CC BY
9
Математика, физика, химия
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ тл а тлллптптичъгк л Я УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИИ
Е. В. ВОСКРЕСЕНСКИЙ, доктор физ.-мат. наук
Все должно быть сделано настолько просто,
насколько это возможно, но не проще.
»
Альберт Эйнштейн
уже мы
Эта статья является продолжением работы [3]. В ней обсуждается вопрос о решениях дифференциальных уравнений. Точнее, здесь развиваются идеи метода сравнения [1,3], но
для других целей. Если ранее стремились получить оценки вида 1x0:х0) I < ^Ш, I > Х0, где
хО : Хо, хд) — решение некоторого дифференциального уравнения с начальными данными Оо, хо), и на этой основе получали важные сведения о поведении решений, то в этой статье будут получены оценки, когда \х(Х: 1о, хо> - <р(Х) О при неограниченном возрастании переменной X. Конечно, из оценки 1x0 Мо, х0) I ^ <р(Х) не всегда вытекает вторая оценка, но если <р(Х) -> 0 при 1 +<», то она имеет место. Этот случай представляет особый интерес как для самой математики, так и для всевозможных приложений. Следовательно, нужно искать такие оценки, когда <р(Х) 0. Ясно, что их су
ствование зависит от рассматриваемого дифференциального уравнения. Однако в общем случае найти функцию (р
такую, чтобы х(Х: 10, х0) -<р(Х) 0 при 1^+оо, не так уж сложно, и тогда х(* : *о> хо) 555 <Р0), причем точность при замене решения функцией <р зависит от I: чем больше I, тем меньше по-
грешность, более того, она стремится к нулю. Такие задачи нельзя решить численными методами принципиально. Но они существуют независимо от того, решаются или нет они численно. А вот методом сравнения эти задачи решаются, и часто достаточно просто.
Асимптотические свойства решений на полуоси„ Вновь рассмотрим два дифференциальных уравнения [1,3]
dx dt
fl(t, х)
(1)
и
dX dt
f2(t, У),
(2)
где fl и f2 определены и непрерывны на всей плоскости (на деле.можно рассматривать другие области определения). Кроме того, пусть любые начальные данные определяют единственное решение как для уравнения (1), так и для уравнения (2).
Определение 1. Будем говорить, что уравнения (1) и (2) асимптотически эквивалентны, если для каждого решения уравнения (1) х0:1о, хо) существует решение уравнения (2) у(Х : уо) такое, что
х0 :10, хо) - у(1: Х0, у0) 0 (3)
при Х-* +оо и, наоборот, для каждого
© Е. В. Воскресенский, 1999
Пб
решения уравнения (2) y(t : tn, Vn) существует решение уравнения (Г) xu . to, х0) такое, что справедлива формула (о), которую в дальнейшем будем именовать асимптотической.
В этом определении предполагается, что начальный момент t0 является общим для всех решений уравнений (1) и (2). Например, уравнения (1) и (2) асимптотически эквивалентны,
+если lf,(t,x)l < 4'(t)lxl,f2(t, у) s 0 и
9
/ 4;(s)ds сходится. Действительно, ра-
т
нее нами доказано [3 ], что в этом случае решения уравнения (1) ограничены. Поэтому
+ 00
+ 00
I/x(s:to,xo)ds.l < K/W(s)ds,
t
о
t
о
x(î : t0, x0)
К, t > to.
Отсюда следует, что lim x(t : to, x0)
t-» + 00
существует и
конечен. Значит, для каждого решения х^ : хо> существует решение уравнения. (2) у(1 : Хо, с) = с
такое, что х(Х : г0, хо) - с 0 при +«>.
