

гавЯ

n2 Z (2) V R

пвЯ W V

вытекающих из теоремы умножения абсолютно сходящихся рядов Дирихле, получим асимптотическую формулу для величины S(R) :

S(R) = ^|я2 log Я + ‘f • Я2 + 0(Я1о83 Я).

Справедливость теоремы вытекает из леммы 6, равенств Ы2(1) = С(2), Li2{\)

С(2) log22

2 2И СООТНОШеНИЯ

£(Д) = ШМТТ)'5(Й)-

□

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Hermite CH. Sur L’introduction des variables continues dans la theorie des nombres. // Journal fur die reine und angewandte Mathematik, 1851, Bd. 41.

[2] H. Minkowski Zur Theorie der Kettenbruehe, // Annales de l’Ecole Normale Superieure, 1894, Y. 13. .Y"3. Стр. 41-60.

[3] H. Heilbronn On the average length of a class of finite continued fractions. Abhandlungen aus Zahlentheorie und Analysis, Berlin, VEB, 1968, 87-96.

[4] Tonkov T. On the average length of finite continued fractions. — in Acta Arith,, 26 (1974), 47-57.

[5] J.W. Porter On a theorem of Heilbronn.Mathematika, 1975, v/ 22, №1.

[6] G.H. Norton On the asymptotic analysis of the Euclidean algorithm. J. Symbolic Comput. 10:1 (1990).

[7] Устинов А.В. О числе решений сравнения xy = Z(modq) под графиком дважды непрерывно дифференцируемой функции. // Алгебра и анализ, том 20, № 5, стр. 186-216.

[8] О.А. Горкуша, О конечных цепных дробях специального вида,. // Чебышев-ский сборник 2008 Т. 9. Вып. 1(25). Тула, Из-во ТГПУ им. Л.Н.Толстого. С. 80-108.

[9] В. Valee A unifying framework fot thr analysis of a class of Euclidean algorithms LATIN 2000: Theoretical informatics (Punta del Esta, Uruguay,2000), Lecture Notes in Comput, Sei,, 1776, Springer-Verlag, Berlin, 343-354.

[10] A.V. Ustinov Asymptotic behaviour of the first and second moments for the number of steps in the Euclidean algorithm . // Russian Math. Surveys, 72:5 (2008), 1023-1025.

[11] Касселе Дж, B.C. Введение в геометрию чисел. — М,:Мир, 1965, стр. 113.

[12] Klein F. Ueber eine geometrische Auffassung der gewohnlichen Kettenbru-chentwicklung // Nachr. Ges. Wiss, Gottingen. Mathem.-Phvs. Kl. 1895. №

3. P. 357-359.

[13] Klein F, Sur une representation geometrique du developpement en frac-tioneontinue ordinaire // Nouv. Ann, Math, 1896, V, 15, № 3, P. 321-331,

[14] Чанга M.E. Метод комплексного интегрирования // M.:M 11Л11. 2006, стр, 20-21.

[15] Хинчин А,Я, Избранные труды по теории чисел, —М., МЦНМО, 2006, стр 12-19.

[16] Knuth D.E., Yao А.С., Analysis of the Subtractive Algorithm for Greatest Common Divisors. // Proc. Nat. Acad. Sci. USA,72: 12(1975),p. 4720-4722

[17] Dixon J.D. The Number of Steps in the Euclidean Algorithm. // J. of Number Theory, v. 2, 1970, p. 414-422

[18] Hensley D. The Number of Steps in the Euclidean Algorithm. // J. of Number Theory, v. 49, 1994, p. 142-182

[19] Быковский В.А. Оценка дисперсии длин конечных непрерывных дробей. // ФИМ, т. 11, вып. 6, 2005, 15-26

Хабаровское отделение Института прикладной математики Дальневосточного

отделения Российской академии наук

Поступило 02.11.2010