Аристотелевская аподиктическая силлогистика: метод получения избыточной информации; фрагментарность Текст научной статьи по специальности «Математика»

Л.И.Мчедлишвили

АРИСТОТЕЛЕВСКАЯ АПОДИКТИЧЕСКАЯ СИЛЛОГИСТИКА: МЕТОД ПОЛУЧЕНИЯ ИЗБЫТОЧНОЙ ИНФОРМАЦИИ; ФРАГМЕНТАРНОСТЬ

Abstract. The article exemines some defects of the Aristotelian theory of apo-deictic syllogisms. 1) To demonstrate the invalidity of some mixed apodeictic moods, for example BarbcPrcP (An. Pr. 30a 24-28), Aristotle, except contrasted instances, used the method of argumentation to derive such consequence from the apodeictic premise and conclusion of a mood, the negation of which is consistent with the other, assertoric premise. It is argued that this Aristotelian method involves application of the formally incorrect rule: if GhF and F^H, then G\hH. 2) It is shown, that there are the apodeictic syllogisms (Barba^ri^, Ca^mestor^p and so on) for which with use of Aristotelian means neither proving, nor rejecting is possible. A survey of all such moods is given in the article.

Аподиктическая силлогистика Аристотеля [ПА, I, 3, 8-12] является расширением его же ассерторической силлогистики. Наряду с простыми категорическими высказываниями в аподиктический силлогизм могут входить аподиктические высказывания SaDP, SeDP, SinP и SoDP, в которых связки "присуще", "не присуще" снабжены аподиктической квалификацией "небходимо". В аподиктической силлогистике верным формулам ассерторической силлогистики добавляются формулы верные в силу специфических свойств аподиктических форм aD, eD, iD и oD. Целью построения теории аподиктических силлогизмов является описание упомянутого класса формул. Такая теория строится по образцу ассерторической силлогистики. Аподиктические силлогизмы подразделяются на те же фигуры, выделяются совершенные схемы силлогизмов и схемы, сводимые к ним. Аналогия распространяется и на неправильные модусы - неправильность модуса устанавливается либо с помощью опровергающего примера, либо с помощью рассуждения, в котором могут быть использованы утверждения об опровержимости или доказуемости других формул. Есть и существенное различие: если в каждой фигуре ассерторической силлогистики Аристотель анализирует каждую возможную комбинацию посылок, в аподиктической силлогистике объектами исследования являются только такие схемы силлогизмов, из которых после опу-

щения аподиктических квалификаций связок получаются корректные ассерторические модусы, и кажется, что Аристотель руководствуется ограничивающим предположением - из любого неправильного ассерторического модуса произвольной квалификацией связок получается неправильный аподиктический модус. Модальный тип модуса определяется модальным статусом каждой из посылок и заключения, и можно вслед за Макколлом обозначить его упорядоченной тройкой букв X и L; например, LXL обозначает модальный тип силлогизма, в котором большая посылка и заключение являются аподиктическими высказываниями, а меньшая посылка - ассерторическим высказыванием. ХХХ - модальный тип ассерторического силлогизма. При анализе силлогизмов Аристотель имел в виду модальные типы, хотя для этого он специальным термином не пользовался.

Вопрос о правильности силлогизмов типов ХЬХ, ЬХХ, ЬЬХ и ХХЬ Аристотелем не рассматривался, по-видимому, из-за тривиальности его решения в силу того, что им принимаются силлогистические частные случаи T-закона модальной логики

SaDP з SaP, SeDP з SeP и т.д., а их конверсии отвергаются. Для силлогизмов остальных трех типов картина следующая: 1) модус типа LLL является правил-ным, если и только если является правилным ассерторический модус, получающийся из него опусканием всех аподиктических квалификаций; 2) модус аподиктической силлогистики, получающийся из верного ассерторического модуса аподиктической квалификацией одной посылки и заключения, является правильным, если и только если аподиктически квалифицирована а) (в I фигуре) большая посылка, б) (во II фигуре) общеотрицательная посылка, в) (в III фигуре) общеутвердительная посылка, если обе посылки утвердительные, и общеотрицательная посылка в противном случае.