Вторая часть доказывается непросто, и мы ее опускаем [1 ]. Именно для каждого постоянного числа с существует решение х(Х: хо) такое, что х(Х: х0) - с 0 при X -»+оо. Здесь
решения уравнения (1) при больших I ведут себя так же, как и простейшее
уравнение
суждать ние
x(t: х0)
dt
0. Можно еще рас-
так. Рассмотрим реше-
t
/
+ 00
/
to
x(s : t0, x0))ds -
+ 00
t
0
/ f(s, x(s : t0, x0))ds.
+ 00
Следовательно,
t
+/f(s
t
0
lim x(t : t0, хо) = X,
t-> + oo
Тем самым нашли число, к которому стремится решение x(t : t0, х0). Приведем конкретный пример.
Пример 1. Рассмотрим уравнение
dx х sin tx2
dt
t
2
t > 0.
(4)
Тогда
i X sin tx21
t
2
t
2
и
+ 0C
с ds
J — exo-
T
2
дится. Поэтому решения уравнения (4) при I + ©о имеют конечные пределы и оно асимптотически экви-
валентно уравнению
dx dt
0. Поэтому
справедлива асимптотическая формула
ч
x(t : t0, х0) «
г x(s : t0, х0) sin sx2(s : t0,x0)
~ x0 + J -j-ds-
i s l0
В настоящее время общие теоремы об асимптотической эквивалентности получены для широких классов дифференциальных уравнений. Причем, как правило, одно из уравнений (1) или (2) имеет решения с известными свойствами [5 ].
Асимптотическая устойчивость решений. Будем рассматривать уравнение вида (1) при дополнительном условии: х = 0 является решением этого уравнения. Поэтому переобозначим его:
^ = f(t, X). (5)
Определение 2. Решение х = О уравнения (5) называется асимптота-
U
начинающееся
при
чески устойчивым, если оно устойчиво, кроме того, существует окрестность II точки х = 0 такая, что любое решение,
при X = Хо °в этой окрестности, стремится к нулю
1 +оо.
Из определения 2 вытекает асимптотическая устойчивость этого решения, если уравнения (5) и (2) асимптотически эквивалентны, а решения уравнения (2) стремятся к нулю при \ +оэ и решение х = 0 устойчиво.
Часто говорят об асимптотической устойчивости уравнения (5), если имеет место асимптотическая устойчивость его решения х = 0.
Рассмотрим уравнение типа (5):
A(t)x + <р(Х, х),
dx dt =
где lp(t, x)í непрерывна при t ных значениях второй
(6) О и А
A(t, Ixl), A(t, 0) =
О и неотрицатель-
переменной.
Пусть уравнение
dZ dt
A(t)y асимпто-
x (t: t0, z0), lx0l
zo
тически устойчиво. При каких условиях решение х = 0 уравнения (6) асимптотически устойчиво? Эта задача является важнейшей и по сей день. Выдающиеся результаты в свое время были получены А. М. Ляпуновым [4]. Мы покажем другой простой и эффектив-ный подход к решению этой же задачи [2]. Выполним для уравнения (6)
замену:
t-> + 00
(X
\
ехр
/ A(s)ds
Тогда
V
t
о
' <тЛ ■
У
(7)
dl dt
/ t
ехр
"/ A(s)ds
/
х
V
Ix
t
о
Теорема 1 является более общей, чем известная теорема Ляпунова 14].
Теорема 2 (Ляпунова). Если для уравнения t (6) A(t, !xl) = alxlm,
m > 1, lim v / A(s)ds = Я < 0, то решено
ние х = О уравнения (6) асимптотически устойчиво при достаточно малом а.
Для ляпуновского случая вспомогательное уравнение (9) имеет вид
и ( 1 N
dz ~ ß f A(s)ds
dt
azmexp
(p x
\
to
,ß>0.
/
/
t, exp
\
\
\
/ A(s)ds
\
t
о
У
/
(8)
/
и для уравнения (8) рассмотрим вспо-
могательное уравнение
/ t \
dz dt
ехр
-/ A(s)ds
V
t
о
Я х
/
/
X
(X
t, ехр
\
\ \
/ A(s)ds
t
\
о
/
, z > 0.
