Асимптотическая близость решений систем квазидифференциальных уравнений второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.624.2(045)

САФОНОВА Татьяна Анатольевна, аспирант кафедры математического анализа, ассистент кафедры прикладной математики Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова. Автор одной научной публикации

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ БЛИЗОСТЬ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ КВАЗИДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА*

Работа посвящена установлению достаточных условий на коэффициенты-матрицы двух квазидифференциаль-ных уравнений второго порядка /[ у] = 0 и ,?[ у] = 0 и фундаментальную систему второго уравнения, обеспечивающих асимптотическую близость (т.е. близость в некотором смысле) решений этих уравнений на бесконечности.

Асимптотическая близость решений, квазипроизводная, квазидифференциальное уравнение

1. Пусть действительнозначные функции р^ ( і, у = 1,2) - элементы матрицы-функции о '■= (Pij) определены на полуоси R+ := [0;+сю) и удовлетворяют следующим условиям:

a) ру- = p]i ( і, у = Ї2),

b) р2у є 1}(а, (3)для любых а, /3 є R+ , т.е. р2у локально абсолютно интегрируемы на Я+ (р2, є Пюс (Я+ )).

Эти условия позволяют определить первую квазипроизводную заданной абсолютно непрерывной вектор-функции у = (у1 ( х), у 2 (х)) посредством матрицы о, а именно: у[1] := у' -оу. Далее, полагая, что вектор-функция у[1] = (у [1]1( х), у [1]2( х)) уже определена и является абсолютно непрерывной на R+, мож-

но определить вторую квазипроизводную вектор-функцию у : у[2] = (у[1]У + оу[1] + о2у и симметрическое (формально-самосопряженное) квазидифференциальное выражение:

/[У](х):=-У [2](х), х е R+. (1)

Область определения D выражения /[у] -это множество всех локально абсолютно непрерывных вектор-функций у на R+, для которых существует локально абсолютно непрерывная первая квазипроизводная у[1]. Для таких вектор-функций выражение /[ у] существует почти всюду и локально интегрируемо на R+. Кроме того, для любых двух вектор-функций /, g е D справедливо тождество Грина:

© Сафонова Т. А., 2010

* Автор выражает благодарность профессору К.А. Мирзоеву за постановку задачи и полезные обсуждения.

Сафонова Т.А. Асимптотическая близость решений систем квазидифференциальных уравнений.

/ Ш/, 8])' - (/. П.8])} = [/. 8](«) - [/, 8]((),

0

0 < а < ( < , (2)

где форма [/, 8]определена равенством

[/, 8 ](х) = (/ ['], 8) - (/, 8 [']).

Отметим, что тождество (2) обеспечивает симметрию выражения I, а условие Ь) - справедливость теоремы существования и единственности решений соответствующей системы дифференциальных уравнений первого порядка.

Далее будем предполагать, что матрица О' := (р) ( I, у = ',2) обладает теми же свойствами, что и матрица о . И пусть функции у и у [1] := у '-О' у локально абсолютно непрерывны на R+. Рассмотрим симметрические квазидифференциальные уравнения вида:

1[У] := -(У[1] У - оу[1] - о 2у = 0, (3)

^[У]:=-(УшУ-°'у['] -°2'у = °. (4)

Задача об условиях асимптотической близости решений двух дифференциальных уравнений второго порядка с непрерывными коэффициентами хорошо известна и интенсивно обсуждалась в начале 50-х годов. Некоторые результаты, полученные в то время, затем вошли в книгу Ф. Хартмана (см. [' гл. Ю, П] и библиографию к ним).

2. Запишем уравнение (4) в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка:

Можно заметить, что матрица

Г у ' Г р (1)ц

У 2 р (1)12

( У1)[1] - ((р (1)11)2 + (р (М2)

V(У2)[1] У ч-р (1)12 (р (1)11 + р(1) 22 )

Р (1) 12 р(1) 22

р (1)12 (р (1)11 + р(1) 22 ) - р (1)11 ,(1)_

0 1

р(1) 12

V

- ((р 12 ) 2 + (р 22 ) 2 ) - р %2 - р (

Уі У 2 ( У1)[1] (У 2 )[1]

(или в матрично-векторной форме у' = Ау).