Очень трудным оказалось воссоздание модальной, в частности, аподиктической силлогистики Аристотеля в виде осмысленного единого логического исчисления, а также семантическое обоснование совмещения принятия некоторых смешанных модусов с отбрасыванием других, т.е. совмещения класса принимаемых формул с "легитимностью" всех методов рассуждения, применяемых Аристотелем, и т.д. Такое совмещение оказалось настолько трудным, что исследователи модальной силлогистики Аристотеля, начиная с его непосредственных преемников в перипатетической школе и кончая А. Бекером, Я. Лукасевичем и И. М. Бохенским в XX веке, причиной возникновения этих трудностей признали не до конца продуманные конструкции и ошибки, содержащиеся в самой ари-

стотелевской концепции. Но в таком случае изучение модальной силлогистики Аристотеля, исторический подход к ее оценке подразумевает выявление и анализ недостатков и ошибок, содержащихся в ней. Цель настоящей статьи - описание двух дефектов аподиктической силлогистики Аристотеля: 1) формальной некорректности процедуры рассуждения, протекающей по схеме ге^сйо а^ тро88Ме, для показа опровержимости некоторых смешанных модусов и 2) существования таких осмысленных выражений (модусов) аподиктической силлогистики, для которых средствами, используемыми в ПА, невозможно решить вопрос о приемлемости или опровержимости в аристотелевском смысле.

§1. Один из методов отбрасывания неправильных смешанных модусов, применяемых в ПА, состоит в показе того, что из заключения отбрасываемого модуса совместно с аподиктической посылкой выводится утверждение, содержащее избыточную информацию и поэтому могущее быть ложным при истинности другой, ассерторической посылки (т.е. выводится утверждение, отрицание которого совместимо с другой посылкой), что, как становится ясным из текста, считается недопустимой ситуацией. В первый раз с рассуждением такого рода встречаемся при доказательстве некорректности модуса ХЬЬ-БагЬага [ПА, I, 9, 30а 24-28]: если бы из посылок МаР и 8апМ следовало заключение 8апМ, то стало бы возможным и получение заключения МРР (в самом деле оно следует из 8апР и обращения 8апМ посредством ЬЬЬ-Оаги), "но это неправильно", говорит Аристотель, ибо при истинности МаР возможен такой подбор терминов М и Р, чтоб выполнялось Ме°Р (т.е. —МРР) (следует заметить, что Аристотелем принимается равнозначность функторов "возможно" (в унилатеральном смысле, ◊) и "не необходимо не" (—□—) [4, р.84], частными случаями которой являются равносильности [6, р. 35]:

8а°Р = —8опР, 8е°Р = — 81ПР, 81°Р = —8епР, 8о°Р = —8апР). Далее указывается возможность такого же рода опровержения модуса ХЬЬ-Се1агеи1;, а еще ниже [I, 10, 30Ь 24-30] с помощью точно такого же рассуждения отбрасывается ЬХЬ-Саше81хе8.

Согласно Д. Россу [2, р. 319], Александр Афродизийский верно подметил, что это рассуждение, хотя имеет сходство с ге^сйо ad тро88Шйе, полностью не совпадает с ним. В нем допускается не ложность доказуемого модуса с тем, чтобы из этого допущения извлечь невозможное следствие (так поступает Аристотель, например, при доказательстве ассерторического модуса Вагосо), а чтобы доказать, что определенное заключение не следует из посы-

лок, допускается, что следует, и показывается, что оно приводит к знанию, которое не может быть получено из первоначальных посылок и поэтому является возможно ложным (ysu5og [a27]). С помощью метатеоретических кванторов это различие можно было бы выразить следующим образом: при доказательстве модуса тезисом является утверждение вида VSVMVP[(FaG)3H], а антитезисом утверждение вида 3S3M3P [FaGa—H], а при отбрасывании -наоборот (в дальнейшем описанный выше метод рассуждения будем называть у-методом).

Тем же методом из правильного модуса LXL-Barbara нельзя получить возможно ложное следствие. Это позволило С. Макколлу высказать предположение, что Аристотель мог удовлетворительно различать LXL-Barbara и XLL-Barbara касательно их правильности [6, р. 13]. Нельзя ли обобщить предположение Макколла для каждой пары смешанных модусов с аподиктическими заключениями и одними и теми же схоластическими названиями, один член которой принимается, а другой - отбрасывается? Единственным препятствием для такого обобщения является отбрасываемый модус XLL-Felapton, к которому не применяется у-метод (о том как следует применить у-метод к неправильным модусам Darii и Ferio типа XLL и об интерпретации фразы I, 9, 30b 2-4 из ПА см.

Более того, существует обстоятельство, вынуждающее подвергнуть сомнению возможность применения этого метода в качестве критерия некорректности модуса. Дело в том, что возможно ложное следствие МРР, которое получается из некорректного модуса ХЬЬ-БагЬага, можно получить также из правильного модуса ХЬХ-БагЬага с ассерторическим заключением (этот факт, согласно В. Виланду [9], был замечен еще Г. Майером). Для этого в первом выводе (из ХЬЬ-БагЬага) достаточно заменить применение ЬЬЬ-Баги на применение ЬХЬ-Баги и лишний раз использовать обращение:

Аналогичные следствия можно вывести из Баги и Бай81 типа ХЬХ и ЬХХ-018аш18. Но корректность этих модусов в системе аподиктической силлогистики не вызывает сомнений. Согласно Я. Хин-тикке, подозрение может пасть на средства, с помощью которых в данном контексте осуществляется вывод избыточного, возможно ложного следствия. Таковыми являются ЬХЬ-Баги и законы апо-

[8]).

(1) (MaPASa°M) з SaP

(2) SaP з PiS

(3) (Sa°MA PiS) з PiDM

(4) PiDM з MiDP

- XLX-Barbara

- обращение

- LXL-Darii

- обращение

диктического обращения. Возникает дилемма: отвергнуть LXL-Darii, либо законы аподиктического обращения [5].

Отбросив законы аподиктического обращения, потеряем всякую надежду понять, что имел в виду Аристотель, когда строил свою аподиктическую силлогистику. Исходя из этой справедливой оценки, Хинтикка склоняется к другой альтернативе. Но следует заметить, что и в результате такого шага наступают невосполнимые потери, так как вместе с LXL-Darii придется отбросить также LXL-Datisi, XLL-Disamis и, возможно, оба смешанных модуса Darapti. Таким образом, решение хинтикковской дилеммы вряд ли обеспечивает удовлетворительное решение проблемы.

Однако существует нерассмотренная возможность. Получив следствие MiDP, Аристотель утверждает его [возможную] ложность, т.е. утверждает опровержимость импликации

(a) (MaPASanM) з MiDP

и выдвигает довод, что в MaP не подразумевается MiDP, или, что

(b) MaP з MiDP

является опровержимой (хотя MaP и MiDP совместимы). Следовательно, утверждение об опровержимости (b) по какому-то правилу X выводится из утверждения об опровержимости (а). Теперь все доказательство опровержимости XLL-Barbara можно представить по обычной схеме reductio ad impossibile: с одной стороны, из XLL-Barbara выводится (b), а с другой - показывается опровержимость (b) (в силу опровержимости (а) и правила X); тем самым получается противоречие и отбрасывается XLL-Barbara. Аналогично можно представить все отбрасывания по у-методу.

Становится очевидным, что для полной реконструкции у-метода необходимо выявить и оценить правило X. В ПА ни одно из рассуждений, явно применяющих у-метод для демонстрации опровержимости, не содержит даже намека, что при переходе от опровержимости (а) к опровержимости (b) кроме (а) используется еще какая-либо посылка, и, таким образом, текст ПА почти однозначно исключает альтернативные возможности реконструкции правила Х: анализируемый нами вывод (то, что не следует из MaP, не следует и из MaP совместно с SaDM) является частным случаем общей, логически некорректной схемы - что не следует из более слабого, не следует также из более сильного:

(Х) F h G, G I H F I H

(F, G и H - произвольные утверждения), - которая и представляет собой правило Х.

Применение Аристотелем некорректного правила Х в описанном выше контексте не является случайным. В ПА имеются и другие его применения; и хотя некоторые из них легко исправляются, все-таки порождают убеждение, что он просмотрел ошибочность правила Х, принимая его за верное.

Сравним два места из ПА - доказательство ЬХЬ-Се8аге [I, 10, 30Ь 9-12] и отбрасывание ХЬЬ-Се8аге [I, 10, 30Ь 20-24]. 1) Поскольку из посылок Б модуса ЬХЬ-Се8аге посредством аподиктического обращения следуют посылки О модуса ЬХЬ-Се1агеп1;, а из О в силу ЬХЬ-Се1агеШ; следует заключение Н (оба модуса имеют одно и то же заключение), то из Б следует Н (т.е. является верным ЬХЬ-Се8аге). Рассуждение протекает по логически корректной схеме

т Б ь О, О ь н Б ь н '

2) Поскольку из посылок Б модуса ХЬЬ-Се8аге следуют посылки О модуса ХЬЬ-Се1агеШ; посредством ассерторического обращения, а из О не следует Н (ХЬЬ-Се1агеП не является правильным модусом), то из Б также не следует Н (т.е. и ХЬЬ-Се8аге не является правильным модусом). Очевидно, что рассуждение протекает по некорректной схеме Х и содержит формальную ошибку. Однако в этом случае ошибка легко исправляется, так как закон простого обращения имеет форму равносильности и в рассуждении следование БьО можно заменить на ОьБ. Скорректированное рассуждение протекает уже по верной схеме - что не следует из более сильного, не следует также из более слабого:

(г) ОьБ, о 1А н

Б 1А Н

Но аналогичное рассуждение для отклонения ХЬЬ-Бе1ар1оп (ПА, I, 11, 32а 37-31Ь 4) не поддается исправлению, так как в этом случае применяется обращение с ограничением, имеющее форму импликации, а не равносильности. А. Бекер, комментируя указанное место, прямо говорит о формальной ошибке [3, 8. 72-73] (у него находим и другие ссылки на аналогичные ошибки).

Из факта логической некорректности у-метода не следует, что статус отброшенных с помощью этого метода модусов должен измениться. Не исключено, что принятие или отвержение модуса Аристотелем определялось на основе интуитивно-семантических соображений, а потом обосновывалось неверными средствами.

§2. В отличие от ассерторических, аподиктические силлогизмы IV фигуры в ПА вообще не упоминаются, но тем не менее не трудно решить вопрос об их статусе точно таким же способом,

каким на аналогичные вопросы для II и III фигур отвечает Аристотель. В частности, все пять модусов IV фигуры типа LLL, Braman-tip, Camenes и Dimaris типа XLL и Fesapo и Fresison типа LXL должны быть приняты; остальные же смешанные модусы с аподиктическими заключениями отбрасываются с использованием законов обращения и выше упомянутого правила Z. В каждой фигуре легко можно обосновать также "ослабленные" аподиктические модусы, получающиеся из модусов с аподиктическими заключениями заменой заключений SaDP и SeDP, соответственно, на SiDP и SoDP.

В то же время текст ПА, по всей вероятности, не дает ключа для решения вопроса - должны ли быть приняты или отброшены в аподиктической силлогистике "ослабленные" модусы, получаемые из отброшенных модусов с аподиктическими общими заключениями? Таковыми являются:

(Ui)

Bramantip (LXL), Cesaro (XLL), Camestrop (LXL), Barbari (XLL), Celarоnt (XLL), Camenop (LXL) (модусы, стоящие в одной колонке - дедуктивно эквивалентны). Модусы III фигуры Darapti и Felapton составляют образец решения подобной проблемы Аристотелем. Из комбинаций посылок этой фигуры

aa, ea, aDaD, eDaD, eDa, eDa, aaD, eaD не следует общего заключения, ассерторического в первых двух случаях и аподиктического - в остальных; во всех случаях, кроме последнего, следует ослабленное частное заключение, ассерторическое в первых двух случаях, аподиктическое - в остальных; из восьмой комбинации eaD не следует даже ослабленного аподиктического заключения SoDP.

Можно установить, что ни один из методов, используемых Аристотелем для сведения модусов II и III фигур к совершенным модусам I фигуры, применительно к модусам из списка Ui не дает положительного результата. С другой стороны, невозможно установить и их опровержимость применением законов обращения и првила Z. Но вместе с тем к модусам XLL-Barbari и XLL-Celaront можно применить некорректный у-метод и из предполагаемого заключения SinP (соответственно, SoDP) совместно с аподиктической посылкой получить следствие, отрицание которого совместимо с ассерторической посылкой (для этого в первом случае достаточно применить обращение и LLL-Darii, во втором - метод аподиктического эктезиса [7, с. 233] и LLL-Bocardo). К членам последной пары не применим и этот метод. Таким образом, мы оказываемся перед другой дилеммой: следуя тексту ПА, либо ни один из вопросов о статусе модусов из списка U1 не имеет

решения в духе Аристотеля, либо из-за того, что некоторые из этих модусов посредством у-метода дают избыточную информацию, Аристотель отбросил бы их, если бы они попали в поле его зрения.

Принимая равносильности, определяющие унилатеральную возможность в языке силлогистики (об этом было сказано выше), Аристотель трактовал синтаксический аспект этого понятия как квалификацию связки, т.е. подобно необходимости, как составную часть силлогистических форм а°, е°, 1°, о°. Если иметь в виду привлечение проблематических (в унилатеральном смысле) высказа-ний при построении контрпримеров, при применении у-метода, те места из проблематической силлогистики (ПА, I, 13-22), где устанавливается, что из определенных посылок следует заключение о возможности не в смысле случайности, а только в унилатеральном смысле, а также тот факт, что из аподиктических силлогизмов с помощью законов контрапозиции или ге^сйо ad тро88Ме, часто применяемых Аристотелем, получаются силлогизмы, содержащие отрицания аподиктических высказываний, покажется весьма вероятным, что он осознавал существование силлогизмов с возможными посылками и заключением.

Тогда почему же мы не находим в ПА результатов систематического исследования таких силлогизмов? Почему они опущены? Может быть, потому, что хотя аподиктический силлогизм наряду с ассерторическими и аподиктическими высказываниями может содержать также отрицания аподиктических высказываний, т.е. проблематические (в унилатеральном смысле) высказывания, такой силлогизм посредством гeductio аd тро88ШИе сводится к обычному аподиктическому силлогизму (силлогизму только с ассерторическими и аподиктическими составляющими)? Например, таким способом, в частности, из ЬХЬ-ВагЬага можно вывести МХМ-БосаМо и тем самым установить его логическую правильность, а из МХМ-БагЬага - отбрасываемый Аристотелем модус ЬХЬ-БосаМо, на основе которого по правилу Ъ устанавливается, что МХМ-БагЬага должен быть отброшен (буква М в обозначении модального типа означает проблематические в унилатеральном смысле высказывания).

Нас интересует логическая, а не психологическая сторона вопроса. Исходя из этого следует считать аристотелевским не только то, что явно утверждалось Аристотелем, но и то, что можно дедуцировать из его эксплицитных утверждений его же методами, а именно правилами пропозициональной логики (прежде всего методом гeductio ad тро881Ы1е), определениями а°, е°, 1° и о°, а также Т-законами для унилатеральной возможности.

8аР з 8а°Р, 8еР з 8е°Р, 81Р з 81°Р, 8оР з 8о°Р.

В частности, к числу таких следствий принадлежат и некоторые унилатерально возможные модусы. Поэтому первая часть нашего предположения верна. Однако существуют такие унилатерально проблематические модусы, что для решения вопроса об их приемлемости или опровержимости в аристотелевском смысле в тексте ПА не находим никаких аргументов, т.е. существуют модусы неразрешимые средствами ПА, или модусы с неопределенным статусом принятия и отбрасывания в аристотелевском смысле. В этом заключается один из недостатков аристотелевской аподиктической силлогистики - ее фрагментарность, незавершенность.

Класс U2 модусов с неопределенным статусом принятия и отбрасывания в аристотелевском смысле, являющийся расширением U1, отношением дедуктивной эквивалентности разбивается на восем групп:

I LML-Celarent, LML-Cesare, MLL-Camestres, LML-Camenes,

II XLL-Barbari, LXL-Bramantip,

III LMX-Barbari, MLX-Bramantip,

IV LML-Barbari, MLL- Bramantip,

V MMM-Barbari, MMM- Bramantip,

VI XLL-Celaront, XLL- Cesaro,

VII MLL- Celaront, MLL- Cesaro,

VIII LML- Celaront,

LML-Festino, LML-Ferio, LML-Ferison, LML-Fresison,

MMM-Disamis, MMM-Datisi, MMM-Darii, MMM-Dimaris.

XMM-Camestrop, MLX-Felapton, XMM-Camenop, MLX-Fesapo.

LXL-Camestrop, LXL-Camenop,

LML-Camestrop, LML-Camenop,

MLL-Camestrop, MLL-Camenop,

XMM-Cesaro, XMM-Celaront,

MMM-Cesaro, MMM-Celaront,

XMM-Felapton, XMM-Fesapo

MMM-Felapton, MMM-Fesapo.

LML-Felapton, LML-Fesapo.

MLX-Darapti, LMX- Darapti.

MLL- Darapti, LML- Darapti.

LMM- Cesaro, MMM- Darapti

В каждой группе модусы, стоящие на одной строке, эквивалентны в силу пропозициональных законов контрапозиции, а модусы, стоящие в одной колонке - эквивалентны в силу законов обращения. Следовательно, разрешение хотя бы одного модуса в группе -доказательство его правильности или опровержимости, означает разрешение с тем же исходом всех модусов группы.

Если исключить из рассмотрения ослабленные модусы и модусы неаристотелевской IV фигуры, неразрешимых модусов окажется 18 вместо 51, хотя количество групп и, следовательно, число открытых проблем о статусе не изменится. Если же ослабленные аподиктические модусы и модус LXL-Bramantip отбросить в силу вышеприведенных соображений (применимость у-метода), то число неразрешимых модусов будет опять 18, но существенно сократится число открытых проблем о статусе - из них останутся только I, V и VIII.

ЛИТЕРАТУРА

1. Аристотель. Первая аналитика (ПА) // Аристотель. Сочинения. Т. 2, М., 1978.

2. Aristotle. Aristotle's Prior and Posterior Analytics. A Revised Text with Introduction and Commentary by W. D. Ross. Oxford, 1949.

3. Becker A. Die Aristotelischе Theorie der Muglichkeitsschlbsse. Berlin, 1933. 2

4. Bochenski I. M. A History of Formal Logic. New York, 19702.

5. Hintikka J. An Aristotelian Dilemma // Ajatus, 22 (1959), P. 87-92.

6. MacCallS. Aristotle's Model Syllogisms. Amsterdam, 1063.

7. Мчедлишвили Л. И. К семантике аподиктической силлогистики Аристотеля // Логические исследования. Вып. 6. М., 1999, С. 230-240

8. Мчедлишвили Л. И. Об интерпретации одного утверждения из "Первой аналитики" Аристотеля // К истокам против течения. Тбилиси, 2003, С. 198-204.

9. Wieland W. Die Aristotelische Theorie der Notwendigkeitsschlbsse // Logik und Erkenntnislehre des Aristoteles. Darmstadt. 1972, S. 308-338.

The Aristotelian theory of apodeictic syllogisms: the method of derivation of the superfluous information; the fragmentarity