(9)
Выполнимость всех условий теоремы 1 легко проверяется.
Рассмотренный здесь метод исследования относится лишь к решению х = 0. Точно так же, как и в предыдущей нашей статье [3], этот метод легко переносится на исследование других решений. Именно понятия устойчивости , асимптотической устойчивости и неустойчивости относятся и к другим решениям. Немного повторимся и покажем это. Пусть х^ : Хо) — исследуемое решение. Выполним для уравнения (5) замену:
/
Теорема 1. Пусть для любой окрестности и точки ъ = 0 существует меньшая окрестность и^ С и этой точки та- уравнение
кая, что если при всех 1 = Хо г0 Е то
у = х - x(t : t0, xq). Тогда уравнение (5) перейдет в новое
dZ dt
F(t, У),
ехр
Ix /
\
t
о
при ехр
/1 /
\
всех
z(t : t0, z0) Е Ui
\
кроме
того
t
о
t ^ to,
z(t : t0, Z0) 0 при t^ + oo
ТогАа решение х = 0 . уравнения (6) асимптотически устойчиво.
Доказательство теоремы 1 сразу вытекает из теоремы Важевского [3 ], на основании которой и замены (7) справедливо неравенство
для которого у = 0 является решением. Если это решение устойчиво, то решение х(Х : Хо, х0) называется устойчивым, если оно асимптотически устойчиво, то х(Х: % х0) называется асимптотически устойчивым, и, наконец, если у = 0 неустойчиво, то и хО:^, х0) неустойчиво.
Все проведенные рассуждения справедливы для систем дифференциальных уравнений вида
dx
1
(х
\
I x(t : t0, х0) I
ехр
/ A(s)ds
\
t
о
dt
fl(t, Х|, ..., xn),
z x
/
dx
n
dt
которые легко
записать в векторной
/х^
форме.
Пусть
п-мерный
п/
<3х ] ^ сИ
вектор и
йх
йх
п
\
йх
. Тогда система в
векторной форме примет вид
6х дХ
хь ..., хп \
где х)
V
^ 1» * • •' хп
/
Пример 2. Показать, что для си-
стемы
с!х
1
ей
6X2
дХ
■х
?
(10)
решение 0
О1
устойчиво, но не
асимптотически устойчиво. Траектории уравнения
летворяют уравнению
йХ
(10Ь удов-X]
--' для
*2
решений которого справедливо равенство
2Х1 + х2
с, где сей. Ни одна из
траектории не стремится к началу координат при !-»+<»; следовательно,
0\
0
о
не является асимптотически
/
устойчивым решением системы (10). Однако для любого круга N с центром в начале координат существует меньший круг N1 такой, что любая траек-
N1, остается
тория, проходящая через
в
N
1
Таким образом, 0
является устойчивым решением системы (10).
Описанный метод наряду с методами Ляпунова является важнейшим инструментом в современной прикладной математике. Они дополняют друг друга, и ни один из них не претендует на главенствующую роль. Метод сравнения все еще находится в развитии, поражая воображение своей эффективностью при изучении Природы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Воскресенский Е. В. Методы сравнения в нелинейном анализе. Саранск: Изд-во Сарат. унта. Саран, фил, 1990. 224 с.
2. Воскресенский Е. В. Возмущенные уравнения и оценки для матрицы Коши уравнения в вариациях // Изв. вузов. Математика. 1993.
№ 9. С. 13 — 17.
3. Воскресенский Е. В. Интегрирование диф-
П осту пила 24.03.99.
ференциальных уравнений методом сравнения // Соросов, образоват. журн. 1999. № 1. С. 113 — 116.
4. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л.: Гостехиздат, 1950. 471 с.
5. Матросов В. М. К теории устойчивости движения // Прикладная математика и механика. 1962. Т. 26, № 6. С. 992 — 1002.