Ґ

и1 У1 Ї1 ^1 "

и 2 V 2 Л g 2

(и1 )[1] (У1)[1] (/1)[1] ( ^[1]

(и 2 )[1] (У2 )[1] С/2)[1] (^2 )[1] ,

Т =

является фундаментальной матрицей этой системы. Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что матрица Т определена при помощи начальных данных:

и о =

Уравнение (3) также запишем в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка:

Г1 ^ Г 0 > Г 0 > Г 0 ^

0 1 0 0

У0 = Л = g 0 =

0 0 1 0

V 0 У V 0 У V 0 У V 1,

г Уі У 2 (Уі) х V(У 2

(У 2 ) [1]

ріі

р 12

(р 211 + р 212 ) — - р 12 (р 11 + р 22 ) —

р12

р22

1

0

- р 12 (р 11 + р 22 ) - р11 - Р

- (р 212 + р 2 22 ) - р 12

22 У

У 2 (У1)[1] (У 2)[1]

(или в матрично-векторной форме У' = А1У).

В полученной системе сделаем замену У = Ті, где 2 = со1оп(21, г2, г3, г4 ), в результате чего она сведется к системе линейных уравнений вида:

2' = Т- (А1 - А)Тг, где обратная к матрице Т имеет вид:

' Здесь, как и в дальнейшем, (8, И) - скалярное произведение двух векторов 8 и И: (8, И) = ^

1

' С/1)[1] ( /2 )[1] - /1 - f2 '

T- = (g1)[1] (S2 )[1] - S 2 2 -

- (u1)[1] (U2 )[1] u1 u 2

V-(v1)[1] - (v2 )[1] v1 v 2 ,

Предположим, что выполняется следую

неравенство:

где ||Т_1(А1 - А)Т означает сумму абсолютных величин элементов матрицы Т_1( А1 - А)Т. Тогда к системе дифференциальных уравнений (5) можно применить результат задачи 1.4(с) из [1, гл. 10, с. 331], согласно которому для любых комплексных чисел а, 33, у, 5 система (5) имеет единственное решение вида:

(Z > L1 (a + a( x)N

Z 2 P + b( x)

Z 3 у + c( x)

V Z 4 J J5 + d ( x) y

где a(x) = o(1),b(x) = o(1),c(x) = o(1),d(x) = o(1) при x ^ .

Остается учесть связи между вектором г и решением исходной системы р. Таким образом, полностью доказана теорема 1.

Теорема 1. Пусть матрицы о,о1 и Т удовлетворяют условию

(

а -а

0

Л

22 -а + а 1 -а + а1

T

<

Тогда для любых комплексных чисел уравнение а, [, у,5 (3) имеет решение

(р(х), х е [0;+го), удовлетворяющее условиям:

ср( х) = [а + а( х)]и (х) + [[ + Ь( х)]у( х) +

+ [у + с( х)1/ (х) +[5 + d (х)^ (x), срт (х) = [а + а(х)]м[1] (х) + [[ + Ь(х)]уП] (х) +

+[у+с( х)^./[1](х)+[5+d (x)]g [1](х)

где а(х) = о(1),Ь(х) = о(1),с(х) = o(1),d(x) = о(1) при х ^ .

Теорема (1) является аналогом классических результатов для квазидифференциальных уравнений второго порядка в пространстве вектор-функций. Новизна полученного результата по сравнению с [1] заключается в том, что непрерывность от коэффициентов-матриц дифференциальных уравнений не требуется, лишь достаточно, чтобы они были локально суммируемы на R .

Список литературы

1. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1970.

Safonova Tatiana

ASYMPTOTIC PROXIMITY OF DECISIONS OF THE SECOND ORDER QUASI-DIFFERENTIAL EQUATIONS SYSTEMS

The paper is devoted to establishing sufficient conditions for the factors-matrices of the two second order quasi-differential equations l[y] = 0 and s[y] = 0 and the fundamental system of the second equation providing asymptotic proximity (i.e., proximity in some sense) of these equations decisions to an infinite distance.

Контактная информация: e-mail: [email protected]

Рецензент - Андреев П.Д., кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой алгебры и геометрии Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова